1．直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
2．已知空間向量，，則（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．在四棱柱中，若，，，點為與的交點，則（ ）
A．B．
C．D．
4．已知直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，若，則實數(shù)（ ）
A．B．C．1D．2
5．已知為實數(shù)，直線，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
6．已知空間中三點，，，則以，為鄰邊的平行四邊形的面積為（ ）
A．B．C．3D．
7．已知，，，，則點到平面的距離為（ ）
A．B．C．D．
8．在正三棱錐中，，點分別是棱的中點，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．如圖，直線，，的斜率分別為，，，傾斜角分別為，，，則下列選項正確的是（ ）
A．B．
C．D．
10．在正方體中，能作為空間的一個基底的一組向量有（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
11．在正三棱柱中，，點滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．當時，點在棱上
B．當時，點到平面的距離為定值
C．當時，點在以的中點為端點的線段上
D．當時，平面
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知直線過點，且在軸上的截距為在軸上的截距的兩倍，則直線的方程是 .
13．在空間直角坐標系中，已知，則三棱錐的體積為 ．
14．在棱長為4的正方體中，點，分別為棱，的中點，，分別為線段，上的動點（不包括端點），且，則線段的長度的最小值為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．如圖，正方體的棱長為2.

(1)用空間向量方法證明：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
16．已知的三個頂點是，，.
(1)求邊上的高所在直線的方程；
(2)求的角平分線所在直線的方程.
17．平行六面體，
(1)若，，，，，，求長；
(2)若以頂點A為端點的三條棱長均為2，且它們彼此的夾角都是60°，則AC與所成角的余弦值．
18．如圖，四邊形是直角梯形，為的中點，是平面外一點，是線段上一點，三棱錐的體積是.

(1)求證：平面；
(2)求二面角的余弦值.
19．如圖，在空間幾何體中，四邊形是邊長為2的正方形，平面，，且∥∥．
(1)求證：四點共面；
(2)在線段上是否存在一點，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
參考答案
1．【答案】A
【詳解】解：因為直線的斜率為，
設直線的傾斜角為，
則有，解得，
所以其傾斜角為．
故選：A．
2．【答案】B
【詳解】因為，，所以，
故選:B.
3．【答案】C
【詳解】
,
故選：C.
4．【答案】C
【詳解】當時，，所以，
則，解得，．
故選：C．
5．【答案】B
【詳解】若，則有，解得，
當時，，不重合，符合要求；
當時，，不重合，符合要求；
故“”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
6．【答案】D
【詳解】因為，，，所以，，
則，，，所以，
又因為，所以，
則以，為鄰邊的平行四邊形的面積.
故選：D
7．【答案】C
【詳解】易知，，，
設平面的法向量，則即
令，則，，所以平面的一個法向量為，
所以點到平面的距離．
故選：C．
8．【答案】D
【詳解】如圖所示，在正三棱錐中，，
可得，
因為點分別是棱的中點，
可得，，
所以
．
故選：D．

9．【答案】AD
【詳解】由圖可得，，故A、D正確.
故選：AD.
10．【答案】AC
【分析】根據空間中不共面的三個向量可以作為空間向量的一個基底，從而求解.
【詳解】由題意得：如下圖所示：

對于A項：，，不共面，能作為空間的一個基底,故A項正確；
對于B項：，所以：，，共面，不能作為空間的一個基底,故B項錯誤；
對于C項：，，不共面，能作為空間的一個基底,故C項正確；
對于D項：，
所以：，，共面，不能作為空間的一個基底,故D項錯誤.
故選：AC.
11．【答案】BCD
【詳解】對于A，當時，，
又，所以即，又，
所以三點共線，故點在上，故A錯誤；
對于B，當時，，
又，所以即，又，
所以三點共線，故點在棱上，
由三棱柱性質可得平面，所以點到平面的距離為定值，故B正確；
對于C，當時，取的中點的中點，
所以且，，即，
所以即，又，
所以三點共線，故在線段上，故C正確；
對于D，當時，點為的中點，連接，
由題為正三角形，所以，又由正三棱柱性質可知，
因為，平面，所以平面，
又平面，所以，
因為，所以，又，
所以，所以，
所以，
設與相交于點O，則，即，
又，平面，
所以平面，因為平面，
所以，由正方形性質可知，
又，平面，
所以平面，故D正確.
故選：BCD.
12．【答案】或
【詳解】①當直線在兩坐標軸上的截距均為時，設直線方程為，
因為直線過點，所以，所以直線的方程為；
②當直線在兩坐標軸上的截距均不為時，
設直線在軸上的截距為，則在軸上的截距為，
則直線的方程為，
又因為直線過點，所以，
解得：，
所以直線的方程為，即，
綜上所述：直線的方程為或，
故答案為：y=2x或．
13．【答案】2
【詳解】由題意得，所以
所以的面積為，
點都在平面上，點到平面的距離3，
所以三棱錐的體積為．
故答案為：
14．【答案】
【詳解】以為坐標原點，，，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，如圖所示.

因為點，分別為棱，的中點，所以，，
設，，其中，，
則，.
因為，則，解得，
又因為，，則，
可得，
所以，此時，即線段的長度的最小值為.
故答案為：.
15．【答案】(1)證明見解析；
(2)
【詳解】（1）根據題意以為坐標原點，分別以為軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：

易知，
則，
設平面的一個法向量為，
則，令，則可得，即；
又，即，
又平面，
所以平面；
（2）易知，則，
由（1）知平面的一個法向量為，
設直線與平面所成的角為，
則，
即直線與平面所成角的正弦值為.
16．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設邊上的高所在直線的斜率為，直線的斜率，
所以，所以，
故所求直線方程為，即.
（2）由題意得，，
所以，則為等腰三角形，
的中點為，故，
由等腰三角形的性質知，為的平分線，
故所求直線方程為，即.

17．【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1），，，
，
∴
，
；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵＝8，∴，
設與所成的角為，則.
18．【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）如圖，連接交于點，
因為，
所以，所以，
因為，所以，
所以，即，
又因為平面，
所以平面，又平面，所以．
又因為，所以，
又平面，
所以平面；
（2）以為原點，所在直線分別為軸，平行于的直線為軸，
建立如圖所示空間直角坐標系，
則，
設，則，即點，
則三棱錐的體積，解得，
所以，則，
設平面的法向量，
由，令，則，
即可得平面的一個法向量，
由軸平面，故為平面的一個法向量，
所以，
由圖可知二面角是銳二面角，
故二面角的余弦值是．

19．【答案】(1)證明見解析
(2)存在，．
【詳解】（1）證明：因為平面平面，
所以．
因為四邊形是正方形，所以，所以兩兩垂直，
則以點為坐標原點，以所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系：
根據題意，得．
所以．
因為，
所以共面，
又有公共點，
所以四點共面．
（2）解：存在，理由如下：
，則，
設m=x1,y1,z1為平面的法向量，
則，即，令，
得平面的一個法向量為．
假設線段上存在點，使得平面與平面所成角的余弦值為，
令，
則，
設n=x2,y2,z2為平面的法向量，則，
即，
令，得平面的一個法向量為．
設平面與平面所成角為，
則．
化簡整理，得，因為，所以，
所以在線段上存在一點，使得平面與平面所成角的余弦值為，此時．
2024-2025學年陜西省榆林市府谷縣高二上學期第一次月考數(shù)學檢測試卷（二）
一、單選題（本大題共8小題）
1．復數(shù)（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，，若，則（ ）
A．1或B．或2C．1或D．或
3．已知復數(shù)為虛數(shù)單位，則“”是“復數(shù)在復平面內對應的點位于第一象限”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
4．已知隨機事件和互斥，和對立，且，則（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
5．如圖所示，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，則該圓柱的表面積與球的表面積之比為（ ）
A．1B．C．D．
6．為做好“甲型流感”傳染防控工作，某校堅持每日測溫報告，以下是高三（一）班，高三（二）班各10名同學的體溫記錄（從低到高）：
高三（一）班:36.1，36.2，36.3，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（單位:℃），
高三（二）班:36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，36.9，37.1（單位:℃）
則高三（一）班這組數(shù)據的第25百分位數(shù)和高三（二）班第80百分位數(shù)分別為（ ）
A．36.3，36.7B．36.3，36.8C．36.25，36.7D．36.25，36.8
7．已知數(shù)據1，2，3，5，m（m為整數(shù)）的平均數(shù)是極差的倍，從這5個數(shù)中任取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)之和不小于7的概率為（ ）
A．B．C．D．
8．《易經》是闡述天地世間關于萬象變化的古老經典，如圖所示的是《易經》中記載的幾何圖形——八卦圖．圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦田，已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為4，點P是正八邊形ABCDEFGH的內部（包含邊界）任一點，則的取值范圍是（ ）
A．B． C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．從裝有3個紅球和3個黑球的口袋內任取兩個球，則下列說法正確的是（ ）
A．“至少有一個黑球”與“都是黑球”是互斥而不對立的事件
B．“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”不是互斥事件
C．“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”是互斥而且是對立的事件
D．“至少有一個黑球”與“都是紅球”是對立事件
10．已知，是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，則下列說法正確的是（ ）
A．若，，則B．若，，，則
C．若，，則D．若，，，則
11．在中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則是等腰三角形
B．若，則
C．若，則是鈍角三角形
D．若不是直角三角形，則
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知復數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則 ．
13．在中，，若此三角形恰有兩解，則BC邊長度的取值范圍為 ．
14．已知，，為球的球面上的三個點，若，，球的表面積為，則三棱錐的體積的最大值為 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知向量．
(1)求；
(2)設向量的夾角為，求的值．
16．近期九江市各部門掀起創(chuàng)建文明城市高潮，為增強師生創(chuàng)建全國文明城市意識，某校組織了一次教師創(chuàng)建全國文明城市知識考核，每位教師必需參加且最多參加次考核，一旦第一次考核通過則不再參加第二次考核，次考核未通過的教師將被扣除文明積分.已知教師甲每次考核通過的概率為，教師乙每次考核通過的概率為，且甲乙每次是否通過相互獨立.
(1)求乙通過考核的概率；
(2)求甲乙兩人考核的次數(shù)和為的概率.
17．為了做好下一階段數(shù)學的復習重心，某中學研究本校高三學生在市聯(lián)考中的數(shù)學成績，隨機抽取了位同學的數(shù)學成績作為樣本（成績均在內），將所得成績分成7組：80,90，，，，，，，整理得到樣本頻率分布直方圖如圖所示：
(1)求的值，并估計本次聯(lián)考該校數(shù)學成績的中位數(shù)和平均數(shù)；（同一組中的數(shù)據用該組數(shù)據的中間值作為代表）
(2)從樣本內數(shù)學分數(shù)在，的兩組學生中，用分層抽樣的方法抽取5名學生，再從這5名學生中隨機選出3人進行數(shù)學學習經驗的分享，求選出的3人中恰有一人成績在中的概率.
18．如圖，已知扇形OAB的半徑為2，，P是上的動點，M是線段OA上的一點，且．

(1)若，求PM的長；
(2)求的面積最大值．
19．如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形是梯形，，是棱上的一點.
(1)若，求證：平面；
(2)若平面，且，求直線與平面所成角的正弦值.
參考答案
1．【答案】B
【分析】根據復數(shù)的運算的基本概念和性質，即可求出結果．
【詳解】由題意可知, .
故選B．
2．【答案】A
【分析】運用向量平行的坐標表示求解即可.
【詳解】由，有，解得或．
故選A.
3．【答案】B
【分析】根據復數(shù)對應點在第一象限的條件為實部虛部都大于零，解得,然后根據充分、必要條件的概念，判定即可.
【詳解】若復數(shù)在復平面內對應的點位于第一象限，必有，可得.
“a>0”是“”的必要不充分條件，
∴“a>0”是“復數(shù)在復平面內對應的點位于第一象限”的必要不充分條件.
故選B.
4．【答案】D
【分析】利用對立事件概率公式和互斥事件加法公式計算即可.
【詳解】由和對立，，可得，解得，
又由隨機事件和互斥可知，
由，
將代入計算可得.
故選D.
5．【答案】C
【分析】設球的半徑為，根據公式分別求出球的表面積和圓柱的表面積的表達式，求出兩者比值即可.
【詳解】設球的半徑為R，所以球的表面積.
圓柱的表面積，
所以該圓柱的表面積與球的表面積之比.
故選C.
6．【答案】B
【分析】利用百分位數(shù)的定義進行求解.
【詳解】，故從小到大，選取第3個數(shù)據作為高三（一）班這組數(shù)據的第25百分位數(shù)，即36.3；
，故從小到大，選取第8個和第9個數(shù)據的平均數(shù)作為第80百分位數(shù)，
即.
故選B．
7．【答案】A
【分析】通過分類討論得出，再由古典概率公式求解．
【詳解】當時，，得（舍），
當時，，得，
當時，，得（舍），
所以，
從1，2，3，5，4中任取2個數(shù)結果:
共10種，
符合題意，共4種，
所以概率為．
故選A．
8．【答案】B
【分析】延長交于點M，延長交于點N，轉化為求解最值即可．
【詳解】延長交于點M，延長交于點N，
如圖所示：
根據正八邊形的特征，可知，
又，
所以，，
則的取值范圍是．
故選B．
9．【答案】BD
【分析】由互斥事件及對立事件的定義進行依次判斷．
【詳解】“至少有一個黑球”等價于“一個黑球和一個紅球或兩個黑球”與“都是黑球”可以同時發(fā)生，不是互斥事件，故A錯誤；
“至少有一個黑球”等價于“一個黑球和一個紅球或兩個黑球”，“至少有一個紅球”等價于“一個黑球和一個紅球或兩個紅球”，可以同時發(fā)生，故B正確；
“恰好有一個黑球”等價于“一個黑球和一個紅球”，與“恰好有兩個黑球”，不同時發(fā)生，還有可能都是紅球，不是對立事件，故C錯誤；
“至少有一個黑球”等價于“一個黑球和一個紅球或兩個黑球”，與“都是紅球”，不同時發(fā)生，但一定會有一個發(fā)生，是對立事件，故D正確．
故選BD．
10．【答案】BC
【分析】對于A，根據條件得到或，即可求解；對于B，由，，得到或，再由面面垂直的判定定理即可求解；對于C，由面面平行的性質，即可求解；對于D，在正方體中，通過特例，即可求解.
【詳解】對于A：若，，則或，故A錯誤；
對于B：若，，則或，又，則，故B正確；
對于C：若，，則，故C正確；
對于D：在正方體中，平面平面，
平面平面，平面平面，但，
故D錯誤.
故選BC.
11．【答案】BCD
【分析】由正弦定理及余弦定理判斷A,B,C項，由兩角和的正切公式判斷D項．
【詳解】因為，由正弦定理得
，即，所以或，
即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故A錯誤；
因為由正弦定理得，故B正確；
因為，由正弦定理得，
所以，所以，所以是鈍角三角形，故C正確；
由不是直角三角形且，得，所以，故D正確．
故選BCD．
12．【答案】
【分析】由復數(shù)的除法運算及模運算求解．
【詳解】，
故．
故答案為：.
13．【答案】
【分析】依題意得，由求解
【詳解】若恰有兩解，則，解得，
即邊長度的取值范圍為．
故答案為：.
14．【答案】
【分析】首先求出球的半徑，依題意可得的外接圓的半徑為，即可求出點到平面的距離，設，由勾股定理可得，利用基本不等式求出的最大值，即可得解.
【詳解】設球的半徑為，則，所以，因為，
所以的外接圓的半徑為，所以點到平面的距離為，
設，則，所以，當且僅當時等號成立，
所以三棱錐的體積的最大值為．
故答案為：.
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由求出，從而可求出的坐標，進而可求出模；
（2）直接利用向量的夾角公式求解即可.
【詳解】（1）由可得，，
即，
所以，
所以；
（2）因為，
所以．
16．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據互斥事件分類再結合獨立事件概率求解；
（2）根據互斥事件分類再結合獨立事件概率求解.
【詳解】（1）乙第一次考核通過的概率，
乙第二次考核通過的概率為，
乙通過考核的概率為；
（2）甲考核1次，乙考核2次的概率；
甲考核2次，乙考核1次的概率；
甲乙兩人的考核次數(shù)和為3的概率.
17．【答案】(1)，平均數(shù)為，中位數(shù)；
(2).
【分析】（1）根據頻率分布直方圖中小矩形的面積之和為1，即可求解出；再用每一組區(qū)間的中點值代表該組數(shù)據，分別乘以每個小矩形的面積，計算平均數(shù)；最后計算中位數(shù)，即將頻率分布直方圖劃分為左右兩個面積相等的部分的分界線與軸交點的橫坐標.
（2）分別求出在區(qū)間，內抽取的人數(shù)，再利用列舉法結合古典概型概率公式即可求解.
【詳解】（1）由題意知，解得，
所以數(shù)學成績的平均數(shù)為
由頻率分布直方圖知，分數(shù)在區(qū)間、內的頻率分別為0.34，0.62，
所以該校數(shù)學成績的中位數(shù)，則，解得；
（2）由題意知，抽取的5人中，分數(shù)在內的有（人），在內的有1人，
記在內的4人為，，，，在內的1人為，
從5人中任取3人，有，，，，，，，，，，共10種選法，
選出的3人中恰有一人成績在中，有，，，，，，共6種選法，
所以選出的3人中恰有一人成績在中的概率是.
18．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理得，利用平方關系求出，再由兩角差的正弦得到，最后由正弦定理可得答案；
（2）設，由余弦定理得，再利用基本不等式得可得答案．
【詳解】（1）在中，由余弦定理得，
又，所以，
所以
，
在中，由正弦定理得，
所以；
（2）設，
則在中，由余弦定理得，
即，
所以，當且僅當時取等號，
所以，
當且僅當時取等號，
即的面積最大值為．
19．【答案】(1)證明見解析
(2).
【分析】（1）結合相似三角形的判定定理和性質、線面平行的判定定理進行證明即可；
（2）根據線面角的定義找出直線與平面所成角，即可求解.
【詳解】（1）連接，交于點，連接，如圖所示.
因為，易得，所以，
又，，所以，
又平面平面，所以平面；
（2）取中點，連接交于點，連接，
則，且，所以四邊形是平行四邊形，
為中點，.因為平面，
所以直線是直線在平面內的射影，
所以是直線與平面所成的角，
即為直線與平面所成角的平面角.
如圖所示，過點作，垂足為，連接，
因為，所以,易得，
因為平面平面，平面平面平面，
所以平面，
又平面，所以，所以，
在直角中，由平面平面，則，解得，
所以.所以直線與平面所成角的正弦值為.
【方法總結】計算線面角，一般有如下幾種方法：
（1）利用面面垂直的性質定理，得到線面垂直，進而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內的射影，即可確定線面角；
（2）在構成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長），進而可求得線面角；
（3）建立空間直角坐標系，利用向量法求解，設為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.

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2024~2025學年陜西省榆林市府谷縣部分校高二上學期第二次月考質量檢測數(shù)學試卷（解析版）

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2024-2025學年陜西省榆林市府谷縣高三上冊第五次考試（12月）數(shù)學檢測試題（附解析）

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陜西省榆林市府谷縣部分學校2024-2025學年高二上學期12月月考數(shù)學試題（PDF版附答案）

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