注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必填寫答題卡上的有關(guān)項(xiàng)目．
2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑：如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答無效．
4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將答題卡交回．
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 下列各式正確的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 在平行六面體中，AC與BD的交點(diǎn)為M，設(shè)，，，則下列向量中與相等的向量是（ ）
A. B.
C. D.
3. 雙曲線的兩條漸近線的夾角的大小等于（ ）
A. B. C. D.
4. 已如向量，，且與互相垂直，則（ ）．
A. B. C. D.
5. 若正三棱錐的所有棱長均為3，則該正三棱錐的體積為（ ）
A. 3B. C. D.
6. 已知空間中三點(diǎn)，，，則以，為鄰邊的平行四邊形的面積為（ ）
A B. C. 3D.
7. 在中，，則的長為（ ）
A. B. 4C. D. 5
8. 已知點(diǎn)A，B，C，D，P，Q都在同一個(gè)球面上，為正方形，若直線PQ經(jīng)過球心，且平面.則異面直線所成的角的最小值為（ ）
A. B. C. D.
二、多選題（本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯(cuò)或者不選得0分．）
9. 設(shè)，為隨機(jī)事件，且，是，發(fā)生的概率. ，，則下列說法正確的是（ ）
A. 若，互斥，則B. 若，則，相互獨(dú)立
C. 若，互斥，則，相互獨(dú)立D. 若，獨(dú)立，則
10. 已知空間三點(diǎn)，，，則下列說法正確的是（ ）
A. B. C. D.
11. 函數(shù)y=fx的定義域?yàn)椋瑓^(qū)間，對于任意，，恒滿足，則稱函數(shù)在區(qū)間上為“凸函數(shù)”.下列函數(shù)在定義域上為凸函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知直線過點(diǎn)，且在軸上的截距為在軸上的截距的兩倍，則直線的方程是___________.
13. 方程的兩根為，且，則____________.
14. 如圖，在正方體中，，點(diǎn)分別為中點(diǎn)，則平面截正方體所得截面面積為__________，動(dòng)點(diǎn)滿足，且，則當(dāng)取得最小值時(shí)二面角的余弦值為__________.

四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15. 在中，角所對的邊分別為．
（1）若，求的值；
（2）求面積的最大值．
16 已知空間三點(diǎn).
（1）求
（2）求的面積；
17. 我們可以用“配方法”和“主元法”等方法證明“二元不等式”：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．
（1）證明“三元不等式”： ．
（2）已知函數(shù)．
①解不等式；
②對任意x∈0,+∞，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
18. 如圖，四邊形是直角梯形，為的中點(diǎn)，是平面外一點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，三棱錐的體積是.

（1）求證：平面；
（2）求二面角的余弦值.
19. 一般地，我們把按照確定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).數(shù)列的第一個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)，常用符號表示，第二個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)，常用符號表示，，第個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng)，常用符號表示.定義：一個(gè)正整數(shù)稱為“漂亮數(shù)”，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)數(shù)列，滿足①②③：①都是正整數(shù)；②；③.
（1）寫出最小的“漂亮數(shù)”；
（2）當(dāng)時(shí)，求出所有“漂亮數(shù)”
2024-2025學(xué)年陜西省咸陽市乾縣高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)階段
檢測試題
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必填寫答題卡上的有關(guān)項(xiàng)目．
2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑：如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答無效．
4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將答題卡交回．
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 下列各式正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算求解.
【詳解】對A：原式，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對B：原式，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對C：原式，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對D：顯然，所以原式，所以D選項(xiàng)正確.
故選：D
2. 在平行六面體中，AC與BD的交點(diǎn)為M，設(shè)，，，則下列向量中與相等的向量是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】結(jié)合圖形，由空間向量的線性運(yùn)算可得.
【詳解】
如圖，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以M為AC中點(diǎn)，
所以，
所以.
故選：C
3. 雙曲線的兩條漸近線的夾角的大小等于（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】求得雙曲線的兩條漸近線方程，得到斜率和傾斜角，再求出漸近線夾角的大小.
【詳解】雙曲線的兩條漸近線的方程為，
由直線的斜率為，可得傾斜角為，
的斜率為，可得傾斜角為，
所以兩條漸近線的夾角的大小為，
故選：B.
4. 已如向量，，且與互相垂直，則（ ）．
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】
計(jì)算，根據(jù)向量垂直得到答案.
【詳解】，，則，
與互相垂直，則，.
故選：B.
本題考查了根據(jù)向量垂直求參數(shù)，屬于簡單題.
5. 若正三棱錐的所有棱長均為3，則該正三棱錐的體積為（ ）
A. 3B. C. D.
【正確答案】C
【分析】作出三棱錐的高，求出對應(yīng)線段長，通過體積公式得出三棱錐體積.
【詳解】如圖，正三棱錐，，
取中點(diǎn)，連接，取等邊三角形的中心，連接，
由正四面體的性質(zhì)可知，頂點(diǎn)與底面中心連線垂直底面，
∴平面
即三棱錐的高為，
∵，
∴，∴，
∴，
∴.
故選：C
6. 已知空間中三點(diǎn)，，，則以，為鄰邊的平行四邊形的面積為（ ）
A. B. C. 3D.
【正確答案】D
【分析】依題意求出，，，，即可求出，再由面積公式計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)?，，，所以，?br>則，，，所以，
又因?yàn)椋裕?br>則以，為鄰邊的平行四邊形的面積.
故選：D
7. 在中，，則的長為（ ）
A. B. 4C. D. 5
【正確答案】C
【分析】根據(jù)題意可知，所以根據(jù)兩角和正弦公式可求得，再根據(jù)正弦定理可求得.
【詳解】根據(jù)三角形內(nèi)角和為，所以可知，
則，
根據(jù)正弦定理可知，代入解之可得.
故選：C
8. 已知點(diǎn)A，B，C，D，P，Q都在同一個(gè)球面上，為正方形，若直線PQ經(jīng)過球心，且平面.則異面直線所成的角的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】先由幾何關(guān)系確定球心，再建立如圖所示坐標(biāo)系，然后分別求出及其模長，再代入向量的夾角公式，最后結(jié)合余弦函數(shù)的取值確定最小值即可.
【詳解】設(shè)球的半徑為，記正方形中心為，
因?yàn)闉檎叫?，直線PQ經(jīng)過球心，且平面．
所以過點(diǎn)且的中點(diǎn)為球心，
設(shè)球心為，以為原點(diǎn)，分別為x，y，z軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，，
則，，，，
所以，，
所以，
所以，，
又，即．
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
設(shè)直線所成的角為，則，
又，所以．
故選：A．
二、多選題（本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯(cuò)或者不選得0分．）
9. 設(shè)，為隨機(jī)事件，且，是，發(fā)生的概率. ，，則下列說法正確的是（ ）
A. 若，互斥，則B. 若，則，相互獨(dú)立
C. 若，互斥，則，相互獨(dú)立D. 若，獨(dú)立，則
【正確答案】ABD
【分析】利用互斥事件的概率公式可判斷A選項(xiàng)；由相互獨(dú)立事件的概念可判斷B選項(xiàng)；由互斥事件和相互獨(dú)立事件的概念可判斷C選項(xiàng)；由相互獨(dú)立事件的概念，可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對于選項(xiàng)A，若互斥，根據(jù)互斥事件的概率公式，則，所以選項(xiàng)A正確，
對于選項(xiàng)B，由相互獨(dú)立事件的概念知，若，則事件是相互獨(dú)立事件，所以選項(xiàng)B正確，
對于選項(xiàng)C，若互斥，則不一定相互獨(dú)立，例：拋擲一枚硬幣的試驗(yàn)中，事件：“正面朝上”，事件：“反面朝上”，事件與事件互斥，但，，不滿足相互獨(dú)立事件的定義，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，
對于選項(xiàng)D，由相互獨(dú)立事件的定義知，若，獨(dú)立，則，所以選項(xiàng)D正確，
故選：ABD.
10. 已知空間三點(diǎn)，，，則下列說法正確的是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】AC
【分析】由條件可得的坐標(biāo)，然后逐一判斷即可.
【詳解】因?yàn)?，，?br>所以
所以，，
所以不共線.
故選：AC
11. 函數(shù)y=fx的定義域?yàn)?，區(qū)間，對于任意，，恒滿足，則稱函數(shù)在區(qū)間上為“凸函數(shù)”.下列函數(shù)在定義域上為凸函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】AD
【分析】對A：，結(jié)合對數(shù)函數(shù)性質(zhì)化簡即可得；對B：，舉出反例即可得；對C：，化簡即可得；對D：，化簡即可得.
【詳解】對A：，，
，
由在0,+∞上單調(diào)遞增，故其等價(jià)于，
化簡可得，故滿足題意，故A正確；
對B：，，，
取，，可得，，
又，故此時(shí)不滿足題意，故B錯(cuò)誤；
對C：，，，
化簡得恒成立，不滿足題意，故C錯(cuò)誤；
對D：，，，
左右平方后化簡可得，故滿足題意，故D正確.
故選：AD.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知直線過點(diǎn)，且在軸上的截距為在軸上的截距的兩倍，則直線的方程是___________.
【正確答案】或
【分析】當(dāng)縱截距為時(shí)，設(shè)直線方程為，代入點(diǎn)求得的值，當(dāng)縱截距不為時(shí)，設(shè)直線的截距式方程，代入點(diǎn)求解.
【詳解】①當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均為時(shí)，設(shè)直線方程為，
因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，所以直線的方程為；
②當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均不為時(shí)，
設(shè)直線在軸上的截距為，則在軸上的截距為，
則直線的方程為，
又因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，
解得：，
所以直線的方程為，即，
綜上所述：直線的方程為或，
故y=2x或．
13. 方程的兩根為，且，則____________.
【正確答案】-3
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求得答案.
【詳解】∵方程的兩根為，
∴，，
由題意得：；，
∵，∴，，故，
故-3.
14. 如圖，在正方體中，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，則平面截正方體所得截面面積為__________，動(dòng)點(diǎn)滿足，且，則當(dāng)取得最小值時(shí)二面角的余弦值為__________.

【正確答案】 ①. ②. ##
【分析】建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，第一空：只需證明即可得到平面截正方體所得截面為梯形，進(jìn)一步結(jié)合已知條件求解即可；第二空：結(jié)合已知將取得最小值轉(zhuǎn)換為，其中，進(jìn)一步求出兩平面的法向量即可求解.
【詳解】由題意以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

第一空：因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)椋?br>所以，所以四邊形是平行四邊形，
所以，
因?yàn)?，所以，即四點(diǎn)共面，
所以平面截正方體所得截面為梯形，由對稱性可知該梯形是等腰梯形，
因?yàn)檎襟w棱長為4，
所以梯形的上底，下底，梯形的腰長為，
所以梯形的高為，
故所求截面面積為；
第二空：由題意，且，
所以，
在中，當(dāng)時(shí)，，
所以表示經(jīng)過點(diǎn)且法向量為的平面，
即點(diǎn)在平面上，
由以上分析可知，，
若要取得最小值，只需最小，此時(shí)，當(dāng)然也有，
由題意設(shè)，而，
設(shè)平面的法向量為n1=x1,y1,z1，
所以，令，解得，
所以可取，
顯然平面的一個(gè)法向量可以是，
二面角的余弦值為.
故18，.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二空的關(guān)鍵在于將取得最小值轉(zhuǎn)換為，其中，由此即可順利得證.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15. 在中，角所對的邊分別為．
（1）若，求的值；
（2）求面積的最大值．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）根據(jù)正弦定理可得，從而可求的值；
（2）利用基本不等式可得，再根據(jù)余弦定理可得的范圍，從而可得的范圍，結(jié)合三角形面積公式，即可得面積的最大值．
【小問1詳解】
由正弦定理，可得，
【小問2詳解】
，，
由余弦定理可得，
，，
，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，此時(shí)面積取得最大值
16. 已知空間三點(diǎn).
（1）求
（2）求的面積；
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）先求出向量坐標(biāo)，再根據(jù)模長公式計(jì)算即可；
（2）先求出向量，的夾角，再利用三角形的面積公式即可求解；
小問1詳解】
，
【小問2詳解】
設(shè)向量，的夾角為，
由，
，，
，
又三角形中，
.
17. 我們可以用“配方法”和“主元法”等方法證明“二元不等式”：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．
（1）證明“三元不等式”： ．
（2）已知函數(shù)．
①解不等式；
②對任意x∈0,+∞，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【正確答案】（1）見解析 （2）①；②.
分析】（1）先證明，，，再將三式相加結(jié)合基本不等式即可證明；
（2）①移項(xiàng)通分化整式不等式，解高次不等式即可得出答案；
②由三元不等式求出在0,+∞的最小值，可以將題意轉(zhuǎn)為在x∈0,+∞恒成立，即，解不等式即可得出答案.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>則
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），
同理（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），
三式相加可得：，
又因?yàn)椋?br>所以，
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等）.
【小問2詳解】
①由可得：，
所以，即，
即，則，
所以，
解得.
②因?yàn)楫?dāng)x∈0,+∞時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，
所以當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，，
對任意x∈0,+∞，恒成立，
則，
所以，解得.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
18. 如圖，四邊形是直角梯形，為的中點(diǎn)，是平面外一點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，三棱錐的體積是.

（1）求證：平面；
（2）求二面角的余弦值.
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
【分析】（1）連接交于點(diǎn)，借助全等三角形的判定定理可得，從而可得，即可得，再利用線面垂直的判定定理可得平面，即可得，再利用勾股定理的逆定理及線面垂直的判定定理即可得證；
（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，再借助體積公式計(jì)算出的值，從而可計(jì)算出平面與平面的法向量，再利用空間向量夾角公式求解即可得.
【小問1詳解】
如圖，連接交于點(diǎn)，
因?yàn)椋?br>所以，所以，
因?yàn)?，所以?br>所以，即，
又因?yàn)槠矫妫?br>所以平面，又平面，所以．
又因?yàn)椋裕?br>又平面，
所以平面；
【小問2詳解】
以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，平行于的直線為軸，
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)，則，即點(diǎn)，
則三棱錐體積，解得，
所以，則，
設(shè)平面的法向量，
由，令，則，
即可得平面的一個(gè)法向量，
由軸平面，故為平面的一個(gè)法向量，
所以，
由圖可知二面角是銳二面角，
故二面角的余弦值是．

19. 一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).數(shù)列的第一個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)，常用符號表示，第二個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)，常用符號表示，，第個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng)，常用符號表示.定義：一個(gè)正整數(shù)稱為“漂亮數(shù)”，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)數(shù)列，滿足①②③：①都是正整數(shù)；②；③.
（1）寫出最小的“漂亮數(shù)”；
（2）當(dāng)時(shí)，求出所有的“漂亮數(shù)”.
【正確答案】（1）6 （2）
【分析】（1）直接根據(jù)“漂亮數(shù)”的定義即可證明最小的“漂亮數(shù)”為6；
（2）先證明或，利用分類討論的思想可得和，根據(jù)“漂亮數(shù)”的定義求出即可.
【小問1詳解】
若是“漂亮數(shù)”，
設(shè)，滿足，
則，所以，即，
故，得，則，所以，
此時(shí)，假設(shè)，則，又，
所以的全部可能取值為，
經(jīng)驗(yàn)證，上述的取值都不等于1，不符合題意.
所以，又，故6為“漂亮數(shù)”，
所以最小的“漂亮數(shù)”是6；
【小問2詳解】
若，設(shè)，滿足，
則，所以，即，
而，
所以，即，故，
得，即，
又，所以，
而，故，即.
若，則，所以.
假設(shè)，則，矛盾.
故，所以，得.
故，則，得，又，所以.
又，矛盾，
故或.
當(dāng)時(shí)，有，得，
則，得，即.
由，得，分別代入，
使得為正整數(shù)的有，對應(yīng)的分別為.
當(dāng)時(shí)，有，得，
則，得，即.
由，得，分別代入，
使得為正整數(shù)的有，對應(yīng)的分別為.
綜上，滿足條件的全部為.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于對新定義的理解，只有理解了定義，方可解決對應(yīng)的問

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這是一份[數(shù)學(xué)]陜西省咸陽市乾縣第二中學(xué)2024～2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次階段性檢測月考試題(含解析)，共16頁。

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