一、單選題（本大題共8小題）
1．復(fù)數(shù)的實部為（ ）
A．B．C．2D．
2．已知一個水平放置的用斜二測畫法得到的直觀圖如圖所示，且，則其平面圖形的面積是（ ）
A．4B．C．D．8
3．從裝有2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取2個球，互斥而不對立的兩個事件是（ ）
A．至少有1個白球和都是白球B．至少有1個白球和至少有1個紅球
C．恰有1個白球和恰有2個白球D．至少有1個白球和都是紅球
4．為了解某中學(xué)三個年級的學(xué)生對食堂飯菜的滿意程度，用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取30%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，已知該中學(xué)學(xué)生人數(shù)和各年級學(xué)生的滿意率分別如圖1和圖2所示，則樣本容量和抽取的二年級學(xué)生中滿意的人數(shù)分別為（ ）
A．800，360B．600，108C．800，108D．600，360
5．已知是單位向量，，若在方向上的投影向量是，則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
6．如圖，在正四面體ABCD中．點(diǎn)E是線段AD上靠近點(diǎn)D的四等分點(diǎn)，則異面直線EC與BD所成角的余弦值為（ ）

A．B．C．D．
7．萬丈懸梯高可攀，白塔座落嘉陵邊．白塔作為閬中市的標(biāo)志性建筑之一．當(dāng)你登臨頂層，會欣賞到閬中AAAAA風(fēng)景的全貌．感覺人仿佛在凌空飛翔．現(xiàn)有一數(shù)學(xué)興趣小組，如圖，測量河對岸的白塔高，可以選取與塔底 在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點(diǎn)與．現(xiàn)測得米，在點(diǎn)C測得塔頂?shù)难鼋菫椋瑒t測得的塔高為（ ）米．

A． B．10C． D．30
8．如圖，在中，M，N分別為AB，AC邊上的中點(diǎn)，P是線段MN上的一個動點(diǎn)（不含端點(diǎn)），CP與AB交于點(diǎn)D，BP與AC交于點(diǎn)E，，，則的最小值為（ ）

A．2B．4C．6D．8
二、多選題（本大題共3小題）
9．一組樣本數(shù)據(jù)為7，12，13，17，18，20，32，則（ ）
A．該組數(shù)據(jù)的極差為25
B．該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為19
C．該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為17
D．若該組數(shù)據(jù)去掉一個數(shù)得到一組新數(shù)據(jù)，則這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)可能相等
10．已知互不相同的兩條直線，和兩個平面，，下列命題正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，，，則
C．若，，且，則
D．若，，且，則
11．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則將的圖象向左平移個單位長度，能得到函數(shù)的圖象
B．若，則當(dāng)時，的值域為
C．若在區(qū)間上恰有個零點(diǎn)，則
D．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知向量，且，則 .
13．一個封閉的正三棱柱容器，高為8，內(nèi)裝水若干（如圖1，底面處于水平狀態(tài)）.將容器放倒（如圖2，一個側(cè)面處于水平狀態(tài)），這時水面所的平面與各棱交點(diǎn)E，F(xiàn)，，分別為所在的棱的中點(diǎn)，則圖1中水面的高度為 ．
14．在銳角中，角的對邊分別為，的面積為，滿足，若，則的最小值為 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知，，．
(1)求與的夾角；
(2)求與．
16．2024年5月15日是第15個全國公安機(jī)關(guān)打擊和防范經(jīng)濟(jì)犯罪宣傳日，某市組織了多個小分隊走進(jìn)社區(qū)，走進(jìn)群眾，開展主題為“與民同心，為您守護(hù)”的宣傳活動，為了讓宣傳更加全面有效，某個分隊隨機(jī)選擇了200位市民進(jìn)行宣傳，這些市民年齡的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖：

(1)請估計這200位市民的平均年齡（同組數(shù)據(jù)用組中值代替）；
(2)現(xiàn)用分層抽樣的方法從年齡在區(qū)間和兩組市民中一共抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行電話回訪，求“抽取的2人的年齡差大于10歲”的概率.
17．甲，乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是和，假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響，每人每次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間也沒有影響．
(1)求甲，乙各射擊一次，至少擊中目標(biāo)一次的概率；
(2)若乙在射擊中出現(xiàn)連續(xù)2次未擊中目標(biāo)就會被終止射擊，求乙恰好射擊4次后被終止射擊的概率．
18．在以下三個條件中任選一個，補(bǔ)充到下面的問題中并作答.
①；②；③的面積為（如多選，則按選擇的第一個記分）
問題：在中，角，，的對邊分別為，，，且 .
(1)求角；
(2)若，求面積的最大值；
(3)在(2)的條件下，若為銳角三角形，求的取值范圍.
19．如圖，在矩形中，，，是線段AD上的一動點(diǎn)，將沿著BM折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，滿足點(diǎn)平面且點(diǎn)在平面內(nèi)的射影落在線段BC上．

(1)當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)重合時，
①證明：平面；
②求二面角的余弦值；
(2)設(shè)直線CD與平面所成的角為，二面角的平面角為，求的最大值．
參考答案
1．【答案】C
【分析】計算出復(fù)數(shù)后，結(jié)合復(fù)數(shù)定義即可得.
【詳解】，故其實部為2．
故選C.
2．【答案】A
【分析】根據(jù)直觀圖畫出平面圖形，求出相關(guān)線段的長度，即可求出平面圖形的面積.
【詳解】由直觀圖可得如下平面圖形：
其中，，
所以.
故選A.
3．【答案】C
【分析】利用互斥事件和對立事件的概念分析各個選項的具體含義求解即可.
【詳解】“至少有1個白球”和“都是白球”可以同時發(fā)生，故它們不互斥；
“至少有1個白球”和“至少有1個紅球”，因為1個白球1個紅球時兩種情況同時發(fā)生，故它們不互斥；
“恰有1個白球”和“恰有2個白球”不可能同時發(fā)生，所以它們互斥，當(dāng)2個球都是紅球時它們都不發(fā)生，所以它們不是對立事件；
“至少有1個白球”和“都是紅球”不可能同時發(fā)生，所以它們互斥.
因為它們必有一個發(fā)生，所以它們是對立事件.
故選C.
4．【答案】B
【分析】由扇形圖求出三個年級的學(xué)生總?cè)藬?shù)，進(jìn)而求出樣本容量，求出抽取的二年級學(xué)生人數(shù)，再結(jié)合二年級學(xué)生的滿意率求解.
【詳解】由扇形圖可知，三個年級的學(xué)生總?cè)藬?shù)為（人），
所以樣本容量為（人），
因為抽取的二年級學(xué)生人數(shù)為（人），
所以抽取的二年級學(xué)生中滿意的人數(shù)為（人）.
故選B.
5．【答案】D
【分析】結(jié)合已知根據(jù)投影向量的定義得出即可求解.
【詳解】因為在方向上的投影向量是，
所以，
所以，又
所以.
故選D.
6．【答案】A
【分析】過點(diǎn)E作直線BD的平行線，交AB于點(diǎn)F，連接CF，則為異面直線EC與BD所成角或其補(bǔ)角，利用余弦定理求解即可.
【詳解】過點(diǎn)E作直線BD的平行線，交AB于點(diǎn)F，連接CF，
則為異面直線EC與BD所成角或其補(bǔ)角，
不妨設(shè)，易得，
，
在中，由余弦定理得，
所以異面直線EC與BD所成角的余弦值為．
故選A．

7．【答案】D
【分析】根據(jù)題意，由條件可得由余弦定理可得的值，然后在中，由，即可得到結(jié)果.
【詳解】在中，由得
所以米，
在中，由余弦定理可得
，所以，
在，可得，
所以（米）.
故選D.
8．【答案】C
【分析】設(shè)，則，利用三角形相似得到，，表達(dá)出，利用基本不等式求出最值即可.
【詳解】設(shè)，則，
因為M，N分別為AB，AC邊上的中點(diǎn)，所以，，
故，
因為，所以，
設(shè)，則，，
故，故，
同理可得，，
因為，所以，
設(shè)，則，
，，
故，，
則
因為，由基本不等式得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
故.
故選C.
9．【答案】ACD
【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)的極差、第百分位數(shù)和平均數(shù)的公式計算判斷各個選項.
【詳解】對于A：極差等于，故A正確；
對于B：，故分位數(shù)為20，故B錯誤；
對于C：平均數(shù)等于，故C正確；
對于D：去掉17后，這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，故D正確.
故選ACD.
10．【答案】BD
【分析】根據(jù)直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系逐項判斷即可得答案.
【詳解】對于A，若，，則或與異面，故A錯誤；
對于B，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知，故B正確；
對于C，若，，且，則或與相交，故C錯誤；
對于D，若，，則，過作平面，使得，因為，所以，所以，因為，所以.故D正確.

故選BD.
11．【答案】AD
【詳解】
，
當(dāng)時，，則將的圖象向左平移個單位長度得到：
，故A正確；
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故，則的值域為，故B錯誤；
令，，則，，
又，
若在區(qū)間上恰有個零點(diǎn)，則，解得，故C錯誤；
若在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則，又，所以，解得，
又，所以，
由可得，
要使在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，故D正確．
故選 AD．
12．【答案】4
【分析】先算出的坐標(biāo)，然后由向量的數(shù)量積公式列方程即可求解.
【詳解】因為向量，
所以，
而，所以，解得.
故答案為：4.
13．【答案】6
【分析】設(shè)正三棱柱的底面邊長為，在圖1中，設(shè)水面的高度為，根據(jù)圖1和圖2中水的體積相等可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.
【詳解】設(shè)正三棱柱的底面邊長為，則，
在圖1中，設(shè)水面的高度為，則水的體積為，
在圖2中，幾何體為直四棱柱，
因為為等邊三角形，分別為棱的中點(diǎn)，所以，
則水的體積為，解得.
故答案為：6.
14．【答案】
【分析】由結(jié)合余弦定理和面積公式可得，再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系可求得的值，由化簡得，由三角函數(shù)的性質(zhì)求出的范圍，從而可求出的最小值.
【詳解】因為，，
所以，所以，
因為，所以，
即，解得或（舍去），
因為，所以，
在銳角中，有，，則，
所以，
因為，
因為，所以，所以，
所以，所以，
因為，
所以
，
設(shè)（），則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以的最小值為.
故答案為：.
15．【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律展開已知條件，將，代入求解可得；
(2)利用向量平方等于模的平方，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積求解即可.
【詳解】(1)由，得，
即，求得，
再由，可得．
(2)；
．
16．【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)計算規(guī)則計算可得；
(2)首先求出年齡在區(qū)間和中抽取的人數(shù)，再列出所有可能結(jié)果，最后由古典概型的概率公式計算可得.
【詳解】(1)由頻率分布直方圖可得這200位市民的平均年齡為：
；
(2)樣本中年齡在區(qū)間的頻率為，
年齡在區(qū)間的頻率為，
則年齡在區(qū)間抽?。ㄈ耍謩e記作，，，，
年齡在區(qū)間抽?。ㄈ耍謩e記作，，
從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行電話回訪可能結(jié)果有、、、、、、
、、、、、、、、共個，
其中滿足抽取的2人的年齡差大于10歲的有、、、、、、、共個，
所以“抽取的2人的年齡差大于10歲”的概率.
17．【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)根據(jù)相互獨(dú)立事件概率計算公式求得正確答案.
(2)根據(jù)“第次擊中，后兩次未擊中”求得乙恰好射擊4次后被終止射擊的概率．
【詳解】(1)甲，乙各射擊一次，至少擊中目標(biāo)一次的概率為：
.
(2)乙恰好射擊4次后被終止射擊，則“第次擊中，后兩次未擊中”，
故所求概率為：.
18．【答案】(1)答案見解析；
(2)；
(3).
【分析】(1)選①：由正弦定理得到，再利用兩角和的正弦公式化簡得到求解；選②先切化弦，再利用正弦定理得到求解；選③利用三角形面積公式和正弦定理得到，再利用余弦定理求解.
(2)利用余弦定理和基本不等式即可解題；
(3)由正弦定理得到，從而有求解.
【詳解】(1)若選①：由正弦定理得，
則，
，
，
．
若選②：，切化弦，得到，
則由正弦定理得，，即，，
，
若選③：，
則，
由正弦定理得，
，
.
(2)由余弦定理得，，
則，當(dāng)且僅當(dāng)“”時，取“＝”號，即．
，則，當(dāng)且僅當(dāng)“”時取得最大值．
(3)由正弦定理得，
則，
，由于為銳角三角形，
則，
.
.
19．【答案】(1)①證明見詳解；②
(2)
【詳解】（1）①

當(dāng)點(diǎn)M與端點(diǎn)D重合時，由可知，
由題意知平面，平面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
因為，平面，平面，
所以平面；
②

過E作于點(diǎn)O，連接.
因為平面，平面，所以，
因為， ，，平面，
所以平面，因為平面，所以，
所以為二面角的平面角,
且在四邊形ABCD中，A,O,E三點(diǎn)共線.
因為所以，所以，
所以，
所以，
所以，
所以在中，，
即二面角的余弦值為；
（2）

過點(diǎn)做交于，所以直線與平面所成的角,
即為直線與平面所成的角，
過E作于點(diǎn)O，連接.
由②同理可得平面，平面，
所以平面平面，
作，垂足為，平面平面，平面，
所以平面，
連接，是直線與平面所成的角，即，
因為平面，平面，
所以,則,
易得，有，
設(shè)，所以，
所以，
所以，，
因為在中，斜邊大于直角邊，即，
所以，所以，
，
在中由等面積，
由,有
則，，
因為，，所以是二面角平面角，
即，，
，當(dāng)且僅當(dāng)時“＝”成立，
故的最大值.
2024-2025學(xué)年黑龍江省佳木斯市高二上學(xué)期開學(xué)摸底考數(shù)學(xué)檢測
試題（二）
一、單選題（本大題共8小題）
1．在容量為50的樣本中，某組的頻率為，則該組樣本的頻數(shù)為（ ）．
A．9B．10C．18D．20
2．已知集合，，則中元素的個數(shù)為（ ）
A．6B．5C．4D．3
3．已知函數(shù)，則（ ）
A．f(x)的最小正周期為
B．曲線關(guān)于對稱
C．f(x)的最大值為
D．曲線關(guān)于對稱
4．已知向量，，若向量，的夾角為，則有（ ）
A．B．C．D．
5．已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，則符合條件的的對應(yīng)值可以為（ ）
A．B．C．D．
6．不等式組的解集是，則m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
7．設(shè)全集，集合，集合
，則（ ）
A．B．C．D．
8．函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知復(fù)數(shù)，則下列敘述正確的是（ ）
A．的虛部為B．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限
C．D．
10．下列各結(jié)論正確的是（ ）
A．“”是“”的充要條件
B．的最小值為2
C．命題“，有”的否定是“，有”
D．若，，則
11．如圖，在正三棱臺中，，M，N分別是，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．直線平面
B．
C．該棱臺的高是
D．該棱臺的表面積是
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知扇形的半徑為，圓心角為，則扇形的弧長為 ；面積為 .
13．已知向量，滿足，且，，則與的夾角為 .
14．若，則的最大值是 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．求下列各值．
(1)；
(2)；
(3)
(4)；
(5)；
(6)．
16．已知函數(shù)．
(1)求；
(2)求的解集．
17．如圖，在三棱柱中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，欲過點(diǎn)作一截面與平面平行．
(1)問應(yīng)當(dāng)怎樣畫線，并說明理由；
(2)求所作截面與平面將三棱柱分成的三部分的體積之比．
18．在中，角，，所對邊分別是，，，滿足.
(1)求的值；
(2)若，，求和的值.
19．閱讀是人類獲取知識、啟智增慧、培養(yǎng)道德的重要途徑.1995年，聯(lián)合國教科文組織宣布4月23日為“世界讀書日”，致力于向全世界推廣閱讀、出版和對知識產(chǎn)權(quán)的保護(hù).某學(xué)校為了打造“書香校園”，使學(xué)生養(yǎng)成好的閱讀習(xí)慣，健康成長，從學(xué)校內(nèi)隨機(jī)抽取了200名學(xué)生一周的課外閱讀時間進(jìn)行調(diào)查，了解學(xué)生的課外閱讀情況，收集了他們閱讀時間（單位：小時）等數(shù)據(jù)，并將樣本數(shù)據(jù)分成0,2，，，，，，，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖：
(1)求的值及200名學(xué)生一周課外閱讀時間的平均數(shù)；
(2)為進(jìn)一步了解這200名學(xué)生一周課外閱讀時間的情況，從課外閱讀時間在，兩組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了6人，選取其中兩人組成小組，現(xiàn)求其中兩名組員全在內(nèi)的概率.
參考答案
1．【答案】A
【分析】根據(jù)頻數(shù)、樣本容量、頻率的關(guān)系，結(jié)合題設(shè)數(shù)據(jù)，即得解
【詳解】由題意，頻數(shù)＝樣本容量×頻率．
故選A.
【方法總結(jié)】本題考查了頻數(shù)、樣本容量、頻率的關(guān)系，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.
2．【答案】B
【分析】可求出集合，然后進(jìn)行并集的運(yùn)算求出，從而可得出中元素的個數(shù).
【詳解】∵，，
∴，
∴中元素的個數(shù)為：5.
故選B.
3．【答案】D
【分析】首先利用輔助角公式將函數(shù)化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；
【詳解】因為
所以
所以函數(shù)的最小正周期，最大值為
又，所以函數(shù)關(guān)于對稱，
故正確的為D.
故選D.
4．【答案】C
【分析】根據(jù)向量的夾角公式和兩角和的余弦公式以及誘導(dǎo)公式，再根據(jù)向量夾角的范圍即可求出．
【詳解】因為，，
，，
，
，
，
，
，
故選C．
5．【答案】D
【分析】根據(jù)題意可得，對應(yīng)系數(shù)相等即可求出，結(jié)合選項即可求出結(jié)果.
【詳解】因為的圖象與的圖象關(guān)于y軸對稱，
所以，
即，所以
，即，
所以，所以選項D符合.
故選D.
6．【答案】D
【分析】先將不等式組化簡，進(jìn)而根據(jù)不等式組的解集求得答案.
【詳解】由題意，，因為不等式組的解集為，則，所以.
故選D.
7．【答案】B
【分析】利用一元二次不等式的解法以及集合的并集、補(bǔ)集運(yùn)算求解.
【詳解】由題意可得：，
所以.
故選B.
8．【答案】C
【分析】由題意可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可得出結(jié)論
【詳解】函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)，
即函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)，
由于，
在同一坐標(biāo)系作出函數(shù)圖象：
由圖象可知，交點(diǎn)個數(shù)有3個.
故選C.
9．【答案】BC
【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算化簡，然后再逐項進(jìn)行分析即可.
【詳解】，
對于A. 的虛部為，所以A錯誤；
對于B . 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限，所以B 正確；
對于C . ，所以，所以C 正確；
對于D . ，所以D 錯誤；
故選BC.
10．【答案】AD
【分析】直接利用充分條件和必要條件的定義，對勾函數(shù)，命題的否定，作差法證明不等式分別判斷各個選項即可.
【詳解】對于選項，“”“”，可知，“”是“”的充要條件，則選項正確；
對于選項，令 ，其中，則，在上單調(diào)遞增，故最小值為， 則選項錯誤；
對于選項，命題“，有”的否定為“，有”，則選項錯誤；
對于選項， ，即，則選項正確.
故選.
11．【答案】AD
【分析】將棱臺補(bǔ)全為棱錐，求出棱錐的高，即可判斷C，根據(jù)面面平行證明A，根據(jù)異面直線所成角判斷B，根據(jù)棱臺的表面積公式判斷D；
【詳解】如圖將棱臺補(bǔ)全為棱錐，依題意可得，取的中點(diǎn)，連接，設(shè)頂點(diǎn)在底面的射影為，則為的一個三等分點(diǎn)，
則，所以，
所以棱臺的高是，故C錯誤；
取的中點(diǎn)，連接、，所以，平面，平面，所以平面，同理可證平面，
，平面，
所以平面平面，又平面，所以平面，故A正確；
取的中點(diǎn)，連接、，所以，則為異面直線與所成的角（或補(bǔ)角），
因為，
，
，
顯然，即，故B錯誤；
如圖棱臺的一個側(cè)面中，，過點(diǎn)作，
則，
所以，，
，
所以棱臺的表面積是，故D正確；
故選AD.
12．【答案】
【分析】求出扇形圓心角的弧度數(shù)，利用扇形的弧長和面積公式可求得結(jié)果.
【詳解】扇形的弧度數(shù)為，設(shè)扇形的弧長為，則，
則扇形的弧長為，扇形的面積為.
故答案為：；.
13．【答案】/60°
【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，再由夾角公式計算可得.
【詳解】因為，且，，
所以，即，解得，
所以，又，所以.
故答案為：.
14．【答案】
【詳解】對，等號兩邊同時取對數(shù)，得，即，利用換元法，令，則，代入，由二次函數(shù)的配方，，即的最大值是.
故答案為：．
15．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式求解.
【詳解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
16．【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）將自變量的值代入函數(shù)解析式即可得解；
（2）根據(jù)分式不等式的解法計算即可.
【詳解】（1）由，
得，；
（2），即，
所以，解得或，
所以的解集為．
17．【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，，則平面平面，，，即為應(yīng)畫的線．證明，平面．連接，則平行等于，證明四邊形是平行四邊形，然后證明平面，即可得證．
（2）設(shè)棱柱的底面積為，高為．通過．然后轉(zhuǎn)化求解所作截面與平面將三棱柱分成的三部分的體積之比．
【詳解】（1）在三棱柱中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，
連接，，，則平面平面，，，即為應(yīng)畫的線．
理由如下：因為為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以．
又因為，所以四邊形為平行四邊形，所以．
因為平面，平面．所以平面．
連接，則且，又且
所以且，
所以四邊形是平行四邊形，從而．
又平面，平面．
所以平面．又因為，平面，平面，
所以平面平面．
（2）設(shè)棱柱的底面積為，高為．
則．
所以三棱柱夾在平面與平面間的體積為
所以所作截面與平面將三棱柱分成的三部分的體積之比為．
18．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式計算可得；
（2）根據(jù)數(shù)量積的定義求出，再由余弦定理得，即可求出、.
【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，
所以，
因為，
所以；
（2）因為，所以，所以，
由余弦定理及，可得，
所以，所以，代入可得.
19．【答案】(1)，小時；
(2).
【分析】（1）利用給定的頻率分布直方圖，結(jié)合各小矩形面積和為1求出，再估計一周課外閱讀時間的平均數(shù).
（2）求出指定的兩組內(nèi)各抽取的人數(shù)，利用列舉法、結(jié)合古典概率求解即得.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖得：，解得，
平均數(shù)
（小時），
所以，200名學(xué)生一周課外閱讀時間的平均數(shù)為小時.
（2）在這兩組采用分層抽樣的方法抽取6人，
則從課外閱讀時間在內(nèi)的學(xué)生中抽取5人，記為，
課外閱讀時間在內(nèi)的學(xué)生中抽取1人，記為，
于是有，
共15種，且每種結(jié)果的發(fā)生是等可能的，
而滿足兩名組員都在內(nèi)的情況有，共10種，
所以兩名組員全在內(nèi)的概率為.

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