1．已知平面向量，滿(mǎn)足，，，則向量與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
2．如圖，在直角梯形中，，為邊上一點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，則＝（ ）
A．B．
C．D．
3．若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足（是虛數(shù)單位），則的模長(zhǎng)等于（ ）
A．B．C．D．
4．如圖,為平行四邊形所在平面外一點(diǎn),為的中點(diǎn),為上一點(diǎn),當(dāng)∥平面時(shí), （ ）
A．B．C．D．
5．圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率為，都是白子的概率是則從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是（ ）
A．B．C．D．1
6．已知三棱錐的頂點(diǎn)A，B，C都在半徑為2的球面上，O是球心，，當(dāng)與的面積之和最大時(shí)，三棱錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
7．一個(gè)年級(jí)有12個(gè)班，每個(gè)班有50名同學(xué)，隨機(jī)編號(hào)1，2，…，50，為了了解他們?cè)谡n外的興趣，要求每班第40號(hào)同學(xué)留下來(lái)進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，這里運(yùn)用的抽樣方法是（ ）
A．抽簽法B．有放回抽樣C．隨機(jī)抽樣D．系統(tǒng)抽樣
8．在中，點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且.若，則點(diǎn)在（ ）
A．線(xiàn)段上B．線(xiàn)段上
C．線(xiàn)段上D．線(xiàn)段上
二、多選題（本大題共3小題）
9．在中，已知，，，則角的值可能為（ ）
A．B．C．D．
10．如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，則（ ）
A．平面平面
B．三棱錐的體積為定值
C．異面直線(xiàn)與所成角的取值范圍是
D．當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為
11．某中學(xué)四位同學(xué)利用假期到一貧困村參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，感受年該村精準(zhǔn)扶貧及新農(nóng)村建設(shè)的變化.經(jīng)過(guò)實(shí)地調(diào)查顯示，該村年的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍．實(shí)現(xiàn)翻番，精準(zhǔn)扶貧取得驚人成果．為更好地了解該村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，為后期精準(zhǔn)扶貧方向提供決策參考，四位同學(xué)統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例．得到如下餅圖：
四位同學(xué)依據(jù)上述餅圖，分別得出以下四個(gè)結(jié)論，其中結(jié)論中正確的是（ ）
A．精準(zhǔn)扶貧及新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少
B．精準(zhǔn)扶貧及新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上
C．精準(zhǔn)扶貧及新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍
D．精準(zhǔn)扶貧及新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過(guò)了經(jīng)濟(jì)收入的一半
三、填空題（本大題共3小題）
12．設(shè)向量，且⊥，則向量的模為
13．下列數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)為 ．
20，14，26，18，28，30，24，26，33，12，35，22.
14．如圖，半圓的直徑AB＝6，O為圓心，C為半圓上不同于A、B的任意一點(diǎn)，若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知向量，滿(mǎn)足.
(1)若，求的值；
(2)若的夾角為，求與夾角的余弦值.
16．某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶7元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶1.5元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.據(jù)往年銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：）有關(guān)，如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶，為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得到下面的頻數(shù)分布表：
以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.
（1）求六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率；
（2）設(shè)六月份一天銷(xiāo)售這種酸奶的利潤(rùn)為（單位：元），若該超市在六月份每天的進(jìn)貨量均為450瓶，寫(xiě)出的所有可能值，并估計(jì)大于零的概率.
17．如圖，三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，，，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）求三棱錐的體積．
18．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.
(1)求角；
(2)若，求面積的最大值；
(3)若為銳角三角形，求的取值范圍.
19．如圖所示，一個(gè)圓錐形的空杯子上放著一個(gè)直徑為的半球形的冰淇淋，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種這樣的圓錐形杯子（杯口直徑等于半球形的冰淇淋的直徑，杯子壁厚忽略不計(jì)），使冰淇淋融化后不會(huì)溢出杯子，怎樣設(shè)計(jì)最省材料？最省材料為多少？

參考答案
1．【答案】B
【分析】首先根據(jù)題意得到，再根據(jù)向量夾角公式求解即可.
【詳解】因?yàn)?，，?br>所以，所以，
設(shè)向量與的夾角為，則，
因?yàn)?，所以?br>故選B.
2．【答案】C
【分析】根據(jù)平面向量的三角形法則和共線(xiàn)定理即可得答案.
【詳解】
故選C.
3．【答案】D
【分析】先化簡(jiǎn)已知條件求出，再求模長(zhǎng)
【詳解】
所以，所以
故選D.
4．【答案】D
【分析】連接交于,連接,因?yàn)椤纹矫?平面,平面平面,可得∥,結(jié)合已知條件,即可求得答案.
【詳解】連接交于,連接,

∥平面,平面
平面平面,
∥,
故: ①
又∥,為的中點(diǎn),
②
由①②可得:
故選D.
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查了根據(jù)線(xiàn)面平行求線(xiàn)段比例,解題關(guān)鍵是掌握線(xiàn)面平行判定定理,考查了分析能力和空間想象能力.
5．【答案】C
【解析】利用互斥事件和的概率等于概率的和計(jì)算結(jié)果.
【詳解】從中取出2粒恰好是同一色包含都是黑子或都是白子兩個(gè)事件，這兩個(gè)事件是互斥事件，設(shè)兩粒是同一色為事件，同為黑子為事件，同為白子為事件，
則.
故選C.
6．【答案】B
【詳解】，
∴當(dāng)時(shí)， 取得最大值，此時(shí)，，平面AOB，
.
故選B．
7．【答案】D
【分析】根據(jù)抽樣方法的定義即可得到結(jié)論．
【詳解】每班第40號(hào)同學(xué)留下來(lái)進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，即抽取每個(gè)班的40號(hào)，學(xué)號(hào)間隔相同，所以為系統(tǒng)抽樣．
故選D．
8．【答案】B
【分析】根據(jù)向量共線(xiàn)定理的推論，求得三點(diǎn)共線(xiàn)；再根據(jù)，即可判斷點(diǎn)的位置.
【詳解】因?yàn)?br>所以由向量共線(xiàn)定理可知三點(diǎn)共線(xiàn).
∵，∴，
∴.
又∵，
∴點(diǎn)在線(xiàn)段CD上，且不與、點(diǎn)重合.
故選B.
9．【答案】AC
【分析】根據(jù)正弦定理求出，根據(jù)可得或.
【詳解】由正弦定理得，得，
因?yàn)?，且，所以?
故選AC.
10．【答案】ABD
【分析】直接利用正方體的性質(zhì)，幾何體的體積公式, 異面直線(xiàn)的夾角和外接球的表面積公式逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】對(duì)于，由正方體的性質(zhì)，在、上的射影分別為、，
而，，則，，，
又平面ACD1
所以面，平面，所以平面平面，故正確；
對(duì)于，因?yàn)?，平面?br>所以點(diǎn)到平面的距離為定值，又的面積不變，
所以三棱錐的體積為定值，故正確；
對(duì)于，因?yàn)椋?br>所以異面直線(xiàn)與所成的角就是直線(xiàn)與所成的角，
因?yàn)槭堑冗吶切危?br>當(dāng)與線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)重合時(shí)，直線(xiàn)與所成的角最小為，
當(dāng)與線(xiàn)段的中點(diǎn)重合時(shí)，直線(xiàn)與所成的角最大為，
所以所求角的范圍是，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，該正四面體的外接球即為正方體外接球，，
故所求球的表面積為，故正確.
故選.
11．【答案】BCD
【分析】設(shè)精準(zhǔn)扶貧及新農(nóng)村建設(shè)前和后的經(jīng)濟(jì)收入分別為和，根據(jù)餅狀圖依次驗(yàn)證各項(xiàng)收入是否滿(mǎn)足選項(xiàng)中的要求，由此可得結(jié)論.
【詳解】設(shè)精準(zhǔn)扶貧及新農(nóng)村建設(shè)前，經(jīng)濟(jì)收入為，則精準(zhǔn)扶貧及新農(nóng)村建設(shè)后，經(jīng)濟(jì)收入為；
對(duì)于A，精準(zhǔn)扶貧及新農(nóng)村建設(shè)前，種植收入為；精準(zhǔn)扶貧及新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入為；
，精準(zhǔn)扶貧及新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入增加，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，精準(zhǔn)扶貧及新農(nóng)村建設(shè)前，其他收入為；精準(zhǔn)扶貧及新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入為；
，精準(zhǔn)扶貧及新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上，B正確；
對(duì)于C，精準(zhǔn)扶貧及新農(nóng)村建設(shè)前，養(yǎng)殖收入為；精準(zhǔn)扶貧及新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入為；
，精準(zhǔn)扶貧及新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍，C正確；
對(duì)于D，精準(zhǔn)扶貧及新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入之和的占比為，超過(guò)了總收入的一半，D正確.
故選BCD.
12．【答案】
【分析】由兩個(gè)向量垂直可得x值，即得到，由向量的模的公式計(jì)算即可得到答案.
【詳解】向量，
由⊥得=0即
解得x=-3,則
|，
故答案為：.
【方法總結(jié)】本題考查向量垂直的坐標(biāo)公式和向量的模公式的應(yīng)用.
13．【答案】28
【分析】根據(jù)求百分位數(shù)的步驟求解可得結(jié)果.
【詳解】將這12個(gè)數(shù)據(jù)按從左向右，由小到大的順序排列：
，
因?yàn)椴皇钦麛?shù)，所以第個(gè)數(shù)是分位數(shù).
故答案為：.
14．【答案】.
【詳解】.
故答案為：.
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)向量平行，分類(lèi)討論同向或反向即可求解；
（2）分別求出向量與的模，根據(jù)向量的夾角公式，即可求得答案.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以或?br>當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)，
所以的值為.
（2）因?yàn)椋?br>所以.
16．【答案】（1）（2）.
【分析】（1）當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于時(shí)這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶,由表格數(shù)據(jù)求解即可；
（2）分別討論最高氣溫不低于,最高氣溫位于區(qū)間（單位:）,最高氣溫低于的情況,進(jìn)而求解；基于此,若大于零,則當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于,進(jìn)而求解即可
【詳解】（1）這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶,當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于,
由表格數(shù)據(jù)知,最高氣溫低于的頻率為,
所以這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率的估計(jì)值為.
（2）當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí),
若最高氣溫不低于,則；
若最高氣溫位于區(qū)間（單位:）,
則,
若最高氣溫低于,則,
所以的所有可能值為1350,525,,
若大于零,則當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于,
由表格數(shù)據(jù)知,最高氣溫不低于的頻率為,
因此大于零的概率的估計(jì)值為.
17．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）108.
【解析】（1）證明，，可得平面，而平面，故．
（2）由可得，然后算出答案即可.
【詳解】（1）平面，面，．
，，，． 又，
平面，而平面，．
（2）因?yàn)閭?cè)面是平行四邊形，所以
所以.
18．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理邊角互化得，再利用余弦定理求解即可；
（2）利用余弦定理結(jié)合基本不等式求得，然后利用面積公式求解即可；
（3）根據(jù)正弦定理結(jié)合兩角和差公式化簡(jiǎn)得，然后結(jié)合銳角三角形性質(zhì)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解范圍即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以由正弦定理得，整理得，
由余弦定理得，因?yàn)?，所?
（2）由余弦定理得，所以，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，
即當(dāng)為正三角形時(shí)，面積最大值為.
（3）由正弦定理得
，
其中為銳角，且，所以，
又因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得，
所以，
所以，即，
故的取值范圍為.
19．【答案】當(dāng)圓錐形杯子的高為8 cm時(shí)，用料最省
【詳解】要使冰淇淋融化后不會(huì)溢出杯子，則必須有V圓錐≥V半球，而V半球＝×πr3＝×π×43，
V圓錐＝Sh＝πr2h＝π×42×h，則有π×42×h≥×π×43，解得h≥8．
即當(dāng)圓錐形杯子的高大于或等于8 cm時(shí)，冰淇淋融化后不會(huì)溢出杯子．
又因?yàn)镾圓錐側(cè)＝πrl＝，所以高為8 cm時(shí)，制造的杯子最省材料．
2024-2025學(xué)年河北省石家莊市高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（二）
一、單選題（本大題共8小題）
1．已知向量，滿(mǎn)足，且，則，夾角為（ ）
A．B．C．D．
2．在中，角對(duì)邊為，且，則的形狀為（ ）
A．等邊三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
3．設(shè)復(fù)數(shù)，，則復(fù)數(shù)的虛部是（ ）
A．B．C．D．
4．袋中裝有紅、黃、藍(lán)三種顏色的球各個(gè)，無(wú)放回的從中任取個(gè)球，則恰有兩個(gè)球同色的概率為（ ）
A．B．C．D．
5．若雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，該雙曲線(xiàn)的離心率是（ ）
A．B．C．D．
6．在四面體中，，，平面，四面體的體積為.若四面體的頂點(diǎn)均在球的表面上，則球的表面積是（ ）.
A．B．C．D．
7．已知圓：，：，動(dòng)圓滿(mǎn)足與外切且與內(nèi)切，若為上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
8．已知E，F(xiàn)分別是棱長(zhǎng)為2的正四面體的對(duì)棱的中點(diǎn).過(guò)的平面與正四面體相截，得到一個(gè)截面多邊形，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．截面多邊形不可能是平行四邊形
B．截面多邊形的周長(zhǎng)是定值
C．截面多邊形的周長(zhǎng)的最小值是
D．截面多邊形的面積的取值范圍是
二、多選題（本大題共3小題）
9．下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等
B．一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)都減去同一個(gè)非零常數(shù)a，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)改變，方差不改變
C．一個(gè)樣本的方差，則這組樣本數(shù)據(jù)的總和等于60
D．?dāng)?shù)據(jù)，，，．．．，的方差為M，則數(shù)據(jù)，，，…，的方差為2M
10．設(shè)，是兩條不同的直線(xiàn)，，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（ ）
A．若，，，，則
B．若，，，則
C．若，異面，，，，，則
D．若，，，則
11．如圖，已知在平行四邊形中，，，為的中點(diǎn)，將沿直線(xiàn)翻折成，若為的中點(diǎn)，則在翻折過(guò)程中（點(diǎn)平面），以下命題正確的是（ ）
A．平面
B．
C．存在某個(gè)位置，使
D．當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，其外接球的表面積為
三、填空題（本大題共3小題）
12．某學(xué)校三個(gè)年級(jí)共有2760名學(xué)生，要采用分層抽樣的方法從全體學(xué)生中抽取一個(gè)容量為60的樣本，已知一年級(jí)有1150名學(xué)生，那么從一年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)是 名.
13．設(shè)雙曲線(xiàn)C：的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)P是C右支上的一點(diǎn)，則的最小值為 ．
14．已知點(diǎn)P是橢圓上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向圓引兩條切線(xiàn)，，設(shè)切點(diǎn)分別是M，N，若直線(xiàn)分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，則面積的最小值是 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．如圖1所示，四邊形為梯形且 ，，為中點(diǎn)，，，現(xiàn)將平面沿折起，沿折起，使平面平面，且重合為點(diǎn)（如圖2所示）．
(1)證明：平面平面；
(2)求二面角的余弦值.
16．如圖，四棱柱的底面為梯形，，三個(gè)側(cè)面，，均為正方形．

(1)證明：平面平面．
(2)求點(diǎn)到平面的距離．
17．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)和點(diǎn)為橢圓上兩點(diǎn).
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2），為橢圓上異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，若直線(xiàn)與的斜率之和為，求線(xiàn)段中點(diǎn)的軌跡方程.
18．已知的三個(gè)內(nèi)角，，對(duì)的三邊為，，，且.
(1)若，，求；
(2)已知，當(dāng)取得最大值時(shí)，求的周長(zhǎng).
19．如圖，為圓柱的軸截面，是圓柱上異于的母線(xiàn)．
(1)證明：平面；
(2)若，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求二面角的正弦值．
參考答案
1．【答案】C
【分析】根據(jù)向量的點(diǎn)乘關(guān)系，求出，即可求出，夾角.
【詳解】由題意，
在向量，中，，
，
解得：，
所以.
故選C.
2．【答案】B
【分析】先根據(jù)二倍角公式化簡(jiǎn)，根據(jù)余弦定理化簡(jiǎn)得到即可得到答案.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，即，
所以，
在中，由余弦定理：，
代入得，，即，
所以.
所以直角三角形.
故選B.
3．【答案】D
【解析】計(jì)算出的值，即可找出虛部.
【詳解】，
則其虛部是.
故選D.
4．【答案】C
【分析】根據(jù)古典概型的計(jì)算公式即可求解.
【詳解】從紅、黃、藍(lán)三種顏色的球各2個(gè)，無(wú)放回的從中任取3個(gè)球，共有種，其中恰有兩個(gè)球同色有種，故恰有兩個(gè)球同色的概率為.
故選C．
5．【答案】C
【分析】由雙曲線(xiàn)方程求出漸近線(xiàn)方程，再結(jié)合已知可得，從而可求出雙曲線(xiàn)的離心率.
【詳解】雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)位于軸，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為，
因?yàn)殡p曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，
所以，
所以雙曲線(xiàn)的離心率為，
故選C.
6．【答案】B
【分析】先由題中條件，求出，，設(shè)的外接圓半徑為，記外接圓圓心為，連接，由正弦定理，求出，設(shè)外接球的半徑為，連接，得到，延長(zhǎng)到，使得，連接，連接，，
根據(jù)三角形全等，得到，進(jìn)而可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，則，
則，
因?yàn)槠矫?，四面體的體積為，
所以，則；
設(shè)的外接圓半徑為，記外接圓圓心為，連接，
由正弦定理可得， ，則
設(shè)外接球的半徑為，連接，
根據(jù)球的性質(zhì)可得，平面，
又平面，所以，
延長(zhǎng)到，使得，連接，
則四邊形為矩形；所以
連接，，則，
所以，所以，
因此，
因此球的表面積是.
故選B.
7．【答案】A
【詳解】
∵圓：，圓：，
動(dòng)圓滿(mǎn)足與外切且與內(nèi)切，設(shè)圓的半徑為 ，
由題意得 ∴則的軌跡是以 為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為16的橢圓，
∴其方程為 ，即為圓 的切線(xiàn)，要的值最小，只要最小，設(shè)，則
.
故選A.
8．【答案】D
【分析】將平面從平面開(kāi)始旋轉(zhuǎn)，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性可判斷A；設(shè)，利用余弦定理表示出，利用幾何意義求最小值，利用二次函數(shù)單調(diào)性求最大值可判斷BC；先判斷，然后利用向量方法求出，可得截面面積的范圍，可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)平面過(guò)或時(shí)，截面為三角形.
易知正四面體關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)，將平面從平面開(kāi)始旋轉(zhuǎn)與交于點(diǎn)時(shí)，
由對(duì)稱(chēng)性可知，此時(shí)平面與交于點(diǎn)，且，
此時(shí)截面為四邊形，且注意到當(dāng)分別為的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)滿(mǎn)足，
且，即此時(shí)截面四邊形是平行四邊形，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于BC，設(shè)，由余弦定理得，
，
由兩點(diǎn)間距離公式知，表示動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和的距離之和，
當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取得最小值，
由二次函數(shù)單調(diào)性可知，當(dāng)或時(shí)，取得最大值，
所以截面多邊形周長(zhǎng)的取值范圍是，故BC錯(cuò)誤；
對(duì)于D，記與的交點(diǎn)為，由對(duì)稱(chēng)性，，
所以，，
因?yàn)椋?br>所以，所以，
記，
則，
因?yàn)椋?br>所以
，
由二次函數(shù)性質(zhì)可知，，即，
所以，故D正確；
故選D.
9．【答案】ABC
【分析】A選項(xiàng)，利用中位數(shù)的定義可判斷；
B選項(xiàng)，一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)都減去同一個(gè)非零常數(shù)a，平均數(shù)會(huì)隨之改變，方差不變；
C選項(xiàng)，可以看出平均數(shù)和樣本總量，從而求出樣本數(shù)據(jù)的總和；
D選項(xiàng)，方差會(huì)變?yōu)樵瓉?lái)的4倍.
【詳解】對(duì)于A，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，都為，故A正確：
對(duì)于B，一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)都減去同一個(gè)非零常數(shù)a，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)也減去a，方差不改變，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)闃颖镜姆讲?，所以這個(gè)樣本有20個(gè)數(shù)據(jù)，平均數(shù)是3，所以這組樣本數(shù)據(jù)的總和為3×20＝60，故C正確；
對(duì)于D，數(shù)據(jù)，，，…，的方差為M，則數(shù)據(jù)，，，…，的方差為4M，故D錯(cuò)誤．
故選ABC.
10．【答案】CD
【分析】根據(jù)線(xiàn)面平行、線(xiàn)線(xiàn)平行與面面平行的性質(zhì)定理及判定定理一一判斷即可.
【詳解】對(duì)于A：當(dāng)且僅當(dāng)與相交時(shí)，滿(mǎn)足，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：若，，，則或，或與相交，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：假設(shè)與不平行，即與相交，設(shè)，
若與，不重合，由，，所以，又，，所以，所以，與，異面矛盾，故假設(shè)不成立，
若與，中某一條直線(xiàn)重合，則直接可以得到，與，異面矛盾，故假設(shè)不成立，故C正確；
對(duì)于D：若，，則，又，所以，故D正確；
故選CD.
11．【答案】ABD
【分析】對(duì)于A，取的中點(diǎn)，連接，，根據(jù)中位線(xiàn)定理可得，，由面面平行的判定定理可得平面平面，再由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理，即可判斷A是否正確．
對(duì)于B，計(jì)算，，，在中，由余弦定理即可判斷B是否正確，
對(duì)于C，取中點(diǎn)，可得為平行四邊形，用反證法推出矛盾，即可判斷C是否正確．
對(duì)于D，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，平面平面，再由線(xiàn)面垂直的判定定理可得平面，再計(jì)算外接球的半徑，即可判斷D是否正確．
【詳解】對(duì)于A，如圖，取的中點(diǎn)，連接，，
分別為，的中點(diǎn)，，，
，，且，平面，，平面，
∴平面平面．又平面，平面，故A正確；
對(duì)于B，由A可知，，，
，
在中，由余弦定理知，，
，是定值，故B正確；
對(duì)于C，取的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)， 平行且等于，則四邊形為平行四邊形，若存在某個(gè)位置，使，則與條件矛盾，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，平面平面，
又，平面，
將三棱錐從幾何體中拿出單獨(dú)分析，設(shè)三棱錐的外接球的球心為，在平面上的射影是正三角形的中心，到平面的距離等于，
由圖可知，外接球的半徑，
外接球的表面積，故D正確.
故選ABD.
12．【答案】
【分析】利用分層抽樣的定義進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】由分層抽樣得從一年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)是（人）.
故答案為：25.
13．【答案】8
【分析】利用雙曲線(xiàn)性質(zhì)、焦半徑的范圍將所求轉(zhuǎn)換為對(duì)勾函數(shù)的最小值即可得解.
【詳解】，，
，
而函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.
故答案為：8.
14．【答案】
【分析】設(shè)，求出以為直徑的圓的方程，與圓的方程相減可得直線(xiàn)的方程，進(jìn)而可求得的坐標(biāo)，再求出和點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，求出面積的表達(dá)式，進(jìn)而可得出答案.
【詳解】設(shè)，
則以為直徑的圓的方程為，
與圓的方程相減得，
即是過(guò)切點(diǎn)的直線(xiàn)方程，
則，所以，
又因?yàn)辄c(diǎn)到直線(xiàn)的距離，
所以，
又因?yàn)樵邳c(diǎn)P在橢圓上，
所以，即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以，
即面積的最小值是.

故答案為：.
15．【答案】(1)詳見(jiàn)解析；
(2).
【分析】(1)易證，再由平面平面，得到平面ABCD，則，再由四邊形BCDE是正方形，得到，然后利用線(xiàn)面垂直和面面垂直的判定定理證明；
(2)以E為原點(diǎn)，EA，EB，EP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面PAC的一個(gè)法向量，易知平面PAD的一個(gè)法向量為，然后由求解.
【詳解】(1)證明：因?yàn)椋?br>即PA=PD=，E為AD的中點(diǎn)，
所以是等腰三角形，
且，即，
又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平?AD，平面PAD，
所以平面ABCD，又平面ABCD，
所以，
又因?yàn)?，且?br>所以四邊形NCDE為直角梯形，且DE=DC=1，
所以四邊形BCDE是正方形，所以，
又因?yàn)椋?br>所以平面PBE，又因?yàn)槠矫鍼BC，
所以平面平面；
(2)由(1)知：以E為原點(diǎn)，EA，EB，EP為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：
則，
所以，
設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為，
則，即，
令，則，
易知平面PAD的一個(gè)法向量為，
則，
所以二面角的余弦值是.
16．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2).
【分析】(1)由題設(shè)及線(xiàn)面垂直的判定得面，進(jìn)而有，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，進(jìn)而證，最后由線(xiàn)面、面面垂直的判定定理證明結(jié)論；
(2)法一：連接，，應(yīng)用等體積法有求點(diǎn)面距；法二：證線(xiàn)面平行得到，兩點(diǎn)到平面的距離相等，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，連接，進(jìn)而求點(diǎn)面距.
【詳解】(1)因?yàn)閭?cè)面，，均為正方形，所以，，．
又，平面，所以平面．
由棱柱的性質(zhì)可知，該四棱柱為直四棱柱，則平面，又平面，則．
又四邊形為梯形，，，所以．
過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則，

所以，則．
在等腰三角形中．
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，面，所以面?br>又平面，所以平面平面．
(2)法一：連接，，

由(1)直三棱柱的體積．
由直三棱柱的性質(zhì)知，三棱錐的體積，
三棱錐的體積，
所以．
由平面，平面，則，且．
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，
即，解得，故點(diǎn)到平面的距離為．
法二：因?yàn)?，且平面，平面，所以平面?br>所以，兩點(diǎn)到平面的距離相等．
過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，連接．

易得平面，所以線(xiàn)段的長(zhǎng)度即為點(diǎn)到平面的距離．
因?yàn)?，，，所以?br>所以點(diǎn)到平面的距離為．
17．【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）設(shè)橢圓的方程為，利用待定系數(shù)求解即可得答案；
（2）設(shè)直線(xiàn)的斜率為，進(jìn)而得直線(xiàn)的方程，與橢圓聯(lián)立得點(diǎn)的坐標(biāo)，同理，用替換點(diǎn)的坐標(biāo)得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得點(diǎn)的坐標(biāo)，消去參數(shù)即可得點(diǎn)的軌跡方程.
【詳解】（1）根據(jù)題意，設(shè)橢圓的方程為，
因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)為橢圓上兩點(diǎn)，
所以，解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）設(shè)直線(xiàn)的斜率為，所以直線(xiàn)的方程為，即 ，
所以與橢圓方程聯(lián)立，得，
即，
所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，
即點(diǎn)的坐標(biāo)為，
因?yàn)橹本€(xiàn)與的斜率之和為，所以直線(xiàn)的斜率為，
同理，用替換點(diǎn)的坐標(biāo)得點(diǎn)的坐標(biāo)，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為
所以點(diǎn)的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）
消去參數(shù)得點(diǎn)的軌跡方程，
由解得，所以，
所以點(diǎn)的軌跡方程.
18．【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)根據(jù)正弦定理，化角為邊，即可求出，再利用正弦定理即可求出；
(2)根據(jù)基本不等式及三角形面積公式可得面積取得最大值時(shí)，對(duì)應(yīng)的的值，再根據(jù)余弦定理求出邊，進(jìn)而得到的周長(zhǎng)．
【詳解】(1)，
，
，又，
，
由正弦定理可知：，
；
(2)，當(dāng)取最大值時(shí)，即取最大值，
，
，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，時(shí)等號(hào)成立，
由余弦定理可知：，
，
的周長(zhǎng).
19．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2).
【分析】(1)先證明是平行四邊形，再結(jié)合圓柱的性質(zhì)得到平面；
(2)利用等積轉(zhuǎn)換知識(shí)結(jié)合圓柱的性質(zhì)先找到體積最大值時(shí)的相對(duì)位置，再找出
二面角的平面角或利用空間向量求得二面角的大小.
【詳解】(1)證明：如圖，連接，由題意知為的直徑，所以．因?yàn)槭菆A柱的母線(xiàn)，
所以且，所以四邊形是平行四邊形．
所以，所以．因?yàn)槭菆A柱的母線(xiàn)，所以平面，
又因?yàn)槠矫?，所以．又因?yàn)椋?br>平面，所以平面．
(2)由(1)知是三棱錐底面上的高，由(1)知，所以，即底面三角形是直角三角形．設(shè)，
則在中有：，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大，
（另解：等積轉(zhuǎn)化法：
易得當(dāng)F與距離最遠(yuǎn)時(shí)取到最大值，此時(shí)E，F(xiàn)分別為，中點(diǎn)）
下面求二面角的正弦值：
法一：由(1)得平面，因?yàn)槠矫?，所以?br>又因?yàn)?，所以平面?br>因?yàn)槠矫?，所以，所以是二面角的平面角?br>由(1)知為直角三角形，則．
故，所以二面角的正弦值為．
法二：由(1)知兩兩相互垂直，
如圖，以點(diǎn)E為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則．
由(1)知平面，故平面的法向量可取為．
設(shè)平面的法向量為，
由，
得，即，即，取，得．
設(shè)二面角的平面角為，
，
所以二面角的正弦值為.
最高氣溫
天數(shù)
2
14
34
27
9
4

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