1．（ ）．
A．B．C．D．
2．在中，點(diǎn)D，N分別滿足，，若，，則（ ）
A．B．
C．D．
3．棱長為的正方體的內(nèi)切球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
4．11月29日，江西新余仙女湖的漁民們迎來入冬第一個開捕日，仙女湖的有機(jī)魚迎來又一個豐收年.七位漁民分在一個小組，各駕駛一輛漁船依次進(jìn)湖捕魚，甲乙漁船要排在一起出行，丙必須在最中間出行，則不同的排法有（ ）
A．96種B．120種C．192種D．240種
5．若圓錐的軸截面是斜邊為4的等腰直角三角形，則該圓錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
6．已知復(fù)數(shù)，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
7．如圖，已知正方體的棱長為1，點(diǎn)為上一動點(diǎn)，現(xiàn)有以下四個結(jié)論：①面面；②面；③當(dāng)為的中點(diǎn)時，的周長取得最小值；④三棱錐的體積是定值，其中正確的結(jié)論個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．已知，為橢圓（）的兩個焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)滿足，則此橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．給出以下24個數(shù)據(jù)：
148.0 149.0 154.0 154.0 155.0 155.0 155.2 157.0
158.0 158.0 159.0 159.5 161.5 162.0 162.5 162.5
163.0 163.0 164.0 164.1 165.0 170.0 171.0 172.0
對于以上給出的數(shù)據(jù)，下列選項(xiàng)正確的為（ ）
A．極差為24.0B．第75百分位數(shù)為164.0
C．第25百分位數(shù)為155.2D．80%分位數(shù)為164.1
10．下列基本事實(shí)敘述正確的是（ ）
A．經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面
B．經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面
C．經(jīng)過三點(diǎn)，有且只有一個平面
D．經(jīng)過一條直線和一個點(diǎn)，有且只有一個平面
11．已知正六邊形的中心為，則下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．存在實(shí)數(shù)，使得D．
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知正三角形邊長為2，若點(diǎn)在邊上且滿足，則
13．某班共有36名男生和24名女生，統(tǒng)計(jì)他們的體重?cái)?shù)據(jù)（單位：kg），已知男生體重的平均數(shù)為65，方差為34，全體學(xué)生體重的平均數(shù)為59，方差為86，則該班女生體重的方差為 .
14．如圖，小明在山腳測得山頂?shù)难鼋菫?5°，在山腳測得山頂?shù)难鼋菫?0°，測得，，是鈍角，已知山腳和，在同一水平面上，則山的高度為 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．如圖，四面體中，，D在棱上，，，，，證明平面PBC.
16．某校從參加高一年級期末考試的學(xué)生中抽出名學(xué)生，將其成績（均為整數(shù)）分成六段，后畫出如圖的頻率分布直方圖.
觀察圖形的信息，回答下列問題：
（1）估計(jì)這次考試成績的眾數(shù)；
（2）估計(jì)這次考試成績的及格率（分及以上及格）.
17．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q分別是平面AA1D1D、平面A1B1C1D1的中心，證明：
（1）D1Q∥平面C1DB；
（2）平面D1PQ∥平面C1DB．
18．在△中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，.若M是BC的中點(diǎn)，且，求△的面積.
19．已知復(fù)數(shù)滿足.
（1）若是實(shí)數(shù)，求復(fù)數(shù)；
（2）求的取值范圍.
參考答案
1．【答案】D
【分析】利用誘導(dǎo)公式和二倍角的正弦公式可求三角函數(shù)式的值.
【詳解】，
故選D.
2．【答案】D
【分析】利用向量的線性運(yùn)算，用表示.
【詳解】在中，點(diǎn)D，N分別滿足，，若，，
則
.
故選D.
3．【答案】A
【分析】計(jì)算出內(nèi)切球的半徑，結(jié)合球體表面積公式可求得結(jié)果.
【詳解】棱長為的正方體的內(nèi)切球的半徑為，故該球的表面積為.
故選A.
4．【答案】C
【分析】先將甲乙捆綁成一個單元，再討論其所排位置，運(yùn)算求解.
【詳解】由題意可知：丙必須在最中間（第4位），則甲乙排在第1、2位或2、3位或5、6位或6、7位，
故不同的排法有種.
故選C.
5．【答案】B
【分析】根據(jù)圓錐性質(zhì)求出圓錐高、母線與底面半徑關(guān)系，根據(jù)圓錐體體積公式求解.
【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，母線長為，
因?yàn)閳A錐的軸截面是斜邊為4的等腰直角三角形，
所以，所以，
圓錐的高，
所以圓錐的體積為.
故選B.
6．【答案】A
【分析】化簡復(fù)數(shù)再求出復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)即可判斷象限.
【詳解】,
對應(yīng)點(diǎn)為,則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.
故選A.
7．【答案】D
【分析】證得平面，根據(jù)平面與平面垂直判定，可知①正確；由平面平面，根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)可知②正確；根據(jù)三點(diǎn)共線，線段和最小，可得③正確；由三棱錐等體積法可求得，可知④正確．
【詳解】
連接,因?yàn)檎襟w，所以平面，且平面，所以，又因?yàn)?，且，所以平面，平面，所以，同理，且，所以平面，且平面，所以平面平面，故①正確；
因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面，所以面，故②正確；
的周長等于，而為體對角線是定值，所以周長最小即為最小，將平面展開到平面在同一個平面，如圖：
當(dāng)三點(diǎn)共線時，最小，則為的中點(diǎn)時，故③正確；
，故④正確.
故選D.
8．【答案】C
【分析】利用橢圓方程和已知條件求出橢圓上一點(diǎn)橫坐標(biāo)關(guān)于的表達(dá)式，再利用已知條件和橢圓的范圍求出離心率的范圍即可.
【詳解】設(shè)，則，
所以，即，
把代入橢圓方程可得，消去得，整理可得，解得
又，整理得，解得
所以離心率的取值范圍是.
故選C.
9．【答案】AD
【分析】根據(jù)極差百分位數(shù)的定義，確定所求數(shù)據(jù)，即可求解.
【詳解】對A，由數(shù)據(jù)可得，極差為，故A正確；
對BCD，由，，，
可知樣本數(shù)據(jù)的第25，75，80百分位數(shù)為第6，7位的平均數(shù)，第18，19位的平均數(shù)，第20項(xiàng)數(shù)據(jù)，分別為，，和164.1，故BC錯誤，D正確.
故選AD.
10．【答案】AB
【分析】根據(jù)基本事實(shí)以及推論即可逐項(xiàng)判斷.
【詳解】根據(jù)基本事實(shí)以及推論，易知A，B正確；
對于C項(xiàng)，若三點(diǎn)共線，經(jīng)過三點(diǎn)的平面有無數(shù)多個，故C錯誤；
對于D，若這個點(diǎn)在直線外，則確定一個平面，若這個點(diǎn)在直線上，可有無數(shù)平面，故D錯誤；
故選AB.
11．【答案】ACD
【分析】對于ABC：根據(jù)正六邊形的幾何性質(zhì)結(jié)合向量的線性運(yùn)算分析判斷；對于D：根據(jù)題意結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算分析判斷.
【詳解】如圖，不妨設(shè)正六邊形的邊長為1，
對于選項(xiàng)A：因?yàn)椋蔄正確；
對于選項(xiàng)B：因?yàn)?，故B錯誤；
對于選項(xiàng)C：因?yàn)椋?br>且，
可知，故C正確；
對于選項(xiàng)D：因?yàn)椋?br>則，
，
所以，故D正確；
故選ACD.
12．【答案】
【解析】由得到、，再由可得答案.
【詳解】
，
所以，所以，
.
故答案為：.
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查了平面向量基本定理、數(shù)量積的運(yùn)算，關(guān)鍵點(diǎn)是，的轉(zhuǎn)化，考查了向量的基本運(yùn)算.
13．【答案】
【分析】利用均值公式求得女生體重均值，應(yīng)用方差公式及男生的體重方差和求全體學(xué)生的體重方差求解女生的體重方差.
【詳解】設(shè)男生平均體重為，方差為，女生平均體重為，方差為，全體學(xué)生體重為，方差為，
則男生在班級中所占比重為，女生在班級中所占比重為，
故，，，，
所以，解得，
，解得.
故答案為：.
14．【答案】100
【分析】設(shè)，分別在和中求得和，在中利用余弦定理求得，再檢驗(yàn)時不滿足是鈍角，時滿足題意，即得答案.
【詳解】在中，設(shè)，，，
在中，，，，
在中，由余弦定理，得，
即，
解得或，即或．
若，則，，所以是直角三角形，
而是直角三角形與是鈍角矛盾，舍去.
若，則，而，故，滿足是鈍角.
所以．
故答案為：100.
15．【答案】證明見解析.
【分析】連接PD，證明，然后利用線面垂直的判定定理即可得到證明.
【詳解】證明：連接PD
，，
∴由余弦定理，，
又
平面PBC.
16．【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中最高的小矩形，即可求出這次考試成績的眾數(shù)；（2）通過頻率分布直方圖，可估計(jì)該次考試中的及格率.
【詳解】（1）因?yàn)榈谒慕M的頻率最大，所以這次考試成績的眾數(shù)為；
（2）依題意，及以上分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組，
頻率和為，
所以，抽樣學(xué)生成績的合格分及以上是.
17．【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解.
【解析】(1)D1Q∥DB且D1Q?平面C1DB，DB?平面C1DB，由線面平行判定定理可證D1Q∥平面C1DB
(2)同(1)，線面平行判定定理可證D1P∥平面C1DB，結(jié)合(1)結(jié)論且D1Q∩D1P＝D1，由面面平行判定定理可證平面D1PQ∥平面C1DB
【詳解】證明：（1）由ABCD﹣A1B1C1D1是正方體，可知D1Q∥DB，
∵D1Q?平面C1DB，DB?平面C1DB，
∴D1Q∥平面C1DB.
（2）由ABCD﹣A1B1C1D1是正方體，D1P∥C1B，
∵D1P?平面C1DB，C1B?平面C1DB，
∴D1P∥平面C1DB，
由（1）知，D1Q∥平面C1DB，
又D1Q∩D1P＝D1
∴平面D1PQ∥平面C1DB.
【方法總結(jié)】本題考查了線面、面面平行的判定定理，由線面平行可證兩相交直線平行一個平面，再根據(jù)面面平行的判定定理即證兩平面平行
18．【答案】
【分析】由余弦定理及勾股定理易知△為等腰直角三角形，結(jié)合已知，在△中應(yīng)用正弦定理求得，進(jìn)而可得，最后由三角形面積公式求面積即可.
【詳解】由題設(shè)，，故，
所以△為等腰直角三角形，而，
在△中，，則，可得，
所以，且M是BC的中點(diǎn)，則.
19．【答案】（1）復(fù)數(shù)或；（2）.
【分析】（1）利用實(shí)數(shù)概念及模長，即可得到復(fù)數(shù)；
（2）利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，即可得到取值范圍.
【詳解】（1）設(shè)i ，、，則，
又是實(shí)數(shù)，
∴，又，
∴或，
∴復(fù)數(shù)或；
（2）
表示復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)與對應(yīng)的點(diǎn)間的距離，
而復(fù)數(shù)在以原點(diǎn)為圓心，半徑為5的圓上，
如圖所示，
，
∴.

2024-2025學(xué)年黑龍江省綏化市高二上學(xué)開學(xué)摸底考數(shù)學(xué)檢測試題（二）
一、選擇題：本題共8題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的。
1．（5分）已知是直線l的方向向量，是平面α的法向量，則m＝（ ）
A．﹣4B．C．D．4
2．（5分）某學(xué)校高一年級選擇“物化生”、“物化地”、“物化政”和“史政地”組合的同學(xué)人數(shù)分別為240，120，90和150．現(xiàn)采用分層抽樣的方法選出40位同學(xué)進(jìn)行一項(xiàng)調(diào)查研究（ ）
A．16B．10C．8D．6
3．（5分）已知1﹣tan15°＝tanα（1+tan15°），則tan2α＝（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）將函數(shù)f（x）＝sinxcsx圖象上的所有點(diǎn)都向左平移個單位長度后（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)g（x）的圖象，則（ ）
A．B．
C．D．
5．（5分）已知，，則＝（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，則C＝（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）在正四棱錐P﹣ABCD中，，，E是棱PD的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到直線AB的距離是（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，直線A1D與平面ABC所成角的最大值是60°，點(diǎn)P在底面ABC內(nèi)，且A1P＝4，則點(diǎn)P的軌跡長是（ ）
A．B．C．D．2π
二、選擇題；本題共3小題，每小題6分，共18分，每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得6分，則選對的得部分分，有選錯的得0分
（多選）9．（6分）已知復(fù)數(shù)z＝2﹣3i，則下列命題為真命題的有（ ）
A．z的虛部為﹣3
B．
C．
D．若z是關(guān)于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一個根，則p+q＝9
（多選）10．（6分）已知向量，滿足，則以下說法正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，則
C．若，，則向量在向量上的投影數(shù)量為
D．向量在向量上的投影向量為
（多選）11．（6分）某商場評選金牌銷售員，現(xiàn)將該商場所有銷售員某月的銷售額進(jìn)行整理，得到如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖（ ）
A．該商場有20名銷售員
B．該商場這個月有30%的銷售員的銷售額超過7萬元
C．該商場這個月所有銷售員銷售額的平均數(shù)為7萬元
D．該商場這個月所有銷售員銷售額的第80百分位數(shù)是8.5萬元
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分
12．（5分）若樣本數(shù)據(jù)2x1+1，2x2+1，…，2x10+1的標(biāo)準(zhǔn)差為4，則數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的方差為 ．
13．（5分）已知函數(shù)f（x）＝csx﹣2sinx，當(dāng)f（x），sinx＝ ．
14．（5分）已知O是△ABC的外心，若，則內(nèi)角C的最大值是 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（13分）已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分圖像如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及對稱軸；
（2）先將f（x）的圖像縱坐標(biāo)縮短到原來的倍，再向左平移（x）的圖像，求函數(shù)y＝g（x）上的單調(diào)遞增區(qū)間．
16．（15分）在平行四邊形ABCD中，，，AE和BF交于點(diǎn)P．
（1）若，求x的值；
（2）求的值．
17．（15分）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
（1）求A．
（2）若a＝2，，求△ABC的周長．
18．（17分）2020年1月15日教育部制定出臺了“強(qiáng)基計(jì)劃”，2020年不再組織開展高校自主招生工作．改為實(shí)行強(qiáng)基計(jì)劃，強(qiáng)基計(jì)劃主要選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生，?？歼^程中通過筆試，進(jìn)入面試環(huán)節(jié)現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名同學(xué)的面試成績，55），第二組[55，第三組[65，75），85），第五組[85，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同．
（1）求a，b的值．
（2）估計(jì)這100名同學(xué)面試成績的眾數(shù)及中位數(shù)（中位數(shù)精確到0.1）；
（3）已知樣本落在第二組面試者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為64和36，落在第四組面試者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為82和75，求樣本中這兩組面試成績的方差．
19．（17分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，△ABC是等邊三角形，AB＝AA1＝4，D，E分別在線段AC1，A1B上，且AD＝BE．
（1）證明：DE⊥AA1．
（2）求DE的長的最小值．
（3）當(dāng)DE的長取得最小值時，求二面角A﹣DE﹣A1的正弦值．
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共8題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的。
1．（5分）已知是直線l的方向向量，是平面α的法向量，則m＝（ ）
A．﹣4B．C．D．4
【分析】根據(jù)題意，由直線與平面平行的判斷方法，可得關(guān)于m的方程，解可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，是直線l的方向向量，，
若l∥α，得，即2m﹣2﹣6＝0．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查空間向量的應(yīng)用，涉及平面的法向量，屬于基礎(chǔ)題．
2．（5分）某學(xué)校高一年級選擇“物化生”、“物化地”、“物化政”和“史政地”組合的同學(xué)人數(shù)分別為240，120，90和150．現(xiàn)采用分層抽樣的方法選出40位同學(xué)進(jìn)行一項(xiàng)調(diào)查研究（ ）
A．16B．10C．8D．6
【分析】根據(jù)分層隨機(jī)抽樣的定義求解．
【解答】解：由題意可得，“物化地”組合中選出的同學(xué)人數(shù)為．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題主要考查了分層隨機(jī)抽樣的定義，屬于基礎(chǔ)題．
3．（5分）已知1﹣tan15°＝tanα（1+tan15°），則tan2α＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值以及兩角差的正切公式化簡已知等式可得tanα的值，進(jìn)而利用二倍角的正切公式即可求解tan2α的值．
【解答】解：因?yàn)?﹣tan15°＝tanα（1+tan15°），
所以tanα＝
＝
＝tan（45°﹣15°）
＝tan30°
＝，
所以tan2α＝＝＝．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，兩角差的正切公式以及二倍角的正切公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．
4．（5分）將函數(shù)f（x）＝sinxcsx圖象上的所有點(diǎn)都向左平移個單位長度后（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)g（x）的圖象，則（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接利用函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換求出結(jié)果．
【解答】解：函數(shù)f（x）＝sinxcsx＝圖象上的所有點(diǎn)都向左平移，得到函數(shù)y＝（縱坐標(biāo)不變）的圖象．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)：函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．
5．（5分）已知，，則＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合二倍角公式，以及正弦的兩角和公式，即可求解．
【解答】解：，
則，
，
則，
故sin8（x﹣）＝＝，，
所以＝＝．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題主要考查二倍角公式，以及正弦的兩角和公式，屬于基礎(chǔ)題．
6．（5分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，則C＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由題意，根據(jù)B＝π﹣（A+C），利用三角恒等變換和正弦定理，即可求出csA與A的值，再求C的值．
【解答】解：△ABC中，csA+csB＝2sinAsinC，
所以csA﹣cs（A+C）＝csA﹣csAcsC+sinAsinC＝2sinAsinC，
所以csA＝csAcsC+sinAsinC＝cs（A﹣C），
因?yàn)閏＝a，所以c＞a，所以A﹣C＜0，
所以A∈（0，），所以A+（A﹣C）＝0；
由c＝a，即sinC＝，所以sin2A＝；
所以6sinAcsA＝sinA，
又sinA≠0，所以csA＝，），所以A＝．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了解三角形的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題．
7．（5分）在正四棱錐P﹣ABCD中，，，E是棱PD的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到直線AB的距離是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由線面垂直的判定定理，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離的求法求解．
【解答】解：在正四棱錐P﹣ABCD中，，，
連接BD，取BD的中點(diǎn)O，
則PO⊥平面ABCD，
又E是棱PD的中點(diǎn)，
取DO的中點(diǎn)F，連接EF，
則EF⊥平面ABCD，
過F作FM∥AD，
則FM⊥AB，且M為AB的四等分點(diǎn)，
則AB⊥平面EMF，
則EM⊥AB，
則EM即為點(diǎn)E到直線AB的距離，
又＝，＝，
則＝＝．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了線面垂直的判定定理，重點(diǎn)考查了點(diǎn)到直線的距離的求法，屬中檔題．
8．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，直線A1D與平面ABC所成角的最大值是60°，點(diǎn)P在底面ABC內(nèi)，且A1P＝4，則點(diǎn)P的軌跡長是（ ）
A．B．C．D．2π
【分析】根據(jù)題意易得∠A1DA即為直線A1D與平面ABC所成角，且當(dāng)AD為等腰三角形ABC的底邊上的高時，直線A1D與平面ABC所成角的最大，從而可得A1A＝，進(jìn)而可得AP＝＝2，從而可求解．
【解答】解：∵AA1⊥平面ABC，
∴∠A1DA即為直線A4D與平面ABC所成角，
∵底面三角形ABC中，AB＝AC＝4，
∴BC＝，BC邊上的高為h＝2，
∴tan∠A1DA＝≤＝＝tan60°＝，
∴A1A＝，又A1P＝6，
∴AP＝＝＝2，
∴點(diǎn)P的軌跡長是＝．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查線面角的最值問題的求解，屬中檔題．
二、選擇題；本題共3小題，每小題6分，共18分，每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得6分，則選對的得部分分，有選錯的得0分
（多選）9．（6分）已知復(fù)數(shù)z＝2﹣3i，則下列命題為真命題的有（ ）
A．z的虛部為﹣3
B．
C．
D．若z是關(guān)于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一個根，則p+q＝9
【分析】由復(fù)數(shù)的基本概念及復(fù)數(shù)模的公式判斷即可．
【解答】解：z＝2﹣3i，
z的虛部為﹣3，故A正確；；
z?i10＝（2﹣8i）?（﹣1）＝﹣2+6i，，故C錯誤；
若z是關(guān)于x的方程x4+px+q＝0（p，q∈R）的一個根，
則也是關(guān)于x的方程x2+px+q＝7（p，q∈R）的另一個根，
∴，解得，故D正確．
故選：ABD．
【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的基本概念，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．
（多選）10．（6分）已知向量，滿足，則以下說法正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，則
C．若，，則向量在向量上的投影數(shù)量為
D．向量在向量上的投影向量為
【分析】由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合投影向量的運(yùn)算逐一判斷即可．
【解答】解：已知向量，滿足，
即，
即，
對于選項(xiàng)A，若，，
則，
即或m＝8，
即選項(xiàng)A錯誤；
對于選項(xiàng)B，若，
則，
則，
則，
即選項(xiàng)B正確；
對于選項(xiàng)C，若，，
則向量在向量＝＝，
即選項(xiàng)C正確；
對于選項(xiàng)D，向量上的投影向量為＝，
即選項(xiàng)D正確．
故選：BCD．
【點(diǎn)評】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了投影向量的運(yùn)算，屬中檔題．
（多選）11．（6分）某商場評選金牌銷售員，現(xiàn)將該商場所有銷售員某月的銷售額進(jìn)行整理，得到如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖（ ）
A．該商場有20名銷售員
B．該商場這個月有30%的銷售員的銷售額超過7萬元
C．該商場這個月所有銷售員銷售額的平均數(shù)為7萬元
D．該商場這個月所有銷售員銷售額的第80百分位數(shù)是8.5萬元
【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，統(tǒng)計(jì)即可求解AB，根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算即可求解C，根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算即可求解D．
【解答】解：對于A，由統(tǒng)計(jì)圖可知該商場有1+2+8+7+3+5+1＝20名銷售員；
對于B，該商場這個月銷售額超過7萬元的銷售員有2+2+1＝6名，
占總?cè)藬?shù)的百分比為，故B正確；
對于C，該商場這個月所有銷售員銷售額的平均數(shù)為，故C錯誤；
對于D，因?yàn)?0×80%＝16，
所以該商場這個月所有銷售員銷售額的第80百分位數(shù)是8萬元，則D錯誤．
故選：AB．
【點(diǎn)評】本題主要考查了統(tǒng)計(jì)圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分
12．（5分）若樣本數(shù)據(jù)2x1+1，2x2+1，…，2x10+1的標(biāo)準(zhǔn)差為4，則數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的方差為 4 ．
【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)求解．
【解答】解：設(shè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的方差為s2，
所以樣本數(shù)據(jù)2x1+2，2x2+8，…，2x10+1的方差為5s2，
所以＝4，
解得s2＝4．
故答案為：4．
【點(diǎn)評】本題主要考查了方差的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
13．（5分）已知函數(shù)f（x）＝csx﹣2sinx，當(dāng)f（x），sinx＝ ．
【分析】根據(jù)兩角之差的正弦公式化簡函數(shù)表達(dá)式，可得f（x）＝sin（φ﹣x），其中φ滿足tanφ＝2，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，求出f（x）取最大值時sinx的值．
【解答】解：根據(jù)題意，可得f（x）＝（sinx）
＝（sinφcsx﹣csφsinx）＝，其中sinφ＝．
若f（x）取得最大值，則sin（φ﹣x）＝1+2kπ．
所以x＝φ﹣﹣6kπ，可得sinx＝sin（φ﹣．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題主要考查三角恒等變換公式、正弦函數(shù)的最值及其應(yīng)用，考查了計(jì)算能力、邏輯推理能力，屬于中檔題．
14．（5分）已知O是△ABC的外心，若，則內(nèi)角C的最大值是 ．
【分析】由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及三角形外接圓的性質(zhì)，結(jié)合投影的定義及余弦定理求解．
【解答】解：設(shè)△ABC的三邊AB、AC，b，a，
已知O是△ABC的外心，
則＝＝＝＝，
＝＝＝，
又，
則，
則a2+b2＝7c2，
由余弦定理可得：＝，
即，
即內(nèi)角C的最大值是．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了投影的定義及余弦定理，屬中檔題．
四、解答題：本題共5小題，共77分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（13分）已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分圖像如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及對稱軸；
（2）先將f（x）的圖像縱坐標(biāo)縮短到原來的倍，再向左平移（x）的圖像，求函數(shù)y＝g（x）上的單調(diào)遞增區(qū)間．
【分析】（1）根據(jù)f（x）的最值求出A＝2，利用三角函數(shù)的周期公式，列式算出ω＝2，然后根據(jù)當(dāng)x＝時，f（x）有最大值，求出φ＝，可得函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性求出f（x）的對稱軸方程；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象平移公式，可得g（x）＝sin（2x﹣），然后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求出g（x）在x∈上的單調(diào)遞增區(qū)間．
【解答】解：（1）由題意得A＝2，f（x）的周期T滿足＝，
由＝π，f（x）＝5sin（2x+φ），
由x＝時，f（x）有最大值+φ＝，取k＝0．
所以f（x）＝2sin（2x﹣），
令2x﹣＝+kπ（k∈Z）+（k∈Z）；
（2）將f（x）的圖像縱坐標(biāo)縮短到原來的倍，可得y＝）的圖象，
再所得圖象向左平移個單位f（x+）﹣）的圖像，
所以g（x）＝sin（8x﹣），令+6kπ≤2x﹣≤，
解得﹣+kπ≤x≤．所以g（x）在R上的遞增區(qū)間為[﹣，+kπ]（k∈Z）．
分別取k＝0、3，與區(qū)間，得[﹣，，π]，
所以g（x）在x∈上的單調(diào)遞增區(qū)間是[﹣，，π]．
【點(diǎn)評】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值、函數(shù)圖象的變換公式等知識，屬于中檔題．
16．（15分）在平行四邊形ABCD中，，，AE和BF交于點(diǎn)P．
（1）若，求x的值；
（2）求的值．
【分析】（1）以為基底表示出，然后根據(jù)列式解出x的值；
（2）由（1）推導(dǎo)出且，然后根據(jù)三角形面積公式求解，可得答案．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得，
結(jié)合，且，可得；
（2）由（1）可得，則，即．
因?yàn)椋矗?br>所以，整理得，即．
【點(diǎn)評】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算法則、兩個向量平行的條件、平行線的性質(zhì)與三角形面積公式等知識，屬于中檔題．
17．（15分）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
（1）求A．
（2）若a＝2，，求△ABC的周長．
【分析】（1）由輔助角公式可得，由于A是三角形的內(nèi)角，可得A的范圍，繼而可得出角A的值；
（2）由題意利用正弦定理把邊化成角得，根據(jù)B，C∈（0，π），可得csB＝，繼而求得角B的值，結(jié)合（1）的結(jié)論，由和差公式可求得sinC，再利用正弦定理可求出b和c，即可得出三角形的周長．
【解答】解：（1）∵，
∴，
∵A∈（2，π），
∴，
∴，
∴；
（2），即，
由正弦定理可得，
∵B，C∈（0，
∴sinB≠5，sinC≠0，
∴csB＝，
∴，
又∵，
∴＝，
由正弦定理可得，，即，
解得b＝，c＝，
故△ABC的周長為3+．
【點(diǎn)評】本題考查了正弦定理和三角函數(shù)的恒等變換，屬于中檔題．
18．（17分）2020年1月15日教育部制定出臺了“強(qiáng)基計(jì)劃”，2020年不再組織開展高校自主招生工作．改為實(shí)行強(qiáng)基計(jì)劃，強(qiáng)基計(jì)劃主要選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生，?？歼^程中通過筆試，進(jìn)入面試環(huán)節(jié)現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名同學(xué)的面試成績，55），第二組[55，第三組[65，75），85），第五組[85，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同．
（1）求a，b的值．
（2）估計(jì)這100名同學(xué)面試成績的眾數(shù)及中位數(shù)（中位數(shù)精確到0.1）；
（3）已知樣本落在第二組面試者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為64和36，落在第四組面試者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為82和75，求樣本中這兩組面試成績的方差．
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，建立方程，即可求解；
（2）根據(jù)眾數(shù)與平均數(shù)的概念，即可求解；
（3）根據(jù)加權(quán)平均數(shù)與方差的概念，即可求解．
【解答】解：（1）由題意可知：10（a+0.045+0.020）＝6.7，（2a+b+6.045+0.020）×10＝1，
解得a＝2.005，b＝0.025；
（2）估計(jì)這100名同學(xué)面試成績的眾數(shù)為＝70分；
∵前幾組的頻率依次為8.05，0.25，
估計(jì)這100名同學(xué)面試成績的中位數(shù)為≈69.4分；
（3）設(shè)第二組、第四組面試者的面試成績的平均數(shù)與方差分別為x1，x7，，且兩組頻率之比為，
則第二組和第四組所有面試者的面試成績的平均數(shù)為，
第二組和第四組所有面試者的面試成績的方差為[]＝，
故估計(jì)第二組和第四組所有面試者的面試成績的方差是．
【點(diǎn)評】本題考查頻率分布直方圖的性質(zhì)，眾數(shù)與中位數(shù)的求解，加權(quán)平均數(shù)與方差的求解，屬中檔題．
19．（17分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，△ABC是等邊三角形，AB＝AA1＝4，D，E分別在線段AC1，A1B上，且AD＝BE．
（1）證明：DE⊥AA1．
（2）求DE的長的最小值．
（3）當(dāng)DE的長取得最小值時，求二面角A﹣DE﹣A1的正弦值．
【分析】（1）利用空間向量法證明線線垂直；
（2）利用兩點(diǎn)之間距離和二次函數(shù)最值解出答案；
（3）利用空間向量法計(jì)算面面夾角的正弦值；
【解答】證明：（1）取O，F(xiàn)分別為線段A1C1，AC的中點(diǎn)，連接OB3，OF，
在三棱柱ABC﹣A1B1C5中，AA1⊥平面ABC，△ABC是等邊三角形，
所以O(shè)B1⊥A4C1，OF∥AA1，
又AA6⊥OB1，AA1⊥A5C1，
所有OF⊥A1C2，OF，A1C1是平面AA6C1C內(nèi)兩條相交直線，
所以O(shè)B1⊥平面AA4C1C，又OF?平面AA1C5C，
所以O(shè)B1⊥OF，因此A1C2，OB1，OF兩兩互相垂直，
以為O原點(diǎn)，以O(shè)A1，OB5，OF的方向分別為x，y，z軸的正方向，
因?yàn)锳B＝AA1＝4，設(shè)，
則，
所以，
因?yàn)椋?br>所以DE⊥AA1；
解：（2）由（1）可知：
，
令，根據(jù)二次函數(shù)的最小值可知，
當(dāng)時，y取最小值為，
所以DE的長的最小值為5；
（3）當(dāng)DE的長取得最小值時，即，
則，
，
設(shè)平面ADE的法向量為，
則，即，令x＝1，則，
設(shè)平面A8DE的法向量為，
則，即，令x7＝1，則，
設(shè)二面角A﹣DE﹣A6的平面角為θ，
所以，
所以，
二面角A﹣DE﹣A7的正弦值．
【點(diǎn)評】本題考查了向量法在解決立體幾何中的空間角，空間距離，空間位置關(guān)系上的應(yīng)用，屬于中檔題．

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