黑龍江省哈爾濱市師范大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1. 甲，乙兩名大學(xué)生計劃今年寒假分別從黃果樹風(fēng)景名勝區(qū)、龍宮景區(qū)、天龍屯堡景區(qū)、安順古城四個不同的景區(qū)中隨機選兩個景區(qū)前往旅游打卡，則這兩人恰好有一個景區(qū)相同的選法共有（）
A. 12種B. 18種C. 24種D. 36種
【答案】C
【解析】
【分析】利用組合數(shù)和計數(shù)原理，用間接法求解即得.
【詳解】由題意得甲選擇兩個景區(qū)的選法有種，
乙選擇兩個景區(qū)的選法有種，故總選法有種，
兩人選擇景區(qū)完全相同的選法有種，
兩人選擇景區(qū)完全不相同的選法有種，
故兩人恰好有一個景區(qū)相同的選法共有種，故C正確.
故選：C.
2. “”是“直線與直線垂直”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】求出兩直線垂直的充要條件后再根據(jù)充分必要條件的定義判斷.
【詳解】由,得,即或
所以,反之,則不然
所以“”是“直線與直線垂直”的
充分不必要條件.
故選:A
3. 已知直線l經(jīng)過拋物線的焦點F，且與拋物線交于A，B兩點，若，則的面積為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由拋物線的性質(zhì)，結(jié)合直線與拋物線的位置關(guān)系及三角形的面積公式求解．
【詳解】易知，由題意不妨設(shè)直線AB的方程為，
聯(lián)立，則，
設(shè)，，則，
又，則，則，
則面積為
故選：B
4. 若的展開式中，只有第6項的二項式系數(shù)最大，則該項式的展開式中常數(shù)項為（）
A. 90B. -90C. 180D. -180
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可知項數(shù)n=10，再表示通項并令其中x的指數(shù)為零，求得指定項的系數(shù)即可.
【詳解】解：因為的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，則項數(shù)n=10，即，
則通項為，
令，則.
故選：C.
5. 已知橢圓和雙曲線有共同的焦點，，P是它們的一個交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則的最小值為（）
A. 24B. 37C. 49D. 52
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長，焦距．結(jié)合橢圓與雙曲線的定義,得， ,在△F1PF2中,根據(jù)余弦定理可得到與的關(guān)系式，進而用均值不等式得解.
【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長，焦距,則
，，解得
，，如圖
在△F1PF2中,根據(jù)余弦定理可得：
，
整理得，即，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號.
故選:C.
6. 已知點，過點引直線l與曲線相交于A，B兩點，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時，直線l的斜率等于（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先化簡曲線得出圓的方程，再結(jié)合三角形面積公式及點到直線距離計算求參.
【詳解】曲線，得，則，
所以曲線表示圓心為，半徑為的半圓（x軸及以上部分）．
由于，
故當(dāng)時的面積取得最大值，
此時圓心到直線l：的距離為，
即，如圖，只有才可能滿足題意，得．
故選：D.
7. 某學(xué)校有兩家餐廳，王同學(xué)第1天選擇餐廳就餐的概率是，若第1天選擇餐廳，則第2天選擇餐廳的概率為；若第1天選擇餐廳就餐，則第2天選擇餐廳的概率為；已知王同學(xué)第2天是去餐廳就餐，則第1天去餐廳就餐的概率為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用互斥事件的概率加法公式、積事件的乘法公式進行計算求解.
【詳解】設(shè)“王同學(xué)第i天去A餐廳就餐”，“王同學(xué)第i天去B餐廳就餐”，，
依題意，，，，則，
由有：，
因為，所以
，
所以.
故選：B.
8. 費馬定理是幾何光學(xué)中的一條重要原理，在數(shù)學(xué)中可以推導(dǎo)出圓錐曲線的一些光學(xué)性質(zhì).例如，點為雙曲線為焦點）上一點，點處的切線平分.已知雙曲線：為坐標(biāo)原點，點處的切線為直線，過左焦點作直線的垂線，垂足為，若，則雙曲線的離心率為（）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)中點以及角平分線的性質(zhì)可得，即可根據(jù)雙曲線定義得，代入到雙曲線方程可得，即可根據(jù)離心率公式求解.
【詳解】如圖，延長交的延長線于點,
由于是的角平分線上的一點，且,
所以點為的點，所以,
又為的中點，所以，
故，
故，即，將點代入可得，解得，
故離心率為，
故選：B
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知圓：，圓：，則下列說法正確的是（）
A. 若，則圓，的公共弦所在的直線方程為
B. 若兩圓有四條公切線，則
C. 當(dāng)時，，分別是圓、圓上的動點，則的最小值為
D. Q為直線上的動點，過點向圓引兩條切線，切點分別為，，則直線過定點
【答案】BD
【解析】
【分析】求出相交兩圓公共弦所在直線方程判斷AD；由兩圓相離求出范圍判斷B；利用圓的性質(zhì)求出最值判斷C.
【詳解】圓：的圓心，半徑，
圓的圓心，半徑，，
對于A，當(dāng)時，，圓與相交，
兩圓方程相減得公共弦所在的直線方程，A錯誤；
對于B，由兩圓有四條公切線，得圓與外離，則，
解得，B正確；
對于C，當(dāng)時，圓與外離，則，C錯誤；
對于D，設(shè)，依題意，點在以線段為直徑的圓上，
線段為直徑的圓方程為，與圓的方程相減，
得直線方程：，即，
由，解得，因此直線過定點，D正確.
故選：BD
10. 甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球，先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別用事件和表示從甲罐中取出的球是紅球，白球和黑球；再從乙罐中隨機取出一球，用事件B表示從乙罐中取出的球是紅球，則下列結(jié)論正確的是（）
A
B.
C. 事件B與事件相互獨立
D. 是兩兩互斥的事件
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)事件的條件概率公式、獨立性公式等逐一判斷可得結(jié)果.
【詳解】解：依題意得，，，
，，，
選項A：，故A不正確；
選項B：因為，故B正確；
選項C：因為，，
故，
所以事件B與事件不相互獨立，故C不正確；
選項D：根據(jù)互斥事件的定義可知，是兩兩互斥的事件，故D正確.
故選：BD.
11. 我國知名品牌小米公司的具備“超橢圓”數(shù)學(xué)之美，設(shè)計師的靈感來源于數(shù)學(xué)中的曲線（、為常數(shù)，且）.則下列有關(guān)曲線的說法中正確的是（）
A. 對任意的且，曲線總關(guān)于軸和軸對稱
B. 當(dāng)，時，曲線上的點到原點的距離最小值為
C. 當(dāng)，時，曲線與坐標(biāo)軸的交點個數(shù)為個
D. 當(dāng)，時，曲線上的點到原點的距離最小值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用曲線的對稱性可判斷A選項；利用基本不等式結(jié)合平面內(nèi)兩點間的距離公式可判斷BD選項；求出曲線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，可判斷C選項.
【詳解】對于A，取曲線上點，則，
點關(guān)于軸的對稱點為，關(guān)于軸的對稱點為，
因為，，
即點、都在曲線上，故曲線總關(guān)于軸和軸對稱，故A正確；
對于B，當(dāng)，時，曲線的方程可化為，
在曲線上任取一點，
由，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，得，
故曲線上的點到原點的距離最小值為，故B正確；
對于C，當(dāng)，，時，，則，得，
所以或，所以曲線與軸有個交點，
當(dāng)時，，，得或，所以曲線與軸有個交點，
綜上，曲線與坐標(biāo)軸的交點個數(shù)為個，故C錯誤；
對于D，當(dāng)，時，在曲線上任取一點，
由
，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，
故曲線上的點到原點的距離最小值為，故D正確.
故選：ABD
【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足三個條件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.
三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 假設(shè)某廠包裝食鹽的生產(chǎn)線，正常情況下生產(chǎn)出來的食鹽質(zhì)量服從正態(tài)分布，對于的食鹽即為不合格，不合格食鹽出現(xiàn)的概率為0.05，現(xiàn)從這批食鹽中隨機抽取100包，用表示這100包中質(zhì)量位于區(qū)間的包數(shù)，則隨機變量的方差是______．
【答案】9
【解析】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合正態(tài)分布的對稱性可得，分析可知，利用二項分布的性質(zhì)求方差.
【詳解】由題意可知：，且，
則，可得，
由題意可知：，
所以隨機變量的方差.
故答案為：9.
13. 設(shè)，求的最小值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】由配方化簡可得d可看作點和到直線上的點的距離之和，作關(guān)于直線對稱的點，連接，計算可得所求最小值.
【詳解】解：
，
即d可看作點和到直線上的點的距離之和，
作關(guān)于直線對稱的點，
由題意得，解得
故，
則.
故答案為：.
14. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，射線，，半圓C：.現(xiàn)從點向上方區(qū)域的某方向發(fā)射一束光線，光線沿直線傳播，但遇到射線、時會發(fā)生鏡面反射.設(shè)光線在發(fā)生反射前所在直線的斜率為k，若光線始終與半圓C沒有交點，則k的取值范圍是________.
【答案】
【解析】
【分析】求出光線與、、相切時的斜率，數(shù)形結(jié)合即可得解.
【詳解】將半圓依次沿著，，作對稱，如圖所示：
光線在鏡面發(fā)生反射可以等效處理為：光線進入了鏡子后的空間，
因此問題就轉(zhuǎn)化為光線如何與鏡子內(nèi)外的圓沒有交點，光線變化的范圍如圖所示.
當(dāng)光線與相切時，光線所在直線斜率，
由對稱性可知當(dāng)光線遇射線時反射光線若與相切，則入射光線所在直線為與圓相切，
當(dāng)光線與圓相切但遇射線時反射光線不與相切時，
此時，所以光線斜率為
，
當(dāng)光線與相切時，光線斜率為，
所以由圖可知k的取值范圍是.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合簡化問題的難度.
四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 甲、乙兩選手進行乒乓球比賽，采用5局3勝制，假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且每局比賽結(jié)果相互獨立.
（1）求賽完4局且乙獲勝的概率；
（2）若規(guī)定每局獲勝者得2分，負(fù)者得分，記比賽結(jié)束時甲最終得分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）；
（2）分布列見解析，.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知分析賽完4局且乙獲勝的對應(yīng)事件，再應(yīng)用獨立事件乘法公式求概率；
（2）由題設(shè)確定的可能取值并求出對應(yīng)概率，寫出分布列，進而求期望.
【小問1詳解】
設(shè)“賽完4局且乙獲勝”為事件，即乙前3局中獲勝2局輸1局，且第4局獲勝.
【小問2詳解】
的可能取值為，，1，4，5，6，
則，，，
，，，
的分布列如表所示
所以.
16. 設(shè)為拋物線：的焦點，為的準(zhǔn)線與軸的交點，且直線過點．
（1）若與有且僅有一個公共點，求直線的方程；
（2）若與交于，兩點，且，求的面積．
【答案】（1），或
（2）
【解析】
【分析】（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)判別式即可求解，
（2）根據(jù)韋達定理可得，，進而根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算求解，由面積關(guān)系即可求解.
【小問1詳解】
拋物線：的焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，則．
若與軸垂直，此時與只有一個交點．
若與軸不垂直，設(shè)．由，消去整理得．
因為與有且僅有一個公共點，所以，故．
此時的方程為或．
綜上，的方程為，或．
【小問2詳解】
由（1）得，即．設(shè)，，
則，．
因為，所以，又，
所以，
整理可得，代入可得，解得．
所以的面積
.
17. 某工廠生產(chǎn)一批機器零件，現(xiàn)隨機抽取100件對某一項性能指標(biāo)進行檢測，得到一組數(shù)據(jù)，如下表：
（1）求該項性能指標(biāo)的樣本平均數(shù)的值．若這批零件的該項指標(biāo)近似服從正態(tài)分布其中近似為樣本平均數(shù)的值，，試求的值．
（2）若此工廠有甲、乙兩臺機床加工這種機器零件，且甲機床的生產(chǎn)效率是乙機床的生產(chǎn)效率的2倍，甲機床生產(chǎn)的零件的次品率為0.02，乙機床生產(chǎn)的零件的次品率為0.01，現(xiàn)從這批零件中隨機抽取一件．
①求這件零件是次品的概率：
②若檢測出這件零件是次品，求這件零件是甲機床生產(chǎn)的概率；
③若從這批機器零件中隨機抽取300件，零件是否為次品與該項性能指標(biāo)相互獨立，記抽出的零件是次品，且該項性能指標(biāo)恰好在內(nèi)的零件個數(shù)為，求隨機變量的數(shù)學(xué)期望（精確到整數(shù)）．
參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布則，
【答案】（1）80，0.8186
（2）①；②；③4
【解析】
【分析】（1）計算出平均數(shù)后可得，結(jié)合正態(tài)分布的性質(zhì)計算即可得解；
（2）①借助全概率公式計算即可得；②按照條件概率公式計算即可；③借助二項分布期望公式計算即可得．
【小問1詳解】
，
因為，所以，
則
；
【小問2詳解】
①設(shè)“抽取的零件為甲機床生產(chǎn)”記為事件，
“抽取的零件為乙機床生產(chǎn)”記為事件，
“抽取的零件為次品”記為事件，
則，，，，
則；
②；
③由（1）及（2）①可知，這批零件是次品且性能指標(biāo)在內(nèi)的概率，
且隨機變量，
所以，
所以隨機變量Y的數(shù)學(xué)期望為4.
18. 已知橢圓，點、分別為橢圓的左、右焦點.
（1）若橢圓上點滿足，求的值；
（2）定點在軸上，若點S為橢圓上一動點，當(dāng)取得最小值時點S恰與橢圓的右頂點重合，求實數(shù)的取值范圍；
（3）設(shè)橢圓的左右頂點分別為、，過的直線交橢圓于點、（異于、），設(shè)直線、的斜率分別為、，求的值.
【答案】（1）3 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出，再利用橢圓定義求解.
（2）設(shè)，利用兩點間距離公式建立函數(shù)關(guān)系，借助二次函數(shù)探討最小值.
（3）設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理及斜率坐標(biāo)公式計算即得.
【小問1詳解】
橢圓的焦點，
由，設(shè)點，則，解得，即，
所以.
【小問2詳解】
設(shè)，則，，
則，
所以，，
要使時取最小值，則必有，所以
【小問3詳解】
依題意，，設(shè)，
由消去，得，
則，即，
所以.
19. 已知雙曲線：的離心率為2，右焦點F到漸近線的距離為．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若雙曲線的右頂點為A，過焦點F的直線與的右支交于P，Q兩點，直線，分別與直線交于M，N兩點，記的面積為，的面積為．
①求證：為定值；
②求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）①證明見解析；②
【解析】
【分析】（1）由題意求出，即可求得答案；
（2）①設(shè)直線PQ的方程并聯(lián)立雙曲線方程，可得根與系數(shù)關(guān)系式，結(jié)合的表達式，即可證明結(jié)論；②利用直線方程求出相關(guān)點坐標(biāo)，可得的表達式，即可求出的表達式，結(jié)合不等式性質(zhì)，即可求得答案.
【小問1詳解】
設(shè)雙曲線的半焦距為c，由題意得，漸近線方程不妨取，即，
則，而，
故雙曲線方程為；
【小問2詳解】
①由題意知，設(shè)直線PQ的方程為，
聯(lián)立方程組，得，
因為過焦點F的直線與的右支交于P，Q兩點，故，
則，
則；
當(dāng)直線PQ斜率不存在時，,
故為定值；
②由題意可得，
直線AP的方程為，則，
直線AQ的方程為，則，
則，
所以，
由于。即，，故，
當(dāng)直線PQ斜率不存在時，，直線AP方程為，
直線AQ方程為，可得，
綜上的取值范圍為.
【點睛】難點點睛：本題綜合考查了直線和雙曲線位置關(guān)系中的三角形面積問題，解答的難點在于的取值范圍的確定，解答時要注意結(jié)合直線和雙曲線方程聯(lián)立求出的表達式，計算過程比較復(fù)雜，計算量較大.
1
4
5
6
性能指標(biāo)X
66
77
80
88
96
產(chǎn)品件數(shù)
10
20
48
19
3

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