一、單選題（本大題共8小題）
1．已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則以下坐標(biāo)所表示的點不在該反比例函數(shù)圖象上的是（ ）
A．B．C．D．
2．若關(guān)于的方程有實數(shù)根，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．且D．且
3．在直角坐標(biāo)系中，已知點，，則線段的長度為（ ）
A．5B．3C．4D．7
4．如圖，是的直徑，，與相切于點A，交于點D，連接，若，則的長為（ ）
A．4B．C．2D．
5．下列關(guān)系中：①，②，③，④正確的個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．已知集合，則集合A的元素個數(shù)為（ ）
A．9B．8C．6D．5
7．設(shè)集合，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
8．已知：，：，若是的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知全集，集合，，則圖中陰影部分所表示的集合為（ ）
A．B．
C．D．
10．已知不超過5的實數(shù)組成的集合為M，，則（ ）
A．B．
C．D．
11．下列說法正確的為（ ）
A．命題“，使”的否定形式是“，使”
B．“”是“”的充分不必要條件
C．若是的充分條件，是的充要條件，則是的必要條件
D．若命題“”是假命題，則
三、填空題（本大題共3小題）
12．如圖是一個中心對稱圖形，為對稱中心，若，，，則的長為 .
13．已知，是方程的兩個根，則數(shù)據(jù)：4，，，7的平均數(shù)是 .
14．已知集合，，，若，，則 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．如圖，拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點，并與x軸交于點.
(1)求此拋物線的解析式；
(2)求出拋物線的頂點坐標(biāo)；
(3)若拋物線上有一點B，且，直接寫出點B的坐標(biāo).
16．設(shè)命題：關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，：關(guān)于的方程無實數(shù)根．
(1)若為真，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若、有且僅有一個為真命題，求實數(shù)的取值范圍．
17．已知集合,．
(1)當(dāng)時，求；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍．
18．扎染文化是我國傳統(tǒng)文化的重要組成部分，扎染文化的發(fā)展帶動了旅游相關(guān)產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，電視劇去有風(fēng)的地方的熱映不僅推動了云南大理旅游業(yè)的熱潮，也增進了人們對扎染文化的了解，云南大理某扎染坊第一次用元購進甲、乙兩種布料共件，其中兩種布料的成本價和銷售價如表：
(1)該扎染坊第一次購進甲、乙兩種布料各多少件？
(2)因熱銷，第一次購進的布料全部售完，該扎染坊第二次以相同的成本價購進甲、乙兩種布料共件.若此次購進甲種布料的數(shù)量不超過乙種布料的數(shù)量的倍，且以相同的銷售價全部售完這批布料，設(shè)第二次購進甲種布料件，第二次銷售完后獲得的利潤為元，試問第二次以何種進貨方案，才能使第二次銷售完后獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？
19．（1）含有三個實數(shù)的集合可表示為，也可表示為，求的值.
（2）設(shè)數(shù)集滿足：，又若實數(shù)是數(shù)集中的一個元素，則一定也是數(shù)集中的一個元素，求證：
①若，則集合中還有其他兩個元素；
②集合不可能是單元素集合.
參考答案
1．【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)解析式，再代入驗證即得.
【詳解】由函數(shù)的圖象經(jīng)過點，得，則函數(shù)解析式為，
而，
即點，，均在反比例函數(shù)的圖象上，不在反比例函數(shù)的圖象上.
故選D.
2．【答案】B
【分析】分類討論，和兩種情況，結(jié)合一元二次方程根的情況列不等式求解即可．
【詳解】當(dāng)時，該方程為，是一元一次方程，此時方程有一個實數(shù)根；
當(dāng)時，方程為一元二次方程，
因為方程有實數(shù)根，
所以，解得且，
綜上，的取值范圍是，
故選B．
3．【答案】A
【分析】根據(jù)題意利用勾股定理運算求解即可.
【詳解】由題意可知：，為坐標(biāo)原點，
根據(jù)勾股定理可得.
故選A.
4．【答案】D
【分析】連接，根據(jù)圓的性質(zhì)得，再利用切線性質(zhì)得是等邊三角形，進而利用勾股定理計算即可.
【詳解】連接，
∵是的直徑，，∴，∴，
∵與相切于點A，∴，∴，
∵，∴，∴是等邊三角形，
∴，∴.
故選D.
5．【答案】B
【分析】根據(jù)元素和集合之間的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系判斷即可.
【詳解】對于①：因為0是的元素，所以，故①正確；
對于②：因為空集是任何集合的子集，所以，故②正確；
對于③：因為集合的元素為0，1，集合的元素為0,1，
兩個集合的元素全不相同，所以之間不存在包含關(guān)系，故③錯誤；
對于④：因為集合的元素為，集合的元素為，
兩個集合的元素不一定相同，所以不一定相等，故④錯誤；
綜上所述：正確的個數(shù)為2.
故選B.
6．【答案】C
【分析】利用列舉法表示集合A即可得出元素個數(shù).
【詳解】，共6個元素.
故選C.
7．【答案】C
【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系利用數(shù)軸即可得解.
【詳解】如圖，若，則.
故選C.
8．【答案】A
【分析】將是的必要不充分條件轉(zhuǎn)化為?，然后根據(jù)集合間的包含關(guān)系列不等式求解即可.
【詳解】設(shè)，B=x1?m≤x≤1+m，
因為是的必要不充分條件，所以?，
所以，解得，
當(dāng)時，B=x?2≤x≤4，成立，
所以.
故選A.
9．【答案】AC
【分析】根據(jù)圖驗證B,C,D再利用交集補集定義判斷A.
【詳解】由圖可知陰影部分所表示的集合為，C正確，B,D錯誤，
因為，，
所以，故A正確.
故選AC.
10．【答案】ACD
【分析】根據(jù)題意，利用元素與集合的關(guān)系，逐個分析判斷即可
【詳解】對于A，因為，所以，所以A正確，
對于B，因為，
所以，所以B錯誤，
對于C，因為，所以，
所以，所以C正確，
對于D，因為，所以，
所以，所以D正確.
故選ACD.
11．【答案】BC
【分析】用邏輯和命題的相關(guān)知識點，逐個選項分析，即可得到答案.
【詳解】對于A，命題“，使”的否定形式是，使，故A錯誤；
對于B，當(dāng)時，成立，當(dāng)時，解得或，故“”是“” 的充分不必要條件，故B正確；
對于C，若是的充分條件，是的充要條件，則有，故是的必要條件，故C正確；
對于D，若命題“”是假命題，則是真命題，故m=0或解得，故D錯誤.
故選BC.
12．【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，利用中心對稱圖形的性質(zhì)，結(jié)合直角三角形性質(zhì)求解即可.
【詳解】在中，，，，則，
又與關(guān)于中心對稱，所以.
故答案為：.
13．【答案】
【分析】先根據(jù)韋達定理求出，再根據(jù)平均數(shù)的求法即可求解.
【詳解】，是方程的兩個根，
，
則，
即4，，，7的平均數(shù)是.
故答案為：.
14．【答案】4
【分析】求出集合，根據(jù)集合關(guān)系可得，求出的值，然后驗證可得.
【詳解】，，
因為，，所以，，
由得，即，解得或，
當(dāng)時，解得，此時，不滿足題意；
當(dāng)時，解得，滿足題意.
所以.
故答案為：4.
15．【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根據(jù)點的坐標(biāo)代入求參即可得出拋物線解析式；
（2）根據(jù)拋物線的頂點式方程得出頂點坐標(biāo)；
（3）應(yīng)用面積公式得出點的縱坐標(biāo)，再代入求參即可得出橫坐標(biāo)，最后寫出點的坐標(biāo).
【詳解】（1）把,代入得
，解得，解析式為.
（2），頂點為.
（3）設(shè)點的坐標(biāo)為，則，解得或，
頂點縱坐標(biāo)為，（或中，無解）,
解得，點的坐標(biāo)為或.
16．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，若為真，即即可求解；
（2） 由、一真一假，分別討論兩種情況即可.
【詳解】（1）對于命題，因關(guān)于的方程無實數(shù)根，
所以，即.
因為真，故實數(shù)的取值范圍為.
（2）若命題為真，因關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，
所以，即或.
、有且僅有一個為真命題，所以、一真一假，
當(dāng)真假時， ，即或；
當(dāng)假真時， ，即.
綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)已知條件求出，再求；
（2）由可得，討論和兩種情況，進而得到的取值范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時，所以，
因為，所以，
所以；
（2）因為，所以，
當(dāng)時，符合題意，則，即，
當(dāng)時，則只需，解得，
綜上可得實數(shù)的取值范圍為.
18．【答案】(1)扎染坊第一次購進甲種布料件，購進乙種布料件
(2)第二次購進甲種布料件，乙種布料件時獲利最大，最大利潤為元
【分析】（1）根據(jù)題意由總金額和總件數(shù)列方程組即可解得甲種布料件，乙種布料件；
（2）寫出利潤關(guān)于甲種布料的表達式，根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)即可得出當(dāng)時，利潤最大為元.
【詳解】（1）設(shè)扎染坊第一次購進甲種布料件，購進乙種布料件，
根據(jù)題意得，解得，
答：扎染坊第一次購進甲種布料件，購進乙種布料件.
（2）由題知，解得，
可得，即，
，隨的增大而增大，
當(dāng)時，元，此時乙種布料為件，
答：第二次購進甲種布料件，乙種布料件時獲利最大，最大利潤為元.
19．【答案】（1）；（2）①證明見解析；②證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題意，利用集合相等的定義，列出方程組，即可求解；
（2）①由，根據(jù)題意，結(jié)合，準(zhǔn)確運算，即可求解；
②假設(shè)集合中只有個元素，結(jié)合題意，得到方程，結(jié)合一元二次方程的性質(zhì)，即可得證.
【詳解】因為集合可表示為，也可表示為，即
則滿足，且，解得，所以.
（2）①若，則；若，則；
若，則， 所以當(dāng)時，集合中必含有另兩個元素和；
②假設(shè)集合中只有個元素（），
由題意可知，因為集合為單元素集合，所以，即，
又由，則此方程無實數(shù)解，所以假設(shè)不成立，
所以集合不可能是單元素集合.
2024-2025學(xué)年黑龍江省牡丹江市高一上學(xué)期開學(xué)摸底考數(shù)學(xué)
檢測試卷（二）
一、單選題（本大題共10小題）
1．下列各組對象不能構(gòu)成集合的是（ ）
A．上課遲到的學(xué)生B．2020年高考數(shù)學(xué)難題
C．所有有理數(shù)D．小于的正整數(shù)
2．下列因式分解中錯誤的是（ ）
A．B．
C．D．
3．設(shè)集合，，，則（ ）
A．B．C．D．
4．下列式子中成立的是（ ）．
A．B．
C．D．
5．若集合中有且只有一個元素，則值的集合是（ ）
A．B．C．D．
6．不等式的解集是（ ）
A．或B．或
C．或D．
7．若，，則的值是（ ）
A．0.9B．1.08C．2D．4
8．已知一次函數(shù)的圖象如圖所示，則二次函數(shù)的圖象可能是（ ）

A． B．
C． D．
9．設(shè)集合，，，則（ ）
A．B．C．D．
10．當(dāng)時，函數(shù)有最大值3，最小值2，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、填空題（本大題共4小題）
11．集合，，且，則實數(shù) ．
12．已知方程的兩個根為和，則 .
13．已知集合，，則滿足?的集合的個數(shù)為 .
14．已知，則的值為 .
三、解答題（本大題共5小題）
15．（1）計算：；
（2）解不等式組：；
（3）約分：.
16．如圖，為線段上一動點，分別過點作，連接，已知，設(shè).
(1)用含的代數(shù)式表示的長；
(2)請問點滿足什么條件時，的值最??？
17．設(shè)集合，
(1)若，求實數(shù)的范圍；
(2)若，求實數(shù)的范圍.
18．一家圖文廣告公司制作的宣傳畫板頗受商家歡迎，這種畫板的厚度忽略不計，形狀均為正方形，邊長在之間.每張畫板的成本價（單位：元）與它的面積（單位：）成正比例，每張畫板的出售價（單位：元）是畫板的邊長的一次函數(shù).在營銷過程中得到了表格中的數(shù)據(jù).
(1)求一張畫板的出售價與邊長之間滿足的函數(shù)關(guān)系式；
(2)已知出售一張邊長為畫板，獲得的利潤為130元（利潤出售價成本價），
①求一張畫板的利潤與邊長之間滿足的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)邊長為多少時，出售一張畫板所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？
19．已知二次函數(shù).
(1)當(dāng)時，若在上的值域為，求m的取值范圍；
(2)求在上的最小值的解析式.
參考答案
1．【答案】B
【分析】由集合元素的確定性即可判斷.
【詳解】2020年高考數(shù)學(xué)難題，無法界定故錯誤；其它三個都是明確可知，故正確.
故選B.
2．【答案】C
【分析】利用因式分解的常用方法：公式法、提公因式法、分組分解法、十字分解法等，分解因式，判斷選項的正誤即可．
【詳解】A．，故該選項正確，不符合題意；
B．，故該選項正確，不符合題意；
C．，故該選項不正確，符合題意；
D．，故該選項正確，不符合題意．
故選C．
3．【答案】D
【分析】由集合的補集，并集運算求解即可.
【詳解】由題意可知，所以，
所以，
故選D.
4．【答案】C
【分析】先由得，對于A，由和即可判斷；對于BD，由時無意義即可判斷；對于C，由得得解.
【詳解】由可知，
對于A，，，故A錯誤；
對于B，時，，而無意義，故B錯誤；
對于C，，，且，故C正確；
對于D，時，，而無意義，故D錯誤；
故選C.
5．【答案】D
【分析】分是否為0兩種情況進行討論，結(jié)合二次方程根的情況列式求解即可.
【詳解】當(dāng)時，，故符合題意；
當(dāng)時，由題意，解得，符合題意，
滿足題意的值的集合是.
故選D.
6．【答案】C
【分析】根據(jù)絕對值的意義求解即可．
【詳解】，得，或，
得，或，
故選C．
7．【答案】B
【分析】根據(jù)題意結(jié)合指數(shù)冪運算求解.
【詳解】因為，，所以.
故選B.
8．【答案】D
【分析】由一次函數(shù)的圖象可得：，，然后判斷二次函數(shù)的圖象即可.
【詳解】由一次函數(shù)的圖象可知：，，
所以二次函數(shù)的圖象開口向下，
且對稱軸為：.
故選D.
9．【答案】C
【分析】由，可得結(jié)論.
【詳解】因為，所以且，
所以.
故選C.
10．【答案】C
【分析】作出的圖象，對函數(shù)進行配方可得，繼而得到和時的值，根據(jù)圖象即可得到答案
【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖
，
當(dāng)時，最小，最小值為，當(dāng)或時，，
因為函數(shù)有最大值3，最小值2，則的取值范圍是.
故選C.
11．【答案】
【分析】根據(jù)集合關(guān)系，可得，從而可求解.
【詳解】由題意得，
則，解得.
故答案為：.
12．【答案】14
【分析】根據(jù)給定條件，利用韋達定理列式計算即得.
【詳解】方程有實根，則，
所以.
故答案為：14.
13．【答案】7
【分析】化簡集合，結(jié)合求集合的子集的結(jié)論即可求得結(jié)果.
【詳解】因為，
，
所以滿足?的集合中必有元素2，3，
所以求滿足?的集合的個數(shù)，即求集合的真子集個數(shù)，
所以滿足?的集合的個數(shù)為個.
故答案為：7.
14．【答案】1
【分析】根據(jù)題意，先求，即可得解.
【詳解】根據(jù)題意，，
又，所以，
則.
故答案為：1.
15．【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）借助根式與冪運算法則計算即可得.
（2）分別解出兩個不等式后即可得；
（3）借助公式法因式分解后結(jié)合分?jǐn)?shù)的性質(zhì)即可得.
【詳解】（1）原式；
（2）由可得，由可得，
故原不等式組的解為；
（3）原式.
16．【答案】(1),
(2)點與點的距離為時, 的值最小為10
【分析】（1）先將表示出來，再利用勾股定理求出即得；
（2）結(jié)合圖形，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)點在線段上時，的值最小，利用相似三角形即可求出的值，繼而得到的最小值.
【詳解】（1）由，因，則，
在中，，在中，，
于是，，其中，；
（2）由圖知，當(dāng)點在線段上時，即三點共線時，的值最小.
此時，易得,則,即，解得，，
即點與點的距離為時，的值最小，為10.
(此時,).
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意可得，再分及結(jié)合集合的基本關(guān)系討論即可得；
（2）由題意可得，借助集合的基本關(guān)系計算即可得.
【詳解】（1）由，故，
當(dāng)時，有，解得；
當(dāng)時，有，解得；
綜上所述，；
（2）由，故，
故有，解得，
故.
18．【答案】(1)
(2)①；②當(dāng)正方形畫板的邊長為時，可獲最大利潤154元
【分析】（1）可設(shè)y出售價,把表中數(shù)據(jù)代入即可求出結(jié)論；
（2）①每張畫板的成本價與它的面積成正比例，可設(shè)其成本價，每張畫板的出售價由基礎(chǔ)價和浮動價兩部分組成，其中基礎(chǔ)價與畫板的大小無關(guān),是固定不變的,浮動價與畫板的邊長成正比例．②由利潤出售價成本價，可得出二次函數(shù)，求出其最大值即可.
【詳解】（1）設(shè)正方形畫板的邊長為，出售價為每張y元，且
由表格中的數(shù)據(jù)可得，，
解得，
從而一張畫板的出售價y與邊長x之間滿足函數(shù)關(guān)系式；
（2）①設(shè)每張畫板的成本價為，利潤為w元，
則，
當(dāng)時，，
∴，
解得，
∴一張畫板的利潤w與邊長x之間滿足函數(shù)關(guān)系式；
②由，知當(dāng)時，w有最大值，w最大值為154，
因此當(dāng)正方形畫板的邊長為時，可獲最大利潤154元．
19．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）結(jié)合二次函數(shù)的對稱軸及端點值，即可求解參數(shù)范圍.
（2）根據(jù)對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系分類討論求解最小值即可.
【詳解】（1）當(dāng)時，，所以，
又因為，，
所以在上的值域為0,1時，；
（2）由題意可知，的對稱軸為，且圖象開口向上，
①當(dāng)時，在0,1上單調(diào)遞增，
故；
②當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故；
③當(dāng)時，在0,1上單調(diào)遞減，
故．
綜上所述，．
單價
類別
成本價元件
銷售價元件
甲種布料
乙種布料
畫板的邊長
8
10
出售價（元/張）
148
160

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