1．甲、乙、丙人投籃，投進(jìn)的概率分別為，，，現(xiàn)人各投籃次，是否投進(jìn)互不影響，則人都投進(jìn)的概率為（ ）．
A．B．C．D．
2．已知集合，集合，則（ ）
A．B．C．D．
3．青島二中戲劇節(jié)中，6個(gè)MT除人文MT有兩個(gè)節(jié)目參加決賽外，其他MT各有一個(gè)節(jié)目參加決賽，一共7個(gè)節(jié)目，在決賽中，要從這7支隊(duì)伍中隨機(jī)抽取兩支隊(duì)伍比賽，則人文MT兩支隊(duì)伍不同時(shí)被抽到的概率為（ ）
A．B．C．D．
4．如圖，在正三棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值是（ ）
A．0B．C．D．
5．已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則（ ）
A．B．
C．D．
6．的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，則下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A．若，則
B．若，，，則有兩解
C．若為鈍角三角形，則
D．若，，則ΔABC面積的最大值為
7．在ΔABC中， ，,，分別是角，，的對(duì)邊，且，則=（ ）
A．B．C．D．
8．已知，為直線，為平面，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若 ，則 B．若 ，則
C．若 ，則 D．若 ，則
二、多選題（本大題共3小題）
9．在等腰直角中，，是的中點(diǎn)，若點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)，則的值可能為（ ）
A．1B．2C．D．
10．高一某次數(shù)學(xué)考試中，某班學(xué)生原始成績(jī)最高分為100分，最低分為20分，現(xiàn)將每個(gè)學(xué)生的原始分?jǐn)?shù)按（a，b為常數(shù)，）進(jìn)行轉(zhuǎn)換，是轉(zhuǎn)換后的分?jǐn)?shù)，轉(zhuǎn)換后，全班最高分為100分，最低分為60分，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．轉(zhuǎn)換后分?jǐn)?shù)的眾數(shù)的個(gè)數(shù)不變
B．轉(zhuǎn)換后分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是原始分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)差的0.5倍
C．轉(zhuǎn)換后分?jǐn)?shù)的平均數(shù)一定大于原始分?jǐn)?shù)的平均數(shù)
D．轉(zhuǎn)換后分?jǐn)?shù)的中位數(shù)一定大于原始分?jǐn)?shù)的中位數(shù)
11．已知是兩個(gè)隨機(jī)事件，，下列命題正確的是（ ）
A．若相互獨(dú)立，B．若事件，則
C．若是對(duì)立事件，則D．若是互斥事件，則
三、填空題（本大題共3小題）
12． ．
13．棱長(zhǎng)都是3的三棱錐的高等于 .
14．平面向量與的夾角為60°，，，則等于 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．用平方米的材料制成一個(gè)有蓋的圓錐形容器，如果在制作過(guò)程中材料無(wú)損耗，且材料的厚度忽略不計(jì)，底面半徑長(zhǎng)為，圓錐母線的長(zhǎng)為．
(1)建立與的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出的取值范圍；
(2)圓錐的軸截面為正三角形，求所制作的圓錐形容器容積多少立方米
16．已知向量滿(mǎn)足．
(1)若，求與的夾角；
(2)若與共線，求的坐標(biāo)．
17．在中，已知內(nèi)角成等差數(shù)列，邊.設(shè)內(nèi)角，的周長(zhǎng)為．
(1)求函數(shù)y=fx的解析式和定義域.
(2)求的最大值.
18．某高校為了解即將畢業(yè)的男大學(xué)生的身體狀況檢測(cè)了960名男大學(xué)生的體重（單位：），所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間中，其頻率分布直方圖如圖所示.圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率之比為.
（1）求這960名男大學(xué)生中，體重小于的男大學(xué)生的人數(shù)；
（2）從體重在范圍的男大學(xué)生中用分層抽樣的方法選取6名，再?gòu)倪@6名男大學(xué)生中隨機(jī)選取2名，記“至少有一名男大學(xué)生體重大于”為事件，求事件發(fā)生的概率.
19．如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)棱AA1的長(zhǎng)為b，∠A1AB=∠A1AD=120°.

（1）求AC1的長(zhǎng);
（2）證明:AC1⊥BD．
參考答案
1．【答案】A
【分析】利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算即可.
【詳解】利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式.
3人都投進(jìn)的概率為.
故選A.
2．【答案】C
【分析】求出集合、，利用交集的定義可求得集合.
【詳解】，，
因此，.
故選C.
3．【答案】B
【分析】從這7支隊(duì)伍中隨機(jī)抽取兩支隊(duì)伍比賽，總共有種可能，人文兩支隊(duì)伍同時(shí)被抽到的共有2種情況，利用正難則反法，求出即可．
【詳解】從這7支隊(duì)伍中隨機(jī)抽取兩支隊(duì)伍比賽，總共有種可能，
人文兩支隊(duì)伍同時(shí)被抽到的共有2種情況，
所以人文兩支隊(duì)伍不同時(shí)被抽到的概率為.
故選B．
4．【答案】B
【分析】利用三角形的中位線做出異面直線所成角，然后利用余弦定理計(jì)算即可.
【詳解】如圖所示:
連接A1C,交AC1于D,取BC的中點(diǎn)E,連接AE,DE,
則DE//A1B,∴為異面直線A1B和AC1所成的角或其補(bǔ)角.
由題意，可設(shè)該正三棱柱的棱長(zhǎng)為2，易得,
則AE=,
∴,
∴異面直線A1B和AC1所成的角的余弦值為，
故選B.
5．【答案】B
【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，求出復(fù)數(shù)z，可求.
【詳解】由題意得，所以，所以，
故，所以.
故選B.
6．【答案】C
【分析】A.根據(jù)，得到，再由正弦定理求解判斷；B.由判斷； C. 由為鈍角三角形且C為鈍角，利用余弦定理求解判斷； D. 由余弦定理與基本不等式結(jié)合三角形面積公式求解判斷.
【詳解】A. 因?yàn)?，所以，由正弦定理，得到，故A正確；
B.，則，所以有兩解，故B正確；
C. 為鈍角三角形且C為鈍角，則，則，故C錯(cuò)誤；
D. 由余弦定理與基本不等式得，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，則面積的最大值為，故D正確；
故選C.
7．【答案】C
【分析】根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)條件式，結(jié)合余弦定理即可求得角．
【詳解】∵
∴由正弦定理可得，即.
∴由余弦定理可得，整理可得.
∴
∵
∴.
故選C.
8．【答案】B
【分析】根據(jù)空間中線線，線面的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可.
【詳解】由題可得，對(duì)于選項(xiàng)A，由直線與平面垂直的判定可知，直線必須垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，直線才能垂直平面，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B，由垂直于同一平面的兩條直線平行可知，選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，時(shí)或，所以C錯(cuò)誤；.
當(dāng)，有或或，所以D錯(cuò)誤.
故選B.
9．【答案】BD
【分析】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，分類(lèi)討論可能的情況，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式求解答案.
【詳解】在等腰直角中，，則，
如下圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，
則，

①為線段靠近的三等分點(diǎn)，則，
此時(shí)，，則；
②為線段靠近的三等分點(diǎn)，則，
此時(shí)，，則.
所以的值可能為2或.
故選BD.
10．【答案】ABC
【分析】根據(jù)題意，列出方程，求出得值，由此分析選項(xiàng)是否正確即可.
【詳解】根據(jù)題意，由于，由，
解得
即轉(zhuǎn)換規(guī)則為，由此分析選項(xiàng)：
對(duì)于,轉(zhuǎn)化后分?jǐn)?shù)的眾數(shù)的個(gè)數(shù)不變，正確；
對(duì)于，由于轉(zhuǎn)化規(guī)則為，轉(zhuǎn)換后分?jǐn)?shù)的方差是原始分?jǐn)?shù)方差的倍，故轉(zhuǎn)化后分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是原始分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)差的倍，正確；
對(duì)于,設(shè)原始分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為，必有，則轉(zhuǎn)化后的平均數(shù)為，
所以，正確；
對(duì)于,反例：當(dāng)中位數(shù)成績(jī)?yōu)闀r(shí)，其轉(zhuǎn)化后的成績(jī)的中位數(shù)也為錯(cuò)誤.
故選
11．【答案】ABD
【分析】利用條件概率、相互獨(dú)立事件判斷A；利用條件概率的定義判斷B；利用條件概率及對(duì)立、互斥事件的意義判斷C，D作答.
【詳解】對(duì)于A，隨機(jī)事件相互獨(dú)立，則，，A正確；
對(duì)于B，事件，，，B正確；
對(duì)于C，因是對(duì)立事件，則，，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因是互斥事件，則，，D正確.
故選ABD.
12．【答案】
【分析】分母完全平方展開(kāi)，利用，再利用分母實(shí)數(shù)化處理，即可求出答案.
【詳解】．
故答案為：.
13．【答案】
【分析】頂點(diǎn)P在底面上的射影為，在直角三角形中，利用勾股定理求棱錐的高.
【詳解】如圖，三棱錐棱長(zhǎng)都是3，

設(shè)頂點(diǎn)P在底面上的射影為，則是等邊的中心，
為外接圓半徑，，
則在直角三角形中，，
所以三棱錐的高.
故答案為：.
14．【答案】
【分析】先求向量，再根據(jù)向量模的運(yùn)算求.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)榕c的夾角為，，
所以
；
所以.
故答案為：.
15．【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）由題意可知，制作該容器需要的鐵皮面積，即圓錐的表面積，得到方程，分離出即可，利用求出定義域；
（2）利用母線與底面所成的角大小為，結(jié)合（1）所得，求出底面半徑和圓錐的高，利用圓錐的體積公式求出所制作的圓錐形容器容積即可．
【詳解】（1）根據(jù)題意，因?yàn)閳A錐的表面積，，
，
，解得，
即，.
（2）圓錐的軸截面為正三角形，設(shè)圓錐高為h，
則，，
，
由（1）知，即，
解得，
．
16．【答案】(1)
(2)或．
【分析】（1）結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，以及平面向量的夾角公式，即可求解；
（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合向量共線的性質(zhì)，以及向量模公式，即可求解．
【詳解】（1），則，
設(shè)與的夾角為，,，
因?yàn)?，?br>則，解得，
故；
（2）與共線，，則，
由，故，解得，
故或．
17．【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)求得的大小，利用正弦定理求得，由此求得的解析式和定義域.
（2）利用兩角差的正弦公式和輔助角公式，化簡(jiǎn)，根據(jù)的范圍求得的范圍，由此求得的最大值.
【詳解】（1）因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，又，所以.
由，得，即.
由正弦定理得：，
所以，
所以.
（2）
.
因?yàn)?，所以?br>所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為.
18．【答案】（1）360人（2）
【分析】（1）由所有頻率之和為1求得前3個(gè)小組的頻率，然后可得體重小于的頻率，從而得人數(shù)；
（2）由頻率分布直方圖，求出體重在與的范圍各自抽取的人數(shù)，把6人編號(hào)，用列舉法列舉出任取2人的所有基本事件，同時(shí)得出事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)，求得概率．
【詳解】（1）設(shè)這個(gè)小組對(duì)應(yīng)的頻率為.
∵對(duì)應(yīng)的頻率為，
∴.解得.
∴對(duì)應(yīng)的頻率為0.375，從而所求人數(shù)為
（人）.
（2）∵男大學(xué)生體重在與的頻率之比為，
∴這6名男大學(xué)生體重在與的人數(shù)分別為4，2.
分別記他們?yōu)?，，，，，，從中隨機(jī)選取2
名的所有情況為，，，
，，，，，，
，，，，，
，共15個(gè)基本事件，其中事件包含9個(gè)基本事件，∴.
【方法總結(jié)】本題考查頻率分布直方圖，考查古典概型．用列舉法寫(xiě)出所有基本事件是解決古典概型的常用方法．
19．【答案】（1）（2）見(jiàn)解析
【分析】（Ⅰ）直接根據(jù)向量的加法把所求問(wèn)題分解，再平方計(jì)算出模長(zhǎng)的平方，進(jìn)而求出結(jié)論；
（Ⅱ）以，，為基底表示，，通過(guò)向量數(shù)量積的運(yùn)算證明⊥，可證得AC1⊥BD.
【詳解】（1）∵||2=(+)2=(++)2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=a2+a2+b2+2a2cs 90°+2abcs 120°+2abcs 120°=2a2+b2-2ab,
∴AC1=||=.
（2）∵·=(++)·(-)=·+||2+·-||2-·-··-·=bacs 120°-bacs 120°=0,
∴⊥,即AC1⊥BD．
【方法總結(jié)】本題主要考查異面直線的垂直以及兩點(diǎn)間的距離計(jì)算．考查轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算能力．
2024-2025學(xué)年黑龍江省齊齊哈爾市高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（二）
一、單選題（本大題共8小題）
1．已知，若(為虛數(shù)單位)是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)等于（ ）
A．1B．2C．D．
2．如圖,三棱柱中,側(cè)面的面積是,點(diǎn)到側(cè)面的距離是,則三棱柱的體積為（ ）
A．B．C．D．
3．若在中，，，則的形狀是（ ）
A．正三角形B．銳角三角形C．斜三角形D．等腰直角三角形
4．已知中，角的對(duì)邊分別為，已知，，若三角形有兩解，則邊的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
5．在平面直角坐標(biāo)系中，、，若點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
6．若角的終邊在直線上，則＝（ ）
A．B．－C．D．－
7．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．
8．在正方體中，是棱的中點(diǎn).則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．異面直線與所成角的余弦值為
B．三棱錐的體積是三棱錐體積的3倍
C．直線與平面所成角的正弦值等于
D．在棱上一定存在點(diǎn)，使得平面
二、多選題（本大題共3小題）
9．下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，為虛數(shù)單位，則是方程的一個(gè)根
B．已知，，則
C．有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱
D．
10．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．的最小正周期是
B．函數(shù)在上單調(diào)遞增
C．的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是
D．若，時(shí)，成立，則的最大值為
11．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．
B．三棱錐的體積最大值為1
C．若，則點(diǎn)到直線EF的距離為
D．三棱錐外接球球心軌跡的長(zhǎng)度近似為
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知，用斜二測(cè)畫(huà)法作它的直觀圖，若是斜邊平行于軸的等腰直角三角形，則是 三角形（填“銳角”、“直角”、“鈍角”）.
13．在中，，BC=AC，則角B的大小為 ．
14．①在中，若，，，則此三角形的解的情況是兩解．
②數(shù)列滿(mǎn)足，，則．
③在中，為中線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值是．
④已知，則．
⑤已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，，成等比數(shù)列．
以上命題正確的有 （只填序號(hào)）．
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知一個(gè)上、下底面為正三角形且兩底面中心連線垂直于底面的三棱臺(tái)的兩底面邊長(zhǎng)分別為20cm和30cm，且其側(cè)面積等于兩底面面積之和，求棱臺(tái)的高．
16．如圖，在中，D是BC的中點(diǎn)，H是AD的中點(diǎn)，過(guò)H作一條直線MN分別與邊AB，AC交于M，N，若，.
（1）若，，，求的值；
（2）求的最小值.
17．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且，.
（1）求；
（2）若，求的面積.
18．對(duì)于平面向量，記，若存在，使得，則稱(chēng)是的“向量”．
(1)設(shè)，若是的“向量”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若，則是否存在“1向量”?若存在，求出“1向量”；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)已知均為的“向量”，其中．設(shè)平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)列滿(mǎn)足（與原點(diǎn)重合），且與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．求的取值范圍．
19．已知,,分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，,.
（1）求；
（2）若的中點(diǎn)，，求.
參考答案
1．【答案】A
【分析】由復(fù)數(shù)的除法和加法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由為實(shí)數(shù)可得出答案.
【詳解】
由為實(shí)數(shù)，則，所以.
故選A.
【思路導(dǎo)引】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和加法運(yùn)算，復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的充要條件.
2．【答案】C
【分析】側(cè)面的面積是,點(diǎn)到側(cè)面的距離是,可得,又,即可求得三棱柱的體積.
【詳解】側(cè)面的面積是,點(diǎn)到側(cè)面的距離是，
，
，
，
.
故選C.
【思路導(dǎo)引】本題考查了求三棱錐體積,解題關(guān)鍵是掌握三棱柱體積計(jì)算公式和三棱柱特征,考查了分析能力和計(jì)算能力.
3．【答案】D
【分析】，平方計(jì)算得到得到答案.
【詳解】，則，故，
故，故為等腰直角三角形.
故選D.
【思路導(dǎo)引】本題考查了根據(jù)向量運(yùn)算判斷三角形形狀，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.
4．【答案】C
【分析】利用三角形有兩解的條件即可得解.
【詳解】因?yàn)樵谥?，，，且三角形有兩解?br>所以，即，解得.
故選C.
5．【答案】D
【分析】可得，求得的取值范圍，進(jìn)而可求得的取值范圍.
【詳解】，且，，
為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則，所以，.
，，
則.
故選D.
【思路導(dǎo)引】本題考查向量投影的取值范圍的計(jì)算，利用代數(shù)式的幾何意義求解代數(shù)式的取值范圍是解題的關(guān)鍵，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.
6．【答案】A
【詳解】角的終邊在直線上，不妨設(shè)角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則.
所以.
故選A.
7．【答案】B
【分析】利用三角恒等變換和同角間三角函數(shù)的關(guān)系判斷a，b，c的取值范圍，然后繼續(xù)比較大小即可得答案.
【詳解】由題意得 ，
，
，
，
，
，故，
，則 ，
，則，
可得.
故選.
8．【答案】D
【解析】把異面直線與所成角轉(zhuǎn)化為直線與所成的角，可判定A不正確；由棱錐的體積公式，求得所以，可判定B不正確；根據(jù)直線與平面所成角的求法，可判定C不正確；根據(jù)線面平行的判定定理，可判定D正確.
【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，如圖所示，
對(duì)于A中，在正方體中，可得，
所以異面直線與所成角等于直線與所成的角，設(shè)，
在直角中，可得，所以，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B中，可得，
,
所以，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于C中，在正方體中，可得平面，
則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，
連接交于點(diǎn)，可得平面，且，
即點(diǎn)到平面的距離為，
設(shè)直線與平面所成角為，則，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D中，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，連接，
在中，由點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，可得，
又由平面，平面，所以平面，
即在棱上一定存在點(diǎn)，使得平面，所以D正確.
故選D.
【方法總結(jié)】1、空間幾何體的體積的求法：（1）公式法：直接根據(jù)相關(guān)的體積公式計(jì)算；（2）等體積法：根據(jù)體積公式，通過(guò)轉(zhuǎn)換幾何體的底面和高使得體積計(jì)算更容易，或是求出一些體積比等；（3）割補(bǔ)法：把不能直接計(jì)算體積的空間幾何體進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指罨蜓a(bǔ)形，轉(zhuǎn)化為可計(jì)算體積的幾何體.
2、空間角的求解：（1）定義法：根據(jù)異面直線所成角、直線與平面所成的角、二面角的定義，結(jié)合解三角形求解；（2）空間向量法：根據(jù)直線的方向向量、平面的法向量等所成的角求解空間角的大小，但要注意向量所成的角與異面角、線面角及二面角的區(qū)別與聯(lián)系.
9．【答案】AB
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算即可判斷A；根據(jù)誘導(dǎo)公式和反三角函數(shù)的概念即可判斷B；根據(jù)棱柱的定義，舉例說(shuō)明即可判斷C；根據(jù)二倍角的正弦公式和誘導(dǎo)公式計(jì)算即可判斷D.
【詳解】A：由，得，
將代入式子，
即是方程的一個(gè)根，故A正確；
B：由，得，而，
解得，所以，故B正確；
C：將兩個(gè)相同的斜平行六面體疊放組成的多面體不是棱柱，如圖，故C錯(cuò)誤；
D：
，故D錯(cuò)誤.
故選AB.
10．【答案】ABD
【分析】先利用輔助角公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性，單調(diào)性和對(duì)稱(chēng)性即可判斷ABC；令，則，時(shí)，成立，可轉(zhuǎn)化為，時(shí)，成立，作出函數(shù)和的圖象，結(jié)合圖象即可判斷D.
【詳解】，
對(duì)于A，，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)椋?br>所以不是的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，令，由，得，
設(shè)，不妨設(shè)，則，
則，時(shí)，成立，
即，時(shí)，成立，即成立，
令，
則方程有兩個(gè)不同的解，
如圖作出函數(shù)和的圖象，
由圖可知的最大值為，
即，所以，
即的最大值為，故D正確.
故選ABD.
11．【答案】ACD
【分析】以為原點(diǎn)，建立空間坐標(biāo)系，設(shè)，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，由于，則，選項(xiàng)A正確；由三棱錐的體積公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得三棱錐的體積最大值，判斷出選項(xiàng)B；在中，利用等面積計(jì)算，可得點(diǎn)到直線的距離，判斷出選項(xiàng)C；求出三棱錐外接球球心坐標(biāo)，分析可知球心的軌跡為線段（沒(méi)有端點(diǎn)），可判斷出選項(xiàng)D．
【詳解】以為原點(diǎn)，建立空間坐標(biāo)系如圖所示，
設(shè)，
則，，，，，
對(duì)于選項(xiàng)A：可得，，
因?yàn)?，即，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)槿忮F的體積
當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積取到最大值，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：若，則，，
設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，
在中，，，，則，
且為銳角，可得，
則，
即，解得，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)三棱錐外接球球心
由題意可知：，即，則，
且，可知球心的軌跡為線段（沒(méi)有端點(diǎn)），且兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以三棱錐外接球球心軌跡的長(zhǎng)度近似為，故D正確.
故選ACD.
【思路導(dǎo)引】對(duì)于選項(xiàng)D：可以利用補(bǔ)形法，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，可知三棱錐外接球球心即為長(zhǎng)方體的中心.
12．【答案】直角
【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法，，直接判斷的形狀．
【詳解】如圖所示，且，，將還原可得，所以，所以為直角三角形．
【思路導(dǎo)引】本題考查斜二測(cè)畫(huà)法中直觀圖的還原．
13．【答案】
【分析】由，化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而得到，再由 BC=AC，得到求解.
【詳解】在中，，
所以，即，
所以，則，
又因?yàn)?BC=AC，
所以,
則，即，
所以或（舍去），
所以.
故答案為：.
14．【答案】①
【分析】根據(jù)三角形解得個(gè)數(shù)的判定方法，可判定①正確；由等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，可判定②不正確；由向量的數(shù)量積的運(yùn)算，可判定③不正確；由數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，可判定④不正確；舉出反例，可判定⑤不正確.
【詳解】對(duì)于①中，由，可得，
因?yàn)?，所以有兩解，故①正確；
對(duì)于②中，由，可得，即，
所以數(shù)列構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，所以，
即，所以，故②不正確；
對(duì)于③中，設(shè)，其中，則,
由為中線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，
則
，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，故③不正確；
對(duì)于④中，由，
則，
兩式相減，可得，所以，
當(dāng)時(shí)，可得，不適合上式，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，故④不正確；
對(duì)于⑤中，例如；等比數(shù)列為：時(shí)，可得，，，此時(shí)不能構(gòu)成等比數(shù)列，故⑤不正確.
故答案為：①.
【思路導(dǎo)引】本題主要考查了命題的真假判定，其中解答中涉及到三角形解得個(gè)數(shù)的判定，等比數(shù)列的定義域通項(xiàng)公式，數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，以及平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積的運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)綜合考查.
15．【答案】
【分析】利用棱臺(tái)的高、斜高、邊心距構(gòu)成直角梯形，通過(guò)構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求出棱臺(tái)的高．
【詳解】如圖所示，在正三棱臺(tái)中，兩底面邊長(zhǎng)分別為AB=30cm，=20cm，
∴側(cè)面積為，
兩底面積之和為，
∵，∴，解得，
∴=，
∴=，
即棱臺(tái)的高為．
【思路導(dǎo)引】本題主要考查了求正三棱臺(tái)的高的問(wèn)題，其中解題時(shí)應(yīng)結(jié)合圖形，利用棱臺(tái)的高、斜高、邊心距構(gòu)成直角梯形，通過(guò)構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力．
16．【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）以向量為基底表示出，即可求解；
（2）根據(jù)與共 線 ，得到存在使，用表示出，再利用基本不等式即可求解.
【詳解】（1）D是BC的中點(diǎn)，H是AD的中點(diǎn)，
，，
故，
又，
；
（2），，，
，
與共 線 ，
存 在使 ，
即，
，
即 ，
，
當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)，即“”時(shí)取等號(hào)，
故的最小值為.
17．【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由正弦定理化簡(jiǎn)可得，利用余弦定理即可得到的值．
（2）結(jié)合（1）可得以及邊的長(zhǎng)，利用面積公式即可得到答案．
【詳解】（1）因?yàn)?，所以，?
又因?yàn)椋?br>所以.
（2）因?yàn)?，所?
因?yàn)?，在中，，所? ，
所以.
【思路導(dǎo)引】本題主要考查正弦定理的邊角互化以及余弦定理與面積公式，考查學(xué)生基本的計(jì)算能力．
18．【答案】(1)或；
(2)存在“1向量”， “1向量”為，；
(3).
【分析】（1）根據(jù)“向量”的定義，即可由模長(zhǎng)公式求解；
（2）利用三角函數(shù)的周期性可得，即可由定義求解，
（3）由定義，結(jié)合模長(zhǎng)公式可得，設(shè)，由條件列式，變形為，結(jié)合三角函數(shù)的性子，轉(zhuǎn)化為求的最小值．
【詳解】（1）由可得，
故，，
由于是的“向量”，所以即，
解得或，
（2）由于均為周期函數(shù)，且周期為，而
故，
若存在“1向量”，則存在，使得
故，
即，
故，故,
解得，即或
故存在“1向量”，若存在，“1向量”為
故，
（3）由于均為的“向量”，故，
即，，
即，同理，，
三式相加并化簡(jiǎn)，得：，
即，，所以，
設(shè)，由，得，
設(shè),，則依題意得：，
得
故，
同理，
故，
所以，
，
故，
故，
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】（1）（2）問(wèn)充分利用定義，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，模長(zhǎng)公式，以及三角函數(shù)的周期性求解,（3）問(wèn)，利用點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)，得到坐標(biāo)間的關(guān)系，利用遞推得是解題關(guān)鍵.
19．【答案】(1)；(2)或.
【分析】（1）由已知利用正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式可得，結(jié)合范圍，可求，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)行可求，根據(jù)三角形面積公式即可計(jì)算得解．
（2）由已知可得，兩邊平方可得又結(jié)合，即可解得的值．
【詳解】（1），
，
，
又
.
(2)
又或.
【思路導(dǎo)引】本題主要考查了正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力和轉(zhuǎn)化思想．

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