目錄
【真題自測(cè)】2
【考點(diǎn)突破】3
【考點(diǎn)一】構(gòu)造輔助數(shù)列3
【考點(diǎn)二】利用an與Sn的關(guān)系4
【專題精練】5
考情分析：
數(shù)列的遞推關(guān)系是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容，作為兩類特殊數(shù)列——等差數(shù)列、等比數(shù)列，可直接根據(jù)它們的通項(xiàng)公式求解，但也有一些數(shù)列
真題自測(cè)
一、單選題
1．（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列滿足，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立
B．當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立
C．當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立
D．當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立
2．（2022·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
4．（2022·北京·高考真題）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和滿足．給出下列四個(gè)結(jié)論：
①的第2項(xiàng)小于3； ②為等比數(shù)列；
③為遞減數(shù)列； ④中存在小于的項(xiàng)．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
三、解答題
5．（2022·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．
6．（2022·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：．
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)一】構(gòu)造輔助數(shù)列
一、單選題
1．（2024·山東濰坊·一模）已知數(shù)列an滿足，．若數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，則（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·山東青島·階段練習(xí)）若數(shù)列滿足，，則滿足不等式的最大正整數(shù)為（ ）
A．28B．29C．30D．31
二、多選題
3．（2024·湖南長(zhǎng)沙·一模）小郡玩一種跳棋游戲，一個(gè)箱子中裝有大小質(zhì)地均相同的且標(biāo)有的10個(gè)小球，每次隨機(jī)抽取一個(gè)小球并放回，規(guī)定：若每次抽取號(hào)碼小于或等于5的小球，則前進(jìn)1步，若每次抽取號(hào)碼大于5的小球，則前進(jìn)2步.每次抽取小球互不影響，記小郡一共前進(jìn)步的概率為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．小華一共前進(jìn)3步的概率最大
4．（2023·遼寧朝陽(yáng)·一模）已知數(shù)列滿足，且，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列B．
C．D．
三、填空題
5．（23-24高二上·廣東河源·期末）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，則 .
6．（2024·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.若，則的最小值為 .
規(guī)律方法：
(1)形如an＋1－an＝f(n)的數(shù)列，利用累加法，即利用公式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
(2)形如eq \f(an＋1,an)＝f(n)的數(shù)列，常令n分別為1,2,3，…，n－1，代入eq \f(an＋1,an)＝f(n)，再把所得的(n－1)個(gè)等式相乘，利用an＝a1·eq \f(a2,a1)·eq \f(a3,a2)·…·eq \f(an,an－1)(n≥2)即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
(3)形如an＋1＝eq \f(qan,pan＋q)(p，q≠0)的數(shù)列，取倒數(shù)可得eq \f(1,an＋1)＝eq \f(1,an)＋eq \f(p,q)，即eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝eq \f(p,q)，構(gòu)造等差數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))求通項(xiàng)公式．
(4)若數(shù)列{an}滿足an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)，構(gòu)造an＋1＋λ＝p(an＋λ)．
(5)若數(shù)列{an}滿足an＋1＝pan＋f(n)(p≠0,1)，構(gòu)造an＋1＋g(n＋1)＝p[an＋g(n)]．
【考點(diǎn)二】利用an與Sn的關(guān)系
一、單選題
1．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（ ）
A．B．C．D．3
2．（2024·江蘇·一模）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，若，則（ ）
A．B．1C．D．2
二、多選題
3．（2024·貴州貴陽(yáng)·二模）設(shè)首項(xiàng)為1的數(shù)列前項(xiàng)和為，已知，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和
C．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為D．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列
4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則是等差數(shù)列
B．若，則是等比數(shù)列
C．若，則數(shù)列為遞增數(shù)列
D．若數(shù)列為等差數(shù)列，，則最小
三、填空題
5．（23-24高三上·廣東東莞·期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，，則 .
6．（23-24高二上·寧夏石嘴山·階段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足，設(shè)數(shù)列an的前項(xiàng)和為，則=
規(guī)律方法：
在處理Sn，an的式子時(shí)，一般情況下，如果要證明f(an)為等差(等比)數(shù)列，就消去Sn，如果要證明f(Sn)為等差(等比)數(shù)列，就消去an；但有些題目要求求{an}的通項(xiàng)公式，表面上看應(yīng)該消去Sn，但這會(huì)導(dǎo)致解題陷入死胡同，這時(shí)需要反其道而行之，先消去an，求出Sn，然后利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an(n≥2)．
專題精練
一、單選題
1．畫條直線，將圓的內(nèi)部區(qū)域最多分割成（ ）
A．部分B．部分
C．部分D．部分
2．已知數(shù)列滿足，其中，則（ ）
A．B．C．D．
3．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（ ）
A．B．
C．D．
4．?dāng)?shù)列滿足，（），，若數(shù)列是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
5．已知數(shù)列滿足，，，則（ ）
A．B．C．D．
6．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．1
7．設(shè)數(shù)列an的前項(xiàng)和為，若，且，則（ ）
A．B．C．D．
8．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，則可以是（ ）
A．18B．12C．9D．6
二、多選題
9．?dāng)?shù)列滿足，且對(duì)任意的都有，則（ ）
A．B．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為
C．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為D．?dāng)?shù)列的第項(xiàng)為
10．已知數(shù)列滿足，，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．存在，使得
C．D．
11．設(shè)無(wú)窮數(shù)列an的前項(xiàng)和為，且，若存在，使成立，則（ ）
A．
B．
C．不等式的解集為
D．對(duì)任意給定的實(shí)數(shù)，總存在，當(dāng)時(shí)，
三、填空題
12．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則 .
13．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則 .
14．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，則 .
四、解答題
15．已知數(shù)列滿足，（）．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．
16．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列滿足，令，求證：．
17．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，在數(shù)列中，，，．
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求的最值．
18．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，.
(1)求；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
19．網(wǎng)球運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)激烈且耗時(shí)的運(yùn)動(dòng)，對(duì)于力量的消耗是很大的，這就需要網(wǎng)球運(yùn)動(dòng)員提高自己的耐力．耐力訓(xùn)練分為無(wú)氧和有氧兩種訓(xùn)練方式．某網(wǎng)球俱樂(lè)部的運(yùn)動(dòng)員在某賽事前展開(kāi)了一輪為期90天的封閉集訓(xùn)，在封閉集訓(xùn)期間每名運(yùn)動(dòng)員每天選擇一種方式進(jìn)行耐力訓(xùn)練．由訓(xùn)練計(jì)劃知，在封閉集訓(xùn)期間，若運(yùn)動(dòng)員第天進(jìn)行有氧訓(xùn)練，則第天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的概率為，第天進(jìn)行無(wú)氧訓(xùn)練的概率為；若運(yùn)動(dòng)員第天進(jìn)行無(wú)氧訓(xùn)練，則第天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的概率為，第天進(jìn)行無(wú)氧訓(xùn)練的概率為．若運(yùn)動(dòng)員封閉集訓(xùn)的第1天進(jìn)行有氧訓(xùn)練與無(wú)氧訓(xùn)練的概率相等．
(1)封閉集訓(xùn)期間，記3名運(yùn)動(dòng)員中第2天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；
(2)封閉集訓(xùn)期間，記某運(yùn)動(dòng)員第天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的概率為，求．

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