目錄
【真題自測】2
【考點突破】4
【考點一】奇數(shù)項、偶數(shù)項4
【考點二】兩數(shù)列的公共項12
【考點三】數(shù)列有關增減項問題16
【專題精練】20
考情分析：
子數(shù)列問題(包括數(shù)列中的奇偶項、公共數(shù)列以及分段數(shù)列)與數(shù)列的增減項問題是近幾年高考的重點和熱點，一般方法是構造新數(shù)列，利用新數(shù)列的特征(等差、等比或其他特征)求解原數(shù)列．
真題自測
一、解答題
1．（2023·全國·高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項和，，．
(1)求的通項公式；
(2)證明：當時，．
2．（2022·天津·高考真題）設是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．
(1)求與的通項公式；
(2)設的前n項和為，求證：；
(3)求．
參考答案：
1．(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）設等差數(shù)列的公差為，用表示及，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的結論求出，，再分奇偶結合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結論求出，，再分奇偶借助等差數(shù)列前n項和公式求出，并與作差比較作答.
【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，而，
則，
于是，解得，，
所以數(shù)列的通項公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
當為偶數(shù)時，，
，
當時，，因此，
當為奇數(shù)時，，
當時，，因此，
所以當時，.
方法2：由（1）知，，，
當為偶數(shù)時，，
當時，，因此，
當為奇數(shù)時，若，則
，顯然滿足上式，因此當為奇數(shù)時，，
當時，，因此，
所以當時，.
2．(1)
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）利用等差等比數(shù)列的通項公式進行基本量運算即可得解；
（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)及通項與前n項和的關系結合分析法即可得證；
（3）先求得，進而由并項求和可得，再結合錯位相減法可得解.
【詳解】（1）設{an}公差為d，{bn}公比為，則，
由可得（舍去），
所以；
（2）證明：因為所以要證，
即證，即證，
即證，
而顯然成立，所以；
（3）因為
，
所以
，
設
所以，
則，
作差得
，
所以，
所以.
考點突破
【考點一】奇數(shù)項、偶數(shù)項
一、單選題
1．（2024·全國·二模）數(shù)列的奇數(shù)項成等比數(shù)列，偶數(shù)項成等比數(shù)列，是數(shù)列的前項和，，，，，則（ ）
A．，且
B．當，且時，數(shù)列是遞減數(shù)列
C．
D．
2．（2024·河北張家口·三模）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習）數(shù)列an前n項和為，且滿足，，則（ ）
A．B．
C．D．數(shù)列的前項和為
4．（2024·全國·模擬預測）已知數(shù)列中，，當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，則（ ）
A．數(shù)列是遞減數(shù)列B．C． D．
三、填空題
5．（2024·山東青島·模擬預測）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，則 .
6．（2024·云南曲靖·一模）大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋我國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項都代表太極衍生過程．已知大衍數(shù)列滿足，，則 ，數(shù)列的前50項和為 ．
四、解答題
7．（2024·山西·三模）已知等差數(shù)列的公差，前項和為，且，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
8．（2024·四川成都·模擬預測）已知數(shù)列滿足 當時，
(1)求和，并證明當為偶數(shù)時是等比數(shù)列；
(2)求
參考答案：
1．D
【分析】首先分別求奇數(shù)項和偶數(shù)項的通項公式，再根據(jù)通項公式，判斷選項.
【詳解】由，所以，
奇數(shù)項的首項為，公比，偶數(shù)項的首項，公比，
所以，，
A. ，，即，當時，不成立，故A錯誤；
B.，，，所以當，且時，數(shù)列不是遞減數(shù)列，故B錯誤；
C.，故C錯誤；
D.，
，故D正確.
故選：D
2．A
【分析】分奇數(shù)項和偶數(shù)項求遞推關系，然后記，利用構造法求得，然后分組求和可得.
【詳解】因為，
所以，，且，
所以，
記，則，所以，
所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以，，
記bn的前n項和為，則.
故選：A
【點睛】關鍵點點睛：本題解題關鍵在于先分奇數(shù)項和偶數(shù)項求遞推公式，然后再并項得bn的遞推公式，利用構造法求通項，將問題轉化為求bn的前50項和.
3．ABD
【分析】A選項直接由遞推關系式即可求出；B選項由即可判斷；C,D選項由分組求和及等比數(shù)列求和公式即可判斷.
【詳解】對于A：，正確；
對于B: ，有，
兩式相加，得，又，
所以，為偶數(shù)
由，得：，也即，為奇數(shù)，
所以，正確；
對于C:由B可知：
，
則，錯誤.
對于D：數(shù)列的前項和記為，
，正確
故選：ABD
4．BD
【分析】根據(jù)題意分別得到數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項的性質(zhì)，進而得到其通項公式，從而判斷ABC，利用等比數(shù)列的求和公式與分組求和法判斷D.
【詳解】對于AB：當為奇數(shù)時，，則，
則數(shù)列的奇數(shù)項是以3為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以當為奇數(shù)時，.
當為偶數(shù)時，，則，
則數(shù)列的偶數(shù)項是以2為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以當為偶數(shù)時，，
所以，，易知A錯誤，B正確；
對于C：由以上分析知，
所以，故C錯誤；
對于D，
，故D正確.
故選：BD.
5．
【分析】依題意可得，記，即可得到，從而求出的通項公式，再由分組求和法計算可得.
【詳解】因為，
所以，，且，
所以，
記，則，所以，
所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以，則，
記的前項和為，
則
.
故答案為：
6． 50 650
【分析】當時，，當時，，可推出，利用累加法可得，從而求得即可求解，根據(jù)，即可求解.
【詳解】當時，①，當時，②，
由①②可得，，
所以，
累加可得，，
所以，
令且為奇數(shù))，，當時，成立，
所以當為奇數(shù)，，
當為奇數(shù)，，
所以當為偶數(shù)，，
所以
故；
根據(jù)
所以的前項的和．
故答案為：；
7．(1)
(2)
【分析】（1）依題意得到關于、的方程組，解得、，即可求出通項公式；
（2）由（1）可得，利用分組求和法計算可得.
【詳解】（1）因為，，
所以，解得或，
因為，所以，則；
（2）由（1）可得，
所以
.
8．(1)3，7，證明見解析
(2)
【分析】（1）利用遞推公式易求，，利用遞推關系可證結論；
（2）由（1）可得為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，，
可求得，計算可求結論.
【詳解】（1）因為 當時，，
所以，.
，，又，
當為偶數(shù)時，是以為首項，以為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）知，，
設，則 為偶數(shù)時，
當為奇數(shù)時，
；
設，為奇數(shù)時，，
.
規(guī)律方法：
(1)數(shù)列中的奇、偶項問題的常見題型
①數(shù)列中連續(xù)兩項和或積的問題(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))；
②含有(－1)n的類型；
③含有{a2n}，{a2n－1}的類型；
④已知條件明確的奇偶項問題．
(2)對于通項公式分奇、偶不同的數(shù)列{an}求Sn時，我們可以分別求出奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和，也可以把a2k－1＋a2k看作一項，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k.
【考點二】兩數(shù)列的公共項
一、單選題
1．（2024·河南·二模）已知數(shù)列和數(shù)列的通項公式分別為和，若它們的公共項從小到大依次排列構成新數(shù)列，則滿足不等式的最大的整數(shù)（ ）
A．134B．135C．136D．137
2．（23-24高二上·廣東茂名·期末）已知兩個等差數(shù)列2，6，10，，202及2，8，14，，200，將這兩個等差數(shù)列的公共項按從小到大的順序組成一個新數(shù)列，則這個新數(shù)列的各項之和為（ ）
A．1678B．1666C．1472D．1460
二、多選題
3．（2021·湖北黃岡·模擬預測）已知，將數(shù)列與數(shù)列的公共項從小到大排列得到數(shù)列，則（ ）
A．B．
C．的前項和D．的前項和為
4．（2022·河北·模擬預測）將數(shù)列與的公共項從小到大排列得到數(shù)列，則下列說法正確的有（ ）
A．數(shù)列為等差數(shù)列B．數(shù)列為等比數(shù)列
C．D．數(shù)列的前n項和為
三、填空題
5．（2024·吉林長春·模擬預測）設為數(shù)列的前n項和，且，數(shù)列的通項公式為，將數(shù)列與的公共項按它們在原來數(shù)列中的先后順序排成一個新數(shù)列數(shù)列的通項公式為 ．
6．（2023·湖南邵陽·模擬預測）數(shù)列和數(shù)列的公共項從小到大構成一個新數(shù)列，數(shù)列滿足：，則數(shù)列的最大項等于 .
參考答案：
1．A
【分析】求出數(shù)列的通項公式，再解不等式即得.
【詳解】依題意，令，則，即有，顯然是5的正整數(shù)倍，
令，因此，由，解得，
所以最大的整數(shù).
故選：A
2．B
【分析】求出新數(shù)列的公差，確定新數(shù)列的項數(shù)，利用前項和公式求解即可.
【詳解】第一個數(shù)列的公差為4，第二個數(shù)列的公差為6，
故新數(shù)列的公差是4和6的最小公倍數(shù)12，
則新數(shù)列的公差為12，首項為2，
其通項公式為，
令，得，
故，
則，
故選：B.
3．BC
【分析】先分析出數(shù)列為數(shù)列的子數(shù)列，從而判斷出，求出的前項和.
【詳解】令，
所以，
當時，，所以數(shù)列為數(shù)列的子數(shù)列，
所以，所以的前項為.
故選：BC.
【點睛】等差（比）數(shù)列問題解決的基本方法：基本量代換和靈活運用性質(zhì)．
4．BD
【分析】與公共項從小到大排列出，可知為等比數(shù)列，求出通項公式再利用錯位相減求的前n項和，即可知正確選項.
【詳解】數(shù)列中的項為1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，
34，37，40，43，46，49，52，55，58，61，64，67，…，
數(shù)列中的項為2，4，8，16，32，64，128，…，
∴數(shù)列是首項為4，公比為4的等比數(shù)列，
∴；
∴，記數(shù)列的前n項和為，
則，
，
兩式相減：
，
∴.
故選：BD
5．
【分析】由和的關系，結合等比數(shù)列的定義和通項公式，可得，再由題意得到求得k，即可求解.
【詳解】由，可得，
解得，
當時，，
即，
可得數(shù)列是首項和公比均為3的等比數(shù)列，
所以，
設是的第m項，則，
因為，
所以不是中的項，
因為，
所以是中的項，
所以
所以.
故答案為：.
6．/1.75
【分析】由條件求數(shù)列的通項公式，再研究數(shù)列的單調(diào)性，由此確定其最大項.
【詳解】數(shù)列和數(shù)列的公共項從小到大構成一個新數(shù)列為：
，該數(shù)列為首項為1，公差為的等差數(shù)列，
所以，
所以
因為
所以當時，，即，
又，
所以數(shù)列的最大項為第二項，其值為.
故答案為：.
規(guī)律方法：
兩個等差數(shù)列的公共項是等差數(shù)列，且公差是兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)；兩個等比數(shù)列的公共項是等比數(shù)列，公比是兩個等比數(shù)列公比的最小公倍數(shù)．
【考點三】數(shù)列有關增減項問題
一、單選題
1．（23-24高三上·湖南長沙·階段練習）在數(shù)列中的相鄰兩項與之間插入一個首項為，公差為的等差數(shù)列的前項，記構成的新數(shù)列為，若，則前65項的和為（ ）
A．B．-13C．D．-14
2．（2022·全國·模擬預測）某社團專門研究密碼問題．社團活動室用的也是一把密碼鎖，且定期更換密碼，但密碼的編寫方式不變，都是以當日值班社員的姓氏為依據(jù)編碼的，密碼均為的小數(shù)點后的前6位數(shù)字．編碼方式如下；①x為某社員的首拼聲母對應的英文字母在26個英文字母中的位置；②若x為偶數(shù)，則在正偶數(shù)數(shù)列中依次插入數(shù)值為的項得到新數(shù)列，即；若x為奇數(shù)．則在正奇數(shù)數(shù)列中依次插入數(shù)值為的項得到新數(shù)列，即③N為數(shù)列的前x項和．如當值社員姓康，則K在26個英文字母中排第11位．所以．前11項中有所以有8個奇數(shù)．故，所以密碼為282051，若今天當值社員姓徐，則當日密碼為（ ）
A．125786B．199600C．200400D．370370
二、多選題
3．（23-24高二下·河北承德·開學考試）已知等差數(shù)列的首項，公差，在中每相鄰兩項之間都插入個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構成一個新的等差數(shù)列，以下說法正確的是（ ）
A．
B．當時，
C．當時，不是數(shù)列中的項
D．若是數(shù)列中的項，則的值可能為7
4．（22-23高二下·廣東佛山·階段練習）在一次《數(shù)列》的公開課時，有位教師引導學生構造新數(shù)列：在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照此方法不斷構造出新的數(shù)列.下面我們將數(shù)列1，2進行構造，第1次得到數(shù)列；第2次得到數(shù)列；第次得到數(shù)列記，數(shù)列的前項為，則（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
5．（2023·湖北襄陽·模擬預測）已知等差數(shù)列中，，若在數(shù)列每相鄰兩項之間插入三個數(shù)，使得新數(shù)列也是一個等差數(shù)列，則新數(shù)列的第43項為 .
6．（2024·河南安陽·三模）如圖，某數(shù)陣滿足：每一行從左到右成等差數(shù)列，每一列從上到下成公比相同的等比數(shù)列，數(shù)陣中各項均為正數(shù)，，則 ；在數(shù)列中的任意與兩項之間，都插入個相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前項和為，則 ．
參考答案：
1．A
【分析】根據(jù)題意，得到數(shù)列中及其后面項的和為，求解.
【詳解】解：數(shù)列為：，
，
設及其后面項的和為，則，
所以數(shù)列是以1為首項，公差為的等差數(shù)列.
所以前65項的和為，
故選：A.
2．B
【分析】按照所給密碼規(guī)則，逐條對照計算求解即可.
【詳解】X在26個英文字母中排第24位．所以，前24項中有，所以有21個偶數(shù)．
故，
的小數(shù)點后的前6位數(shù)字為199600．
故選：B
3．ABD
【分析】求出通項判斷A；求出公差、通項判斷BC；探討數(shù)列an與bn的下標關系判斷D.
【詳解】對于A，由題意得，A正確；
對于B，新數(shù)列的首項為2，公差為2，故，B正確；
對于C，由B選項知，令，則，即是數(shù)列an的第8項，C錯誤；
對于D，插入個數(shù)，則，
則等差數(shù)列an中的項在新的等差數(shù)列bn中對應的下標是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，
于是，而是數(shù)列an的項，令，當時，，D正確.
故選：ABD
4．AC
【分析】根據(jù)數(shù)列的構造方法先寫出前面幾次數(shù)列的結果，尋找規(guī)律，再進行推理運算即可.
【詳解】由題意可知，第1次得到數(shù)列1,3,2，此時
第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2，此時
第3次得到數(shù)列1, 5,4,7,3,8,5,7,2，此時
第4次得到數(shù)列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此時
第次得到數(shù)列1，，2 此時，故A項正確；
結合A項中列出的數(shù)列可得：
用等比數(shù)列求和可得
則
又
所以 ，則，故B項錯誤；
由B項分析可知，故C項正確.
，故D項錯誤.
故選：AC.
5．
【分析】
先計算出等差數(shù)列的公差，進而得到新的等差數(shù)列的公差，從而求出的通項公式，求出新數(shù)列的第項.
【詳解】設等差數(shù)列的公差為，則，
所以，
設在數(shù)列每相鄰兩項之間插入三個數(shù)所得新數(shù)列為，
則新的等差數(shù)列的公差為，首項為，
所以新數(shù)列的通項公式為，
故.
故答案為：.
6．
【分析】設第一行公差為，各列的公比為且，結合已知條件求得，即可寫出通項公式；再根據(jù)題意確定前70項的組成，應用分組求和、等比數(shù)列前n項和公式求和即可.
【詳解】設第一行公差為，各列的公比為且，且，
則，，，，
所以，則，
由各項均為正數(shù)，故，則，即，
綜上，，故，
由上，前n項為，且，
故在之前共有項，
則，則，
綜上，前70項為，
.
故答案為：；
【點睛】關鍵點點睛：利用等差、等比數(shù)列通項公式求行列間的公差、公比，確定行列通項公式為關鍵.
規(guī)律方法：
解決此類問題的關鍵是通過閱讀、理解題意，要弄清楚增加了(減少了)多少項，增加(減少)的項有什么特征，在求新數(shù)列的和時，一般采用分組求和法，即把原數(shù)列部分和增加(減少)部分分別求和，再相加(相減)即可．
專題精練
一、單選題
1．（2024·河南南陽·一模）已知等比數(shù)列的公比與等差數(shù)列的公差均為2，且，設數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前20項的和為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·重慶·模擬預測）已知數(shù)列滿足：，則（ ）
A．511B．677C．1021D．2037
3．（2023·河南·二模）大衍數(shù)列0，2，4，8，12，18，?來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和.其通項公式為記數(shù)列的前n項和為，則（ ）
參考公式：.
A．169125B．169150C．338300D．338325
4．（2024·河南信陽·模擬預測）已知數(shù)列通項公式為，將數(shù)列的公共項從小到大排列得到數(shù)列，設數(shù)列的前項和為，則（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·河北秦皇島·二模）將數(shù)列與數(shù)列的公共項從小到大排列得到數(shù)列，則的前30項的和為（ ）
A．3255B．5250C．5430D．6235
6．（23-24高三上·江西·期中）在等差數(shù)列中，，成公比不為1的等比數(shù)列，是的前項和，將數(shù)列與數(shù)列的公共項從小到大排列得到新數(shù)列，則（ ）
A．1B．C．D．
7．（2023·江西南昌·二模）已知數(shù)列的通項公式為，保持數(shù)列中各項順序不變，對任意的，在數(shù)列的與項之間，都插入個相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前n項的和為，則（ ）
A．4056B．4096C．8152D．8192
8．（22-23高二上·浙江金華·期末）已知數(shù)列是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，在之間插入1個數(shù)，使這3個數(shù)成等差數(shù)列，記公差為，在之間插入2個數(shù)，使這4個數(shù)成等差數(shù)列，公差為，在之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)成等差數(shù)列，公差為，則（ ）
A．當時，數(shù)列單調(diào)遞減B．當時，數(shù)列單調(diào)遞增
C．當時，數(shù)列單調(diào)遞減D．當時，數(shù)列單調(diào)遞增
二、多選題
9．（2023·河南·模擬預測）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對《易傳》“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，大衍數(shù)列中的每一項都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量的總和.大衍數(shù)列從第一項起依次為0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，….記大衍數(shù)列an的前項和為，其通項公式 .則（ ）
參考公式：
A． 是數(shù)列中的項B．
C．D．
10．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）已知等差數(shù)列{a?}的首項，公差，在中每相鄰兩項之間都插入k個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構成一個新的等差數(shù)列，下列說法正確的有（ ）
A．
B．當時，
C．當時，不是數(shù)列中的項
D．若是數(shù)列中的項，則k 的值可能為6
11．（2024·浙江紹興·二模）已知數(shù)列與滿足，且，.若數(shù)列保持順序不變，在與項之間都插入個后，組成新數(shù)列，記的前項和為，則（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
12．（2024·江西宜春·模擬預測）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，記，分別為，的前項和，若，，則 ．
13．（2023·廣東廣州·一模）將數(shù)列與數(shù)列的公共項從小到大排列得到新數(shù)列，則 .
14．（2024·全國·模擬預測）已知，，，若將數(shù)列an與數(shù)列bn的公共項按從大到小的順序排列組成一個新數(shù)列，則數(shù)列的前99項和為 ．
四、解答題
15．（2024·福建廈門·模擬預測）已知為等差數(shù)列的前n項和，，，.
(1)求的通項公式；
(2)記為數(shù)列的前n項和，若，求n的最小值.
16．（2024·陜西安康·模擬預測）記數(shù)列的前項和為，已知且．
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)記，求數(shù)列的前2n項和．
17．（2024·全國·模擬預測）設為等差數(shù)列的前n項和，且，數(shù)列滿足．
(1)求和的通項公式；
(2)若將數(shù)列和的公共項按從小到大的順序組成一個新的數(shù)列，求數(shù)列的前n項和．
18．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知數(shù)列an的前n項積為，數(shù)列bn滿足，（，）．
(1)求數(shù)列an，bn的通項公式；
(2)將數(shù)列an，bn中的公共項從小到大排列構成新數(shù)列，求數(shù)列的通項公式．
19．（2024·河北滄州·一模）在數(shù)列中，已知．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)在數(shù)列中的和之間插入1個數(shù)，使成等差數(shù)列；在和之間插入2個數(shù)，使成等差數(shù)列；…；在和之間插入個數(shù)，使成等差數(shù)列，這樣可以得到新數(shù)列，設數(shù)列的前項和為，求（用數(shù)字作答）．
參考答案：
1．B
【分析】利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義及求和公式計算即可.
【詳解】因為，所以，則，
根據(jù)題意，，
所以
.
故選：B.
2．B
【分析】由題意可得，，結合所給條件計算即可得.
【詳解】
.
故選：B.
3．B
【分析】根據(jù)分組求和以及參考公式即可求解.
【詳解】由，
故
.
故選：B
4．D
【分析】首先判斷出數(shù)列項的特征，從而判斷出兩個數(shù)列公共項所構成新數(shù)列的首項以及公差，利用等差數(shù)列的求和公式求得結果.
【詳解】因為數(shù)列是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，
數(shù)列是以1首項，以3為公差的等差數(shù)列，
所以這兩個數(shù)列的公共項所構成的新數(shù)列是以1為首項，以6為公差的等差數(shù)列，
即
所以的前項和.
故選：D.
5．C
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的特點得到數(shù)列和數(shù)列均為等差數(shù)列，然后令，得到，然后通過列舉得到數(shù)列an為等差數(shù)列，最后利用等差數(shù)列求和公式計算即可.
【詳解】顯然數(shù)列和數(shù)列均為等差數(shù)列，
令，其中，
可得，則，
則數(shù)列an為等差數(shù)列，且，公差為，
所以an的前30項的和為.
故選：C.
6．C
【分析】根據(jù)題意，求得，，進而得到數(shù)列與的公共項從小到大排列得到數(shù)列的通項公式為，得出，結合裂項法求和，即可求解.
【詳解】因為等差數(shù)列中，，成公比不為1的等比數(shù)列，
所以，可得，解得，
所以，則，可得，
由數(shù)列為正奇數(shù)列，
對于數(shù)列，設時，可得為偶數(shù)；
當時，可得為奇數(shù)，
所以數(shù)列與的公共項從小到大排列得到數(shù)列的通項公式為，
則，
所以.
故選：C.
7．C
【分析】插入組共個，可知前面插入12組數(shù)，最后面插入9個，從而可得插入的數(shù)之和為，又數(shù)列的前13項和，可得
【詳解】插入組共個，∵，∴前面插入12組數(shù)，最后面插入9個．
，
∵，
∴
，
又數(shù)列的前13項和為
，
故選：C．
8．D
【分析】根據(jù)數(shù)列的定義，求出通項，由通項討論數(shù)列的單調(diào)性.
【詳解】數(shù)列是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，則公比為，
由題意，得，
時，，有，，數(shù)列單調(diào)遞增，A選項錯誤；
時，，，若數(shù)列單調(diào)遞增，則， 即，由，需要，故B選項錯誤；
時，，解得，
時，，由，若數(shù)列單調(diào)遞減，則， 即，而 不能滿足恒成立，C選項錯誤；
時，，解得或，由AB選項的解析可知，數(shù)列單調(diào)遞增，D選項正確.
故選：D
【點睛】思路點睛：此題的入手點在于求數(shù)列的通項，根據(jù)的定義求得通項，再討論單調(diào)性.
9．ABD
【分析】根據(jù)的通項公式，分類討論為奇偶情況，即可逐項求解判斷.
【詳解】對A：當為偶數(shù)時，，解得，不符題意；
當為奇數(shù)時，，解得，符合題意，故A正確；
對B：
，故B正確；
對C：由題意知
，
所以，故C錯誤；
對D：
故D正確；
故選：ABD.
10．ABD
【分析】對于選項A：根據(jù)等差數(shù)列通項公式運算即可；對于BC：分析可知公差，結合等差數(shù)列通項公式運算求解；對于D：可知公差，結合等差數(shù)列通項公式運算求解.
【詳解】對于選項A：因為，故A 正確；
對于選項BC：當時，可知公差，
所以，故B正確；
則，令，解得，
所以是數(shù)列中的項，故 C錯誤；
對于選項D，當時，可知公差，
則，即，
所以若是數(shù)列中的項，則k 的值可能為6，故D正確.
故選 ：ABD.
11．BCD
【分析】利用構造等比數(shù)列法判斷A；繼而結合可判斷B；根據(jù)數(shù)列的規(guī)律，計算數(shù)列的項數(shù)，可確定，判斷C，確定數(shù)列的項，利用等比數(shù)列的求和公式可判斷D.
【詳解】對于A，，且，則，
即數(shù)列為等比數(shù)列，，故，
則，A錯誤；
對于B，，B正確；
對于C，新數(shù)列為，由于，，
即數(shù)列從到共有項，到共有項，
而和之間有個10，故，C正確；
對于D，結合C的分析，可得
，D正確，
故選：BCD
【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵時CD選項的判斷，解答時要結合數(shù)列的特點，判斷數(shù)列的項數(shù)，從而確定項的取值.
12．
【分析】根據(jù)已知條件得到關于、的二元一次方程組，解方程組，求出、，即可求出數(shù)列an的通項公式，，由此可得數(shù)列bn的通項公式，分組求和即可求解.
【詳解】設等差數(shù)列an的公差為．由，得①，
由得②，
聯(lián)立①②，，解得，
所以．
則，
所以
．
故答案為：
13．
【分析】由題意歸納得出，即得的表達式，利用裂項求和法，即可求得答案.
【詳解】數(shù)列：，數(shù)列：，
則an為：，則，
所以，
故，
故答案為：
14．
【分析】分類討論奇偶性，可知，利用裂項相消法分析求解.
【詳解】因為數(shù)列是正奇數(shù)組成的數(shù)列，
所以數(shù)列中所有的奇數(shù)是數(shù)列和數(shù)列的公共項，
當為奇數(shù)時，設，則，為奇數(shù)；
當為偶數(shù)時，設，則，為偶數(shù)；
綜上所述：.
則，
所以．
故答案為：.
【點睛】關鍵點睛：解決本題的關鍵是觀察數(shù)列的通項公式，發(fā)現(xiàn)數(shù)列是正奇數(shù)組成的數(shù)列，故可以通過判斷數(shù)列各項的奇偶，得到，再利用裂項相消法求和即可．
15．(1)
(2)5
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計算即可求解，
（2）根據(jù)等差求和公式以及等比求和公式，結合分組求解可求解，即可根據(jù)不等式求解.
【詳解】（1）設數(shù)列的公差為d，
依題意，， 即，解得，
所以的通項公式是.
（2）由（1）知，所以，
，
恒成立，
令，
由，由于，所以.
所以
又，，，
所以的最小值為5.
16．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）借助與的關系計算可得，結合等差數(shù)列定義即可得；
（2）計算出通項公式后，可得，結合分組求和法，借助等差數(shù)列求和公式與等比數(shù)列求和公式計算即可得.
【詳解】（1）當時，，則．
因為，所以當時，，
兩式相減得，即，
因為，所以，即，
故是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列；
（2）由（1）知，，所以，
故
.
17．(1)，；
(2)．
【分析】（1）運用等差數(shù)列的求和公式和它們的通項公式，就可求出結果；
（2）關鍵在于證明數(shù)列中的任意一項，都在數(shù)列中存在公共項，這里用到了二項式定理進行證明，從而利用等比數(shù)列求和公式就可以得到結果.
【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為d，
由題意得，解得，
所以由等差數(shù)列的通項公式可得：．
由得數(shù)列是首項為4，公比為4的等比數(shù)列，
所以由等比數(shù)列的通項公式可得：
（2）令，則可得，
所以
，
即對于數(shù)列中的任意一項，都在數(shù)列中存在公共項，
所以數(shù)列是數(shù)列的子數(shù)列，從而可得，
所以．
18．(1)，
(2)
【分析】（1）對，兩邊同時取對數(shù)，對分類討論即可求出，由等差數(shù)列定義即可求出；
（2）令，解出即可得解.
【詳解】（1），，
當時，，
當時，，即，
而，滿足上式，
所以數(shù)列an的通項公式為；
若數(shù)列bn滿足，（，），
則，
從而數(shù)列bn的通項公式為；
（2）令，解得，這表明，
從而只能，
所以，
所以數(shù)列的通項公式為.
19．(1)
(2)14337
【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的前項和求數(shù)列的通項公式，一定要分和討論.
（2）首先弄清楚新數(shù)列bn前55項的構成，再轉化為錯位相減法求和.
【詳解】（1）當時，；
當時，，
所以，.
當時，上式亦成立，
所以：.
（2）由.
所以新數(shù)列bn前55項中包含數(shù)列an的前10項，還包含，，，，，，，，.
且，，， .
所以
.
設
則，
所以.
故：.
所以.
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是要弄清楚新數(shù)列bn前55項的構成.可先通過列舉數(shù)列bn的前幾項進行觀察得到規(guī)律.
題號
1
2
3
4






答案
D
A
ABD
BD






題號
1
2
3
4






答案
A
B
BC
BD






題號
1
2
3
4






答案
A
B
ABD
AC






題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
B
D
C
C
C
D
ABD
ABD
題號
11









答案
BCD









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