目錄
【真題自測】2
【考點(diǎn)突破】11
【考點(diǎn)一】空間直線、平面位置關(guān)系的判定11
【考點(diǎn)二】空間平行、垂直關(guān)系17
【考點(diǎn)三】翻折問題27
【專題精練】34
考情分析：
高考對此部分的考查，一是空間線面關(guān)系的命題的真假判斷，以選擇題、填空題的形式考查，屬于基礎(chǔ)題；二是空間線線、線面、面面平行和垂直關(guān)系交匯綜合命題，一般以選擇題、填空題或解答題的第(1)問的形式考查，屬中檔題．
真題自測
一、單選題
1．（2024·上?！じ呖颊骖}）空間中有兩個不同的平面和兩條不同的直線，則下列說法中正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
2．（2024·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，，，該棱錐的高為（ ）.
A．1B．2C．D．
3．（2024·全國·高考真題）設(shè)為兩個平面，為兩條直線，且.下述四個命題：
①若，則或 ②若，則或
③若且，則 ④若與,所成的角相等，則
其中所有真命題的編號是（ ）
A．①③B．②④C．①②③D．①③④
4．（2023·北京·高考真題）坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖，某坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩個面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長之和為（ ）

A．B．
C．D．
5．（2023·全國·高考真題）在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（ ）
A．1B．C．2D．3
6．（2023·天津·高考真題）在三棱錐中，點(diǎn)M,N分別在棱PC,PB上，且，，則三棱錐和三棱錐的體積之比為（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·全國·高考真題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（ ）
A．平面平面B．平面平面
C．平面平面D．平面平面
二、解答題
8．（2024·全國·高考真題）如圖，，，，,為的中點(diǎn).
(1)證明：平面；
(2)求點(diǎn)到的距離.
參考答案：
1．A
【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)結(jié)合線線以及線面的位置關(guān)系可判斷AB；根據(jù)面面平行的性質(zhì)結(jié)合線線以及線面的位置關(guān)系可判斷CD；
【詳解】對于A，若，則或，
又，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)必存在直線l和m平行，則；
當(dāng)時(shí)，顯然有，所以，故A正確；
對于B，若，則或，由，則與斜交、垂直、平行均有可能，故B錯誤；
對于C，若，則或，由，則與相交、平行、異面均有可能，故C錯誤；
對于D，若，則或，又，則或，故D錯誤.
故選：A.
2．D
【分析】取點(diǎn)作輔助線，根據(jù)題意分析可知平面平面，可知平面，利用等體積法求點(diǎn)到面的距離.
【詳解】如圖，底面為正方形，
當(dāng)相鄰的棱長相等時(shí)，不妨設(shè)，
分別取的中點(diǎn)，連接，
則，且，平面，
可知平面，且平面，
所以平面平面，
過作的垂線，垂足為，即，
由平面平面，平面，
所以平面，
由題意可得：，則，即，
則，可得，
所以四棱錐的高為.
當(dāng)相對的棱長相等時(shí)，不妨設(shè)，，
因?yàn)椋藭r(shí)不能形成三角形，與題意不符，這樣情況不存在.
故選：D.
3．A
【分析】根據(jù)線面平行的判定定理即可判斷①；舉反例即可判斷②④；根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可判斷③.
【詳解】對①，當(dāng)，因?yàn)椋?，則，
當(dāng)，因?yàn)?，，則，
當(dāng)既不在也不在內(nèi)，因?yàn)椋?，則且，故①正確；
對②，若，則與不一定垂直，故②錯誤；
對③，過直線分別作兩平面與分別相交于直線和直線，
因?yàn)椋^直線的平面與平面的交線為直線，則根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知，
同理可得，則，因?yàn)槠矫?，平面，則平面，
因?yàn)槠矫?，，則，又因?yàn)椋瑒t，故③正確；
對④，若與和所成的角相等，如果，則，故④錯誤；
綜上只有①③正確，
故選：A.
4．C
【分析】先根據(jù)線面角的定義求得，從而依次求，，，，再把所有棱長相加即可得解.
【詳解】如圖，過做平面，垂足為，過分別做，，垂足分別為，，連接，

由題意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面與底面夾角分別為和，
所以.
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>因?yàn)?，平面，?br>所以平面，因?yàn)槠矫妫裕?
同理：，又，故四邊形是矩形，
所以由得，所以，所以，
所以在直角三角形中，
在直角三角形中，，，
又因?yàn)椋?br>所有棱長之和為.
故選：C
5．A
【分析】證明平面，分割三棱錐為共底面兩個小三棱錐，其高之和為AB得解.
【詳解】取中點(diǎn)，連接，如圖，
是邊長為2的等邊三角形，，
，又平面，，
平面，
又，，
故，即，
所以，
故選：A
6．B
【分析】分別過作,垂足分別為.過作平面，垂足為，連接,過作,垂足為.先證平面，則可得到，再證.由三角形相似得到，，再由即可求出體積比.
【詳解】如圖，分別過作,垂足分別為.過作平面，垂足為，連接,過作,垂足為.

因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平?
又因?yàn)槠矫嫫矫?，，平面，所以平面，?
在中，因?yàn)椋?，所以?br>在中，因?yàn)?，所以?br>所以.
故選：B
7．A
【分析】證明平面，即可判斷A；如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，分別求出平面，，的法向量，根據(jù)法向量的位置關(guān)系，即可判斷BCD.
【詳解】解：在正方體中，
且平面，
又平面，所以，
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，
所以，所以，
又，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，故A正確；
選項(xiàng)BCD解法一：
如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
則，
，
則，，
設(shè)平面的法向量為，
則有，可取，
同理可得平面的法向量為，
平面的法向量為，
平面的法向量為，
則，
所以平面與平面不垂直，故B錯誤；
因?yàn)榕c不平行，
所以平面與平面不平行，故C錯誤；
因?yàn)榕c不平行，
所以平面與平面不平行，故D錯誤，
故選：A.
選項(xiàng)BCD解法二：
解：對于選項(xiàng)B，如圖所示，設(shè)，，則為平面與平面的交線，
在內(nèi)，作于點(diǎn)，在內(nèi)，作，交于點(diǎn)，連結(jié)，
則或其補(bǔ)角為平面與平面所成二面角的平面角，
由勾股定理可知：，，
底面正方形中，為中點(diǎn)，則，
由勾股定理可得，
從而有：，
據(jù)此可得，即，
據(jù)此可得平面平面不成立，選項(xiàng)B錯誤；
對于選項(xiàng)C，取的中點(diǎn)，則，
由于與平面相交，故平面平面不成立，選項(xiàng)C錯誤；
對于選項(xiàng)D，取的中點(diǎn)，很明顯四邊形為平行四邊形，則，
由于與平面相交，故平面平面不成立，選項(xiàng)D錯誤；
故選：A.
8．(1)證明見詳解；
(2)
【分析】（1）結(jié)合已知易證四邊形為平行四邊形，可證，進(jìn)而得證；
（2）先證明平面，結(jié)合等體積法即可求解.
【詳解】（1）由題意得，，且，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
又平面平面，
所以平面；
（2）取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)椋遥?br>所以四邊形是平行四邊形，所以，
又，故是等腰三角形，同理是等腰三角形，
可得，
又，所以，故.
又平面，所以平面，
易知.
在中，，
所以.
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，
得，得，
故點(diǎn)到平面的距離為.
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)一】空間直線、平面位置關(guān)系的判定
核心梳理：
判斷空間直線、平面位置關(guān)系的常用方法
(1)根據(jù)空間線面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理逐項(xiàng)判斷，解決問題．
(2)必要時(shí)可以借助空間幾何模型，如從長方體、四面體等模型觀察線、面的位置關(guān)系，并結(jié)合有關(guān)定理進(jìn)行判斷．
一、單選題
1．（22-23高三上·浙江杭州·期中）如圖，在正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)G是棱的中點(diǎn)，則過線段AG且平行于平面的截面圖形為（ ）
A．等腰梯形B．三角形C．正方形D．矩形
2．（2022·福建福州·三模）在底面半徑為1的圓柱中，過旋轉(zhuǎn)軸作圓柱的軸截面ABCD，其中母線AB=2，E是弧BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，則（ ）
A．AE=CF，AC與EF是共面直線
B．，AC與EF是共面直線
C．AE=CF，AC與EF是異面直線
D．，AC與EF是異面直線
二、多選題
3．（2022·河北廊坊·模擬預(yù)測）我們知道，平面幾何中有些正確的結(jié)論在空間中不一定成立．下面給出的平面幾何中的四個真命題， 在空間中仍然成立的有（ ）
A．平行于同一條直線的兩條直線必平行
B．垂直于同一條直線的兩條直線必平行
C．一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補(bǔ)
D．一個角的兩邊分別垂直于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補(bǔ)
4．（2022·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)是棱長為的正方體中的側(cè)面上的一個動點(diǎn)（包含邊界），則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．有無數(shù)個點(diǎn)滿足
B．當(dāng)點(diǎn)在棱上運(yùn)動時(shí)，的最小值為
C．若，則動點(diǎn)的軌跡長度為
D．在線段上存在點(diǎn)，使異面直線與所成的角是
三、填空題
5．（2022·山東濟(jì)南·二模）下列命題：
①平行于同一條直線的兩條直線平行；
②如果平面外的一條直線平行于平面內(nèi)的一條直線，那么該直線與這個平面平行；
③如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面，那么這兩個平面平行；
④如果一條直線和平面內(nèi)的兩條直線垂直，那么該直線垂直于這個平面；
⑤如果一條直線和平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直，那么直線也和斜線垂直．
其中正確命題的序號為 ．
6．（2022·四川綿陽·三模）在棱長為3的正方體中，已知點(diǎn)P為棱上靠近于點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)Q為棱CD上一動點(diǎn)．若M為平面與平面的公共點(diǎn)，N為平面與平面ABCD的公共點(diǎn)，且點(diǎn)M，N都在正方體的表面上，則由所有滿足條件的點(diǎn)M，N構(gòu)成的區(qū)域的面積之和為 ．
參考答案：
1．A
【分析】利用平行作出截面圖形，即可判斷形狀.
【詳解】取BC中點(diǎn)H，連接AH，GH，，.如下圖所示：
由題意得，.又平面，平面，
平面，同理平面.又，平面，平面平面，故過線段且與平面平行的截面為四邊形，顯然四邊形為等腰梯形.
故選：A
2．D
【分析】在圓柱中，利用勾股定理求解，再利用異面直線的定義進(jìn)行判斷得出結(jié)果.
【詳解】如圖，在底面半徑為1的圓柱中，母線，，是的中點(diǎn)，則，
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，又，則，
，，
，
在中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，
與是共面直線，
若AC與EF是共面直線，則在同一平面，顯然矛盾，故AC與EF是異面直線
故選：D．
3．AC
【分析】根據(jù)線線平行傳遞性和課本中的定理可判斷AC正確；垂直于同一條直線的兩條直線位置關(guān)系不確定，可判斷B，通過舉反例可判斷D.
【詳解】根據(jù)線線平行具有傳遞性可知A正確；
空間中垂直于同一條直線的兩條直線，位置關(guān)系可能是異面、相交、平行，故B錯誤；
根據(jù)定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)可知C正確；
如圖，且，
則但和的關(guān)系不確定，
故D錯誤.
故選：AC
4．AC
【分析】對于A，根據(jù)線面垂直性質(zhì)定理以及判定定理，可得其正誤；
對于B，利用“將軍飲馬”模型，旋轉(zhuǎn)平面化折為直，結(jié)合勾股定理，可得其正誤；
對于C，利用直觀想象圓錐的模型，利用勾股定理，求得其底面軌跡，可得其正誤；
對于D，根據(jù)異面直線夾角的定義，利用數(shù)形結(jié)合以及三角函數(shù)的定義，可得其正誤.
【詳解】對于A，若M在上，則此時(shí)有無數(shù)個點(diǎn)M滿足，
證明如下：由正方體的性質(zhì)得平面，因?yàn)槠矫?，所?
又，，平面，所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以，即此時(shí)有無數(shù)個點(diǎn)M滿足，故A正確；
對于B，旋轉(zhuǎn)平面使之與平面共面，如圖中，連接交于點(diǎn)M，
此時(shí)最短為，大小為，故B錯誤；
對于C，當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)時(shí)，面，面，則，
所以，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓弧，
從而動點(diǎn)軌跡長度為，故C正確；
對于D，因?yàn)椋灾本€與所成的角，即為直線與所成角，即或其補(bǔ)角，
由在線段上存在點(diǎn)知，，由，得，
即最小值大于，故D錯誤.
故選：AC.
5．①②③
【分析】根據(jù)線線、線面和面面位置關(guān)系有關(guān)知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】①，根據(jù)平行公理可知：平行于同一條直線的兩條直線平行.所以①正確，
②，根據(jù)線面平行的判定定理可知：如果平面外的一條直線平行于平面內(nèi)的一條直線，那么該直線與這個平面平行，所以②正確.
③，結(jié)合面面平行的判定定理可知：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.所以③正確.
④，如果一條直線和平面內(nèi)的兩條直線垂直，那么該直線可能在這個平面內(nèi)，所以④錯誤.
⑤，如果一條直線和平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直，直線時(shí)，，但與不垂直.所以⑤錯誤.
故答案為：①②③
6．
【分析】利用面面平行性質(zhì)定理找到點(diǎn)、點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，然后各自計(jì)算其區(qū)域面積，然后加在一起即可.
【詳解】
由已知得：平面與平面的交線與平行，M軌跡為平面與平面的交線在矩形內(nèi)線段所構(gòu)成的圖形，
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，M軌跡為線段，
當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)沿往點(diǎn)運(yùn)動時(shí)，M軌跡為以為一端點(diǎn),另一端點(diǎn)落在線段上的線段，其中為棱上靠近于點(diǎn)的三等分點(diǎn)，
綜上，M軌跡為線段以及三角形及其內(nèi)部，
所以點(diǎn)構(gòu)成區(qū)域的面積為，
同理可得軌跡為平面與平面的交線在矩形內(nèi)線段所構(gòu)成的圖形，
構(gòu)成區(qū)域?yàn)樘菪?面積為，
所以M，N構(gòu)成的區(qū)域的面積之和為.
故答案為：.
規(guī)律方法：
對于線面關(guān)系的存在性問題，一般先假設(shè)存在，然后再在該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足，則假設(shè)成立；若得出矛盾，則假設(shè)不成立．
【考點(diǎn)二】空間平行、垂直關(guān)系
核心梳理：
平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化
一、單選題
1．（2022·陜西榆林·模擬預(yù)測）已知、是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
2．（2022·貴州貴陽·模擬預(yù)測）已知、表示兩條不同的直線，表示平面，則下面四個命題正確的是（ ）
①若，，則； ②若，，則；
③若，，則； ④若，，則．
A．①②B．②③C．①③D．③④
二、多選題
3．（22-23高三上·河北·階段練習(xí)）設(shè)m，n為不重合的直線，，，為不重合的平面，下列是成立的充分條件的有（ ）
A．，，
B．，，，，
C．，
D．，
4．（2022·全國·模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，⊥，，D為AB的中點(diǎn)，且為等邊三角形，，，則下列判斷正確的是（ ）
A．平面SBC
B．平面⊥平面SAC
C．
D．
三、填空題
5．（2022·四川廣安·二模）如圖，正方體的棱長是2，S是的中點(diǎn)，P是的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在正方形及其內(nèi)部運(yùn)動，若平面，則點(diǎn)Q的軌跡的長度是 .
6．（2022·河南·模擬預(yù)測）在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，則四棱錐外接球的表面積為 .
四、解答題
7．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）如圖，在四棱錐中，平面，，，，分別為的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
8．（2022·全國·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，平面平面，底面ABCD為菱形，為等邊三角形，E為AD的中點(diǎn).
(1)求證：；
(2)若，求點(diǎn)A到平面PCD的距離.
參考答案：
1．A
【分析】根據(jù)空間線面的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷.
【詳解】對A：因?yàn)榇怪庇谕黄矫娴膬蓷l直線一定平行，故A正確；
對B：若，，則或，故B錯誤；
對C：因?yàn)槠叫杏谕粋€平面的兩條直線的位置關(guān)系不能確定，所以C錯誤；
對D：若，，則或，故D錯誤.
故選：A
2．D
【分析】借助長方體模型考察直線是否可在平面內(nèi)，可判斷①②；在平面內(nèi)取兩條相交直線m，n，根據(jù)線面垂直判定定理可判斷③；利用線面平行的性質(zhì)定理和異面直線夾角定義可判斷④.
【詳解】長方體中，平面為平面，直線BC為直線b，如圖，
當(dāng)直線AD為直線a時(shí)，滿足，，而，①不正確；
當(dāng)直線為直線a時(shí)，滿足，，而，②不正確；
在平面內(nèi)取兩條相交直線m，n，如圖，因，則，
而，則，又，m，n是相交直線，∴，③正確；
因，過直線b作平面，如圖，
則有，又，，于是得，從而得，④正確，
∴給定命題正確的是③④.
故選：D.
3．BD
【分析】通過舉反例判斷選項(xiàng)錯誤或通過定理與證明得出選項(xiàng)正確.
【詳解】
對于A，如圖，有，，，故選項(xiàng)A錯誤；
對于B，由平面與平面平行的判定定理，有，，，，，故選項(xiàng)B正確；
對于C，如圖，有，，故選項(xiàng)C錯誤；
對于D，由已知如圖，∵，∴設(shè)，
過直線任作一平面，設(shè)，，
∵，，∴，∵，，∴，
∵，，均在平面內(nèi)，∴，
又∵，，∴，
同理，作另一平面，設(shè)，，可以證明，
∵，，，
∴.
∴有，，故選項(xiàng)D正確.
故選：BD.
4．ABC
【分析】A選項(xiàng)：先由三線合一得到，結(jié)合得到平面SBC，A正確；
B選項(xiàng)：由選項(xiàng)A得到，結(jié)合⊥，得到⊥平面SAC，故平面平面ABC，故B正確；
C選項(xiàng)：作出輔助線，得到，由勾股定理求出，故，得到平面CDE，所以，C正確；
D選項(xiàng)：假設(shè)成立，證明出平面SAB．，．結(jié)合C選項(xiàng)推出矛盾，D不正確.
【詳解】A選項(xiàng)：因?yàn)槭钦切危?br>所以．
因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，所以，所以．
又，，平面SBC，平面SBC，
所以平面SBC，
所以A正確．
B選項(xiàng)：由選項(xiàng)A知平面SBC，又平面SBC，所以．
因?yàn)椤?，，平面SAC，平面SAC，
所以⊥平面SAC．
因?yàn)槠矫鍭BC，
所以平面平面ABC，故B正確．
C選項(xiàng)：如圖，取SB的中點(diǎn)E，連接CE，DE，
因?yàn)闉榈冗吶切?，則．
易知．在中，，所以．
在中，，所以，
所以，又，，平面CDE，平面CDE，
所以平面CDE．
而平面CDE，
所以，所以C正確．
D選項(xiàng)：假設(shè)成立，因?yàn)?，，平面SAB，平面SAB，
所以平面SAB．
因?yàn)槠矫鍿AB，
所以，．
而由選項(xiàng)C知，，
所以，
這與三角形內(nèi)角和定理矛盾，所以假設(shè)不成立，
即不成立，所以D不正確．
故選：ABC
5．
【分析】作交于E，連接，易證平面平面，設(shè)平面平面=EF，則在上求解.
【詳解】解：如圖所示：
要使平面，作交于E，
則平面，
因?yàn)檎襟w的棱長是2，
所以，
連接，取的中點(diǎn)，連接，
則為平行四邊形，則，
則平面，又，
所以平面平面，
設(shè)平面平面=EF，
則，
連接，則為平行四邊形，在上，
所以，
故答案為：
6．
【分析】先利用球的性質(zhì)推得底面，從而推得外接球球心是外接圓的圓心，在中利用正弦定理求得，由此即可求得所求.
【詳解】記的中點(diǎn)為，四棱錐外接球球心為，連接，在中過作交于，如圖，
因?yàn)榈酌鏋榫匦危瑸榈闹悬c(diǎn)，所以是底面外接圓的圓心，
所以底面，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面?br>所以底面，
所以，又，所以共線，
因?yàn)槠矫妫云矫?，則在面內(nèi)，
所以四棱錐外接球的球心是外接圓的圓心，設(shè)外接球的半徑為，
在中，因?yàn)?，?br>所以，
則由正弦定理得，得，
所以四棱錐外接球的表面積為.
故答案為：.
.
7．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，轉(zhuǎn)化為證明平面平面，即可證明線面平行；
（2）方法一，利用等體積轉(zhuǎn)化，即可求點(diǎn)到平面的距離；方法二，同樣利用等體積轉(zhuǎn)化，即可求解.
【詳解】（1）證明 連接，
∵分別為 的中點(diǎn)，∴，
∵直線不在平面內(nèi)，平面，∴平面，
∵，，∴，且.
∴四邊形為平行四邊形，即，
∵直線不在平面內(nèi)，平面，∴平面，
∵平面，
∴平面平面，平面，則平面.
（2）方法1：設(shè)到平面的距離為，
因?yàn)槠矫?，所以?br>由于，所以四邊形是平行四邊形，
由于，所以，由于平面，
所以平面，而平面，則，
由得，
即；
方法2：∵，，
又平面，∴，又，平面，
∴平面，而平面，∴.
設(shè)，則，，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，
得，則.
∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離為.
8．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直，再利用線面垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直；
（2）利用等體積法求解點(diǎn)面距離即可.
【詳解】（1）如圖，

取的中點(diǎn)，連接，，，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以?br>因?yàn)槠矫嫫矫妫墙痪€，平面，所以平面，
所以.因?yàn)榈酌鏋榱庑危裕?br>因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以，所以，
因?yàn)?，平面，平面，所以平面?br>又平面，所以.
（2）如圖，連接，.

因?yàn)榈酌鏋榱庑?，，所以是等邊三角形，易?
由（1）得，平面，平面，平面，
所以，，所以.
在中，由余弦定理可得，
在中，，所以，即.
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
由得，即，
解得，即點(diǎn)到平面的距離為.
規(guī)律方法：
(1)證明線線平行的常用方法
①三角形的中位線定理；②平行公理；③線面平行的性質(zhì)定理；④面面平行的性質(zhì)定理．
(2)證明線線垂直的常用方法
①等腰三角形三線合一；②勾股定理的逆定理；③利用線面垂直的性質(zhì)證線線垂直．
【考點(diǎn)三】翻折問題
核心梳理：
翻折問題，關(guān)鍵是分清翻折前后圖形的位置和數(shù)量關(guān)系的變與不變，一般地，位于“折痕”同側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置和數(shù)量關(guān)系不變，而位于“折痕”兩側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系會發(fā)生變化；對于不變的關(guān)系應(yīng)在平面圖形中處理，而對于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決．
一、單選題
1．（2022·浙江寧波·模擬預(yù)測）在等腰梯形中，，，AC交BD于O點(diǎn)，沿著直線BD翻折成，所成二面角的大小為，則下列選項(xiàng)中錯誤的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
2．（2022·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）如圖所示，已知，是的中點(diǎn)，沿直線將翻折成，設(shè)直線與面所成角為，二面角的平面角為，則（ ）
A．B．C．D．
三、填空題
3．（2022·四川德陽·二模）如圖，矩形中，，為邊的中點(diǎn)，將沿翻折成，若為線段的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下列說法正確的是 ．
①翻折到某個位置，使得
②翻折到某個位置，使得平面
③四棱錐體積的最大值為
④點(diǎn)M在某個球面上運(yùn)動
四、解答題
4．（2022·全國·模擬預(yù)測）如圖1，在等邊中，是邊上的高，、分別是和邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿翻折成使得平面平面，如圖2.

(1)求證：平面；
(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.
參考答案：
1．C
【分析】由翻折中的邊角變化，利用圖形特征以及余弦定理,以及特殊位置排除即可做出判斷.
【詳解】等腰梯形中，，,可知：
取中點(diǎn),中點(diǎn)連接,則，,所以為 二面角的平面角，即
設(shè)，則
,
,
因?yàn)樵谏嫌嘞液瘮?shù)單調(diào)遞減，又 ，故A對.
當(dāng)時(shí), 與重合,此時(shí),故C不對.
在翻折的過程中，角度從減少到
在翻折的過程中，角度從減少到
BD選項(xiàng)根據(jù)圖形特征及空間關(guān)系，可知正確..
故選:C
2．BC
【分析】構(gòu)造出二面角和線面角之后，再比較大小即可
【詳解】
對于A，顯然錯誤，而
對于B，當(dāng)，時(shí)顯然成立
當(dāng)且時(shí)，分類討論如下
①若,則，
則 即為二面角的平面角, 即
又，，平面，平面，
所以平面，又平面
所以平面平面
所以在平面上的射影即為
所以即為與平面所成的角，即
此時(shí)，
②若與不垂直, 過點(diǎn)作垂直直線于點(diǎn), 過點(diǎn)作垂直直線于點(diǎn), 則可知分別在點(diǎn)的兩邊, 如圖所示,將線段平移到線段處，過作垂直于點(diǎn)，連接
因?yàn)?，，所?br>則 即為二面角的平面角, 即
又，，平面，平面，
所以平面，又平面
所以平面平面
又平面，平面平面，，
所以平面
所以即為與平面所成的角，即
在中，
在中，
因?yàn)?，所以，所?br>綜上，
故B正確
對于C，當(dāng)且時(shí)顯然成立
當(dāng)，且時(shí)，
由B選項(xiàng)的討論可知，成立
故C正確
對于D
設(shè), 則由題意知.
在空間圖形中, 連結(jié), 設(shè). 在中,
在中,,.
同理,,故.
由題意平面,故.
在中,
在中,
（當(dāng)時(shí)取等號）,
,而在上為遞減函數(shù),
故D錯誤
故選：BC
3．①③④
【分析】對于①，當(dāng)時(shí)，即時(shí)滿足條件；對于②，由于不成立，進(jìn)而可判斷；對于③，當(dāng)平面平面時(shí)，四棱錐體積的最大，再求解即可；對于④，取中點(diǎn)，連接，即可得在以點(diǎn)為球心的球面上．
【詳解】解：對于①，由題知，若存在某個位置使得，由于，平面，所以平面，又平面，即，由于，故，
由于在折疊過程中，，所以存在某個位置，使得，
故存在某個位置，使得，故①正確；
對于②，若存在某個位置，使得平面，因?yàn)槠矫妫?br>所以，另一方面，在矩形中，，
故不成立，所以②錯誤；
對于③，四棱錐體積的最大時(shí)，平面平面，
由于是等腰直角三角形，所以此時(shí)點(diǎn)到平面的距離為，
所以四棱錐體積的最大值為，
故③正確；
對于④，取中點(diǎn)，連接，由于為線段的中點(diǎn)，
所以，
所以在以點(diǎn)為球心的球面上，
故④正確．
故答案為：①③④．
4．(1)證明見解析
(2)存在，且
【分析】（1）利用中位線的性質(zhì)可得出，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；
（2）在線段上取點(diǎn)，使，過點(diǎn)在平面內(nèi)作于點(diǎn)，連接，利用面面垂直的性質(zhì)推導(dǎo)出平面，可得出，可得出，推導(dǎo)出，可得出平面，再利用線面垂直的性質(zhì)可得出結(jié)論.
【詳解】（1）證明：如圖1，在中，、分別是和邊的中點(diǎn)，所以，，
因?yàn)槠矫妫矫?，所以，平?
（2）解：在線段上取點(diǎn)，使，過點(diǎn)在平面內(nèi)作于點(diǎn)，連接.

由題意得，平面平面.
因?yàn)?，平面平面，平面平面，平面?br>所以，平面，
因?yàn)槠矫?，所以?
在中，因?yàn)?，，所以，?br>所以，，
翻折前，為等邊三角形，則，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，即，
翻折后，仍有，所以，，故，
在中，，因?yàn)?，則.
又因?yàn)椋瑒t平分，
因?yàn)槭切边吷系闹芯€，則，且，
所以，是等邊三角形，則，
又因?yàn)?，、平面，所以，平面?br>因?yàn)槠矫妫?，?br>綜上，在線段上存在一點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，.
規(guī)律方法：
注意圖形翻折前后變與不變的量以及位置關(guān)系．對照前后圖形，弄清楚變與不變的元素后，再立足于不變的元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系去探求變化后的元素在空間中的位置與數(shù)量關(guān)系．
專題精練
一、單選題
1．（2023·陜西榆林·二模）下列說法中正確的是（ ）
A．平行于同一直線的兩個平面平行
B．垂直于同一平面的兩個平面垂直
C．一塊蛋糕3刀可以切成6塊
D．一條直線上有兩個點(diǎn)到一平面的距離相等，則這條直線在平面內(nèi)
2．（2024·安徽·模擬預(yù)測）如圖是正方體的平面展開圖，則在這個正方體中，
① BM 與 平行；
② 與 是異面直線；
③ 與 BM 成 角；
④ 與 垂直．
以上四個結(jié)論中，正確結(jié)論的序號是（ ）

A．①②③B．②④C．③④D．①③④
3．（2023·四川綿陽·三模）下列說法中正確的是 ?（ ）
A．命題 “若 ?， 則?”的逆命題是真命題
B．命題 “ ?或?"為真命題， 則命題?和命題?均為真命題
C．命題“ ?”的否定為： “?”
D．直線 ?不在平面?內(nèi)， 則“?上有兩個不同的點(diǎn)到?的距離相等”是“?”的充要條件
4．（2024·四川·模擬預(yù)測）設(shè)為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，下列說法正確的是（ ）
A．若，，則
B．若與所成的角相等，則
C．若，，則
D．若，則
5．（2024·江西新余·模擬預(yù)測）已知是三個不同的平面，為兩條不同直線，則下列說法正確的是：（ ）.
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
6．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，四棱錐是棱長均為2的正四棱錐，三棱錐是正四面體，G為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．點(diǎn)共面B．平面平面
C．D．平面ACD
7．（2024·四川樂山·三模）在三棱柱中，點(diǎn)在棱上，滿足，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)在直線上，若平面，則（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）如圖，正三棱柱的底面邊長是2，側(cè)棱長是，為的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)的動點(diǎn)，且平面，則點(diǎn)的軌跡的長度為（ ）
A．B．2C．D．4
二、多選題
9．（24-25高三上·江西九江·開學(xué)考試）已知正方體的體積為8，線段的中點(diǎn)分別為，動點(diǎn)在下底面內(nèi)（含邊界），動點(diǎn)在直線上，且，則（ ）
A．三棱錐的體積為定值
B．動點(diǎn)的軌跡長度為
C．不存在點(diǎn)，使得平面
D．四面體DEFG體積的最大值為
10．（2023·廣東韶關(guān)·模擬預(yù)測）如圖所示，正方體的棱長為1，，分別是棱，的中點(diǎn)，過直線的平面分別與棱，交于點(diǎn)，，以下四個命題中正確的是（ ）

A．四邊形一定為矩形B．平面平面
C．四棱錐體積為D．四邊形的周長最小值為
11．（2022·廣東茂名·一模）如圖是一個邊長為1的正方體的平面展開圖，M為棱AE的中點(diǎn)，點(diǎn)N為平面EFGH內(nèi)一動點(diǎn)，若平面BDG，下列結(jié)論正確的為（ ）
A．點(diǎn)N的軌跡為正方形EFGH的內(nèi)切圓的一段圓弧
B．存在唯一的點(diǎn)N，使得M，N，G，D四點(diǎn)共面
C．無論點(diǎn)N在何位置．總有
D．MN長度的取值范圍為
三、填空題
12．（2024·黑龍江·三模）如圖所示，中，，分別是邊上的點(diǎn)，，將沿折起，點(diǎn)折起后的位置記為點(diǎn)，得到四棱錐，則四棱錐體積的最大值為 .

13．（2024·四川德陽·模擬預(yù)測）如圖，在棱長都相等的正三棱柱中，若為棱的中點(diǎn)，則直線 與直線所成的角為 ．
14．（2024·浙江·模擬預(yù)測）三棱錐的所有棱長均為2，E，F(xiàn)分別為線段BC與AD的中點(diǎn)，M，N分別為線段AE與CF上的動點(diǎn)，若平面ABD，則線段MN長度的最小值為 ．
四、解答題
15．（2023·四川攀枝花·一模）如圖，在四棱柱中，平面，，，，且，.
(1)求證：平面；
(2)求證：.
16．（2024·北京海淀·模擬預(yù)測）如圖，矩形，，平面，，，，，平面與棱交于點(diǎn). 再從條件①、條件②、條件③，這三個條件中選擇一個作為已知.
(1)求證：；
(2)求直線與平面夾角的正弦值；
(3)求的值.
條件①：；
條件②：；
條件③：.
17．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測）如圖，在斜三棱柱中，為邊長為3的正三角形，側(cè)面為正方形，在底面內(nèi)的射影為點(diǎn)O．

(1)求證：；
(2)若，求直線和平面的距離．
18．（2024·湖南湘西·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，平面是邊長為的等邊三角形，，．

(1)證明：平面平面；
(2)若平面與平面夾角的余弦值為，求的長．
19．（2024·湖南衡陽·一模）如圖所示，在三棱柱中，，側(cè)面底面，，分別為棱和的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)若，且平面平面，求二面角的余弦值大小.
參考答案：
1．C
【分析】對ABD舉出反例即可，對B畫出滿足題意的截面即可.
【詳解】對A，平行于同一直線的兩個平面可以平行也可以相交，故A錯誤；
對于B，垂直同一個平面的兩個平面不一定互相垂直，也可以相交、平行，故B錯誤.
對C，作蛋糕截面如圖所示，
一個蛋糕切3刀可以切成塊，故C正確；
對D，一條直線上有兩個點(diǎn)到一平面的距離相等，則這條直線在平面內(nèi)或該直線與平面平行或直線與平面相交，故D錯誤.
故選： C.
2．C
【分析】由正方體的平面展開圖復(fù)原可以直接判斷.
【詳解】由正方體的平面展開圖復(fù)原得空間正方體如圖所示:

由圖可知:①和是異面直線，故不對；②和是平行直線，故不對；
③和平行，與的夾角是，故與所成的角也是，故正確；
④與是異面垂直，正確；所以正確的序號為③④.
故選：C.
3．C
【分析】對于A，求出命題 “若?， 則?” 的逆命題，舉反例判斷；對于B，根據(jù)定義判斷；對于C，求出命題 “存在?” 的否定；對于D，根據(jù)定義判斷.
【詳解】對于 ?，命題 “若?， 則?” 的逆命題是 “若?， 則?” 是假命題，如?時(shí)，?， 故A錯誤；
對于?，命題 “?或?”為真命題，則命題?和命題?中至少一個為真命題， 故B錯誤；
對于?，命題 “存在?” 的否定為： “對?”，故C正確；
對于?，直線?不在平面?內(nèi)，則由?，能得到?上有兩個不同的點(diǎn)到?的距離相等，
反之，?上有兩個不同的點(diǎn)到?的距離相等，不一定有?，
?直線?不在平面?內(nèi)， “?上有兩個不同的點(diǎn) 到?的距離相等” 是 “?”的必要不充分條 件， 故D錯誤．
故選：?．
4．D
【分析】根據(jù)線線關(guān)系、線面關(guān)系、面面關(guān)系逐項(xiàng)判斷可得答案.
【詳解】對于A，平行于同一平面的兩條直線可能平行，也可能異面，故A錯誤；
對于B，與所成的角相等，則可能異面，可能相交，也可能平行，故B錯誤，
對于C，，，則可能垂直，但也可能平行或者相交或者異面，故C錯誤；
對于D，，則，D正確.
故選：D．
5．C
【分析】對于ABD：以正方體或正四棱錐為載體，舉反例說明即可；對于C：根據(jù)線面平行、面面平行的性質(zhì)分析判斷.
【詳解】在正方體中，
對于選項(xiàng)A：例如平面為平面，平面為平面，平面為平面，
則平面平面，即，
取平面平面，滿足，
但，故A錯誤；
對于選項(xiàng)B：例如平面為平面，平面為平面，平面為平面，
則平面平面，即，
取，滿足，
但平面與平面不相互垂直，故B錯誤；
對于選項(xiàng)C：因?yàn)?，可知相交，設(shè)，
又因?yàn)?，則，
又因?yàn)?，，，則，所以，故C正確；
對于選項(xiàng)D：在正四棱錐中
例如平面為平面，平面為平面，平面為平面，
則平面平面，平面平面，
即，滿足，
但平面與平面不一定垂直，故D錯誤；
故選：C.
6．D
【分析】A.由題意轉(zhuǎn)化為證明平面和平面，即可證明；B.根據(jù)面面平行的判斷定理轉(zhuǎn)化為證明平面和平面，即可證明；C.由A選項(xiàng)的證明可證明線線垂直；D.利用反證法，說明不成立.
【詳解】選項(xiàng)A：如圖，取中點(diǎn)，連接,,,，
因?yàn)槭钦睦忮F，是正四面體，為的中點(diǎn)，
所以，,，
因?yàn)?，平面，所以平面?br>因?yàn)?，平面，所以平面?br>所以四點(diǎn)共面，
由題意知，，所以四邊形是平行四邊形，
所以，因?yàn)?，所以，所以四點(diǎn)共面，故A說法正確；
選項(xiàng)B：由選項(xiàng)A知，又平面，平面，所以平面，
因?yàn)椋移矫?，平面，所以平面?br>又平面，平面，且，所以平面平面，故B說法正確；
C選項(xiàng)：由選項(xiàng)A可得平面，又平面，所以，故C說法正確；
D選項(xiàng)：假設(shè)平面，因?yàn)槠矫?，則，
由選項(xiàng)A知四邊形是平行四邊形，所以四邊形是菱形，
與，矛盾，故D說法錯誤.
故選：D
7．D
【分析】作出示意圖，根據(jù)體積關(guān)系可得為的靠近的三等分點(diǎn)，再根據(jù)面面平行的判定定理及性質(zhì)，可找到點(diǎn)位置，從而可求解.
【詳解】如圖所示：
因?yàn)?，所以?br>所以
所以，所以，則，
設(shè)三棱柱的側(cè)棱長為6，則，，
又為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，則。
過作，且，連接，又，
所以平面平面，又平面，
所以平面，所以，
所以，所以，則，
故選：D
8．B
【分析】取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，證明平面，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得的軌跡為線段，即可得解.
【詳解】如圖，

取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，則，
又面，面，所以平面，
又為的中點(diǎn)，所以，
又面，面，所以平面，
又，面，面，所以平面平面，
又因?yàn)槭莻?cè)面上一點(diǎn)，且平面，
所以的軌跡為線段，
，
所以點(diǎn)的軌跡的長度為.
故選：B.
9．ACD
【分析】對于A，由題意可證平面，因此點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，其為定值，據(jù)此判斷A；對于B，根據(jù)題意求出正方體邊長及的長，由此可知點(diǎn)的運(yùn)動軌跡；對于C，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出的方向向量，假設(shè)平面，則平面的法向量和的方向向量共線，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再判斷點(diǎn)是否滿足B中的軌跡即可；對于D，利用空間直角坐標(biāo)系求出點(diǎn)到平面的距離，求出距離的最大值即可.
【詳解】對于A，如圖，連接、，
依題意，，而平面平面，故平面，
所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，其為定值，
所以點(diǎn)到平面的距離為定值，故三棱維的體積為定值，故正確；
對于B，因?yàn)檎襟w的體積為8，故，則，而，
故，
故動點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓在底面內(nèi)的部分，即四分之一圓弧，
故所求軌跡長度為，故B錯誤；
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，故，
設(shè)n=x,y,z為平面的法向量，則故
令，故為平面的一個法向量，
設(shè)，故，
若平面，則，
則，解得，但，
所以不存在點(diǎn)點(diǎn)，使得平面，故C正確；
對于D，因?yàn)闉榈妊切?，故?br>而點(diǎn)到平面的距離，
令，則，
則，其中，
則四面體體積的最大值為，故D正確.
故選：ACD.
10．BC
【分析】對于A，由正方體的性質(zhì)得平面平面，從而，同理得，再由，得四邊形為菱形；對于B，連接，，，推導(dǎo)出，，從而得到平面平面；對于C，求出四棱錐的體積進(jìn)行判斷；對于D，四邊形是菱形，當(dāng)點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)時(shí)，四邊形的周長最?。?br>【詳解】連接，，，，，顯然，且，所以為平行四邊形，
所以，由題意得，平面，平面，所以，
，平面，所以平面，則平面，
平面，所以平面平面，故B正確；
由正方體的性質(zhì)得平面平面，
平面平面，平面平面，故，
同理得，又平面，平面，，四邊形為菱形，故A錯誤；
對于C，四棱錐的體積為：
，故C正確；
對于D，四邊形是菱形，
四邊形的周長，
當(dāng)點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)時(shí)，四邊形的周長最小，
此時(shí)，即周長的最小值為4，故D錯誤．
故選：BC．

11．BCD
【分析】把展開圖折疊成正方體，利用正方體中的線面位置關(guān)系對選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷.
【詳解】將展開圖折疊成正方體，如圖所示：
連接，，，則，.
取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，則，，
所以，不在面內(nèi)，面，則面，
同理有，不在面內(nèi)，面，則面，
而相交且都在面內(nèi)，故平面平面.
要使平面，則點(diǎn)在線段上，故點(diǎn)的軌跡為線段，故A錯誤；
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，又，所以四點(diǎn)共面，
由圖可知，點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，與異面，所以B正確；
在正方體的結(jié)構(gòu)特征，易證平面，又平面平面，
所以平面，又平面，所以，所以C正確；
當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，的長度最小，連接，
則，，
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)（或）重合時(shí)，的長度最大，此時(shí)，
所以長度的取值范圍為：，故D正確.
故選：BCD
12．/
【分析】根據(jù)題意，得到平面時(shí)，四棱錐的體積最大，設(shè)，利用錐體的體積公式，求得，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最大值，即可求解.
【詳解】當(dāng)?shù)酌娴拿娣e一定時(shí)，且平面平面，
因?yàn)榍遥傻?，即?br>又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面，所以平面?br>即平面時(shí)，四棱錐的體積最大，
設(shè)，即，則，
可得，
令，則，
令，解得或（舍），
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，
即四棱錐的體積最大值為.
故答案為：.
13．90°/
【分析】利用三角形的中位線定理及平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合異面直線所成角的定義及勾股定理和逆定理即可求解.
【詳解】設(shè)分別為棱的中點(diǎn)，連接，,如圖所示，
因?yàn)榉謩e為棱的中點(diǎn)，
所以,
又因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，，為棱的中點(diǎn)，
所以,且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以,
所以為直線 與直線所成的角（或其補(bǔ)角）.
設(shè)正三棱柱的棱長為，則
，
，
，
,
所以，即,
所以，
故直線 與直線所成的角為.
故答案為：.
14．/
【分析】延長CM交AB于點(diǎn)I，設(shè)，由余弦定理得，根據(jù)角平分線定理以及平行線性質(zhì)可知，運(yùn)用換元法和二次函數(shù)性質(zhì)可得線段MN長度的最小值．
【詳解】延長CM交AB于點(diǎn)I，因?yàn)槠矫鍭BD，
由線面平行性質(zhì)定理可知，設(shè)，
因?yàn)槿忮F的所有棱長均為2，
所以，且E為線段BC的中點(diǎn)，
所以AE平分∠BAC，由角平分線定理可知，
所以，
因?yàn)镕為線段AD的中點(diǎn)，所以，
由余弦定理可知，
所以，
令，，化簡可得，
因?yàn)?，所以?br>則在時(shí)取得最小值，
所以，
綜上當(dāng)，即時(shí)MN取得最小值．
故答案為：．
15．(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）利用線面平行的判定定理，由，證得平面；
（2）由平面，證得，又，得證平面，由平面，得.
【詳解】（1）因?yàn)椋矫?，平面?br>所以平面；
（2）因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>又因?yàn)?，，平面?br>所以平面，因?yàn)槠矫妫?
16．(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）先證明平面平面，得平面，再證即可；
（2）依題建系，分別就① ，② ，③，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求得平面的法向量的坐標(biāo)，利用空間向量的夾角公式計(jì)算即得；
（3）設(shè)，求得，分別利用①，②，③求得，結(jié)合列方程組，求出即得
【詳解】（1）因?yàn)?，平面，平面，故平面?br>由矩形可得，平面，平面,故平面,
又 ，且平面，平面，故平面平面，
又因平面，故平面，
因平面，平面平面
所以，即；
（2）
若選擇條件①，因?yàn)槠矫妫矫?，.
又有，如圖，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，
所以，，，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，即，故可取.
設(shè)直線與平面夾角為，則
，
即直線與平面夾角的正弦值；
若選擇條件②，因?yàn)槠矫?，平?，.
又有，如圖，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，
所以，，，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，即，故可取.
設(shè)直線與平面夾角為，則
，
即直線與平面夾角的正弦值；
若選擇條件③，因?yàn)槠矫妫矫?，.
又有，如圖，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，
所以，，，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，即，故可取.
設(shè)直線與平面夾角為，則
，
即直線與平面夾角的正弦值.
（3）由（2）建系，且可知無論選擇①，②，③哪個條件，都有.
設(shè)，，則，
由（1）知，所以
故存在實(shí)數(shù)，使得,即，解得,符合題意.
故得.
17．(1)證明過程見解析
(2)
【分析】（1）分析得知要證，只需證，取的中點(diǎn)分別為，故只需證明即可，而這又可以通過線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理證明；
（2）將問題轉(zhuǎn)換為求點(diǎn)到平面的距離，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意分別求出即可，其中為平面的法向量，進(jìn)一步由公式即可得解.
【詳解】（1）

一方面：因?yàn)樵诘酌鎯?nèi)的射影為點(diǎn)O，而平面，
所以，
故要證，只需證；
另一方面：取的中點(diǎn)分別為，連接，
因?yàn)闉檫呴L為3的正三角形，所以也是邊長為3的正三角形，
又點(diǎn)是的中點(diǎn)，
從而，因?yàn)椋裕?br>因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，的中點(diǎn)分別為，
所以，
又因?yàn)?，，，平面?br>所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br>所以，
又點(diǎn)是的中點(diǎn)，
所以；
綜上所述，；
（2）一方面：注意到平面，平面，
所以平面，
要求直線和平面的距離，只需求點(diǎn)到平面的距離即可；
另一方面：若，則點(diǎn)為三角形的外心，從而三點(diǎn)共線，
過點(diǎn)作交于點(diǎn)，易知，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，
從而兩兩互相垂直，
所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

由題意，
，從而，
，
，
設(shè)平面的法向量為，
則，故可取，
所以點(diǎn)到平面的距離為；
綜上所述，直線和平面的距離為.
18．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)條件，利用余弦定理得到，從而得到，利用線面垂直的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到面，再利用面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)果；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面與平面的法向量，利用面面角的向量法，得到，即可求解.
【詳解】（1）在中，，，，
由余弦定理，得到，
解得，所以，得到，又，
所以，即，
又平面，面，所以，
又，面，所以面，又面，
所以平面平面.
（2）以所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，因?yàn)椋?，?br>則，
則，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，得到，取，得到，即，
易知平面的一個法向量為，
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，整理得到，解得，
所以.

19．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，證明，由線線平行即可推得線面平行；
（2）取上的四等分點(diǎn)，滿足,取的中點(diǎn),連接,通過證得推得四點(diǎn)共面，
由題設(shè)證明平面，從而完成建系，不妨取，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算兩平面的法向量坐標(biāo)，利用空間向量的夾角公式即可求得.
【詳解】（1）
如圖，取的中點(diǎn)，連接，，
在中，因是的中點(diǎn)，故，且.
在三棱柱中，且，
又為棱的中點(diǎn)，故得，且，
故得， 則有，
又因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面.
（2）
由題意，三棱柱中所有棱長都相等，則與都是等邊三角形，
如圖，取上的四等分點(diǎn)，滿足,
取的中點(diǎn),連接,
則,易知,且，故可得，
則有，故有則四點(diǎn)共面.
因平面平面，平面平面，
且平面平面可得平面，又.
故可建立以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸的空間直角坐標(biāo)系.
不妨取，則，由可解得
則有，，，
則,
設(shè)平面法向量為，
則，
取，可得，，
故為平面的一個法向量，
因平面，故為底面的一個法向量，
則，
設(shè)二面角的平面角為，由圖知二面角為銳二面角，
故二面角的余弦值為.
題號
1
2
3
4
5
6
7



答案
A
D
A
C
A
B
A



題號
1
2
3
4






答案
A
D
AC
AC






題號
1
2
3
4






答案
A
D
BD
ABC






題號
1
2








答案
C
BC








題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
C
D
C
D
D
B
ACD
BC
題號
11









答案
BCD









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