【要點提煉】
考點一 等差數列、等比數列的基本運算
等差數列、等比數列的基本公式(n∈N*)
(1)等差數列的通項公式：an＝a1＋(n－1)d；
(2)等比數列的通項公式：an＝a1·qn－1.
(3)等差數列的求和公式：Sn＝eq \f(n?a1＋an?,2)＝na1＋eq \f(n?n－1?,2)d；
(4)等比數列的求和公式：Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a1?1－qn?,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1，,na1，q＝1.))
【熱點突破】
【典例】1 (1)《周髀算經》中有一個問題：從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影長依次成等差數列，若冬至、立春、春分的日影長的和為37.5尺，芒種的日影長為4.5尺，則冬至的日影長為( )
A．15.5尺 B．12.5尺 C．10.5尺 D．9.5尺
(2)已知點(n，an)在函數f(x)＝2x－1的圖象上(n∈N*)．數列{an}的前n項和為Sn，設bn＝，數列{bn}的前n項和為Tn.則Tn的最小值為________．
【拓展訓練】1 (1)(2020·全國Ⅱ)數列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，則k等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
(2)(多選)(2020·威海模擬)等差數列{an}的前n項和記為Sn，若a1>0，S10＝S20，則( )
A．d1
三、填空題
9．(2020·江蘇)設{an}是公差為d的等差數列，{bn}是公比為q的等比數列．已知數列{an＋bn}的前n項和Sn＝n2－n＋2n－1(n∈N*)，則d＋q的值是________．
10．(2020·北京市順義區(qū)質檢)設Sn為公比q≠1的等比數列{an}的前n項和，且3a1，2a2，a3成等差數列，則q＝________，eq \f(S4,S2)＝________.
11．(2020·濰坊模擬)九連環(huán)是我國從古至今廣泛流傳的一種益智游戲．在某種玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)個圓環(huán)所需移動的最少次數，{an}滿足a1＝1，且an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2an－1－1?n為偶數?，,2an－1＋2?n為奇數?，))則解下5個圓環(huán)需最少移動________次．
12．已知等比數列{an}的首項為eq \f(3,2)，公比為－eq \f(1,2)，前n項和為Sn，且對任意的n∈N*，都有A≤2Sn－eq \f(1,Sn)≤B恒成立，則B－A的最小值為________．
四、解答題
13．(2020·聊城模擬)在①a5＝b3＋b5，②S3＝87，③a9－a10＝b1＋b2這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并給出解答．
設等差數列{an}的前n項和為Sn，數列{bn}的前n項和為Tn，________，a1＝b6，若對于任意n∈N*都有Tn＝2bn－1，且Sn≤Sk(k為常數)，求正整數k的值．
14．已知等比數列{an}的公比q>1，a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差數列，數列{anbn}的前n項和為eq \f(?2n－1?·3n＋1,2).
(1)分別求出數列{an}和{bn}的通項公式；
(2)設數列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))的前n項和為Sn，任意n∈N*，Sn≤m恒成立，求實數m的最小值．
等差數列
等比數列
定義法
an＋1－an＝d
eq \f(an＋1,an)＝q(q≠0)
通項法
an＝a1＋(n－1)d
an＝a1·qn－1
中項法
2an＝an－1＋an＋1
(n≥2)
aeq \\al(2,n)＝an－1an＋1
(n≥2，an≠0)
前n項和法
Sn＝an2＋bn
(a，b為常數)
Sn＝kqn－k
(k≠0，q≠0,1)
第1講 等差數列與等比數列
【要點提煉】
考點一 等差數列、等比數列的基本運算
等差數列、等比數列的基本公式(n∈N*)
(1)等差數列的通項公式：an＝a1＋(n－1)d；
(2)等比數列的通項公式：an＝a1·qn－1.
(3)等差數列的求和公式：Sn＝eq \f(n?a1＋an?,2)＝na1＋eq \f(n?n－1?,2)d；
(4)等比數列的求和公式：Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a1?1－qn?,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1，,na1，q＝1.))
【熱點突破】
【典例】1 (1)《周髀算經》中有一個問題：從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影長依次成等差數列，若冬至、立春、春分的日影長的和為37.5尺，芒種的日影長為4.5尺，則冬至的日影長為( )
A．15.5尺 B．12.5尺 C．10.5尺 D．9.5尺
【答案】 A
【解析】 從冬至起，十二個節(jié)氣的日影長依次記為a1，a2，a3，…，a12，由題意，有a1＋a4＋a7＝37.5，根據等差數列的性質，得a4＝12.5，而a12＝4.5，設公差為d，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋3d＝12.5，,a1＋11d＝4.5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝15.5，,d＝－1，))所以冬至的日影長為15.5尺．
(2)已知點(n，an)在函數f(x)＝2x－1的圖象上(n∈N*)．數列{an}的前n項和為Sn，設bn＝，數列{bn}的前n項和為Tn.則Tn的最小值為________．
【答案】 －30
【解析】 ∵點(n，an)在函數f(x)＝2x－1的圖象上，
∴an＝2n－1(n∈N*)，
∴{an}是首項為a1＝1，公比q＝2的等比數列，
∴Sn＝eq \f(1×?1－2n?,1－2)＝2n－1，
則bn＝＝2n－12(n∈N*)，
∴{bn}是首項為－10，公差為2的等差數列，
∴Tn＝－10n＋eq \f(n?n－1?,2)×2＝n2－11n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(11,2)))2－eq \f(121,4).
又n∈N*，
∴Tn的最小值為T5＝T6＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2－eq \f(121,4)＝－30.
規(guī)律方法 等差數列、等比數列問題的求解策略
(1)抓住基本量，首項a1、公差d或公比q.
(2)熟悉一些結構特征，如前n項和為Sn＝an2＋bn(a，b是常數)的形式的數列為等差數列，通項公式為an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的數列為等比數列．
(3)由于等比數列的通項公式、前n項和公式中變量n在指數位置，所以常用兩式相除(即比值的方式)進行相關計算．
【拓展訓練】1 (1)(2020·全國Ⅱ)數列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，則k等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】 C
【解析】 ∵a1＝2，am＋n＝aman，
令m＝1，則an＋1＝a1an＝2an，
∴{an}是以a1＝2為首項，2為公比的等比數列，
∴an＝2×2n－1＝2n.
又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，
∴eq \f(2k＋1?1－210?,1－2)＝215－25，
即2k＋1(210－1)＝25(210－1)，
∴2k＋1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4.
(2)(多選)(2020·威海模擬)等差數列{an}的前n項和記為Sn，若a1>0，S10＝S20，則( )
A．da6a7＋1>2，所以(a6－1)(a7－1)1，a71，T13＝aeq \\al(13,7)1的最大正整數n的值為12，C正確，D錯誤．
三、填空題
9．(2020·江蘇)設{an}是公差為d的等差數列，{bn}是公比為q的等比數列．已知數列{an＋bn}的前n項和Sn＝n2－n＋2n－1(n∈N*)，則d＋q的值是________．
【答案】 4
【解析】 由題意知q≠1，
所以Sn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)
＝na1＋eq \f(n?n－1?,2)d＋eq \f(b1?1－qn?,1－q)
＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n＋eq \f(b1,1－q)－eq \f(b1qn,1－q)
＝n2－n＋2n－1，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(d,2)＝1，,a1－\f(d,2)＝－1，,\f(b1,1－q)＝－1，,－\f(b1,1－q)qn＝2n，))解得d＝2，q＝2，
所以d＋q＝4.
10．(2020·北京市順義區(qū)質檢)設Sn為公比q≠1的等比數列{an}的前n項和，且3a1，2a2，a3成等差數列，則q＝________，eq \f(S4,S2)＝________.
【答案】 3 10
【解析】 設等比數列的通項公式an＝a1qn－1，又因為3a1,2a2，a3成等差數列，所以2×2a2＝3a1＋a3，即4a1q＝3a1＋a1q2，解得q＝3或q＝1(舍)，eq \f(S4,S2)＝eq \f(\f(a1?1－34?,1－3),\f(a1?1－32?,1－3))＝eq \f(1－34,1－32)＝10.
11．(2020·濰坊模擬)九連環(huán)是我國從古至今廣泛流傳的一種益智游戲．在某種玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)個圓環(huán)所需移動的最少次數，{an}滿足a1＝1，且an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2an－1－1?n為偶數?，,2an－1＋2?n為奇數?，))則解下5個圓環(huán)需最少移動________次．
【答案】 16
【解析】 因為a5＝2a4＋2＝2(2a3－1)＋2＝4a3，
所以a5＝4a3＝4(2a2＋2)＝8a2＋8＝8(2a1－1)＋8＝16a1＝16，
所以解下5個圓環(huán)需最少移動的次數為16.
12．已知等比數列{an}的首項為eq \f(3,2)，公比為－eq \f(1,2)，前n項和為Sn，且對任意的n∈N*，都有A≤2Sn－eq \f(1,Sn)≤B恒成立，則B－A的最小值為________．
【答案】 eq \f(13,6)
【解析】 ∵等比數列{an}的首項為eq \f(3,2)，公比為－eq \f(1,2)，
∴Sn＝eq \f(\f(3,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n)),1＋\f(1,2))＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n，
令t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n，則－eq \f(1,2)≤t≤eq \f(1,4)，Sn＝1－t，
∴eq \f(3,4)≤Sn≤eq \f(3,2)，
∴2Sn－eq \f(1,Sn)的最小值為eq \f(1,6)，最大值為eq \f(7,3)，
又A≤2Sn－eq \f(1,Sn)≤B對任意n∈N*恒成立，
∴B－A的最小值為eq \f(7,3)－eq \f(1,6)＝eq \f(13,6).
四、解答題
13．(2020·聊城模擬)在①a5＝b3＋b5，②S3＝87，③a9－a10＝b1＋b2這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并給出解答．
設等差數列{an}的前n項和為Sn，數列{bn}的前n項和為Tn，________，a1＝b6，若對于任意n∈N*都有Tn＝2bn－1，且Sn≤Sk(k為常數)，求正整數k的值．
【解析】 由Tn＝2bn－1，n∈N*得，
當n＝1時，b1＝1；
當n≥2時，Tn－1＝2bn－1－1，
從而bn＝2bn－2bn－1，即bn＝2bn－1，
由此可知，數列{bn}是首項為1，公比為2的等比數列，
故bn＝2n－1.
①當a5＝b3＋b5時，a1＝32，a5＝20，
設數列{an}的公差為d，則a5＝a1＋4d，
即20＝32＋4d，解得d＝－3，
所以an＝32－3(n－1)＝35－3n，
因為當n≤11時，an>0，當n>11時，an0，當n>11時，an0，當n>11時，an1，a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差數列，數列{anbn}的前n項和為eq \f(?2n－1?·3n＋1,2).
(1)分別求出數列{an}和{bn}的通項公式；
(2)設數列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))的前n項和為Sn，任意n∈N*，Sn≤m恒成立，求實數m的最小值．
【解析】 (1)因為a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差數列，
所以2a2＝a1＋a3－8，
即2a1q＝a1＋a1q2－8，所以q2－2q－3＝0，
所以q＝3或q＝－1，又q>1，所以q＝3，
所以an＝2·3n－1(n∈N*)．
因為a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝eq \f(?2n－1?·3n＋1,2)，
所以a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝eq \f(?2n－3?·3n－1＋1,2)(n≥2)，
兩式相減，得anbn＝2n·3n－1(n≥2)，
因為an＝2·3n－1，所以bn＝n(n≥2)，
當n＝1時，由a1b1＝2及a1＝2，得b1＝1(符合上式)，
所以bn＝n(n∈N*)．
(2)因為數列{an}是首項為2，公比為3的等比數列，
所以數列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是首項為eq \f(1,2)，公比為eq \f(1,3)的等比數列，
所以Sn＝eq \f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))n)),1－\f(1,3))＝eq \f(3,4)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))n))

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