2.能根據(jù)要求求出拋物線的范圍、對稱軸、準(zhǔn)線方程和焦點坐標(biāo)過程與方法.
教學(xué)重難點
教學(xué)重點：拋物線的性質(zhì).
教材分析
教學(xué)難點：利用拋物線性質(zhì)解決簡單的實際問題．
教學(xué)工具
本節(jié)課是三種圓錐曲線的最后一種，研究拋物線的簡單幾何性質(zhì)，利用曲線方程研究曲線的性質(zhì)，是解析幾何的主要任務(wù)目的，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，既讓學(xué)生了解了拋物線的幾何性質(zhì)，又讓學(xué)生初步體會了利用曲線方程來研究其性質(zhì)的過程.
教學(xué)過程
教學(xué)課件
（一）情境導(dǎo)入
前面，我們利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程獲得了雙曲線的幾何性質(zhì)，是否可以利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程研究拋物線的幾何性質(zhì)呢？
【設(shè)計意圖】復(fù)習(xí)知識，并為本節(jié)課的學(xué)習(xí)作鋪墊.
（二）探索新知
1.范圍
在方程中，y2=2px 中，由p>0，y2≥0，可知x≥0．這表明，拋物線在y 軸的右側(cè)，如圖所示．當(dāng)x的值增大時，y2的值也隨著增大，即|y| 的值增大
這說明，拋物線向右上方和右下方無限延伸．
2.對稱性
在方程中，將y換成-y，方程不改變．
這說明，拋物線關(guān)于x軸對稱．一般地，把拋物線的對稱軸稱為拋物線的軸．
3.頂點
在方程中，令 y=0，得 x=0．因此，拋物線的頂點為原點．一般地，拋物線與它的軸的交點稱為拋物線的頂點．
4.離心率
拋物線上的點M 到焦點的距離與它到準(zhǔn)線的距離的比稱為拋物線的離心率，記作e．由拋物線的定義知，e=1．
為什么拱橋的橋拱大多設(shè)計為拋物線的形狀？
橋梁的主要受力是橋面的荷載重量及自身重量，都是垂直向下的，采用拋物線拱形可以將垂直受力轉(zhuǎn)移到橫向的橋墩或岸邊的地面，這樣可以加寬橋梁下面的通道寬度，減少橋墩數(shù)量，因此，橋梁大多設(shè)計成拋物線拱形.
【設(shè)計意圖】探究與發(fā)現(xiàn)體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用.
（三）典例剖析
例1. 根據(jù)條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（1）關(guān)于y軸對稱，且過點P(4，-2) ；
（2）對稱軸為坐標(biāo)軸，且過點P(10，5)．
解：（1） 由于物線關(guān)于y軸對稱，而點P為第四象限的點，故拋物線的焦點在y軸的負半軸上．
設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-2py(p>0).將點P的坐標(biāo)(4，-2)代人方程，得42=-2p×(-2)，解得p=4．
因此，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-8y；
（2）設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2=2p1x或x2=-2p2y．將點P的坐標(biāo)(10，5)分別代人上述兩個方程，得52=2p1×10或102=-2p2×5，解得p1= 54 或p=10．
故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
y2= 52 x或x2=20y．
當(dāng)問題中沒有明確指出拋物線的焦點位置或?qū)ΨQ軸時，一般需要分情況討論．
例2. 用“描點法”畫出拋物線 y2=4x的圖形．
分析：拋物線具有對稱性,因此只需先畫出拋物線在第一象限內(nèi)的圖形,然后根據(jù)對稱性畫出全部圖形.
解：當(dāng)y≥0時,拋物線的方程可以變形為
在[0,+∞)上,選取幾個整數(shù)作為x的值,計算出對應(yīng)的y值,列表
以表中的x值為橫坐標(biāo),對應(yīng)的y值為縱坐標(biāo),在直角坐標(biāo)系中依次描出相應(yīng)的點(x,y),用光滑的曲線順次鏈接各點得到拋物線在第一象限內(nèi)的圖形.然后利用對稱性,畫出全部圖形.
例3.建設(shè)交通強國是全面建成社會主義現(xiàn)代化強國的重要支撐．2021年年底，我國高速公路里程已位居世界第一．在修建A市到B市的高速公路過程中，需要挖掘一條橫截面如圖（1）所示的隧道．已知橫截面的頂部是拋物線拱，拱高為2m，跨度為6m，試建立平面直角坐標(biāo)系，求拋物拱形線的方程．
解：以拋物線的頂點為坐標(biāo)原點、拱高所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖(2)所示，則拋物線方程可設(shè)為x2=-2py．
設(shè)拱形的兩個端點分別為點A、B．則由拱高為2m和跨度為6m可得A、B兩點的坐標(biāo)
分別為(-3，-2)、(3 ，-2)．把點B的坐標(biāo)代入方程x2=-2py，可得p= 94．
因此,拱形縱截線所在的拋物線方程為
【設(shè)計意圖】例 1要強調(diào)不明確拋物線的焦點位置或?qū)ΨQ軸時，一般需要分情況討論；例 2 作圖時，利用了拋物線的軸對稱性，要注意直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)；例 3是拋物線的實際應(yīng)用問題.
（四）鞏固練習(xí)
1. 根據(jù)下列條件分別求拋物線的方程：
(1)準(zhǔn)線方程為；
(2)經(jīng)過點(－3， 1)．
解：（1）由題意得焦點在y軸的負半軸上，所以設(shè)拋物線的方程為x2＝－2py(p>0)．因為，所以p＝，故拋物線的方程為.
（2）當(dāng)焦點在x軸的負半軸上時，設(shè)其方程為y2＝－2px(p>0)，代入點(－3， 1)得p＝，此時方程為y2＝－x；
當(dāng)焦點在y軸的正半軸上時，設(shè)其方程為x2＝2py(p>0)，代入點(－3， 1)得p＝，此時方程為x2＝9y.
2．若拋物線x2=8y上一點P到焦點的距離為9，則點P的縱坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．6D．7
解：由題意得：拋物線準(zhǔn)線方程為，P點到拋物線的焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離，設(shè)點縱坐標(biāo)為，則，解得：.
故選：D
3．已知過拋物線C：的焦點F且與x軸垂直的直線與拋物線交于A、B兩點，則________.
解：拋物線C：的焦點，則直線，
由得：，
所以.
故答案為：8
4．已知某條河上有拋物線型拱橋，當(dāng)水面距拱頂5米時，水面寬8米，一條木船寬4米，木船露出水面上的部分高為0.75米.建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拱橋所在拋物線的方程.
解：以拱頂為原點，拱橋的對稱軸為軸建立直角坐標(biāo)系.如圖所示
設(shè)拋物線的方程為，則點在拋物線上，代入方程得，
所以拋物線的方程為.
【設(shè)計意圖】通過練習(xí)及時掌握學(xué)生的知識掌握情況，查漏補缺.
（五）歸納總結(jié)
【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學(xué)生反思學(xué)習(xí)過程的能力
（六）布置作業(yè)
練習(xí)2.4.2；習(xí)題2.4-A組2,5,6題

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中職數(shù)學(xué)高教版（2021·十四五）拓展模塊一（上冊）電子課本

3.3.2 拋物線的幾何性質(zhì)

版本： 高教版（2021·十四五）

年級： 拓展模塊一（上冊）

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