2.能根據(jù)條件求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
教學(xué)重難點
教學(xué)重點：根據(jù)條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
教材分析
教學(xué)難點：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)與化簡．
教學(xué)工具
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是圓錐曲線第一節(jié)的內(nèi)容，在前面學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了運用坐標(biāo)法研究直線和圓的性質(zhì)，對橢圓概念與方程的研究是坐標(biāo)的深入，為后面研究雙曲線、拋物線提供了基本模式和理論基礎(chǔ)，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程起到了承上啟下的作用.
教學(xué)課件
教學(xué)過程
（一）情境導(dǎo)入
中國國家大劇院是首都北京的地標(biāo)性建筑之一，它位于人民大會堂的西側(cè)．觀察上圖，國家大劇院及其倒影的輪廓線是什么圖形？有什么特點？
可以看出，圖中的輪廓線是一條優(yōu)美的封閉曲線，人們稱之為橢圓．那么，如何畫出一個橢圓呢？
【設(shè)計意圖】創(chuàng)設(shè)情境，幫助學(xué)生形成橢圓形狀的直觀感受.
（二）探索新知
可以看出，圖中的輪廓線是一條優(yōu)美的封閉曲線，人們稱之為橢圓．那么，如何畫出一個橢圓呢？我們可以通過一個實驗來完（1）準(zhǔn)備一個畫板、一條定長的細(xì)繩、兩枚圖釘和一支筆；
（2）將繩子的兩端固定在畫板上的F1 和F2 兩點，并使繩長大于下到下的距離；
（3）用筆尖將細(xì)繩拉緊，保持筆桿與畫板垂直，筆尖在畫板上慢 慢移動，就畫出一個橢圓，如圖所示．
顯然，筆尖(即點 M)移動時，細(xì)繩的長度保持不變，即筆尖到兩個定點 F1 和 F2 的距離之和始終等于繩長（常數(shù)）．
一般地，把平面內(nèi)與兩個定點 F1、F2 的距離之和為常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡稱為橢圓．這兩個定點稱為橢圓的焦點，兩焦點間的距離稱為橢圓的焦距．
1970 年 4 月 24 日，我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號”順利升空，開創(chuàng)了中國航天史的新紀(jì)元，使我國成為全球第五個獨立研制并發(fā)射人造地球衛(wèi)星的國家．如圖所示，它的預(yù)定運行軌道是以半徑約為 6371km 的地球的中心 F1 為一個焦點的橢圓，近地點 A 距離地球 441km，遠(yuǎn)地點 B距離地球 2368km．那么，如何求出這顆衛(wèi)星預(yù)定運行軌道的橢圓方程呢？
我們知道，通過建立合適的平面直角坐標(biāo)系，可以求出直線和圓的方程．那么，是否可以建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系來求出橢圓的方程呢？
容易看出，橢圓既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形．
因此，以經(jīng)過橢圓兩焦點F1 、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y 軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示．
設(shè)M (x,y)為橢圓上的任意一點，點M 到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和為定長2a(a>0)，設(shè)橢圓的焦距為2c(c>0)，則F1，F(xiàn)2兩個定點的坐標(biāo)分別為(-c,0)和(c,0).
由橢圓定義，得|MF1|+|MF2|=2a
根據(jù)兩點間的距離公式，分別代入點M 及兩定點F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)
x+c2+y2+x-c2+y2=2a
移項：x+c2+y2=2a-x-c2+y2
兩邊平方：x+c2+y2=4a2-4ax-c2+y2+x-c2+y2
整理得：a2-cx=ax-c2+y2
兩邊平方，整理得：a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2
由橢圓的定義可知，a>c>0，令b2＝a2－c2
即：b2x2+a2y2=a2b2
等式兩邊同除以b2：x2a2+y2b2=1 (a>b>0)（橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程）
這個方程表示的是：焦點在 x 軸上的橢圓，其中焦點坐標(biāo)為F1 (-c,0)，F(xiàn)2 (c,0).
類似地，以經(jīng)過橢圓兩焦點F1、F2的直線為y軸，線段F1F2的垂直平分線為x 軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，可以求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2 + x2b2=1 (a>b>0) ．
此時橢圓的焦點F1和F2的坐標(biāo)分別為(0,-c)和(0,c).
【設(shè)計意圖】通過把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題從而使幾何問題可以通過代數(shù)運算來解決，類比介紹焦點在 y軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.
（三）典例剖析
例1. 根據(jù)條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（1）焦點在 x 軸上，焦距為 6，橢圓上的點到兩個焦點的距離之和為 10；
（2）焦點為 F1(0，-2)和 F2(0，2)，橢圓上一點 M 的坐標(biāo)為- 32, 52．
解：（1）由于 2c=6，2a=10，故 c=3，a=5，從而 b2=a2-c2=16．
因為橢圓的焦點在 x 軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x225 + y216=1 ．
（2）由橢圓的定義知，|MF1|+|MF2|=2a，于是有
2a=(-32-0)2+[52-(-2)] 2 +(-32-0)2+(52-2) 2 =210 ．
即a=10 ．又因為c=2，所以b2=a2-c2=10-4=6．
由題意可知，橢圓的焦點在y軸上．因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2102 + x262=1 ．
例2. 求“情境與問題”中“東方紅一號”衛(wèi)星預(yù)定運行軌道的標(biāo)準(zhǔn)方程.
解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為x2a2 + y2b2=1，F(xiàn)1(-c, 0)，A (-a, 0)， B (a, 0)，則有如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為x2a2 + y2b2=1，
F1(-c, 0)，A (-a, 0)， B (a, 0)，則有
a-c=6371+441=6812，a+c=6371+2368=8739．
解得a=7775.5，c=963.5．則b≈7715.6 ．
故衛(wèi)星預(yù)定運行軌道的方程為
x27775.52 + y27715.62=1 ．
例3. 已知橢圓的方程，求其焦點坐標(biāo)和焦距．
（1） x26 + y24=1 ；（2）4x2+3y2=12 ．
解:（1）因為6>4，所以橢圓的焦點在x軸上，并且a2=6，b2=4．
于是有 c2=a2-b2=2．
從而 c= 2 ，2c= 22．
因此，橢圓的焦點為F1 (2, 0)、F2(-2, 0)，焦距22．
（2）將橢圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x23 + y24=1．
因為4>3，所以橢圓的焦點在y軸上，并且a2=4，b2=3．
于是有
c2=a2-b2=4-3=1．
從而 c=1，2c= 2．
因此，橢圓的焦點為F1 (0,-1)、F2(0,1)．
要判斷橢圓的焦點在哪個坐標(biāo)軸上，可將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程．然后，觀察標(biāo)準(zhǔn)方程中含x項與含y項的分母，哪項的分母大，焦點就在哪個坐標(biāo)軸上．
例4. 若橢圓x2100 + y264=1上一點P到焦點F1的距離等于6,求|PF1|，求P到另一個焦點F2的距離|PF2|．
解:由橢圓定義知|MF1|+|MF2|=2a(a>0)，其中|PF1|=6 ．
又由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知，a2=100，a=10．于是有
6+|PF2|=2a=20，
即 |PF2|=14．
【設(shè)計意圖】例 1 讓學(xué)生理解求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)鍵是求出a2和 b2；例 2 與前面內(nèi)容呼應(yīng)，體現(xiàn)學(xué)以致用；求焦點和焦距的問題， 引導(dǎo)學(xué)生先將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式；例 4鞏固對橢圓定義的理解和標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用.
（四）鞏固練習(xí)
1.根據(jù)下列條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)兩個焦點的坐標(biāo)分別為(－4,0)和(4,0)，且橢圓經(jīng)過點(5,0)；
(2)焦點在y軸上，且經(jīng)過兩個點(0,2)和(1,0).
解：(1)因為橢圓的焦點在x軸上，
所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．
因為2a＝eq \r(?5＋4?2)＋eq \r(?5－4?2)＝10，所以a＝5.
又c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9.
故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1.
(2)因為橢圓的焦點在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程
為eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．
又橢圓經(jīng)過點(0,2)和(1,0)，
所以a=2,b=1
故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(y2,4)＋x2＝1.
2．平面內(nèi)點P到、的距離之和是10，
則動點P的軌跡方程是（ ）
A．B．
C．D．
解：由題意，
平面內(nèi)點P到、的距離之和是10，
∴動點的軌跡為橢圓,焦點在軸上, , 解得：，
∴，∴軌跡方程為: ，故選: B.
3.已知橢圓的方程,求其焦點坐標(biāo)和焦距.
（1）x26+y24=1 （2）4x2+3y2=12
解: （1）因為6>4,所以橢圓的焦點在x軸上,并且a2=6,b2=4.
于是有c2=a2-b2=6-4=2
從而c=2，2c=22 .
因此橢圓的焦點為F1(-2,0)、F2(2,0，焦距為22.
（2）將橢圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程x23+y24=1
因為4>3，所以橢圓的焦點在y軸上，并且a2=4，b2=3.
于是有c2=a2-b2=4-3=1，
從而橢圓的焦點為F1(0,-1)、F2(0,1，焦距為2.
4．已知橢圓eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1的直線l交橢圓于A，B兩點，則△ABF2的周長是__16_____.
【設(shè)計意圖】通過練習(xí)及時掌握學(xué)生的知識掌握情況，查漏補缺.
（五）歸納總結(jié)
【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學(xué)生反思學(xué)習(xí)過程的能力
（六）布置作業(yè)
練習(xí)3.1.1；習(xí)題3.1-A組1,5題


焦點在x軸上
焦點在y軸上
標(biāo)準(zhǔn)方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
圖形
焦點坐標(biāo)
F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)
F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)

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3.1.1 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

版本： 高教版（2021·十四五）

年級： 拓展模塊一（上冊）

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