2. 能根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，對橢圓方程進(jìn)行討論，會畫橢圓的圖形過程與方法.
教學(xué)重難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：根據(jù)條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
教材分析
教學(xué)難點(diǎn)：圓的離心率對圖像的影響．
教學(xué)工具
本節(jié)課是通過研究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來探究橢圓的簡單幾何性質(zhì)，是本單元的重點(diǎn)內(nèi)容之一，利用曲線方程研究曲線的性質(zhì)，是解析幾何的主要任務(wù)目的，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，既讓學(xué)生了解了橢圓的幾何性質(zhì)，又讓學(xué)生初步體會了利用曲線方程來研究其性質(zhì)的過程，同進(jìn)也為下一步學(xué)習(xí)雙曲線和拋物線的性質(zhì)做好了鋪墊.
教學(xué)課件
教學(xué)過程
（一）情境導(dǎo)入
(x-a)2+(y-b)2=r2.
方程稱為以C(a,b)為圓心, r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
在基礎(chǔ)模塊，我們利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到了圓的性質(zhì)，是否可以利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來研究橢圓的性質(zhì)呢？
【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)習(xí)知識并為今天的學(xué)習(xí)內(nèi)容做鋪墊.
（二）探索新知
下面以x2a2 + y2b2=1 (a>b>0)為例，探究橢圓的幾何性質(zhì)．
1.范圍
從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，
1- x2a2 = y2b2≥0，因此x2a2≤1，從而可得，
-a≤x≤a．
同理可得，y2b2 ≤1，于是有 -b≤y≤b．
這說明，橢圓位于四條直線x=-a，x=a，y=-b，y=b所圍成的矩形框內(nèi)，如圖所示．
2.對稱性
在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，將y換成-y，方程不變．這說明，當(dāng)點(diǎn)P(x,y)在橢圓上時，其關(guān)于x軸的對稱點(diǎn) P1(x,-y)也在橢圓上．因此,橢圓關(guān)于x軸對稱．
同理，將x換成-x，方程不變.這說明，當(dāng)點(diǎn)P(x,y)在橢圓上時，其關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P2(-x,y)也在橢圓上．因此，橢圓關(guān)于y軸對稱．
進(jìn)一步，將x換成-x，同時y換成-y，方程不變．這說明，當(dāng)點(diǎn)P(x,y)在橢圓上時，其關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)P3(-x,-y)也在橢圓上．因此，橢圓關(guān)于原點(diǎn)對稱．
綜上所述，橢圓既關(guān)于x軸對稱，又關(guān)于y軸對稱，也關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱．
x軸與y軸都稱為橢圓的對稱軸，坐標(biāo)原點(diǎn)稱為橢圓的對稱中心(簡稱中心) ．
3.頂點(diǎn)
在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2 + y2b2=1中，令y = 0，得x =±a，這說明橢圓與x軸有兩個交點(diǎn)A1(-a,0)和A2(a,0)．同理，令x = 0，得y =±b. 這說明橢圓與y軸有兩個交點(diǎn)B1(0,-b)和B2(0,b)，如圖所示．
橢圓與它的對稱軸的四個交點(diǎn)A1、 A2、 B1、B2，稱為橢圓的頂點(diǎn)．線段A1A2和B1B2分別稱為橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為2a和2b．a(chǎn)和b分別是橢圓的長半軸長和短半軸長．顯然，橢圓的焦點(diǎn)在它的長軸上．
值得注意的是，由于a、b、c滿足關(guān)系式b2+c2=a2，故長度分別為a、b、c的三條線段構(gòu)成一個直角三角形．觀察上圖，可知
|OB1|=|OB2|=b，|OF1|=|OF2|=c，|B2F1|=|B2F2|=a，
故有 |OB2|2+|OF2|2=|B2F2|2 ．
因此，Rt△F2OB2(或Rt△ F1OB1)直觀地反映了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中a、b、c三者之間的關(guān)系．
4.離心率
把橢圓的焦距與長軸長之比c a稱為橢圓的離心率，記作e．即
e=c a ．
因?yàn)閍>c>0，所以0

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中職數(shù)學(xué)高教版（2021·十四五）拓展模塊一（上冊）電子課本

3.1.2 橢圓的幾何性質(zhì)

版本： 高教版（2021·十四五）

年級： 拓展模塊一（上冊）

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