2．掌握向量加法的運(yùn)算律，并會(huì)用它們進(jìn)行向量進(jìn)行計(jì)算.教學(xué)重難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：向量加法的運(yùn)算及其幾何意義.
教學(xué)難點(diǎn)：向量加法運(yùn)算的幾何意義．
教學(xué)工具
教材分析
本節(jié)教材一是通過(guò)具體實(shí)例引入向量加法的定義，二是掌握向量加法的幾何意義，熟練利用向量加法的平行四邊形法則和三角形法則求向量的和．
教學(xué)課件
教學(xué)過(guò)程
（一）情境導(dǎo)入
我們知道，數(shù)可以進(jìn)行加法和減法運(yùn)算．那么,向量之間是否也可以進(jìn)行加法和減法運(yùn)算呢？人們通過(guò)對(duì)位移等向量的研究發(fā)現(xiàn)，向量可以進(jìn)行加法和減法及數(shù)乘等運(yùn)算．
向量的加法運(yùn)算、減法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱向量的線性運(yùn)算．
家住昆明的小張打算自駕去成都旅游，出發(fā)前查看交通情況發(fā)現(xiàn)成昆之間的高速公路嚴(yán)重?fù)矶?，所以改變出行路線，先駕車到重慶，再?gòu)闹貞c到成都．小張自駕旅程中的位移情況如圖所示，其中，點(diǎn)A 、B、C分別代表昆明、重慶和成都三地．
試問(wèn)，小張從點(diǎn)A經(jīng)點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)C接連兩次位移AB、BC的結(jié)果，與原計(jì)劃從點(diǎn)A直接到達(dá)點(diǎn)C的位移AC有什么關(guān)系？
可以看出，這兩種方式的位移結(jié)果是一樣的，都是從昆明到成都．因此我們可以把位移AC看作兩次位移AB與BC的和．
【設(shè)計(jì)意圖】從生活實(shí)例出發(fā)，使學(xué)生自然地走向知識(shí)點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.
（二）探索新知
一般地，對(duì)于平面內(nèi)給定的兩個(gè)不平行的非零向量a、b，在平面上任取一點(diǎn)A，依次作AB = a， BC = b，得到一個(gè)△ABC，稱向量AC為向量a與向量b的和，也稱AC為向量a與向量b的和向量，記作a+b,如圖所示．即 a+b=AC = AB+BC ．
用視頻演示和向量.
求兩個(gè)向量的和的運(yùn)算稱為向量的加法.
上述把兩個(gè)非零向量表示成有向線段并借助于三角形作出其和向量的方法,稱為向量加法的三角形法則.
當(dāng)非零向量平行時(shí),在平面上任取一點(diǎn)A,依次作， ,得到一個(gè)新的向量,稱向量 為向量a與向量b的和,記作a+b .
規(guī)定： a+b=0+a=a；
a+(?a)=0.
由上面的分析可知,表示各個(gè)向量的有向線段首尾相接,由起點(diǎn)指向終點(diǎn)的有向線段表示的向量就是這些向量的和向量,這是向量加法的幾何意義,如右圖所示 .
【設(shè)計(jì)意圖】帶領(lǐng)學(xué)生分析,引導(dǎo)式啟發(fā)學(xué)生得出結(jié)果. 仔細(xì)分析關(guān)鍵詞語(yǔ)“首尾相接“加深記憶.
（三）典例剖析
例1. 如圖所示,在?ABCD中,用向量AB ,AD表示向量AC .
解: 根據(jù)向量加法的三角形法則可知， AC = AB + BC ．又因?yàn)?ABCD中， AD = BC ，所以， AC = AB + AD ．
一般地,給定兩個(gè)非零向量AB ,AD，以線段AB和AD為鄰邊作?ABCD,則向量AC就是向量AB ,AD的和,這種作兩個(gè)向量的和向量的方法稱為向量加法的平行四邊形法則．
可以驗(yàn)證，向量的加法滿足以下運(yùn)算律：
a+b=b+a；(交換律)
a+(b+c)= a+(b+c) .(結(jié)合律)
例2. 如圖，已知a、b，求作a＋b．
解:(1)運(yùn)用三角形法則.如圖所示,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作AB=a, BC=b,
則甲AC = a＋b，乙AC = a＋b.
甲＝a＋b 乙＝a＋b
(2)運(yùn)用平行四邊形法則.如圖所示,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作OA=a, OB=b,
以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形，則向量OC= a＋b.
乙圖不能用運(yùn)用平行四邊形法則作出.
三角形法則與平行四邊形法則的區(qū)別與聯(lián)系
區(qū)別：(1)三角形法則中強(qiáng)調(diào)“首尾相接”，平行四邊形法則中強(qiáng)調(diào)的是“共起點(diǎn)”．
(2)三角形法則適用于所有的非零向量求和，而平行四邊形法則僅適用于不共線的兩個(gè)向量求和．
聯(lián)系：平行四邊形法則與三角形法則在本質(zhì)上是一致的．這兩種求向量和的方法，通過(guò)向量平移能相互轉(zhuǎn)化，解決具體問(wèn)題時(shí)視情況而定．
例3.在某地抗震救災(zāi)中，一架飛機(jī)從A地按北偏東35°的方向飛行800 km到達(dá)B地接到受傷人員，然后又從B地按南偏東55°的方向飛行800 km送往C地醫(yī)院，求這架飛機(jī)飛行的路程及兩次位移的和．
解：如圖所示，設(shè)eq \(AB,\s\up16(→))，eq \(BC,\s\up16(→))分別表示飛機(jī)從A地按北偏東35°的方向飛行800 km，從B地按南偏東55°的方向飛行800 km．
則飛機(jī)飛行的路程指的是|eq \(AB,\s\up16(→))|＋|eq \(BC,\s\up16(→))|；兩次飛行的位移的和指的是eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(BC,\s\up16(→))＝eq \(AC,\s\up16(→))．
依題意，有|eq \(AB,\s\up16(→))|＋|eq \(BC,\s\up16(→))|＝800＋800＝1 600(km)．
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°．
所以|eq \(AC,\s\up16(→))|＝eq \r(|\(AB,\s\up16(→))|2＋|\(BC,\s\up16(→))|2)
＝eq \r(8002＋8002)＝800eq \r(2)(km)．
其中∠BAC＝45°，所以方向?yàn)楸逼珫|35°＋45°＝80°．
從而飛機(jī)飛行的路程是1 600 km，兩次飛行的位移和的大小為800eq \r(2) km，方向?yàn)楸逼珫|80°．
【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)例題進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)理解掌握, 觀察學(xué)生是否理解知識(shí)點(diǎn).
（四）鞏固練習(xí)
1．如下圖中(1)、(2)所示，試作出向量a與b的和．
解:如下圖中(1)、(2)所示，
首先作OA＝a，然后作AB＝b，則OB＝a＋b．
2.如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，F(xiàn)為線段DE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE∥BC，AB∥CF，連接CD，那么(在橫線上只填上一個(gè)向量)：
(1)eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(DF,\s\up16(→))＝______；
(2)eq \(AD,\s\up16(→))＋eq \(FC,\s\up16(→))＝______；
(3)eq \(AD,\s\up16(→))＋eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \(FC,\s\up16(→))＝______．
3．向量(eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(MB,\s\up16(→)))＋(eq \(BO,\s\up16(→))＋eq \(BC,\s\up16(→)))＋eq \(OM,\s\up16(→))化簡(jiǎn)結(jié)果為( )
A．eq \(BC,\s\up16(→))B．eq \(AB,\s\up16(→))
C．eq \(AC,\s\up16(→))D．eq \(AM,\s\up16(→))
解： 原式＝eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(BO,\s\up16(→))＋eq \(MB,\s\up16(→))＋eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \(OM,\s\up16(→))＝eq \(AO,\s\up16(→))＋eq \(OM,\s\up16(→))＋eq \(MC,\s\up16(→))＝eq \(AM,\s\up16(→))＋eq \(MC,\s\up16(→))＝eq \(AC,\s\up16(→))．
4.如圖，用兩根繩子把重10 N的物體W吊在水平桿子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B處所受力的大小(繩子的重量忽略不計(jì))．
解：如圖，設(shè)eq \(CE,\s\up16(→))、eq \(CF,\s\up16(→))分別表示A，B所受的力，10 N的重力用eq \(CG,\s\up16(→))表示，則eq \(CE,\s\up16(→))＋eq \(CF,\s\up16(→))＝eq \(CG,\s\up16(→))．
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°，
∴|eq \(CE,\s\up16(→))|＝|eq \(CG,\s\up16(→))|cs 30°＝10×eq \f(\r(3),2)＝5eq \r(3)．
|eq \(CF,\s\up16(→))|＝|eq \(CG,\s\up16(→))|cs 60°＝10×eq \f(1,2)＝5．
∴A處所受的力的大小為5eq \r(3) N，B處所受的力的大小為5 N．
【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)練習(xí)及時(shí)掌握學(xué)生的知識(shí)掌握情況，查漏補(bǔ)缺.
（五）歸納總結(jié)
【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生反思學(xué)習(xí)過(guò)程的能力
（六）布置作業(yè)
練習(xí)2.2.1；習(xí)題2.2-A組3，4（1）題，B組1題

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2.2.1 向量的加法運(yùn)算

版本： 高教版（2021·十四五）

年級(jí)： 拓展模塊一（上冊(cè)）

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