2.掌握雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù) 之間的關(guān)系.
教學(xué)重難點
教學(xué)重點：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).
教材分析
教學(xué)難點：雙曲線圖形的繪制．
教學(xué)工具
本節(jié)課是通過研究雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程來探究雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，是本單元的重點內(nèi)容之一，利用曲線方程研究曲線的性質(zhì)，是解析幾何的主要任務(wù)目的，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，既讓學(xué)生了解了雙曲線的幾何性質(zhì)，又讓學(xué)生初步體會了利用曲線方程來研究其性質(zhì)的過程.
教學(xué)課件
教學(xué)過程
（一）情境導(dǎo)入
1.范圍 2.對稱性 3.頂點 4.離心率
前面，我們借助于橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究了橢圓的幾何性質(zhì)．那么，如何借助與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程來研究雙曲線的幾何性質(zhì)呢？
【設(shè)計意圖】引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生得出結(jié)果.
（二）探索新知
下面以為例,探究雙曲線的幾何性質(zhì).
1．范圍
將雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程化為.
因為，所以由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程知道，雙曲線上的點的橫坐標(biāo)滿足，即．于是有
x≤－a或x ≥a．
這說明,雙曲線的兩支分別位于直線x=-a的左側(cè)與直線x=a的右側(cè),如圖所示.
2.對稱性
在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，將y換成－y，方程依然成立．這說明雙曲線關(guān)于x軸對稱．
同理可知，雙曲線關(guān)于y軸對稱，也關(guān)于坐標(biāo)原點對稱．x軸與y軸都叫做雙曲線的對稱軸，坐標(biāo)原點叫做雙曲線的對稱中心（簡稱中心）．
3.頂點
在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令，得到．因此，雙曲線與x軸有兩個交點和．
雙曲線和它的對稱軸的交點叫做雙曲線的頂點．因此和是雙曲線的頂點．
令，得到，這個方程沒有實數(shù)解，說明雙曲線和y軸沒有交點．但是，我們也將點與畫出來．
線段，分別叫做雙曲線的實軸和虛軸，它們的長分別為和．a(chǎn)和b分別表示雙曲線的半實軸長和半虛軸長．
顯然,雙曲線的焦點、頂點與實軸都在同一個坐標(biāo)軸上．
4．漸近線
經(jīng)過分別作y軸的平行線x = －a ，x = a，經(jīng)過分別作x軸的平行線y = －b ，y = b．這四條直線圍成一個矩形．矩形的兩條對角線所在的方程為
．
觀察左圖可以看出,雙曲線的兩支向外延伸時，分別與這兩條直線逐漸接近但又永不相交,我們把這兩條直線稱為雙曲線 的漸近線.
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以寫成
，
可以看到，當(dāng)|x|無限增大時，y的值無限接近于的值．這說明雙曲線的兩支曲線與兩條直線無限接近（但不能相交）．
5．離心率
雙曲線的焦距與實軸長的比叫做雙曲線的離心率，記作e．即
．
因為，所以雙曲線的離心率．
由
可以看到，e越大，的值越大，即漸近線的斜率的絕對值越大，這是雙曲線的“張口”就越大．因此，離心率e的值可以刻畫出雙曲線“張口”的大?。?br>為什么冷卻塔的塔身大多是雙曲線的形狀？
冷卻塔做成雙曲線形的是為了提高冷卻的效率，底部有最大的圓周，可以最大限度地進(jìn)入冷空氣，冷空氣到達(dá)最細(xì)部位時，接觸熱水，這時首先由于管徑變小，空氣流速加快，可以盡快的帶走熱水中的熱量，其次由于管徑變小，冷空氣的體積也受到壓縮，故壓力也有增加，而壓力增加流體的含熱能力會隨之增加，于是在細(xì)腰部冷空氣可以最大限度的吸收熱水的熱量從而使熱水冷卻。到了最上部，管徑再次擴(kuò)大，已攜帶了大量熱量的空氣由于速度減慢，壓力減小，又將所含的熱量釋放出來形成白色的水蒸氣.
【設(shè)計意圖】雙曲線的范圍和對稱性易于直觀判斷，運(yùn)用代數(shù)方法進(jìn)行界定可以幫助學(xué)生習(xí)得幾何問題代數(shù)化的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神.
（三）典例剖析
例1. 求雙曲線4y2-16x2=64的實軸長、虛軸長、焦點坐標(biāo)、頂點坐標(biāo)、離心率與漸近線方程.
解: 將方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為

因此雙曲線的焦點在y軸上且故．
所以雙曲線的實軸長為8，虛軸長為4，焦點為，頂點坐標(biāo)為，離心率為，
漸近線方程為 ．
例2. 求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（1）一個焦點的坐標(biāo)為(10,0),一條漸近線的方程為3x-4y=0；
（2）焦距為12,離心率為．
解: （1）由題設(shè)可知，雙曲線的焦點在x軸上,漸近線的方程為
于是有
解得
因此，所求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）由已知條件知，于是焦點在x軸上時．
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
焦點在y軸上時．
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
例3. 用“描點法”畫出雙曲線的圖形.
分析：由于雙曲線具有對稱性,一般只需先畫出雙曲線在第一象限內(nèi)的圖形,然后利用對稱性,畫出全部圖形.
解: 當(dāng)y≥0時,雙曲線的方程可以變形為,在[4,+∞)上,選取幾個整數(shù)作為x的值,計算出對應(yīng)的y值,列表
以表中的x值為橫坐標(biāo),對應(yīng)的y值為縱坐標(biāo),在直角坐標(biāo)系中依次描出相應(yīng)的點(x,y),用光滑的曲線順次鏈接各點,得到雙曲線在第一象限內(nèi)的圖形.然后利用雙曲線的對稱性,畫出全部圖形.
我們可以利用雙曲線的頂點和漸近線,畫出大致圖像.具體步驟如下：
（1）由a2=16,得a=4,則得到雙曲線的兩個頂點A1(-4,0)、A2(4,0)；
（2）由b2=9,得b=3,則得到雙曲線的另外兩個頂點B1(0,-3),B2(0,3) ；
（3）作出由直線x=±4、y=±3所圍成的矩形,畫出矩形兩條對角線所在的直線,即雙曲線的兩條漸近線；
（4）依據(jù)雙曲線經(jīng)過實軸端點,且逐漸接近漸近線這一特點,畫出大致圖像.
例4. 已知A、B兩個哨所相距 1600m,在A哨所聽到炮彈爆炸聲比在B哨所晚3s.求炮彈爆炸點所有可能位置構(gòu)成的曲線的方程(聲速為 340 m/s).
根據(jù)題意,由A、B兩處聽到爆炸聲的時間差可算出A、B兩處與爆炸點的距離差,它是一個定值. 因此,爆炸點所有可能的位置都在某雙曲線上,又因為爆炸點距離A處比距離B處遠(yuǎn),所以爆炸點應(yīng)在該雙曲線中靠近B處的一支上.
如圖所示,建立平面直角坐標(biāo)系,使A、B兩點在x軸上,且坐標(biāo)原點為線段 AB 的中點.
設(shè)爆炸點M的坐標(biāo)為(x,y),則|MA|-|MB|=340×3=1020，于是有 2a=1020,a=510,a2=260100.
因為 |AB|=1600，
所以 2c=1600,c=800，
b2=c2-a2=379900.
又|MA|-|MB|=1020>0,故爆炸點M在雙曲線的右支上,
從而x≥510.因此，所求曲線方程為
能否用一根無彈性細(xì)繩、一把直尺、幾顆圖釘和一支筆畫出雙曲線？
【設(shè)計意圖】例1強(qiáng)調(diào)先將雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程并要規(guī)范解題步驟，例2應(yīng)強(qiáng)調(diào)先確定雙曲線的焦點位置再求出相應(yīng)的量，例3強(qiáng)化學(xué)生作圖的能力，例4給出解決雙曲線應(yīng)用題的方法.
（四）鞏固練習(xí)
1.求雙曲線的實軸長、虛軸長、焦點坐標(biāo)
離心率以及漸近方程．
解：雙曲線方程是，
雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：，
，，，實軸長：18，虛軸長：6，
焦點坐標(biāo)，離心率：，漸近線方程為：．
2．求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)焦點在軸上，離心率為，兩頂點間的距離為6；
(2)以橢圓的焦點為頂點，頂點為焦點.
解：（1）設(shè)雙曲線的方程為.
由，，得，，，所以雙曲線的方程為.
（2）由題意可知，雙曲線的焦點在軸上.
設(shè)雙曲線的方程為，則，，，
所以雙曲線的方程為.
3．已知雙曲線的離心率，且其右焦點為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.
解：依題意，，所以，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：
【設(shè)計意圖】通過練習(xí)及時掌握學(xué)生的知識掌握情況，查漏補(bǔ)缺.
（五）歸納總結(jié)
【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學(xué)生反思學(xué)習(xí)過程的能力
（六）布置作業(yè)
練習(xí)3.2.2；習(xí)題3.2-A組2,3,4題

x
4
5
6
7
8
y
0
2.25
3.35
4.31
5.2

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3.2.2 雙曲線的幾何性質(zhì)

版本： 高教版（2021·十四五）

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