2.掌握雙曲線標準方程中參數(shù) 之間的關系.
教學重難點
教學重點：雙曲線標準方程的推導.
教材分析
教學難點：雙曲線圖形的繪制．
教學工具
雙曲線是繼橢圓之后學習的又一種圓錐曲線，它是解析幾何的重要內(nèi)容之一，無論從知識的角度還是從思想方法的角度雙曲線都與橢圓有類似之處，學習雙曲線本身對橢圓知識和方法的鞏固、深化與提高.
教學課件
教學過程
（一）情境導入
廣州塔是目前世界上已經(jīng)建成的最高的塔桅建筑，廣州塔的兩側輪廓線是什么曲線？有什么特點？
可以看出，廣州塔兩側的輪廓線是關于塔中軸對稱的兩條曲線，它們分別從塔的腰部向上下兩個方向延伸，人們稱這樣的曲線為雙曲線．
那么，如何畫出雙曲線呢？
【設計意圖】由廣州塔引入雙曲線的概念.
（二）探索新知
我們通過一個實驗來完成．
（1）取一條拉鏈，把它拉開分成兩條，將其中一條剪短．把長的一條的端點固定在點F1 處，短的一條的端點固定在點F2處；
（2）將筆尖放在拉鏈鎖扣M 處，隨著拉鏈的拉開或閉合，筆尖 就畫出一條曲線(圖中右邊的曲線)；
（3）再把拉鏈短的一條的端點固定在點F1處，長的一條的端點固定在點F2處．類似地，筆尖可面出另一條曲線(圖中左邊的曲線)．
拉鏈是不可伸縮的，筆尖(即點M )在移動過程中，與兩個點F1 、 F2 的距離之差的絕對值始終保特不變．
一般地，把平面內(nèi)與兩個定點F1 、 F2 的距離之差的絕對值為常數(shù)(小于| F1F2 | )的點的軌跡稱為雙曲線．這兩個定點稱為雙曲線的焦點，兩焦點之間的距離稱為雙曲線的焦距．
我們利用橢圓的對稱性建立了平面直角坐標系，并推導了橢圓的標準方程．對于雙曲線，如何建立適當?shù)淖鴺讼登笏姆匠棠兀?br> 以經(jīng)過雙曲線兩焦點F1 、 F2的直線為x軸，以線段F1 F2的垂直平分線為y 軸，建立平面直角坐標系，如圖所示．
設M(x，y)為雙曲線上的任一點，雙曲線的焦距為2c(c>0)，則焦點F1 、 F2的坐標分別為(-c，0)、(c，0) ．
又設雙曲線上的點M與焦點F1 、 F2的距離之差的絕對值為2a(a>0)，即|M F1 |-|M F2 |=2a，則有|M F1 |-|M F2 |=±2a.
于是有 (x+c)2+y2 - (x-c)2+y2 =±2a ．
移項得 (x+c)2+y2 =(x-c)2+y2 ±2a ，
兩邊平方得(x+c)2+y2= (x-c)2+y2± 4a(x-c)2+y2 +4a2
整理得 cx-a2=±a(x-c)2+y2 ，
兩邊再平方，整理得a4+c2x2= a2x2+a2c2+ a2y2 ，
移項并整理得(c2-a2) x2-a2y2=a2(c2-a2) ．
由雙曲線定義可知，2c>2a>0，即c>a>0，因此c2-a2>0．
令c2-a2 = b2得 (b>0)，則上式可化為b2x2-a2y2= a2b2 ．
兩邊同除以a2b2，得 x2a2 - y2b2=1 (a>0，b>0) ．
方程 x2a2 - y2b2=1 (a>0，b>0)稱為雙曲線的標準方程，此時雙曲線的焦點．在x軸上，焦點坐標分別為(-c，0)、(c，0) ．
如圖，以過雙曲線兩焦點F1、F2的直線為y軸，線段F1F2的垂直平分線為x軸，建立平面直角坐標系．類似地，可以求得雙曲線的標準方程為
y2a2 - x2b2=1 (a>0，b>0) ．
此時雙曲線的焦點F1和F2的坐標分別為(0，-c)、(0，c)．
【設計意圖】通過把幾何問題轉化成代數(shù)問題從而使幾何問題可以通過代數(shù)運算來解決，類比介紹焦點在y軸上的雙曲線的標準方程..
（三）典例剖析
例1. 根據(jù)條件，求雙曲線的標準方程．
（1）焦點在x軸上，焦距為14，雙曲線上的一點到兩個焦點的距離之差為6；
（2）焦點為F1(0，-6)和F2(0，6)，雙曲線上一點M的坐標為(2，-5) ．
解：（1）因為2c=14，2a=6，即c=7，a=3，所以b2=a2-c2=40 ．
由于雙曲線的焦點在x 軸上，故雙曲線的標準方程為
x29 - y240=1．
（2）由雙曲線的定義知，||MF1|-|MF2||=2a，即
2a=(2-0)2+ (-5+6)2 -(2-0)2+ (-5-6)2 ，
化簡得2a=45，即a=25 ．
又因為c=6，所以b2= c2-a2=36-20=16.
由題設可知，雙曲線的焦點在y軸上．因此，雙曲線的標準方程為
y220 - x216=1 ．
例2. 已知雙曲線的方程，求焦點坐標和焦距．
（1） x232 - y24=1 ；（2） x2-y2=-8．
解:（1）因為含x項的系數(shù)為正數(shù)，所以雙曲線的焦點在x軸上，并且a2=32，b2=4 ．于是有
c2=a2+b2=32+4=36，
從而可得 c=6，2c=12 ．
所以，雙曲線的交點坐標分別為(-6，0)、(6，0)，焦距為12 ．
（2）將雙曲線的方程化為標準方程，為y28 - x28=1
因為含y的項的系數(shù)為正數(shù)，所以雙曲線的焦點在y軸上，并且a2=8，b2=8 ．于是有 c2=a2+b2=16，
從而可得 c=4，2c=8 ．
所以，雙曲線的交點坐標分別為(0，-4)、(0，4)，焦距為8 ．
要判斷雙曲線的焦點在哪個坐標軸上，可將雙曲線的方程化為標準方程．然后，觀察標準方程中含x項與含y項的符號，哪項的符號為正，焦點就在哪個坐標軸上．
【設計意圖】例1根據(jù)定義求雙曲線方程，例2根據(jù)雙曲線的標準方程求焦點坐標.
（四）鞏固練習
1. 求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
(1)，，焦點在x軸上；
(2)焦點為，，且；
(3)，．
解：（1），
雙曲線的焦點在軸上，
所以雙曲線的標準方程為
（2），雙曲線的焦點在軸上，
所以雙曲線的標準方程為
（3）當雙曲線的焦點在軸上時，雙曲線的標準方程為，
當雙曲線的焦點在軸上時，雙曲線的標準方程為.
2.已知點F1(，0)和F2(4，0)，一曲線上的動點P到F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值是6，該曲線方程是 .
解：∵，，
∴點軌跡是以為焦點，實軸長為6的雙曲線，
，，又，∴，
∴曲線方程是．
故答案為：．
3．雙曲線的焦距為
解：因為雙曲線方程為，所以，.
雙曲線的焦距為.
故答案為：.
4. 證明：橢圓與雙曲線的焦點相同．
解：由題設，橢圓參數(shù)且，故焦點坐標為，
而雙曲線標準方程為，則雙曲線參數(shù)，故焦點坐標為，
所以它們的焦點相同，得證.
【設計意圖】通過練習及時掌握學生的知識掌握情況，查漏補缺.
（五）歸納總結
【設計意圖】培養(yǎng)學生反思學習過程的能力
（六）布置作業(yè)
練習3.2.1；習題3.2-A組1,5題

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3.2.1 雙曲線的標準方程

版本： 高教版（2021·十四五）

年級： 拓展模塊一（上冊）

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