教學(xué)重難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：四種拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程.
教材分析
教學(xué)難點(diǎn)：處理與代數(shù)中拋物線之間的關(guān)系．
教學(xué)工具
本節(jié)課是拋物線的第一課時(shí)，本節(jié)在初中以二次函數(shù)圖像的形式初步探討過，現(xiàn)在是在學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線以后的又一種圓錐曲線，是對研究學(xué)習(xí)拋物線方法和思想的深化.
教學(xué)過程
教學(xué)課件
（一）情境導(dǎo)入
平南三橋位于廣西壯族自治區(qū)，是2020 年建成的世界上最大的跨徑拱橋，多項(xiàng)技術(shù)填補(bǔ)了世界拱橋空白，成為“中國橋梁”建造的新名片．觀察下圖，橋拱的輪廓線是什么圖形？有什么特點(diǎn)？
可以看出，拱橋的輪廓線是一條形如彩虹的曲線，人們稱之為拋物線．
那么，如何畫出拋物線呢？
【設(shè)計(jì)意圖】創(chuàng)設(shè)情境幫助學(xué)生直觀感受“生活中的拋物線”.
（二）探索新知
可以看出,拱橋的輪廓線是一條形如彩虹的曲線,人們稱之為拋物線．那么,如何畫出拋物線呢？
我們可以通過一個(gè)實(shí)驗(yàn)來完成.
（1）將一把直尺固定在畫板上,再取一個(gè)直角三角板,緊靠直尺 的一邊l放置：
（2）取一條拉鏈,把它的一端固定在三角板的頂點(diǎn)C處,另一 端固定在畫板上的點(diǎn)F處；
（3）將筆尖(點(diǎn) M)放在拉鏈鎖扣處保持鎖扣與C端的拉鏈部 分始終在 CA 上,讓三角板靠緊直尺并沿直尺邊緣滑動(dòng)，筆尖隨之移 動(dòng),就畫出了一段曲線；
（4）當(dāng)直角三角板的邊 AC 經(jīng)過點(diǎn)下時(shí),向下翻轉(zhuǎn)三角板．保持鎖扣與C端的拉鏈部分始終在 CA 上,讓三角板靠緊直尺繼續(xù)沿直尺邊緣滑動(dòng),筆尖又畫出一段曲線.
顯然,筆尖(即點(diǎn)M )始終保持到定點(diǎn) F 的距離與到直尺邊 l 的距離相等(|MF|=|MC|).
一般地,把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線 l 的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線.
定點(diǎn) F 稱為拋物線的焦點(diǎn),定直線 l 稱為拋物線的準(zhǔn)線.
我們從橢圓和雙曲線的定義出發(fā)，通過建立合適的平面直角坐標(biāo)系，分別求出了橢圓和雙曲線的方程．那么，如何從拋物線的定義出發(fā)，建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系來求出拋物線的方程呢？
x2a2 + y2b2=1 (a>b>0)
x2a2 - y2b2=1 (a>0，b>0)
取過焦點(diǎn) F且垂直于準(zhǔn)線l 的直線為x軸；記x軸與準(zhǔn)線l 的交點(diǎn)為 E,以線段 EF的垂直平分線為y軸,如圖所示.設(shè)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 p(p>0),即|EF|=p，則焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線 l 的方程為
設(shè)M(x,y)為拋物線上的任意一點(diǎn),點(diǎn)M到l的距離為|MN|,則有|MF|=|MN|.
于是,可得
將上式兩邊平方得
展開并整理得 y2=2px(p>0).
上面方程稱為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
類似地,通過建立不同的平面直角坐標(biāo)系,可以得到拋物線其他三種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程：y2=-2px, x2 =2py, x2 =-2py. 它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程及圖形歸納見表:
【設(shè)計(jì)意圖】注意強(qiáng)調(diào)拋物線方程中參數(shù)p的幾何意義，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖像與標(biāo)準(zhǔn)方程之間的聯(lián)系
（三）典例剖析
例1. 根據(jù)條件,求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（1）焦點(diǎn)為F（0，－3）；
（2）準(zhǔn)線方程為;
（3）焦點(diǎn)在y軸的正半軸上，并且p = 3.
解 （1）由于焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，并且
，
即 p = 4．
故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
（2）由準(zhǔn)線方程為知，焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，并且
，
即 p =2．
故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
（3）由于焦點(diǎn)在y軸的正半軸上，并且p = 3，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
．
例2. 求下列拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.
（1）y2=8x；（2）x2+4y=0.
解: （1）拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，并且2p = 8，所以．
故焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），準(zhǔn)線方程為x = －2．
（2）將方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，為．
拋物線的焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，并且－2p = －4，所以．
故焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為．
判斷拋物線的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上是解決有關(guān)拋物線問題的關(guān)鍵,為此可將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，觀察標(biāo)準(zhǔn)方程中的一次項(xiàng),如果一次項(xiàng)含變量x,并且系數(shù)為正(或?yàn)樨?fù)),則焦點(diǎn)在x軸的正半軸(或負(fù)半軸)上;如果一次項(xiàng)含變量,并且系數(shù)為正(或?yàn)樨?fù)),則焦點(diǎn)在y軸的正半軸(或負(fù)半軸)上.
【設(shè)計(jì)意圖】例1利用定義直接解決問題，例2引導(dǎo)學(xué)生先將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式.
（四）鞏固練習(xí)
1. 根據(jù)條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（1）焦點(diǎn)為F(0，2)； （2）焦點(diǎn)是為F(-2，0) ；
（3）準(zhǔn)線方程為y=1；（4）準(zhǔn)線方程為x= 1．
解：(1) 因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)是，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.
（2）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)是，所以開口向左，
設(shè)拋物線方程為，
又，則，所以拋物線方程為.
（3）由拋物線的準(zhǔn)線方程為，可知拋物線是焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸上的拋物線，
設(shè)其方程為，則其準(zhǔn)線方程為，得
故該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，
（4）由題知，拋物線的準(zhǔn)線方程為， 所以拋物線開口向左，，即，
設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
2．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ．
解：由題意拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
故答案為：.
3．拋物線的準(zhǔn)線方程為 ．
解：因?yàn)椋?，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為．
故答案為：
4．已知拋物線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，則到的焦點(diǎn)的距離為（ ）
A．1B．C．D．2
解：拋物線的準(zhǔn)線方程為，
又點(diǎn)在拋物線上且縱坐標(biāo)為，所以點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為.
故選：B
【設(shè)計(jì)意圖】通過練習(xí)及時(shí)掌握學(xué)生的知識掌握情況，查漏補(bǔ)缺.
（五）歸納總結(jié)
【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生反思學(xué)習(xí)過程的能力
（六）布置作業(yè)
練習(xí)3.3.1；習(xí)題3.3- 1,3題

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3.3.1 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

版本： 高教版（2021·十四五）

年級： 拓展模塊一（上冊）

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