教學(xué)重難點(diǎn)
2．能利用有向線段表示向量，能舉例說(shuō)明向量的大小和方向．
教學(xué)重點(diǎn)：向量及相關(guān)概念，向量的表示，共線向量的概念及判斷．
教材分析
教學(xué)難點(diǎn)：向量的兩個(gè)要素及向量的表示，共線向量的概念．
教學(xué)工具
本課通過(guò)實(shí)際例引入向量的概念，進(jìn)而介紹相關(guān)一些基本概念，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備．本課概念較多，應(yīng)結(jié)合具體例子引導(dǎo)學(xué)生在熟悉的環(huán)境中，分析、提煉向量的兩個(gè)要素，了解向量概念；幫助學(xué)生用位移、力、速度等物理量理解相關(guān)知識(shí)，并數(shù)形結(jié)合進(jìn)行說(shuō)明．
教學(xué)課件
教學(xué)過(guò)程
（一）情境導(dǎo)入
我國(guó)是海洋大國(guó)，海域遼闊、資源豐富．如圖所示，某海洋科考船從 A 點(diǎn)沿東北方向航行 100 n mile 到達(dá) B 點(diǎn)．如果船 S 艦沿其他方向航行 100 n mile，能不能到達(dá) B 點(diǎn)呢？
【設(shè)計(jì)意圖】創(chuàng)設(shè)情境設(shè)置問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并抽象出向量相關(guān)知識(shí)滲透課程思政.
（二）探索新知
可以看出，船從 A 點(diǎn)出發(fā)沿其他方向航行 100 n mile 不能到達(dá) B 點(diǎn)．
事實(shí)上，圖中帶箭頭的線段 AB 包含兩個(gè)要素：航程 100 n mile ，航向東北方向．
物理學(xué)中，把“船沿東北方向航行 100 nmile”稱為船的位移．
生活和學(xué)習(xí)中常會(huì)遇到一些量，如長(zhǎng)度、質(zhì)量、時(shí)間、溫度、面積、年齡，它們?cè)诮o定了單位后，用一個(gè)實(shí)數(shù)就可以表示出來(lái)，這樣的量稱為數(shù)量．
在數(shù)學(xué)中，把既有大小又有方向的量，稱為向量．向量常用小寫黑體英文字母 a、b、
c 等來(lái)表示，手寫體為在字母上方加箭頭，如a 、b 、c 、…一些軟件中也是用字母上方加箭頭來(lái)表示向量．
除了位移，生活中常見(jiàn)的向量還有速度、加速度、力等．
向量 a 的大小也稱為該向量 a 的模，記為|a|．模為 1 的向量稱為單位向量．
規(guī)定：模為零的向量為零向量，記作 0 或
0 ．零向量的方向是任意的．

非零向量的方向如何表示呢？
平面中由兩點(diǎn) A、B 所確定的線段 AB有兩個(gè)方向，即以點(diǎn) A 為 起點(diǎn)、點(diǎn) B 為終點(diǎn)的方向和以點(diǎn) B 為起點(diǎn)、點(diǎn) A 為終點(diǎn)的方向．
一般地，把具有確定方向的線段稱為有向線段．
以 A 為起點(diǎn)、B 為終點(diǎn)的有向線段記作AB．
習(xí)慣上，在有向線段的終點(diǎn)處加一個(gè)指向終點(diǎn)的箭頭表示方向，如圖所示．
“情境與問(wèn)題”中，有向線段直觀地表示了船的位移，其長(zhǎng)度表示船位移的大小，其箭頭指向表示船位移的方向．
一般地,人們常用有向線段來(lái)表示向量,有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向． 這也是向量的幾何表示．
【設(shè)計(jì)意圖】結(jié)合實(shí)際生活說(shuō)明向量與數(shù)量的區(qū)別，介紹了向量的符號(hào)表示.
（三）典例剖析
例1. 2022 年 2 月，我國(guó)成功舉辦了第 24 屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，并取得歷史最好成績(jī)．冰球是最受關(guān)注的項(xiàng)目之一．如圖所示是按 1:1000 比例尺繪制的甲運(yùn)動(dòng)員帶球、傳球的示意圖，甲運(yùn)動(dòng)員從點(diǎn) A 帶球到了點(diǎn) B，然后將球傳給了位于點(diǎn) C 的乙運(yùn)動(dòng)員．嘗試用有向線段分別表示冰球、甲運(yùn)動(dòng)員的位移，并指出它們的大小和方向（精確到 1m）．
解 如右上圖所示，用有向線段AB 表示甲運(yùn)動(dòng)員的位移．在圖中測(cè)量可得，|AB|≈2.5cm．因此，甲運(yùn)動(dòng)員位移的實(shí)際大小| AB |≈2.5cm×1000=25m，方向是正北．
用有向線段AC表示冰球的位移．在圖中測(cè)量可得，|AC|≈2.1cm．因此，冰球位移的實(shí)際大小| AC |≈2.1cm×1000=21m，方向是正東．
例2.如圖所示，在坐標(biāo)紙(正方形小方格的邊長(zhǎng)為1)上，求各向量的模和方向，并指出其中的單位向量．
解 向量a：|a|=22+22=22，東北方向；
向量b：|b|=22+22=22，東北方向；
向量c：|c|=12+12=2，西南方向；
向量d：|d|=12+12=2，東北方向；
向量m：|m|=2，正北方向；
向量i：|i|=1，正東方向；
向量j：|j|=1，正北方向．
其中的單位向量有： i、 j．
例 2 中的下列四組向量,每組的兩個(gè)向量之間有什么關(guān)系？
（1）i 與 j；（2）a 與 d；（3）a 與 b； （4）c 與 d．
向量 i 與 j 的模相等，但是方向不同，它們是不同的向量．
向量 a 與 d 的模不相等，但是方向相同，它們也是不同的向量．
向量 a 與 b 不僅模相等，而且方向相同．考慮到向量是由大小和方向所確定的，我們把 a 與 b 看作一樣的向量．
向量 c 與 d 的模相等，方向相反，它們的關(guān)系類似于相反數(shù)的關(guān)系．
一般地，模相等且方向相同的兩個(gè)向量稱為相等向量．向量 a 與 b 相等時(shí)，記 a=b．
與非零向量 a 的模相等、方向相反的向量稱為 a 的相反向量，記作?a．
規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量．進(jìn)一步觀察還可以發(fā)現(xiàn)，向量 a 與 d 的方向相同，向量 c 與 d 的方向相反，但這兩組向量有一個(gè)共性，即兩個(gè)向量所在的直線平行．
一般地，方向相同或相反的兩個(gè)向量稱為平行向量．當(dāng)向量 a 與 b 平行時(shí)，記 a∥ b．
規(guī)定：零向量與任何一個(gè)向量平行，即對(duì)于任意向量 a，都有 0∥a．
進(jìn)一步觀察還可以發(fā)現(xiàn)，向量a與d的方向相同，向量c與d的方向相反，但這兩組向量有一個(gè)共性，即兩個(gè)向量所在的直線平行．
對(duì)于前面圖中的平行向量a、c、d，我們可以在平面內(nèi)作一條與向量a所在直線平行的直線l ．然后，在l上任取一點(diǎn)O，并在l上分別作出OA = a ， OC = c ， OD = d ，如右圖所示．這說(shuō)明，任意一組平行向量都可以平移到同一直線上．因此，平行向量也稱共線向量．（利用課件演示）
例3. 如圖所示，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，寫出圖中符合下列要求的所有向量：
（1）與向量相等的向量；
（2）與向量共線的向量.
解: （1）與向量相等的向量有：
（2）與向量共線的向量有：
【設(shè)計(jì)意圖】例1鞏固向量的概念及要素強(qiáng)化向量的直觀表達(dá)，通過(guò)作圖等方式體會(huì)向量的幾何特征；例2強(qiáng)化了向量的兩個(gè)要素及單位向量等概念, 及時(shí)歸納總結(jié)三者之間的區(qū)別與聯(lián)系，提醒學(xué)生分析平行向量是思考要全面.
（四）鞏固練習(xí)
1．下列說(shuō)法正確的是( )
A．平行向量就是向量所在直線平行的向量
B．長(zhǎng)度相等的向量叫相等向量
C．零向量的長(zhǎng)度為0
D．共線向量是在一條直線上的向量
解:平行向量所在直線可以平行也可以重合，故A錯(cuò)；長(zhǎng)度相等，方向不同的向量不是相等向量，故B錯(cuò)；共線向量即平行向量，不一定在同一條直線上，故D錯(cuò).故選C．
2．如圖，已知四邊形ABCD為正方形，△CBE為等腰直角三角形，回答下列問(wèn)題：
（1）圖中與共線的向量有 ；
（2）圖中與相等的向量有 ；
（3）圖中與的模相等的向量有 .
解:（1）圖中與共線的向量有；
（2）圖中與相等的向量有；
（3）圖中與的模相等的向量有.
3.如圖所示，某人從點(diǎn)A出發(fā)，向西走了200m后到達(dá)B點(diǎn)，然后改變方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變方向，向東走了200m到達(dá)D點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)D點(diǎn)在B點(diǎn)的正北方.
解：（1）如圖，即為所求.
（2）如圖，作向量，由題意可知，四邊形是平行四邊形，
∴.
4.在圖中，分別用向量表示A地至B，C兩地的位移，并根據(jù)圖中的比例尺，求出A地至B，C兩地的實(shí)際距離（精確到）.
解:A地至B，C兩地的位移分別用表示，圖上A，B兩點(diǎn)距離、A，C點(diǎn)距離分別為：
，所以A地至B實(shí)際距離為：，
A地至C地的實(shí)際距離為：.
5．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．，都是單位向量，則
C．若，則D．零向量方向任意
解:對(duì)于A，，A正確，
對(duì)于B, ，是單位向量，則，B正確，
對(duì)于C，向量有大小和方向，不可以比較大小，故C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，零向量是模長(zhǎng)為0，方向任意的向量，D正確，
故選：C
【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)練習(xí)及時(shí)掌握學(xué)生的知識(shí)掌握情況，查漏補(bǔ)缺.
（五）歸納總結(jié)
【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生反思學(xué)習(xí)過(guò)程的能力
（六）布置作業(yè)
練習(xí)2.1；習(xí)題2.1

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中職數(shù)學(xué)高教版（2021·十四五）拓展模塊一（上冊(cè)）電子課本

2.1 向量的概念

版本： 高教版（2021·十四五）

年級(jí)： 拓展模塊一（上冊(cè)）

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