1．（2025·廣東·模擬預(yù)測）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與x軸交于點，與y軸交于點，拋物線經(jīng)過點A，B，且對稱軸是直線．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點P是直線l下方拋物線上的一動點，過點P作軸，垂足為C，交直線l于點D，求的最大值及此時P的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，過點P作，垂足為M．求的最大值．
【答案】(1)
(2)的最大值是2，此時的P點坐標(biāo)是
(3)
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系，解決相關(guān)問題．
（1）運用待定系數(shù)法解答即可；
（2）求出直線l的解析式，設(shè)點P的坐標(biāo)為，則，得，運用二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論；
（3）證明，即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為，
拋物線的對稱軸為直線，
．
把A，B兩點坐標(biāo)代入解析式，得
解得：，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：設(shè)直線l的解析式為，
把A，B兩點的坐標(biāo)代入解析式，得，
解得：，
直線l的解析式為；
軸，
設(shè)點P的坐標(biāo)為，則，
．
∴當(dāng)時，有最大值是2，
當(dāng)時，，
，
的最大值是2，此時的P點坐標(biāo)是．
（3）解：，，
．
∵在中，，
．
軸，，
．
在中，，．
，
．
在中，，，
，
．此時最大，
，
的最大值是．
2．（2024·廣東·模擬預(yù)測）綜合探究
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中．直線與拋物線交于兩點，點的橫坐標(biāo)為．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點是直線下方拋物線上一動點，過點作軸的平行線，與直線交于點C．連接，設(shè)點的橫坐標(biāo)為．
①若點在軸上方，當(dāng)為何值時，；
②若點在軸下方，求周長的最大值．
【答案】(1)
(2)①當(dāng)時，；②周長的最大值為9
【分析】本題考查了二次函數(shù)的線段周長綜合，待定系數(shù)法求解析式，勾股定理，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
（1）先求出直線的解析式為，再得出，結(jié)合，代入，進(jìn)行計算即可作答．
（2）①先設(shè)，則，所以因為所以，且，化簡計算，得，故當(dāng)時，；②當(dāng)點在軸下方時，，同理得代入得，化簡計算，即可作答．
【詳解】（1）解：將點代入，
得，
解得，
直線的解析式為，
當(dāng)時，
，
將點分別代入，
得
解得
拋物線的解析式為；
（2）①設(shè)，則，
過點作軸的平行線，與直線交于點，
令，
解得或．
②當(dāng)點在軸上方時，，
或（舍去）
當(dāng)時，；
②由①得
，
當(dāng)點在軸下方時，，
點
當(dāng)時，的周長最大，最大值為9．
3．（2024·廣東佛山·二模）如圖，拋物線與直線相交于點，，直線AB與軸相交于點．
(1)求拋物線與直線的表達(dá)式；
(2)點是拋物線在直線下方部分的一個動點，過點作軸交于點，過點作軸交于點，求的最大值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)綜合—線段問題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）設(shè)點坐標(biāo)為，則點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為，得到，，表示出，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案．
【詳解】（1）解：將點，分別代入，
得：，
解得：，
拋物線表達(dá)式為
將點，分別代入得：，
解得：
直線的表達(dá)式為；
（2）解：設(shè)點坐標(biāo)為，
軸，
點與點的橫坐標(biāo)相同，即點坐標(biāo)為，
，
軸，
點與點的縱坐標(biāo)相同，
，
，
即點坐標(biāo)為，
，
，開口向下，
的最大值為．
\l "_Tc155385610" 題型02 利用二次函數(shù)解決面積問題
4．（2024·廣東中山·一模）如圖，拋物線頂點坐標(biāo)為，交y軸于點，交x軸于A，B兩點，連接，．
(1)求此拋物線的解析式；
(2)點為拋物線在軸下方上一點，若與面積相等，請求出點的坐標(biāo)．
【答案】(1)；
(2)滿足條件的點的坐標(biāo)為，．
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形的面積公式，解本題的關(guān)鍵在于明確題意，利用二次函數(shù)性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合思想解答問題．
（1）設(shè)拋物線的解析式為，把代入求解即可；
（2）先求得拋物線與x軸兩個交點的坐標(biāo)，利用三角形面積公式求得的面積，再利用，計算即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線頂點坐標(biāo)為，
∴可設(shè)拋物線的解析式為，
把代入得，
∴；
（2）解：令，
則，
解得，，
∴，，
∴，
∴，
解得，
∵點M在x軸下方，
∴，
∴，
解得，，
∴滿足條件的點M的坐標(biāo)為，．
5．（2023·山東青島·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于A，B點，與y軸交于點，點B的坐標(biāo)為，點P是拋物線上一個動點．
(1)求二次函數(shù)解析式；
(2)若P點在第一象限運動，當(dāng)P運動到什么位置時，的面積最大？請求出點P的坐標(biāo)和面積的最大值；
(3)連接，并把沿翻折，那么是否存在點P，使四邊形為菱形；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)點的坐標(biāo)為，的面積最大．
(3)存在，或
【分析】此題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法、二次函數(shù)圖象與面積問題、二次函數(shù)與特殊四邊形等知識，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（2）設(shè)，求出直線的解析式為，設(shè)，得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；
（3）設(shè)點，交于點E，若四邊形是菱形，連接，則，，得到方程，解方程即可得到答案．
【詳解】（1）解：將，代入，
得，
解得，
∴二次函數(shù)的解析式為．
（2）設(shè)，
設(shè)直線的解析式為，
則，
解得，
∴直線的解析式為，
設(shè)，
∴
當(dāng)時，的面積最大，
，
此時，點的坐標(biāo)為，的面積最大值為．
（3）存在．如圖，設(shè)點，交于點E，
若四邊形是菱形，連接，則，，
∴，
解得，
∴或
6．（2023·廣東茂名·一模）如圖，直線與x軸、y軸分別交于兩點，拋物線經(jīng)過B、C兩點，且與x軸交于點A．
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)已知點M是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，過點M作平行于y軸交直線于點N，連接，求四邊形面積S的最大值，并求出此時點M的坐標(biāo)．
【答案】(1)拋物線解析式為
(2)當(dāng)時，的最大值，此時點
【分析】（1） 利用直線解析式求出點B，C的坐標(biāo)，代入拋物線解析式即可；
（2）先求出線段，設(shè)，求出，根據(jù)求出解析式，再利用函數(shù)的性質(zhì)解答．
【詳解】（1）解：由得，
∴，令，得，
∴，
由題意得：，
解得，
∴拋物線解析式為 ．
（2）當(dāng)時，，
解得，
∴，
∴，
如圖，設(shè) ，
∴，
∴

∵，
∴當(dāng)時，的最大值，此時點．
【點睛】此題考查了二次函數(shù)的綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，圖形面積問題，正確掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
\l "_Tc155385609" 題型03 利用二次函數(shù)解決角度問題
7．（2023·山東泰安·一模）拋物線與坐標(biāo)軸分別交于，，三點．點是第一象限內(nèi)拋物線上的一點．
(1)求拋物線解析式：
(2)連接，若，求點的坐標(biāo)；
(3)連接，是否存在點，使得，若存在，求出點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）根據(jù)坐標(biāo)得出，根據(jù)建立方程，解方程即可求解；
（3）作點角平分線交拋物線于點，交軸于點，交對稱軸于點，則點關(guān)于對稱軸，等面積法得出，得出，直線的解析式為：，聯(lián)立拋物線解析式得出，進(jìn)而即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線過
設(shè)拋物線解析式為，將代入得，
，
解得：
∴拋物線解析式為
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴
如圖所示，過點作軸于點，
設(shè)，則
∴
解得：或
∵點是第一象限內(nèi)拋物線上的一點．
∴
（3）解：如圖所示，作點角平分線交拋物線于點，交軸于點，交對稱軸于點，
∵
∴對稱軸為直線，
∵
∴，
∴點關(guān)于對稱軸，
∵
∴，則
設(shè)到的距離為，則
∵
∴，
∵，
∴，
∴,
設(shè)直線的解析式為，將點代入得，
，
解得：，
∴直線的解析式為：，
聯(lián)立，
解得：或，
∴，
∵關(guān)于對稱，
∴．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，面積問題，角度問題，軸對稱的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8．（2023·廣東深圳·一模）如圖，拋物線與x軸交于，兩點，與軸交于點．
圖1 備用圖
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，是上方拋物線上一點，連接交線段于點，若，求點的坐標(biāo)；
(3)拋物線上是否存在點使得，如果存在，請求出點的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)點的坐標(biāo)為或
(3)存在，點的坐標(biāo)為或
【分析】（1）運用待定系數(shù)法，將，代入，即可求得拋物線的解析式；
（2）先求出直線的解析式，設(shè)，過點作軸于點，過點作軸于點，易得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)用含的式子表示點的坐標(biāo)，再由點也在直線上，得到關(guān)于的方程，解方程即可；
（3）分情況討論：①當(dāng)點是拋物線上與點對稱的點時，②當(dāng)時，分別求得點的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：把，代入，
得，
解得，
拋物線的解析式為；
（2）解：拋物線與軸交于點，
，
設(shè)直線的解析式為，把，代入，
得，
解得，
直線的解析式為，
設(shè)，過點作軸于點，過點作軸于點，
，，
，
，
，即，，
，，
又點在直線上，
，
解得或，
當(dāng)時，，即點的坐標(biāo)為，
當(dāng)時，，即點的坐標(biāo)為；
（3）解：存在點使得，如圖，
①當(dāng)點是拋物線上與點對稱的點時，則有，
點關(guān)于對稱軸的對稱點坐標(biāo)為，
；
②當(dāng)時，則有，
直線的解析式，
直線的解析式一次項系數(shù)為，設(shè)直線的解析式為，
把代入，得，
解得，
直線的解析式為，
聯(lián)立，
解得，（舍去），
，
綜上，存在點使得，點的坐標(biāo)為或．
【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，直線與拋物線的交點，互相平行的兩直線的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，靈活運用方程思想和分類討論思想是解題的關(guān)鍵．
9．（2024·山東濟(jì)南·三模）如圖，拋物線M過點，與x軸交于點A和點B（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，頂點D的坐標(biāo)為．
(1)求拋物線M的表達(dá)式和點A的坐標(biāo)；
(2)點F是線段上一動點，求周長的最小值；
(3)平移拋物線M得到拋物線N，已知拋物線N過點D，頂點為P，其對稱軸與拋物線M交于點Q，若，直接寫出點P的坐標(biāo)．
【答案】(1)，
(2)最小值為
(3)P的坐標(biāo)為或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出表達(dá)式然后求出點A的坐標(biāo)即可；
（2）首先得到直線的表達(dá)式為：，作E關(guān)于的對稱點，則，設(shè)垂足為G，則點G為E與的中點，勾股定理求出，，進(jìn)而求解即可；
（3）拋物線N由拋物線M平移得到，求出拋物線N的表達(dá)式為，得到頂點P的坐標(biāo)為，，作于H，則，在中，，得到，進(jìn)而列方程求解即可．
【詳解】（1）∵頂點D的坐標(biāo)為，
設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為
將點代入得
∴拋物線M的表達(dá)式為：
當(dāng)時，或1，
∵點A在點B左側(cè)，
∴點A的坐標(biāo)為；
（2）當(dāng)時，，
∴點C的坐標(biāo)為
∴設(shè)直線的表達(dá)式為：
故解得
∴，
，
，
，
作E關(guān)于的對稱點，則，設(shè)垂足為G，則點G為E與的中點
，
∴所在直線垂直于y軸，
關(guān)于的對稱點，
∴點的坐標(biāo)為，
∴點G的橫坐標(biāo)為
將代入得，
∴點G的坐標(biāo)為，
∵，，
∴，
∴
即周長的最小值為；
（3）∵拋物線N由拋物線M平移得到，設(shè)拋物線N的表達(dá)式為
將點代入得：，
∴拋物線N的表達(dá)式為
∴頂點P的坐標(biāo)為，
將代入，，
∴，
作于H，則，
∵
∴點H為點P和點Q的中點，
∴
∴
又∵
∴
在中，
∴，
∴
或
∴解第一個方程可得（舍），
解第二個方程可得（舍），
將代入P點坐標(biāo)，
P的坐標(biāo)為或．
【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到的知識點有二次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，并靈活運用分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想分析解決問題是解題的關(guān)鍵．
題型04、利用二次函數(shù)解決特殊三角形問題
10．（2024·廣東梅州·一模）如圖所示，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點．
(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)直線交二次函數(shù)的圖像于點，交直線于點，是否存在實數(shù)，使為等腰三角形，若存在，請求出這樣的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)當(dāng)或或4時，為等腰三角形
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及兩點距離公式是解題的關(guān)鍵；
（1）根據(jù)待定系數(shù)法可進(jìn)行求解函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)、兩點距離公式可進(jìn)行求解．
【詳解】（1）解：將代入，
得，
解得：，
所以．
（2）解：設(shè)直線，因為，
∴，解得：，
所以直線，
∴，
∴，
根據(jù)題意設(shè)有，，，過點作，垂足為點，
∴軸，
∴，
∴；
∴
∴；；
∴；；
若為等腰三角形，分以下三種情況：
①當(dāng)時，有，解得：或5或0，而又，因此．
②當(dāng)時，有，即，解得：或0，而又，因此．
③當(dāng)時，有，解得：或0，而又，因此．
綜上所述，當(dāng)或或4時，為等腰三角形．
11．（2024·安徽合肥·一模）如圖，拋物線過點和．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)已知該拋物線與x軸交于點A，B（點A位于點B的左側(cè)），與y軸交于點C．
①若點P是該拋物線位于第一象限部分上的一動點，過點P作x軸的垂線交于點Q，求的最大值及此時點P的坐標(biāo)；
②若點M是拋物線對稱軸上一動點，是否存在以點B，C，M為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請在備用圖上畫出符合條件的圖形，并求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)①最大值為，點P坐標(biāo)為；
②點M的坐標(biāo)為或或或
【分析】（1）將點和代入，得到方程組，解方程組即可．
（2）①設(shè)點，求出直線表達(dá)式，則，再用a的代數(shù)式表達(dá)出，最后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可；
②設(shè)點M的坐標(biāo)為，而點B、C坐標(biāo)已知，用兩點之間距離公式求出以及表示出、，分類三種情況討論，由勾股定理建立方程，解方程即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線過點和，
，解得，
拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．
（2）解：當(dāng)時，，點C的坐標(biāo)為；
當(dāng)時，，解得或，
∵點A位于點B的左側(cè)，點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為．
①設(shè)點P的橫坐標(biāo)為，則點P的縱坐標(biāo)為，
設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，
根據(jù)題意得，解得，
直線的函數(shù)表達(dá)式為，點Q的縱坐標(biāo)為，，
，此拋物線的開口向下，
，當(dāng)時，有最大值，此時點P的坐標(biāo)為；
②存在以點B，C，M為頂點的三角形是直角三角形．
拋物線的對稱軸為直線，設(shè)點M的坐標(biāo)為．
分兩種情況：i）以為直角邊，如圖，則或，
或，解得或，
點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為；
ii）以為斜邊，如圖，則，，整理得，解得，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，
綜上，點M的坐標(biāo)為或或或．

【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，配方法求最值，勾股定理的運用，其中直角三角形的存在性問題和分類討論的思想是函數(shù)綜合題?？碱}型．
12．（2023·廣東東莞·一模）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，，頂點為D．
(1)求此函數(shù)的關(guān)系式；
(2)在下方的拋物線上有一點N，過點N作直線軸，交與點M，當(dāng)點N坐標(biāo)為多少時，線段的長度最大？最大是多少？
(3)在對稱軸上有一點K，在拋物線上有一點L，若使A，B，K，L為頂點形成平行四邊形，求出K，L點的坐標(biāo)．
(4)在y軸上是否存在一點E，使為直角三角形，若存在，直接寫出點E的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)當(dāng)N的坐標(biāo)為，MN有最大值
(3)或或
(4)存在，點E的坐標(biāo)為或或或
【分析】（1）由求得,再分別代入拋物線解析式，得到以b，c為未知數(shù)的二元一次方程組，求出b，c的值即可；
（2）求出直線的解析式，再設(shè)出M、N的坐標(biāo)，把表示成二次函數(shù)，配方即可；
（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，以為邊，以為對角線，分類討論即可；
（4）設(shè)出E的坐標(biāo)，分別表示出的平分，再分每一條都可能為斜邊，分類討論即可．
【詳解】（1）∵拋物線經(jīng)過點A，點C，且,
∴,
∴將其分別代入拋物線解析式，得，
解得．
故此拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：；
（2）設(shè)直線的解析式為，
將代入，得，
解得，
∴直線的解析式為，
設(shè)N的坐標(biāo)為，則，
∴，
∵，
∴當(dāng)時，有最大值，為，
把代入拋物線得，N的坐標(biāo)為，
當(dāng)N的坐標(biāo)為，MN有最大值；
（3）①當(dāng)以為對角線時，根據(jù)平行四邊形對角線互相平分，
∴必過，
∴L必在拋物線上的頂點D處，
∵，
∴
②當(dāng)以為邊時，，
∵K在對稱軸上，
∴L的橫坐標(biāo)為3或，
代入拋物線得或，此時K都為，
綜上，或或；
（4）存在，
由，得拋物線頂點坐標(biāo)為
∵，
∴，
設(shè)，則，，
①為斜邊，由得：，
解得：，
②為斜邊，由得：，
解得：，
③為斜邊，由得：，
解得：或，
∴點E的坐標(biāo)為或或或．
【點睛】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識，會運用待定系數(shù)法列方程組，兩點間距離公式求的長，由平行四邊形的性質(zhì)判定邊相等，運用勾股定理列方程．
題型05、利用二次函數(shù)解決四邊形問題
13．（2024·廣東珠海·三模）如圖，二次函數(shù)圖象的頂點為坐標(biāo)原點，且經(jīng)過點，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點和點，一次函數(shù)圖象與軸相交于點．
(1)求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；
(2)如果點在線段上（不與重合），與軸平行的直線與二次函數(shù)圖象相交于點，，求點的坐標(biāo)；
(3)當(dāng)點在直線上的一個動點時，與軸平行的直線與二次函數(shù)圖象相交于點，以點、為頂點的四邊形能成為平行四邊形嗎？請說明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)能成為平行四邊形，理由見解析
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．平行四邊形的性質(zhì)以及一元二次方程的解法．
（1）利用待定系數(shù)分別求出二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；
（2）由軸，，得到，則，設(shè)點的坐標(biāo)為，那么點的坐標(biāo)為，因此列方程，解方程得到，即可得到點坐標(biāo)；
（3）由，若，以點為頂點的四邊形為平行四邊形；分類討論：①當(dāng)點在點上方，②當(dāng)點在下方，分別求解即可得到點坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為，把代入得，
二次函數(shù)的解析式為；
設(shè)一次函數(shù)的解析式為，
把分別代入得，，
解得，
一次函數(shù)的解析式為；
（2）解：軸，
，
，
，
，即，
設(shè)點的坐標(biāo)為，那么點的坐標(biāo)為，
，，
又直線與軸交于點，
當(dāng)時，
點的坐標(biāo)為，，
，
解得（不合題意，舍去），，
點的坐標(biāo)為；
（3）解：以點為頂點的四邊形能成為平行四邊形．
理由如下：
若，則以點為頂點的四邊形為平行四邊形，
①當(dāng)點在點上方，，
得（舍去），，
（2）當(dāng)點在下方，，得．
當(dāng)，；
當(dāng)，．
所以點的坐標(biāo)為：或或．
14．（2024·廣東湛江·二模）如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，對稱軸為直線，連接．
(1)求拋物線的表達(dá)式．
(2)點在直線下方的拋物線上運動（不含端點），連接，當(dāng)四邊形的面積最大時，求出面積的最大值和此時點的坐標(biāo)．
(3)連接是線段上的一個動點，過點作的平行線．在直線上是否存在點，使得以點為頂點的四邊形為菱形？若存在，直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)；
(3)存在，或
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，圖形的面積：
（1）運用待定系數(shù)支求解即可；
（2）如圖，作軸交于點，求出直線的表達(dá)式為．設(shè)點，則點，根據(jù)可列出式子求解
（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)求解即可
【詳解】（1）解：拋物線交軸于點，
，
點的坐標(biāo)為，對稱軸為直線，
點的坐標(biāo)為，
將點代入，
得，解得，
拋物線的表達(dá)式為．
（2）解：如圖，作軸交于點，
設(shè)直線的解析式為，
把代入得：
解得，，
直線的表達(dá)式為．
設(shè)點，則點，
，
，
，
當(dāng)時，的最大值為，此時點，
四邊形面積的最大值為，此時點的坐標(biāo)為．
（3）解：存在．點的坐標(biāo)為或．
理由：直線的表達(dá)式為，
設(shè)點．
點，
，
當(dāng)四邊形為菱形時，點平移到點，點平移到點，則點，
，
（舍去）或，
點，
當(dāng)四邊形為菱形時，點平移到點，點平移到點，則點，
，
解得（舍去）或，
點．
15．（2024·廣東汕頭·一模）綜合與探究：
如圖，已知拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C．直線與拋物線的對稱軸交于點E．將直線沿射線方向向下平移個單位，平移后的直線與直線交于點F，與拋物線的對稱軸交于點D．
(1)求出點A，B，C的坐標(biāo)，并直接寫出直線的解析式；
(2)當(dāng)是以為直角邊的直角三角形時，求出n的值；
(3)直線上是否存在一點P，使以點D，E，F(xiàn)，P為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，，直線的解析式為，直線的解析式為
(2)
(3)或
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，
（1）分別求出A、B、C的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求直線的解析式即可；
（2）先求平移后的直線解析式為，則，再由勾股定理可得方程，求出或（舍）；
（3）先設(shè)，當(dāng)為鄰邊時，與為菱形的對角線，軸，可得，再將點P代入直線的解析式中求出n的值，即可求；當(dāng)為菱形的對角線時，，此時，再由E點向左平移個單位，向上平移個單位得到P點，則，得到方程，求出n的值即可求P點坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：當(dāng)時，，
解得或，
∴，
當(dāng)時，，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
解得，
∴直線的解析式為，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
解得，
∴直線的解析式為；
（2）解：∵，
∴拋物線的對稱軸為直線，
∴，
平移后的直線解析式為，
∴，
∴，，，
∵是以為斜邊的直角三角形，
∴，
解得或（舍）；
（3）解：存在點P，使以點D，E，F(xiàn)，P為頂點的四邊形是菱形，理由如下：
當(dāng)時，解得
∴，
當(dāng)為鄰邊時，與為菱形的對角線，
∴，
∴軸，
∴，
∴，
解得，
∴；
當(dāng)為菱形的對角線時，，
∴，
∵，
∴E點向左平移個單位，向上平移個單位得到P點，
∴，
∴，
解得，
∴；
綜上所述：P點坐標(biāo)為或．
題型06、利用二次函數(shù)解決相似三角形問題
16．（2024·廣東惠州·一模）如圖所示，拋物線的圖象與x軸交于點與點B，與y軸交于點，點D為拋物線的頂點，直線l為對稱軸．
(1)求拋物線和直線的表達(dá)式，并求出點D的坐標(biāo)；
(2)如圖所示，若點M是直線上方拋物線上一動點，連接，交于點H，過點M作x軸的平行線，交直線于點G，設(shè)點M的橫坐標(biāo)為m．
①求用含m的代數(shù)式表示線段的長；
②求的最大值．
【答案】(1)，，
(2)①，②
【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求出拋物線解析式，將解析式轉(zhuǎn)化為頂點式，可得頂點坐標(biāo)，利用拋物線解析式求出點B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線的表達(dá)式；
（2）①設(shè)，代入直線：，求得，即點G的坐標(biāo)為，即可求解②證明，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點，，
∴，
解得．
∴拋物線的表達(dá)式為，即，
∴頂點D的坐標(biāo)為，對稱軸為直線．
∵A，B兩點關(guān)于直線對稱，
∴點B的坐標(biāo)為．
設(shè)直線的表達(dá)式為，且，
∴，解得，
∴直線的表達(dá)式為；
（2）解：（2）①設(shè)，
把代入，
得，
∴點G的坐標(biāo)為，
∴．
②∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
當(dāng)時，有最大值，
的最大值為．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，一次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求解析式．
17．（2023·廣東茂名·二模）如圖，拋物線與 x 軸分別交于點 A、B，與 y 軸交于點 C， ，頂點 D ， 對稱軸交 x 軸于點 Q．

(1)求拋物線的解析式；
(2)已知直線 與對稱軸形成的夾角為 45°，動點M在對稱軸上運動且位于點 D下方時，是否存在和相似？如果存在，求出點 M的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．
【答案】(1)二次函數(shù)的表達(dá)式為
(2)存在，點 M 的坐標(biāo)為或
【分析】（1）由頂點D 設(shè) ，再將B點的坐標(biāo)代入即可．
（2）首先確定B、D是對應(yīng)頂點，設(shè)點，表示和的邊長，再根據(jù)對應(yīng)邊成比例分別列方程即可．
【詳解】（1）由頂點D 設(shè) ，
∵，
∴ ，代入得：，
解得：，
∴拋物線對應(yīng)二次函數(shù)的表達(dá)式為：．
（2）存在點 M，使得和 相似，如圖：

連接，設(shè) ，
∵，
∴，
由題知，，
∵，，
∴為等腰直角三角形，
∴ ，，
∴，，
①當(dāng)時，
，，
解得 ，
∴，
②當(dāng)時，
，
解得 ，
∴，
綜上所述，點 M 的坐標(biāo)為或．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)，相似三角形的綜合知識，解題的關(guān)鍵是設(shè)所求點的坐標(biāo)，表達(dá)出相關(guān)的線段長，列方程求解．
18．（2022·廣東深圳·三模）已知拋物線與軸的交點為點、點且，點是拋物線的一個動點不與點、重合，作軸于點，線段的最大值是．
(1)求拋物線的解析式．
(2)當(dāng)點運動到什么位置時，圖中的矩形是正方形？并求出點的坐標(biāo)．
(3)是否在此拋物線上存在點使得與相似？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)A的坐標(biāo)為
(3)存在，（2，4）或
【分析】（1）先求出點O，E，P的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解即可．
（2）設(shè)當(dāng)A的坐標(biāo)為時，矩形ABCD是正方形，利用正方形的邊長相等求解．
（3）分兩種情況：①當(dāng)∠BAO=∠MPO時，△ABO與△PMO相似；②當(dāng)∠AOB=∠MPO時，△ABO與△PMO相似；利用比例式求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線OPE與x軸的交點為點O、點E，且OE=4，
∴O（0，0），E（4，0），
∵AB⊥x軸于點B，線段AB的最大值是PM=4．
∴P（2，4），
∵拋物線OPE過原點，設(shè)它的解析式為，
把E（4，0），P（2，4），代入，得
，
解得：，
∴拋物線OPE的解析式為；
（2）設(shè)當(dāng)A的坐標(biāo)為時，矩形ABCD是正方形，
∵OM=2，
∴,
BC=2BM=,
∵AB=,
∴,
解得（舍去）．
∴
∴A的坐標(biāo)為
（3）存在．
設(shè)點A的坐標(biāo)為時，△ABO與△PMO相似，
①當(dāng)∠BAO=∠MPO時，
∵
∴
解得x=2或x=0（舍去），
點A的坐標(biāo)為（2，4）時，即與點P重合，
②當(dāng)∠AOB=∠MPO時，
∴
∴
解得或（舍去），
∴，
∴A的坐標(biāo)為，
綜上所述，當(dāng)A的坐標(biāo)為（2，4）或時，△ABO與△PMO相似．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應(yīng)用，涉及三角形相似，二次函數(shù)解析式及正方形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用三角形相似列出方程．
題型07、利用二次函數(shù)解決壓軸綜合問題
19．（2024·廣東惠州·模擬預(yù)測）綜合運用
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交x軸于A，B兩點(點A在點B的左邊)，交y軸于點C．
(1)直接寫出A，B，C三點的坐標(biāo)．
(2)作直線，分別交x軸、線段、拋物線于D，E，F(xiàn)三點，連接．若與相似，求t的值．
(3)如圖2，過點C作軸，交拋物線于點G，將拋物線在點G右下方的圖象沿直線向上翻折，拋物線的其余部分保持不變，得到一個新的圖象，當(dāng)直線與新的圖象只有2個公共點時，請求出n的值．
【答案】(1)
(2)t的值為4或3
(3)n的值為1或
【分析】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點問題，二次函數(shù)的幾何綜合，相似三角形的判定與性質(zhì)，判別式的應(yīng)用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)二次函數(shù)的解析式，以及與軸的交點，計算即可作答．
（2）先表示，分類討論且作圖，即和，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式計算，即可作答．
（3）進(jìn)行分類討論且作圖，運用數(shù)形結(jié)合思想，則①發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線經(jīng)過點G或當(dāng)直線與拋物線只有一個公共點時，建立，運用判別式的意義列式計算，即可作答．
【詳解】（1）解：∵拋物線交x軸于A，B兩點(點A在點B的左邊)，交y軸于點C．
∴令，
∴
結(jié)合圖象，得出
（2）解：如圖：
∵點F是直線與拋物線的交點，
∴
當(dāng)時，
則，
∴
∵，
∴
解得 (舍去)或
當(dāng)時，
過點作軸于點T
∵
∴
又，
∴
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∵
∴
解得 (舍去)或
綜上所述，t的值為4或3
（3）解：由點C的坐標(biāo)為，
∵
∴對稱軸
∵過點C作軸，交拋物線于點G
∴點G的坐標(biāo)為
如圖：
畫出直線，
通過平移直線，得到直線
①發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線經(jīng)過點G時，
直線與新圖象只有2個公共點．
將點代入，
得
解得；
②當(dāng)直線與拋物線只有一個公共點時，
直線與新圖象只有2個公共點．
令
化簡得
∴
解得
綜上所述，n的值為1或
20．（2023·湖南長沙·模擬預(yù)測）已知拋物線與軸交于點和，與軸交于點C
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)如圖1，點是線段上的一個動點（不與點，重合），過點作軸的垂線交拋物線于點，連接，當(dāng)四邊形恰好是平行四邊形時，求點的坐標(biāo)；
(3)如圖2，在（2）的條件下，是的中點，過點的直線與拋物線交于點，且，在直線上是否存在點，使得與相似？若存在，求點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，的坐標(biāo)為或．
【分析】（1）用待定系數(shù)法可得；
（2）由，可得直線解析式為，設(shè)，由，有，即可解得；
（3）可得直線的表達(dá)式為，知在直線上，，，過點作軸于點，過作軸于，根據(jù)，可得直線和直線關(guān)于直線對稱，有，，，從而可得直線的表達(dá)式為，點的坐標(biāo)為，即得，，故，與相似，點與點是對應(yīng)點，設(shè)點的坐標(biāo)為，當(dāng)時，有，解得；當(dāng)時，，解得．
【詳解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
；
（2）解：由，可得直線解析式為，
設(shè)，則，
，
，要使四邊形恰好是平行四邊形，只需，
，
解得，
；
（3）解：在直線上存在點，使得與相似，理由如下：
是的中點，點，
點，
由（2）知，
直線的表達(dá)式為，
，
在直線上，，，
過點作軸于點，過作軸于，如圖：
，故，
，
，
直線和直線關(guān)于直線對稱，
，，
，
由點，可得直線的表達(dá)式為，
聯(lián)立，
解得或，
點的坐標(biāo)為，
，
，，，
，
，
，
，
，即，
與相似，點與點是對應(yīng)點，
設(shè)點的坐標(biāo)為，則，
當(dāng)時，有，
，
解得或（在右側(cè)，舍去），
；
當(dāng)時，，
，
解得（舍去）或，
，
綜上所述，的坐標(biāo)為或．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，平行四邊形，相似三角形等知識，難度較大，綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是證明，從而得到與相似，點與點是對應(yīng)點．
21．（2023·吉林·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，拋物線經(jīng)過點，直線交拋物線于點P，交x軸于點Q，點P關(guān)于點Q的對稱點為點C，過點P、C分別作的垂線，交過點A且垂直于x軸的直線于點E、D．
(1)求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
(2)求該拋物線的頂點坐標(biāo)；
(3)當(dāng)線段的長隨m值的增大而增大時，求m的取值范圍；
(4)拋物線在點P、A之間的部分（包括點P、A）的最低點到x軸的距離記為，四邊形PCDE截該拋物線的圖象（包括邊界的點）的最低點到x軸的距離記為，若，直接寫出m的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)或
【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．
（1）將代入，求出b和c的值，即可解答；
（2）將（1）中得出的函數(shù)解析式化為頂點式，即可解答；
（3）令，求出x的值，得出該拋物線與x軸的另一個交點的坐標(biāo)為．根據(jù)該拋物線的對稱軸為直線，結(jié)合二次函數(shù)的增減性，即可解答；
（4）根據(jù)題意進(jìn)行分類討論：①當(dāng)時，②當(dāng)時，③當(dāng)時，④當(dāng)時，即可解答．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點，
∴將代入得，
，
解得，
∴該拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y＝．
（2）解：，
∴該拋物線的頂點坐標(biāo)為．
（3）解：令，則，
解得，
∴該拋物線與x軸的另一個交點的坐標(biāo)為．
∵該拋物線的對稱軸為直線，
∴當(dāng)或時，線段的長隨m值的增大而增大．
（4）解：①當(dāng)時，，
∵，
∴此時不成立．
②當(dāng)時， ，
∴此時不成立．
③當(dāng)時，，，
∵，
∴，
解得（舍去）．
④當(dāng)時，，，
∵，
∴，
解得（舍去）．
綜上，或．
22．（2023·廣東潮州·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，點，在拋物線上，設(shè)拋物線的對稱軸為．
(1)若，求t；
(2)若，寫出m，n，c的大小關(guān)系；
(3)設(shè)點，（）在拋物線上，若，求t的取值范圍及的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）由題意，根據(jù)m=n得出A、B兩點關(guān)于對稱軸對稱，再由中點坐標(biāo)公式可得解．
（2）依據(jù)拋物線的對稱性，把三點A、C、B的對稱點放在對稱軸的同側(cè)，再利用函數(shù)的增減性即可得解．
（3）由題意得，將A、B兩點代入解析式，進(jìn)而結(jié)合，即可求出t的取值范圍，又根據(jù)A、E關(guān)于對稱軸對稱，借助t的范圍即可求出x0的范圍．
【詳解】（1）解：∵，，在拋物線上，拋物線的對稱軸為．
∴點A與點B關(guān)于拋物線的對稱軸為對稱．
∴．
即；
（2）解：由題意，作圖，

∴；
（3）由題意，由拋物線的對稱軸為，得，
∴．
∴．
∵，在拋物線上，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵點與是對稱點，
∴．
∴．
∴．
綜上可得，，．
【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)形結(jié)合求解．

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