廣東數(shù)學(xué)2023年中考對最后一題壓軸題型二次函數(shù)知識的考查要求高，均是以10分簡答題的形式進(jìn)行考查，難度系數(shù)大，這幾年中考命題趨勢，難度可能再次提升。縱觀近幾年的中考試題，主要考查以下兩個(gè)方面：一是考查具體二次函數(shù)的解析式．二是考查二次函數(shù)與不等式組、幾何證明，存在性問題，最值問題，角度問題．
今年2023年預(yù)測最后一題壓軸題還是考查二次函數(shù)為基礎(chǔ)出題，結(jié)合圓，四邊形等探究問題，另外還需要注意幾何面積的最值問題。
要求考生熟練掌握與二次函數(shù)有關(guān)的基礎(chǔ)知識、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及幾何相關(guān)計(jì)算與證明。能熟練求函數(shù)解析式，能根據(jù)函數(shù)圖像與動點(diǎn)求存在性問題，角度問題，最值問題等。解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，分析圖形，尋找相關(guān)聯(lián)信息，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想方法進(jìn)行推理、探究和計(jì)算。另外需要有數(shù)形結(jié)合的思想，關(guān)注用坐標(biāo)表示面積的最值問題。
1．（2021·廣東·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且對任意實(shí)數(shù)x，都有．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）若（1）中二次函數(shù)圖象與x軸的正半軸交點(diǎn)為A，與y軸交點(diǎn)為C；點(diǎn)M是（1）中二次函數(shù)圖象上的動點(diǎn)．問在x軸上是否存在點(diǎn)N，使得以A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；（2）存在，或或或
【分析】（1）令，解得，可得函數(shù) 必過 ，再結(jié)合 必過 得出，，即可得到，再根據(jù)，可看成二次函數(shù)與一次函數(shù)僅有一個(gè)交點(diǎn)，且整體位于的上方，可得，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，再根據(jù)，可解得的值，即可求出二次函數(shù)解析式．
（2）結(jié)合（1）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)，①當(dāng)為對角線時(shí)，②當(dāng)為對角線時(shí)，③當(dāng)為對角線時(shí),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式分別列出方程組，解方程組即可得到答案．
【詳解】解：（1）令，解得，
當(dāng)時(shí)，，
∴ 必過 ，
又∵ 必過 ，
∴，
∴，
即，
即可看成二次函數(shù)與一次函數(shù)僅有一個(gè)交點(diǎn)，且整體位于的上方
∴，
有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
（2）由（1）可知：，，設(shè)，
①當(dāng)為對角線時(shí)，
∴，解得（舍），，
∴，即．
②當(dāng)為對角線時(shí)，
∴，解得（舍），
∴，即．
③當(dāng)為對角線時(shí)，
∴，解得，
∴或，
∴．
綜上所述：N點(diǎn)坐標(biāo)為或或或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到二次函數(shù)與不等式組，考查了平行四邊形的存在性問題，利用中點(diǎn)公式，分類討論是解題關(guān)鍵．
2．（2022·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線（b，c是常數(shù)）的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，，，點(diǎn)P為線段上的動點(diǎn)，過P作//交于點(diǎn)Q．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)求面積的最大值，并求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)2；P（-1，0）
【分析】（1）用待定系數(shù)法將A，B的坐標(biāo)代入函數(shù)一般式中，即可求出函數(shù)的解析式；
（2）分別求出C點(diǎn)坐標(biāo)，直線AC，BC的解析式，PQ的解析式為：y=-2x+n，進(jìn)而求出P，Q的坐標(biāo)以及n的取值范圍，由列出函數(shù)式求解即可．
【詳解】（1）解：∵點(diǎn)A（1，0），AB=4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，0），
將點(diǎn)A（1，0），B（-3，0）代入函數(shù)解析式中得：
，
解得：b=2，c=-3，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：由（1）得拋物線的解析式為，
頂點(diǎn)式為：，
則C點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，-4），
由B（-3，0），C（-1，-4）可求直線BC的解析式為：y=-2x-6，
由A（1，0），C（-1，-4）可求直線AC的解析式為：y=2x-2，
∵PQ∥BC，
設(shè)直線PQ的解析式為：y=-2x+n，與x軸交點(diǎn)P，
由解得：，
∵P在線段AB上，
∴，
∴n的取值范圍為-6＜n＜2，
則
∴當(dāng)n=-2時(shí)，即P（-1，0）時(shí)，最大，最大值為2．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的面積最值問題，二次函數(shù)的圖象與解析式間的關(guān)系，一次函數(shù)的解析式與圖象，熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵．
3．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）已知直線：經(jīng)過點(diǎn)（0，7）和點(diǎn)（1，6）．
(1)求直線的解析式；
(2)若點(diǎn)P（，）在直線上，以P為頂點(diǎn)的拋物線G過點(diǎn)（0，-3），且開口向下
①求的取值范圍；
②設(shè)拋物線G與直線的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，當(dāng)點(diǎn)Q向左平移1個(gè)單長度后得到的點(diǎn)Q' 也在G上時(shí)，求G在≤≤的圖象的最高點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)直線解析式為：；
(2)①m＜10，且m≠0；②最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，9）或（2，5）
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求出解析式即可；
（2）①設(shè)G的頂點(diǎn)式，根據(jù)點(diǎn)P在直線上得出G的關(guān)系式，根據(jù)題意得出點(diǎn)（0，-3）不能成為拋物線G的頂點(diǎn)，進(jìn)而得出點(diǎn)P必須位于直線的上方，可求m的取值范圍，然后結(jié)合點(diǎn)P不能在軸上得出答案；
②先根據(jù)點(diǎn)Q，點(diǎn)的對稱，得QQ'=1，可表示點(diǎn)Q和的坐標(biāo)，再將點(diǎn)的坐標(biāo)的代入關(guān)系式，求出a，再將點(diǎn)（0，-3）代入可求出m的值，然后分兩種情況結(jié)合取值范圍，求出函數(shù)最大值時(shí)，最高點(diǎn)的坐標(biāo)即可．
【詳解】（1）解：∵直線經(jīng)過點(diǎn)（0，7）和點(diǎn)（1，6），
∴，
解得，
∴直線解析式為：；
（2）解：①設(shè)G：（），
∵點(diǎn)P（，）在直線上，
∴；
∴G：（）
∵（0，-3）不在直線上，
∴（0，-3）不能成為拋物線G的頂點(diǎn)，
而以P為頂點(diǎn)的拋物線G開口向下，且經(jīng)過（0，-3），
∴點(diǎn)P必須位于直線的上方，
則，，
另一方面，點(diǎn)P不能在軸上，
∴，
∴所求取值范圍為：，且 ；
②如圖，QQ'關(guān)于直線對稱，且QQ'=1，
∴點(diǎn)Q橫坐標(biāo)為，
而點(diǎn)Q在上，∴Q（，），Q'（，）；
∵Q'（，）在G：上，
∴， ，
∴ G：，或．
∵拋物線G過點(diǎn)（0，-3），
∴，
即，
， ；
當(dāng)時(shí)，拋物線G為，對稱軸為直線，
對應(yīng)區(qū)間為-2≤≤-1，整個(gè)區(qū)間在對稱軸的右側(cè)，
此時(shí)，函數(shù)值隨著的增大而減小，如圖，
∴當(dāng)取區(qū)間左端點(diǎn)時(shí)，達(dá)最大值9，最高點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，9）；
當(dāng)時(shí)，對應(yīng)區(qū)間為≤≤，最高點(diǎn)為頂點(diǎn)P（2，5），如圖，
∴G在指定區(qū)間圖象最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，9）或（2，5）．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的關(guān)系式，求二次函數(shù)的極值等．解題的關(guān)鍵是掌握當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)在直線與軸的交點(diǎn)（0，7），此時(shí)拋物線不可能過點(diǎn)（0，-3），因此，可能會被忽視．
4．（2019·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線G：有最低點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的最小值（用含m的式子表示）；
（2）將拋物線G向右平移m個(gè)單位得到拋物線G1．經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，隨著m的變化，拋物線G1頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x之間存在一個(gè)函數(shù)關(guān)系，求這個(gè)函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）記（2）所求的函數(shù)為H，拋物線G與函數(shù)H的圖像交于點(diǎn)P，結(jié)合圖像，求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍.
【答案】（1）二次函數(shù)的最小值是；（2）；（3）－4－3.
【分析】（1）拋物線有最低點(diǎn)即開口向上，m＞0，用配方法或公式法求得對稱軸和函數(shù)最小值．
（2）寫出拋物線G的頂點(diǎn)式，根據(jù)平移規(guī)律即得到拋物線G1的頂點(diǎn)式，進(jìn)而得到拋物線G1頂點(diǎn)坐標(biāo)（m+1，-m-3），即x=m+1，y=-m-3，x+y=-2即消去m，得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式．再由m＞0，即求得x的取值范圍．
（3）求出拋物線恒過點(diǎn)B（2，-4），函數(shù)H圖象恒過點(diǎn)A（2，-3），由圖象可知兩圖象交點(diǎn)P應(yīng)在點(diǎn)A、B之間，即點(diǎn)P縱坐標(biāo)在A、B縱坐標(biāo)之間．
【詳解】解：（1）∵y=mx2-2mx-3=m（x-1）2-m-3，拋物線有最低點(diǎn)，
∴二次函數(shù)y=mx2-2mx-3的最小值為-m-3.
（2）∵拋物線G：y=m（x-1）2-m-3,
∴平移后的拋物線G1：y=m（x-1-m）2-m-3,
∴拋物線G1頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m+1，-m-3）,
∴x=m+1，y=-m-3,
∴x+y=m+1-m-3=-2.
即x+y=-2，變形得y=-x-2.
∵m＞0，m=x-1.
∴x-1＞0,
∴x＞1,
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=-x-2（x＞1）.
（3）如圖，函數(shù)H：y=-x-2（x＞1）圖象為射線,
x=1時(shí)，y=-1-2=-3；x=2時(shí)，y=-2-2=-4,
∴函數(shù)H的圖象恒過點(diǎn)B（2，-4）,
∵拋物線G：y=m（x-1）2-m-3,
x=1時(shí)，y=-m-3；x=2時(shí)，y=m-m-3=-3.
∴拋物線G恒過點(diǎn)A（2，-3）,
由圖象可知，若拋物線與函數(shù)H的圖象有交點(diǎn)P，則yB＜yP＜yA,
∴點(diǎn)P縱坐標(biāo)的取值范圍為-4＜yP＜-3.
【點(diǎn)睛】本題考查了求二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)的平移，二次函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系，熟練掌握是解題的關(guān)鍵.
5．（2019·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)），點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn).點(diǎn)在軸的正半軸上，交軸于點(diǎn)，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)恰好旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，連接.

（1）求點(diǎn)、、的坐標(biāo)；
（2）求證：四邊形是平行四邊形；
（3）如圖2，過頂點(diǎn)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，點(diǎn)為垂足，使得與相似（不含全等）.
①求出一個(gè)滿足以上條件的點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
②直接回答這樣的點(diǎn)共有幾個(gè)？
【答案】（1），，；（2）證明見解析；（3）①點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，，，②點(diǎn)P共有3個(gè).
【分析】(1)令y=0，可得關(guān)于x的方程，解方程求得x的值即可求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，對解析式配方可得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)由，CO⊥AF，可得OF=OA=1，如圖2，易得，由此可得，繼而證明為等邊三角形，推導(dǎo)可得，再由，，可得，問題得證；
(3)①設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，分三種情況：點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，點(diǎn)在之間，分別討論即可得；
②由①的結(jié)果即可得.
【詳解】(1)令，
解得或，
故，，
配方得，故；
(2)∵，CO⊥AF，
∴OF=OA=1，
如圖，DD1⊥軸，∴DD1//CO，
∴，
∴，
即，
∴，
∴CF==2，
∴，
即為等邊三角形，
∴∠AFC=∠ACF=60°，
∵∠ECF=∠ACF，
∴，
∴，
∵CF：DF=OF：FD1=1：2，
∴DF=4，∴CD=6，
又∵，，
∴，
∴四邊形是平行四邊形；
(3)①設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
(ⅰ)當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，
因?yàn)榕c相似，
則1)，
即，
∴(舍)，x2=-11；
2)，
即，
∴(舍)，；
(ⅱ)當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，
因?yàn)榕c相似，
則3)，
即，
∴(舍)，(舍)；
4)，
即，
∴(舍)，(舍)；
(ⅲ)當(dāng)點(diǎn)在之間時(shí)，
∵與相似，
則5)，
即，
∴(舍)，(舍)；
6)，
即，
∴(舍)，；
綜上所述，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，；
②由①可得這樣的點(diǎn)P共有3個(gè).
【點(diǎn)睛】本題考查的是函數(shù)與幾何綜合題，涉及了等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，解一元二次方程等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，熟練掌握相關(guān)知識，正確進(jìn)行分類討論并畫出符合題意的圖形是解題的關(guān)鍵.
6．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知拋物線與軸交于和兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)），且，與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線：與拋物線交于另一點(diǎn)，與線段交于點(diǎn)．過點(diǎn)的直線：與軸正半軸交于點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)設(shè)，是否存在實(shí)數(shù)，使有最小值？如果存在，請求出值；如果不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；
（2）先求出的坐標(biāo)，得到，然后求出直線，聯(lián)立解方程組求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）過E，F(xiàn)兩點(diǎn)作軸，軸于點(diǎn)，則，把代入得，求出點(diǎn)E、F的橫坐標(biāo)，利用求出最小值即可解題．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，
∴，
∴拋物線的解析式是，
（2）解：當(dāng)時(shí)，，
∴，
把代入得：，
解得，
∴
當(dāng)時(shí)，
∴，
∴，
∴，
在中，
，，，
∴，
∴，
∴，
即，
把和代入解析式，得：
，解得：，
，
解方程組得(舍）,
∴；
（3）如圖，過E，F(xiàn)兩點(diǎn)作軸，軸于點(diǎn)，則，
解：把代入得，
∴，
設(shè)直線的解析式為，代入得：
，解得，
，
聯(lián)立與解得，即
聯(lián)立和解得（舍）或，即，
∵，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，即m有最小值，最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法，求交點(diǎn)坐標(biāo)，函數(shù)的最值問題，平行線分線段成比例，掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．（2023·廣東汕尾·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接、，點(diǎn)E為線段上的一點(diǎn)，直線與拋物線交于點(diǎn)H．

(1)直接寫出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出直線的表達(dá)式；
(2)連接、，求面積的最大值；
(3)若點(diǎn)P為拋物線上一動點(diǎn)，試判斷在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)Q，使得以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的矩形？若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；；；
(2)
(3)存在，Q的坐標(biāo)為或
【分析】（1）分別令，，求出對應(yīng)的x、y的值，即可求出A、B、C的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求出直線的表達(dá)式即可；
（2）過點(diǎn)H作軸，交直線于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為，可求，，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）分或兩種情況討論即可．
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，
解得，，
，，
當(dāng)時(shí)，，
，
設(shè)直線的解析式為，
則，
解得
；
（2）解：過點(diǎn)H作軸，交直線于點(diǎn)M，
，
設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為，
則點(diǎn)M的坐標(biāo)為，
，
，
當(dāng)時(shí)，．
（3）解：以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是以BC為邊的矩形時(shí)，存在或兩種情況，設(shè)
（1）當(dāng)，延長，交軸一點(diǎn)，
， ，
，即為等腰直角三角形，即：，
，則，
為等腰直角三角形，則，則，
設(shè)PC解析式為，代入，，
得，解得，
，
令，解得（舍去），，
，
，，
；
②當(dāng)交x軸于點(diǎn)N，
，
，即為等腰直角三角形，即：，
，則，
為等腰直角三角形，則，則，
同理可得解析式為：，
令，解得（舍去），
，
，
，
綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與面積問題、特殊四邊形問題等，涉及到的知識有待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等，明確題意，合理分類討論，找出所求問題需要的條件是解題的關(guān)鍵．
8．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考一模）如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)， 與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)是直線下方拋物線上一動點(diǎn)，求四邊形面積最大時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)，使?若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)點(diǎn)或
【分析】（1）首先求得點(diǎn)，然后利用待定系數(shù)法求得拋物線解析式即可；
（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，首先求得點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，可求得，進(jìn)而可得四邊形面積，由二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可獲得答案；
（3）分點(diǎn)在上方和點(diǎn)在下方兩種情況進(jìn)行分析，即可獲得答案．
【詳解】（1）解：直線與x軸交于點(diǎn)，
∴可有，解得，
∴點(diǎn)，
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，
∴將點(diǎn)代入，可得，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）如下圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
∵拋物線與軸的交點(diǎn)為，
當(dāng)時(shí)，可有，
解得，
∴點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，
∴，
∵四邊形面積，
∴當(dāng)時(shí)，四邊形面積有最大值，
此時(shí)點(diǎn)；
（3）如下圖，當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，設(shè)交軸于點(diǎn)，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴點(diǎn)，
設(shè)直線解析式為，將點(diǎn)，點(diǎn)代入，
可得，解得，
∴直線解析式為，
聯(lián)立方程組可得，
解得：或，
∴點(diǎn)，
當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，
∵，
∴，
∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．
綜上所述，點(diǎn)坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，利用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論的思想分析問題是解題關(guān)鍵．
9．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），頂點(diǎn)為．點(diǎn)為對稱軸右側(cè)拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為，直線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，軸，交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．
(1)直接寫出點(diǎn)，，的坐標(biāo)；
(2)當(dāng)時(shí)，求的值；
(3)試探究點(diǎn)在運(yùn)動過程中，是否存在，使四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)．，
(2)或；
(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．
【分析】（1）令，可得，再解方程可得A，B的坐標(biāo)，再把拋物線化為頂點(diǎn)式可得D的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)N．設(shè)，由軸，可得，根據(jù)，列出比例式，解方程求解，根據(jù)點(diǎn)P在拋物線對稱軸的右側(cè)，對的值進(jìn)行取舍．
（3）分點(diǎn)P在x軸上方、點(diǎn)P在x軸下方兩種情況，根據(jù)，表示出，根據(jù)點(diǎn)E的坐標(biāo)為表示出，利用，分別求解即可．
【詳解】（1）解：，
當(dāng)時(shí)，，
解得，．
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，
∴．，
∵，即，
∴，
（2）如圖，過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)N．
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，
∴，
∵，∴，
，
∵軸，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴，即，
當(dāng)時(shí)，，
∵點(diǎn)P在拋物線對稱軸的右側(cè)，
∴；
當(dāng)時(shí)，，
∵點(diǎn)P在拋物線對稱軸的右側(cè)，
∴，
綜上所述，或；
（3）存在，理由：
設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，
∵直線過點(diǎn)，，
則，解得，
∴，
當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，
設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為，
把點(diǎn)E的坐標(biāo)代入的表達(dá)式得：，
解得，
故點(diǎn)E的坐標(biāo)為，
則，
，
，
，則，
則，
∵四邊形是菱形，則，
即，
解得（舍去）或，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，
，
∴，
解得（舍）或，
代入得點(diǎn)坐標(biāo)為，
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，求一次函數(shù)解析式，平行線分線段成比例，解直角三角形，菱形的性質(zhì)與判定，綜合運(yùn)用以上知識，并分類討論是解題的關(guān)鍵．
10．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）拋物線的圖象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的對稱軸與軸交于點(diǎn)．
(1)求的值；
(2)點(diǎn)是線段上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)，當(dāng)四邊形的面積取得最大值，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)在的拋物線上，點(diǎn)在的拋物線的對稱軸上，若直線垂直平分線段時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）根據(jù)題意求得直線的解析式為，設(shè)，則，四邊形的面積，則當(dāng)取得最大值，四邊形的面積取得最大值，進(jìn)而表示出，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（3）設(shè)直線與交于點(diǎn)，則，依題意關(guān)于直線對稱，，進(jìn)而得出的縱坐標(biāo)為，將代入得，解方程求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線的圖象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴拋物線解析式為，
∴；
（2）解：如圖所示，
由，當(dāng)時(shí)，，
即，
解得：
∴，
由
∴對稱軸為直線，則
∵，設(shè)直線的解析式為，
代入，得，
解得：
∴直線的解析式為，
設(shè)，則，
∵四邊形的面積
∴當(dāng)取得最大值，四邊形的面積取得最大值，
∵
當(dāng)時(shí)取得最大值，
此時(shí)
（3）設(shè)直線與交于點(diǎn)，，解得：，則，
∵點(diǎn)在的拋物線上，點(diǎn)在的拋物線的對稱軸上，直線垂直平分線段，即關(guān)于直線對稱，
則，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴的縱坐標(biāo)為，
將代入得，
，
解得：或，
∴或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，待定系數(shù)法求解析式，面積問題，線段垂直平分線的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
11．（2023·廣東東莞·校考一模）如圖，已知過坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，且是方程兩根（），拋物線頂點(diǎn)為C．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若點(diǎn)D在拋物線上，點(diǎn)E在拋物線的對稱軸上，且以A、O、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
(3)P是拋物線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P使得以點(diǎn)P、M、O為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，P的坐標(biāo)是,,，
【分析】（1）通過解方程求出的值，就可以求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式．
（2）①當(dāng)為邊時(shí)，根據(jù)E在上，能求出D的橫坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)求出D的坐標(biāo)即可；②為對角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，求出D和C重合，進(jìn)一步求出E的坐標(biāo)；
（3）設(shè)，根據(jù)勾股定理的逆定理推論出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出比例式，代入求出即可．
【詳解】（1）∵是方程的兩根（），
解得原方程的兩根分別是：，
∴，
設(shè)拋物線的解析式為，
則，
解得：，
∴拋物線的解析式是．
（2）∵，
∴對稱軸為：，
①當(dāng)為邊時(shí)，
∵以A、O、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴，
∵E在對稱軸上，
∴D的橫坐標(biāo)是1或，
∴D的坐標(biāo)是或，此時(shí)E的坐標(biāo)是；
②當(dāng)是對角線時(shí)，則和互相平分，由E在對稱軸上，且線段AO的中點(diǎn)橫坐標(biāo)是，
由對稱性知，符合條件的點(diǎn)D只有一個(gè)，即是頂點(diǎn)，此時(shí)，
綜合上述，符合條件的點(diǎn)E共有兩個(gè)，分別是或．
（3）假設(shè)存在，設(shè)，
∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，，，
∵以P、M、O為頂點(diǎn)的三角形和相似，
又∵，
∴，或，
∴或，
解得：或或或，
∴存在P點(diǎn)，P的坐標(biāo)是,,，．
【點(diǎn)睛】本題綜合考查了二次函數(shù)的綜合，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的逆定理，平行四邊形的判定等知識點(diǎn)的應(yīng)用，此題綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度，對學(xué)生提出較高的要求．注意：不要漏解以及分類討論思想的運(yùn)用．
12．（2023·廣東東莞·石龍三中?？家荒＃┤鐖D，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)（與點(diǎn)，不重合），連接并延長交拋物線于點(diǎn)，連接，，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
(1)求拋物線的解析式和點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)當(dāng)?shù)拿娣e等于2時(shí)，求的值；
(3)在點(diǎn)運(yùn)動過程中，記的面積為，的面積為，則是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，
(2)或
(3)存在，
【分析】（1）將點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，求解即可；
（2）連接，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，利用得出的面積，再令，即可解出的值；
（3）證明，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得，根據(jù)三角形的面積，可得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．
【詳解】（1）解：拋物線，，可得：
，
解得：，
拋物線的解析式為：，
令，則，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（2）連接，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
，
，
令，
解得：或，
（3）如圖，過點(diǎn)作于，連接，
，，，
滿足，
，又，，
，
，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，存在最大值．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積求法，待定系數(shù)法，勾股定理，綜合性強(qiáng)，有一定難度，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合．
13．（2023·廣東廣州·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于、兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P為直線下方拋物線上的一動點(diǎn)，于點(diǎn)M，軸交于點(diǎn)N．求線段的最大值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)E為x軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)Q為拋物線上一動點(diǎn)，是否存在以為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；（2），P（，）；（3）（-5，0）或（，0）或（0，0）或（，0）
【分析】（1）將A、B坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法求解；
（2）證明∠PNM=45°，得到PM=PN，求出PN，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到PN的最大值即可得到結(jié)果；
（3）畫出圖形，分情況討論，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形，得到方程，解之可得點(diǎn)E坐標(biāo)．
【詳解】解：（1）將A，B代入中，
得，
解得：，
∴拋物線的解析式為；
（2）令x=0，則y=-3，
∴C（0，-3），
∵B（3，0），
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵PN∥y軸，
∴∠PNM=45°，
∵PM⊥BC，
∴PM=PN，則當(dāng)PN最大時(shí)，PM最大，
設(shè)BC的解析式為y=mx+n，
則，解得：，
∴BC的解析式為y=x-3，
設(shè)P（x，），N（x，x-3），
則PN==，
當(dāng)x=時(shí)，PN最大，則PM=PN==，
此時(shí)P（，）；
（3）∵△CEQ是以CQ為斜邊的等腰直角三角形，
設(shè)Q（x，），
如圖，過E作x軸的垂線，再分別過C和Q作y軸的垂線，分別交于M，N，
∵∠CEQ=90°，即∠QEN+∠CEM=90°，∠QEN+∠EQN=90°，
∴∠CEM=∠EQN，又∠M=∠N=90°，EQ=EC，
∴△QNE≌△EMC（AAS），
∴CM=EN=，NQ=EM=3，
則，
即，
解得：x=-2或x=3（舍），
∴OE=CM=2+3=5，即E（-5，0）；
如圖，過E作x軸的垂線，再分別過C和Q作y軸的垂線，分別交于M，N，
同理可得，△QNE≌△EMC（AAS），
∴CM=EN=，NQ=EM=3，
∴，
解得：x=或（舍），
∴OE=CM=，即E（，0）；
如圖，點(diǎn)E和點(diǎn)O重合，點(diǎn)Q和點(diǎn)B重合，
此時(shí)E（0，0）；
如圖，過E作x軸的垂線，再分別過C和Q作y軸的垂線，分別交于M，N，
同理可得，△QNE≌△EMC（AAS），
∴CM=EN=，NQ=EM=3，
∴，
解得：x=（舍）或，
則OE=CM=，即E（，0）；
綜上：點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-5，0）或（，0）或（0，0）或（，0）．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程，理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．
14．（2023·廣東東莞·東莞市東莞中學(xué)松山湖學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)為軸正半軸一點(diǎn)，．
(1)求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
(2)點(diǎn)為該拋物線在第一象限上的點(diǎn)不與點(diǎn)、重合，求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)：
(3)點(diǎn)是軸上的動點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)面積的最大值為，此時(shí)，點(diǎn)
(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為：或．
【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；
（2）由面積，即可求解；
（3）分當(dāng)點(diǎn)在軸的正半軸與當(dāng)點(diǎn)在軸的正半軸兩種情況求解即可．
【詳解】（1）解：，則點(diǎn)，
設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，
則，則，
則拋物線的表達(dá)式為：；
（2）解：過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，

設(shè)直線為，
∵過，，
∴，
解得，，
∴直線的表達(dá)式為：，
設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，
則面積，
則面積的最大值為，此時(shí)，點(diǎn)；
（3）解：設(shè)的坐標(biāo)為，在上取，則，
當(dāng)點(diǎn)在軸的正半軸時(shí)，
∵，，，
∴，，，，，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴即，
解得，
∴的坐標(biāo)為，
當(dāng)點(diǎn)在軸負(fù)半軸時(shí)，點(diǎn)，
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、解直角三角形、面積的計(jì)算等，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，注意分類求解，避免遺漏是解題的關(guān)鍵．
15．（2023·廣東汕尾·?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線（）與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接．
(1)求該拋物線的解析式，
(2)若點(diǎn)為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，拋物線上是否存在點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)M點(diǎn)坐標(biāo)為或或．
【分析】（1）設(shè)交點(diǎn)式，然后化簡求出a的值，即可得到拋物線的解析式．
（2）如圖所示，分類討論：分四邊形以為對角線的平行四邊形，以為對角線的平行四邊形以及以為對角線的平行四邊形三種情況討論求解即可．
【詳解】（1）解：由拋物線（）與軸交于兩點(diǎn)，設(shè)拋物線表達(dá)式為，
∴，
，
解得，，
所以拋物線表達(dá)式為，
即．
（2）解：存在．理由如下：
∵拋物線的解析式為，
∴拋物線對稱軸為直線，
設(shè)，
拋物線中，令，則，
∴，
當(dāng)以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是以為對角線的平行四邊形時(shí)，
∵，，，
則，
把代入得
，
∴；
當(dāng)以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是以為對角線的平行四邊形時(shí)，
∵，，，
∴，
把代入得
，
∴，
當(dāng)以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是以為對角線的平行四邊形時(shí)，
∵，，，
∴，
把代入中，得
，
∴，
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；會運(yùn)用點(diǎn)平移的坐標(biāo)規(guī)律表示平行四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)，是解題關(guān)鍵．
16．（2023·廣東江門·?？家荒＃┤鐖D1，拋物線與軸交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一個(gè)動點(diǎn)，連接
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)在直線上方運(yùn)動時(shí)，連接，求四邊形面積的最大值，并寫出此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)．
(3)若點(diǎn)是軸上的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一動點(diǎn)，的橫坐標(biāo)為．試判斷是否存在這樣的點(diǎn)，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)時(shí)，有最大值，最大值為，點(diǎn)的坐標(biāo)為
(3)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或
【分析】（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)、，用待定系數(shù)法即可求解；
（2）根據(jù)二次函數(shù)解析式分別求出的長，再求出的面積，如圖2（見解析），過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，設(shè)，則，用含的式子表示出，由此即可求解；
（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)、，
∴，解得，，
∴該拋物線的表達(dá)式為．
（2）解：∵，
∴拋物線的對稱軸為直線，
∵點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對稱，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如圖2，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，
設(shè)所在直線的解析式為：，過點(diǎn)，
∴，即所在直線的解析式為：，
設(shè)，則，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（3）解：拋物線的表達(dá)式為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
∴，即，且，
①如圖所示，四邊形為平行四邊形，
∴，且，
∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，，解得，，，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，
設(shè)點(diǎn)，
∵，
∴，則，即；
②如圖所示，四邊形是平行四邊形，過點(diǎn)作軸于，過點(diǎn)作軸于，
∴，，，
∴，
∴，且,設(shè)，，
∴，解得，，，
當(dāng)時(shí)，，即，則；當(dāng)時(shí)，，即，則，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
③如圖所示，四邊形為平行四邊形，
∴，，
∴設(shè)，則，
∴，即點(diǎn)的坐標(biāo)為；
綜上所示，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與幾何圖形的綜合，掌握二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，動點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律，幾何圖形的面積計(jì)算方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
17．（2023·廣東汕頭·校聯(lián)考二模）如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．連接，．為上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交拋物線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．
(1)求這條拋物線的表達(dá)式；
(2)過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，請用含的代數(shù)式表示線段的長，并求出當(dāng)為何值時(shí)有最大值，最大值是多少？
(3)點(diǎn)在運(yùn)動過程中，是否存在這樣的點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似．若存在，請求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2),當(dāng)時(shí)，有最大值
(3)存在，或
【分析】（1）將，，代入，即可求解；
（2）利用待定系數(shù)法求出直線的表達(dá)式，即可表示出點(diǎn)E和點(diǎn)G的坐標(biāo)，從而得出EG再根據(jù)解直角三角形求得EF，根據(jù)二次函數(shù)的最值即可得出答案；
（3）分和兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出線段之間的關(guān)系求得的值，從而求得點(diǎn)G的坐標(biāo)．
【詳解】（1）由題意得，
∴
∴；
（2）設(shè)直線的表達(dá)式為，
∵過點(diǎn)，，
∴，
∴，
∴直線的表達(dá)式為，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，
∵，
∴，
∵軸，
∴，
∴，
∵，
∴
，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值；
（3）存在
∵，，的坐標(biāo)為，，
∴①當(dāng)時(shí)，，
即，
解得，
此時(shí)的坐標(biāo)為，
②當(dāng)時(shí)，，
即，
解得，
此時(shí)的坐標(biāo)為，
所以，點(diǎn)坐標(biāo)為或
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及相似三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
18．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)D在第一象限拋物線上一點(diǎn)，連接，若，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(3)已知點(diǎn)P為x軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)Q為第三象限拋物線上一動點(diǎn)，若為等腰直角三角形，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
(3)、、或
【分析】（1）根據(jù)拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，寫出交點(diǎn)式解析式，整理即可得出答案；
（2）作，交延長線于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F，證明，設(shè)，列出方程求解即可；
（3）根據(jù)點(diǎn)P為x軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)Q為第三象限拋物線上一動點(diǎn)，對等腰直角三角形進(jìn)行分類討論，畫出四種不同情況的圖形，分別進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．
【詳解】（1）拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，
∴，
∴拋物線的解析式為；
（2）作，交延長線于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F．
∵，，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
設(shè)，
∴， ．
∵，，
∴，．
∴．
∴．
解得（舍去），．
∴；
（3）∵點(diǎn)P為x軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)Q為第三象限拋物線上一動點(diǎn)，
∴等腰直角三角形共有四種情況，
（1）如圖1，當(dāng)，時(shí)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，設(shè)交軸于點(diǎn)，
∵，，，
∴．
又∵，，
∴．
∴．
設(shè)，
則，
解得：（舍去），，
∴．
（2）如圖2，當(dāng)，時(shí)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
∵，，
∴．
又∵，，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∴．
設(shè)，
則，，
∴，
解得：（舍去），，
∴．
（3）如圖3，當(dāng)，時(shí)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
∵，，
∴．
又∵，，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∴．
設(shè)，
則，，
∴，
解得：（舍去），，
∴．
（4）如圖4，當(dāng)，時(shí)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
∵，，
∴．
又∵，，
∴．
∴．
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)是．
把代入得：，
∴．
故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為、、或．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，綜合考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，以及分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，靈活運(yùn)用所學(xué)知識，根據(jù)題意畫出圖形，分類討論求出存在的點(diǎn)Q的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)．
19．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與兩坐標(biāo)軸分別相交于A，B，C三點(diǎn)
（1）求證：∠ACB=90°
（2）點(diǎn)D是第一象限內(nèi)該拋物線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線交BC于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F．
①求DE+BF的最大值；
②點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，若以點(diǎn)C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與AOG相似，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【答案】（1）（2）①9；②或．
【分析】（1）分別計(jì)算A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用勾股定理求得AB、BC、AC的長，最后利用勾股定理逆定理解題；
（2）①先解出直線BC的解析式，設(shè)，接著解出，利用二次函數(shù)的配方法求最值；②根據(jù)直角三角形斜邊的中線性質(zhì)，解得AG的長，再證明，再分兩種情況討論以點(diǎn)C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與AOG相似，結(jié)合相似三角形對應(yīng)邊成比例性質(zhì)解題即可．
【詳解】解：（1）令x=0，得
令得
，
（2）①設(shè)直線BC的解析式為：，代入，得
設(shè)
即DE+BF的最大值為9；
②點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，
在中，
即為等腰三角形，
若以點(diǎn)C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與AOG相似，
則①
又
，
或
經(jīng)檢驗(yàn)：不符合題意，舍去，
②，
又
整理得，
，
或，
同理：不合題意，舍去，
綜上所述，或．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、勾股定理及其逆定理、二次函數(shù)的最值、解一元二次方程等知識，是重要考點(diǎn)，有難度，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
20．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考一模）如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于點(diǎn)，，交y軸于點(diǎn)，連接AC，BC，點(diǎn)P是線段OB上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線，交y軸于點(diǎn)D，交線段BC于點(diǎn)E，交x軸上方二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)F．
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式．
(2)當(dāng)點(diǎn)P為線段的三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
(3)在線段上是否存在點(diǎn)P，使得四邊形為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；
(3)不存在，理由見解析
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）利用正切函數(shù)求得，即，推出．得到，設(shè)，則，由，得到，分兩種情況討論，或，列式計(jì)算即可求解；
（3）假設(shè)存在．則，過點(diǎn)F作于點(diǎn)H，交于點(diǎn)G，利用面積公式得到，設(shè)，得到，利用根的判別式即可判斷．
【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象交x軸于點(diǎn)，，
∴設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為．
將點(diǎn)代入，得，解得．
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；
（2）解：∵，，，
∴，，．
∴，．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，．
∴．
設(shè)，則．
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵點(diǎn)P為線段DE的三等分點(diǎn)，
∴或，
即或．
∴或．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；
（3）解：不存在．
理由：假設(shè)在線段上存在點(diǎn)P，使得四邊形為平行四邊形，則．
連接，如圖所示，
則．
過點(diǎn)F作于點(diǎn)H，交于點(diǎn)G，
則
．
∴．
∵，，
設(shè)直線的表達(dá)式為，則，解得，
∴直線的表達(dá)式為．
設(shè)，則，．
∴，
整理，得．
∵，
∴該方程無實(shí)數(shù)解．
∴假設(shè)不成立．
∴在線段上不存在點(diǎn)P，使得四邊形為平行四邊形．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積公式，一元二次方程根的判別式．解決問題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化條件，列出方程．
21．（2023·廣東東莞·東莞市光明中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，已知拋物線的圖像與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)如圖，點(diǎn)M是直線下方的二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)H，交于點(diǎn)N，求線段最大時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，該拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得．若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）把A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式；
（2）首先求出直線的解析式，然后設(shè)，，表示出線段，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）根據(jù)題意分點(diǎn)Q在x軸上方和x軸下方兩種情況討論，分別根據(jù)直線和拋物線的交點(diǎn)求解即可．
【詳解】（1）解：將點(diǎn)和點(diǎn)，代入得，
，解得，
∴；
（2）設(shè)直線的解析式為，
將，代入得，，解得，
∴，
∴設(shè)，，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，線段最大，
∴將代入，
∴；
（3）如圖所示，當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方拋物線上時(shí)，
∵，
∴，
∴設(shè)直線的解析式為，
∴將，代入得，解得，
∴，
∴設(shè)直線的解析式為，
∴將點(diǎn)代入得：，
∴，
∴聯(lián)立和得，，
∴解得，
∴將代入，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；
如圖所示，當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方拋物線上時(shí)，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直線的表達(dá)式為，
∴聯(lián)立直線和直線可得，，即，
∴解得，
∴將代入，
∴，
∴設(shè)直線的解析式為，
∴將，代入得，
∴解得，
∴，
∴聯(lián)立直線和拋物線得，，即，
∴解得，，
∴將代入，
∴，
綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合分類討論，掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)．
22．（2023·廣東東莞·東莞市東華初級中學(xué)?？家荒＃┮阎獟佄锞€經(jīng)過、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
(1)求拋物線及直線的解析式；
(2)如圖1，點(diǎn)是直線上方拋物線上的一動點(diǎn)，連接交線段于點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)及最大值；
(3)如圖2，將直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，與直線交于點(diǎn)，與拋物線交于第四象限內(nèi)一點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)，
(2)，最大值
(3)
【分析】（1）由待定系數(shù)法即得拋物線及直線的解析式；
（2）過作軸交于，過作軸交于，中，令得，得到，，設(shè)，則，表示出DG的表達(dá)式，并化成頂點(diǎn)式，再證明，得到，進(jìn)一步即可得到答案；
（3）過作軸于，由勾股定理得到AC與BC的長，證明為直角三角形，即，由題意可知，得到，進(jìn)一步得到AH＝，證明，得到，得，設(shè)直線的解析式為（），用待定系數(shù)法求出直線的解析式y(tǒng)＝﹣3x＋12，與二次函數(shù)解析式聯(lián)立求得答案．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為；
在中，
令得，
∴，
設(shè)直線解析式為，把代入得：
，
解得，
∴直線解析式為．
（2）解：過作軸交于，過作軸交于，如圖3：
在中，令得，
∴，，
設(shè)，則，
∴，
∵軸，軸，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值為；
此時(shí)，
∴；
（3）解：如圖4，過作軸于，
∵，，，
∴，，
∴，
∴為直角三角形，即，由題意可知，
∴，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴．
設(shè)直線的解析式為（），
則，
解得，
∴直線的解析式為，
由，
解得：或，
∴點(diǎn)．

相關(guān)試卷

（廣東專用）中考數(shù)學(xué)三輪考前沖刺押題練習(xí)第19題 幾何證明與計(jì)算（2份，原卷版+解析版）：

這是一份（廣東專用）中考數(shù)學(xué)三輪考前沖刺押題練習(xí)第19題 幾何證明與計(jì)算（2份，原卷版+解析版），文件包含廣東專用中考數(shù)學(xué)三輪考前沖刺押題練習(xí)第19題幾何證明與計(jì)算原卷版doc、廣東專用中考數(shù)學(xué)三輪考前沖刺押題練習(xí)第19題幾何證明與計(jì)算解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共31頁， 歡迎下載使用。

（廣東專用）中考數(shù)學(xué)三輪考前沖刺押題練習(xí)第18題 作圖與幾何證明（2份，原卷版+解析版）：

這是一份（廣東專用）中考數(shù)學(xué)三輪考前沖刺押題練習(xí)第18題 作圖與幾何證明（2份，原卷版+解析版），文件包含廣東專用中考數(shù)學(xué)三輪考前沖刺押題練習(xí)第18題作圖與幾何證明原卷版doc、廣東專用中考數(shù)學(xué)三輪考前沖刺押題練習(xí)第18題作圖與幾何證明解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共35頁， 歡迎下載使用。

（廣東專用）中考數(shù)學(xué)三輪考前沖刺押題練習(xí)第17題 統(tǒng)計(jì)與概率（2份，原卷版+解析版）：

這是一份（廣東專用）中考數(shù)學(xué)三輪考前沖刺押題練習(xí)第17題 統(tǒng)計(jì)與概率（2份，原卷版+解析版），文件包含廣東專用中考數(shù)學(xué)三輪考前沖刺押題練習(xí)第17題統(tǒng)計(jì)與概率原卷版doc、廣東專用中考數(shù)學(xué)三輪考前沖刺押題練習(xí)第17題統(tǒng)計(jì)與概率解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共46頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

（廣東專用）中考數(shù)學(xué)三輪考前沖刺押題練習(xí)第16題 實(shí)數(shù)計(jì)算，解方程或不等式組，化簡求值（2份，原卷版+解析版）

（廣東專用）中考數(shù)學(xué)三輪考前沖刺押題練習(xí)第16題 實(shí)數(shù)計(jì)算，解方程或不等式組，化簡求值（2份，原卷版+解析版）
（廣東專用）中考數(shù)學(xué)三輪考前沖刺押題練習(xí)第15題 最值 四邊形 規(guī)律（2份，原卷版+解析版）

（廣東專用）中考數(shù)學(xué)三輪考前沖刺押題練習(xí)第15題 最值 四邊形 規(guī)律（2份，原卷版+解析版）
（廣東專用）中考數(shù)學(xué)三輪考前沖刺押題練習(xí)第14題 幾何問題 函數(shù)及其實(shí)際應(yīng)用 二次函數(shù)（2份，原卷版+解析版）

（廣東專用）中考數(shù)學(xué)三輪考前沖刺押題練習(xí)第14題 幾何問題 函數(shù)及其實(shí)際應(yīng)用 二次函數(shù)（2份，原卷版+解析版）
（廣東專用）中考數(shù)學(xué)三輪考前沖刺押題練習(xí)第10題 函數(shù)與動態(tài)幾何 規(guī)律和最值問題（2份，原卷版+解析版）

（廣東專用）中考數(shù)學(xué)三輪考前沖刺押題練習(xí)第10題 函數(shù)與動態(tài)幾何 規(guī)律和最值問題（2份，原卷版+解析版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部