廣東中考對(duì)反比例函數(shù)知識(shí)的考查要求高，一般是以9分簡(jiǎn)答題的形式進(jìn)行考查，一般難度較大，除了要求考生熟練掌握與反比例函數(shù)有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，函數(shù)圖像性質(zhì)，還需要掌握幾何證明的相關(guān)知識(shí)．縱觀近3年的中考試題，主要考查以下兩個(gè)方面：一是考查反比例的解析式，面積，與一次函數(shù)的綜合運(yùn)用，利用函數(shù)圖像解不等式等知識(shí)；二是考查幾何證明與計(jì)算．
預(yù)測(cè)今年第21題或22題還是考察函數(shù)和幾何的綜合，重點(diǎn)考察面積的計(jì)算和不等式的數(shù)形結(jié)合的思想。
在備考中熟練掌握一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的基礎(chǔ)，其次還需要掌握一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)和相似三角形，能適當(dāng)?shù)奶砑虞o助線構(gòu)造相似三角形，有時(shí)還需要將題目中線段的倍數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為相似三角形的相似比，分類討論也是解決問題的關(guān)鍵哦，另外要注意不等式的數(shù)形結(jié)合，三角形面積的分割求法
1．（2019·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于、兩點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.
（1）根據(jù)圖象，直接寫出滿足的的取值范圍；
（2）求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；
（3）點(diǎn)在線段上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】（1）或；（2），；（3）
【分析】(1) 觀察圖象得到當(dāng)或時(shí)，直線y=k1x+b都在反比例函數(shù)的圖象上方，由此即可得；
(2)先把A(-1，4)代入y=可求得k2，再把B(4，n)代入y=可得n=-1，即B點(diǎn)坐標(biāo)為(4，-1)，然后把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別代入y=k1x+b得到關(guān)于k1、b的方程組，解方程組即可求得答案；
(3)設(shè)與軸交于點(diǎn)，先求出點(diǎn)C坐標(biāo)，繼而求出，根據(jù)分別求出，，再根據(jù)確定出點(diǎn)在第一象限，求出，繼而求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由點(diǎn)P在直線上繼而可求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，即可求得答案.
【詳解】(1)觀察圖象可知當(dāng)或，k1x+b>；
(2)把代入，得，
∴，
∵點(diǎn)在上，∴，
∴，
把，代入得
，解得，
∴；
(3)設(shè)與軸交于點(diǎn)，
∵點(diǎn)在直線上，∴，
，
又，
∴，，
又，∴點(diǎn)在第一象限，
∴，
又，∴，解得，
把代入，得，
∴.
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法，函數(shù)與不等式，三角形的面積等，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
2．（2021·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）探究：是否存在一個(gè)新矩形，使其周長(zhǎng)和面積為原矩形的2倍、倍、k倍．
（1）若該矩形為正方形，是否存在一個(gè)正方形，使其周長(zhǎng)和面積都為邊長(zhǎng)為2的正方形的2倍？_______（填“存在”或“不存在”）．
（2）繼續(xù)探究，是否存在一個(gè)矩形，使其周長(zhǎng)和面積都為長(zhǎng)為3，寬為2的矩形的2倍？
同學(xué)們有以下思路：
設(shè)新矩形長(zhǎng)和寬為x、y，則依題意，，聯(lián)立得，再探究根的情況：根據(jù)此方法，請(qǐng)你探究是否存在一個(gè)矩形，使其周長(zhǎng)和面積都為原矩形的倍；如圖也可用反比例函數(shù)與一次函數(shù)證明：，：，那么，
①是否存在一個(gè)新矩形為原矩形周長(zhǎng)和面積的2倍？_______．
②請(qǐng)?zhí)骄渴欠裼幸恍戮匦沃荛L(zhǎng)和面積為原矩形的，若存在，用圖像表達(dá)；
③請(qǐng)直接寫出當(dāng)結(jié)論成立時(shí)k的取值范圍：．
【答案】（1）不存在；（2）①存在；②不存在，見解析；③
【分析】（1）直接求出邊長(zhǎng)為2的正方形周長(zhǎng)與面積，再求出周長(zhǎng)擴(kuò)大2倍即邊長(zhǎng)擴(kuò)大2倍時(shí)正方形的面積，比較是否也為2倍即可；
（2）①依題意根據(jù)一元二次方程根的情況判斷即可；②設(shè)新矩形長(zhǎng)和寬為x、y，則依題意，，聯(lián)立，求出關(guān)于x、y的一元二次方程，判斷根的情況；③設(shè)新矩形長(zhǎng)和寬為x和y，則由題意，，同樣列出一元二次方程，利用根的判別式進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）邊長(zhǎng)為2的正方形，周長(zhǎng)為8，面積為4；當(dāng)周長(zhǎng)為其2倍時(shí)，邊長(zhǎng)即為4，面積為16，即為原來的4倍，故不存在；
（2）①存在；
∵的判別式，方程有兩組正數(shù)解，故存在；
從圖像來看，：，：在第一象限有兩個(gè)交點(diǎn)，故存在；
②設(shè)新矩形長(zhǎng)和寬為x、y，則依題意，，聯(lián)立得，
因?yàn)?，此方程無解，故這樣的新矩形不存在；
從圖像來看，：，：在第一象限無交點(diǎn)，故不存在；
③；
設(shè)新矩形長(zhǎng)和寬為x和y，則由題意，，
聯(lián)立得，，故．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根的判別式．需要認(rèn)真閱讀理解題意，根據(jù)題干過程模仿解題．
3．（2020·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)是反比例函數(shù)（）圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)分別向坐標(biāo)軸作垂線，垂足為，，反比例函數(shù)（）的圖象經(jīng)過的中點(diǎn)，與，分別相交于點(diǎn)，．連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，連接，．
（1）填空：_________；
（2）求的面積；
（3）求證：四邊形為平行四邊形．
【答案】（1）2 （2）3 （3）見解析
【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，），得出點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，），代入反比例函數(shù)（），即可得出k；
（2）連接，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的性質(zhì)可得，，可得，根據(jù)，可得點(diǎn)到的距離等于點(diǎn)到距離，由此可得出答案；
（3）設(shè)，，可得，，根據(jù)，可得，同理，可得，，證明，可得，根據(jù)，得出，根據(jù)，關(guān)于對(duì)稱，可得，，，可得，再根據(jù)，即可證明是平行四邊形．
【詳解】解：（1）∵點(diǎn)B在上，
∴設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，），
∴OB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，），
∵點(diǎn)M在反比例函數(shù)（），
∴k=·=2，
故答案為：2；
（2）連接，則，
，
∵，
∴，
∵，
∴點(diǎn)到的距離等于點(diǎn)到距離，
∴；
（3）設(shè)，，
，，
又∵，
∴，
同理，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，關(guān)于對(duì)稱，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴是平行四邊形．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，平行線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
4．（2019·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)P（-1，2），AB⊥x軸于點(diǎn)E，正比例函數(shù)y=mx的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于A，P兩點(diǎn)．
（1）求m，n的值與點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）求證：∽
（3）求的值
【答案】（1），，點(diǎn)的坐標(biāo)是；（2）見解析；（3）.
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出m，n的值，利用正、反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性結(jié)合點(diǎn)P的坐標(biāo)找出點(diǎn)A的坐標(biāo)即可解答；
（2）由菱形的性質(zhì)可得出AC⊥BD，AB∥CD，利用平行線的性質(zhì)可得出∠DCP=∠OAE，結(jié)合AB⊥x軸可得出∠AEO=∠CPD=90°，進(jìn)而即可證出△CPD∽△AEO；
（3）由點(diǎn)A的坐標(biāo)可得出AE，OE，AO的長(zhǎng)，由相似三角形的性質(zhì)可得出∠CDP=∠AOE，再利用正弦的定義即可求出sin∠CDB的值．
【詳解】解：（1）∵正比例函數(shù)，反比例函數(shù)均經(jīng)過點(diǎn)，
∴，，
解得：，.
∴正比例函數(shù)，反比例函數(shù).
又正比例函數(shù)與反比例函數(shù)均是中心對(duì)稱圖形，則其兩個(gè)交點(diǎn)也成中心對(duì)稱點(diǎn)，
∵，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)是.
（2）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB∥CD，
∴∠DCP=∠BAP，即∠DCP=∠OAE．
∵AB⊥x軸，
∴∠AEO=∠CPD=90°，
∴△CPD∽△AEO．
（3）∵點(diǎn)的坐標(biāo)是.
∴，，
∴，
∵，
∴△CPD∽△AEO，
∴.
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、待定系數(shù)法反比例函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及解直角三角形，熟練掌握是解題的關(guān)鍵.
5．（2023·廣東江門·?？家荒＃┤鐖D，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，與x軸，y軸分別交于P、Q，過點(diǎn)A作于點(diǎn)C．
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
(2)直接寫出時(shí)自變量的取值范圍為__________；
(3)求四邊形的面積．
【答案】(1)一次函數(shù)解析式為，反比例函數(shù)解析式為
(2)或
(3)
【分析】（1）先把點(diǎn)B坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，求出反比例函數(shù)解析式，再把點(diǎn)A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，最后把A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中求出一次函數(shù)解析式即可；
（2）利用圖象法求解即可；
（3）先求出P、Q的坐標(biāo)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，再根據(jù)進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）解：把代入到中得，
∴，
∴反比例函數(shù)解析式為；
把代入到中得：，
∴，
把和代入到中得：，
解得，
∴一次函數(shù)解析式為；
（2）解：由函數(shù)圖象可知當(dāng)或時(shí)，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方，則時(shí)自變量的取值范圍為或，
故答案為：或
（3）解：在中，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，正確利用待定系數(shù)法求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
6．（2023·廣東廣州·?？家荒＃┤鐖D，一次函數(shù)圖像與軸，軸分別相交于、兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)、，已知點(diǎn)，點(diǎn)．
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
(2)結(jié)合該圖像直接寫出滿足不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】（1）將代入一次函數(shù)，求得一次函數(shù)解析式和點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解；
（2）求得點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)圖象，即可求得不等式的解集．
【詳解】（1）解：將代入一次函數(shù)，可得
，解得，即，
將代入可得：，即，
，即，
故答案為：，；
（2）聯(lián)立一次函數(shù)和反比例函數(shù)可得：，
即，
解得，，
即，
根據(jù)函數(shù)圖象可得：不等式的解集為或，
故答案為：或
【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．
7．（2023·廣東東莞·石龍三中?？家荒＃┤鐖D，已知反比例函數(shù)的圖像與一次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)A（1，4）和點(diǎn)B（m，-2）．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）求ΔAOC的面積；
（3）直接寫出時(shí)的x的取值范圍 （只寫答案）
【答案】（1），；（2）C（-3，0）， S=6；（3）或
【分析】（1）根據(jù)題意把A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的圖像與一次函數(shù)，分別求出k和b，從而即可確定反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）由題意先求出C的坐標(biāo)，再利用三角形面積公式求出ΔAOC的面積；
（3）根據(jù)函數(shù)的圖象即可得出一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍．
【詳解】解：（1）將點(diǎn)A（1，4）代入反比例函數(shù)的圖像與一次函數(shù)，求得以及，
所以反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式分別為：和；
（2）因?yàn)镃在一次函數(shù)的圖象上以及x軸上，所以求得C坐標(biāo)為（-3，0），
則有OC=3, ΔAOC以O(shè)C為底的高為4，所以ΔAOC的面積為：；
（3）由可知一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值，
把B（m，-2）代入，得出m=-2，即B（-2，-2），
此時(shí)當(dāng)或時(shí)，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式及利用圖象比較函數(shù)值的大小，解題的關(guān)鍵是確定交點(diǎn)的坐標(biāo)．
8．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考二模）已知一次函數(shù)（）和反比例函數(shù)的圖象如圖所示．
(1)一次函數(shù)必定經(jīng)過點(diǎn) ________．（寫點(diǎn)的坐標(biāo)）
(2)當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)A，B，與x，y軸分別交于點(diǎn)C，D，連接并延長(zhǎng)，交反比例另一支于點(diǎn)E，求出此時(shí)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及的面積．
(3)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，直接寫出當(dāng)直線與反比例圖象無交點(diǎn)時(shí)m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，的面積為6
(3)
【分析】（1）由題意知，令，求，的值，進(jìn)而可得結(jié)果；
（2）由，可得，聯(lián)立，求解可得，，由題意知，如圖，過作軸，過作于，過作于，則，，，，，根據(jù)，計(jì)算求解即可；
（3）由題意知，，令，整理得，令，求解即可得的取值范圍．
【詳解】（1）解：由題意知，
令，即，則，
∴一次函數(shù)必定經(jīng)過點(diǎn)，
故答案為：；
（2）解：∵，則，
聯(lián)立，解得，，
∴，，
∴，
如圖，過作軸，過作于，過作于，
則，，，，，
∴
∴A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，的面積為6．
（3）解：由題意知，，
令，整理得，
令，
解得，
∴直線與反比例圖象無交點(diǎn)時(shí)m的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，反比例函數(shù)與幾何綜合等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．
9．（2023·廣東東莞·?？级＃┤鐖D，一次函數(shù)與反比例函數(shù)第一象限交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)P是x軸負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接，．
(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式：
(2)若的面積為，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；
（2）設(shè)直線交x軸于點(diǎn) H ，則點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則，再根據(jù)，即可求解．
【詳解】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：，
則反比例函數(shù)的表達(dá)式為：，則點(diǎn)，
由題意得：
，解得：，
故一次函數(shù)的表達(dá)式為：；
（2）
設(shè)直線交x軸于點(diǎn) H ，則點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)，則，
，
，
的面積為，
，
解得：，即．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形面積的求法，解題關(guān)鍵三角形面積的求法．
10．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考一模）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，直線：與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)與軸相交于點(diǎn)，已知點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為和．
(1)________，________，________；
(2)直接寫出不等式的解集；
(3)點(diǎn)為反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)3，1，
(2)或
(3)或
【分析】（1）把點(diǎn)A代入直線得：，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再代入即可求出k，將代入即可求出m；
（2）先求出B點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)A、B的坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合即可作答；
（3）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為：，即，可得，即，再根據(jù)，可得，即有，問題隨之得解．
【詳解】（1）把點(diǎn)A代入直線得：，
解得：，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為：，
∵反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)A，
∴，
即反比例函數(shù)的解析式為，
∵反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)B，
∴，解得，
故答案為：3，1，．
（2）把點(diǎn)B代入直線得：，
解得：，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：，
結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)為：，
數(shù)形結(jié)合，不等式的解集為：或；
（3）把代入得：，
解得：，
即點(diǎn)C的坐標(biāo)為：，即，
結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)為：，
∴，
∵，
即：，
∵，即，
∴，
當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3時(shí)，則，解得，
當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為時(shí)，則，解得，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形面積，數(shù)形結(jié)合是解題得關(guān)鍵．
11．（2023·廣東汕尾·統(tǒng)考二模）如圖，一次函數(shù)的圖像與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)，在第三象限交于點(diǎn)B．
(1)求反比例函數(shù)的解析式；
(2)點(diǎn)P為x軸上的一點(diǎn)，連接，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】(1)該反比例函數(shù)的解析式為
(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或
【分析】對(duì)于（1），將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)關(guān)系式，求出坐標(biāo)，再將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，即可得出答案；
對(duì)于（2），先設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后表示出，根據(jù)列出方程，求出解即可．
【詳解】（1）點(diǎn)在一次函數(shù)的圖像上，
，則，把點(diǎn)代入，得，
，
該反比例函數(shù)的解析式為；
（2）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
令解得（舍去），
點(diǎn)B的坐標(biāo)為，
在中，令，則，得，
點(diǎn)，
，
，，
又，，
解得，，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】這是一道關(guān)于一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合問題，考查了求反比例函數(shù)關(guān)系式，求點(diǎn)的坐標(biāo)，分割法求三角形的面積等，將三角形的面積轉(zhuǎn)化為是解題的關(guān)鍵．
12．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)在對(duì)角線上，且．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過C，D兩點(diǎn)，直線交x軸于點(diǎn)E．
(1)求k的值；
(2)求的面積．
【答案】(1)12
(2)8
【分析】（1）將代入即可得出k的值；
（2）先證，再根據(jù)求出點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，即可求的面積．
【詳解】（1）解：點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，
，
；
（2）解：，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，，
，
，即，
解得，
反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，，
點(diǎn)C的坐標(biāo)為，即，
設(shè)直線的解析式為，
將，代入，可得，
解得，
直線的解析式為，
令，解得，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，平行線四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，求一次函數(shù)圖象解析式等，涉及知識(shí)點(diǎn)比較多，難度一般，解題的關(guān)鍵是利用相似求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．
13．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考一模）如圖，直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（1）求雙曲線與直線的解析式；
（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若，直接寫出的取值范圍．
【答案】（1），；（2）（-3，-2）；（3）或；
【分析】（1）把A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式即可求出解析式；
（2）把一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式聯(lián)立得出方程組，求出方程組的解即可；
（3）根據(jù)A、B的坐標(biāo)結(jié)合圖象即可得出答案．
【詳解】解：（1）∵點(diǎn)A（2，3）在雙曲線上，也在直線上，
∴，；
∴雙曲線的解析式為，
直線的解析式為；
（2）∵點(diǎn)是直線和雙曲線的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組的一個(gè)解；
∴，；
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，-2）；
（3）由圖象可知，若，則x的范圍是：-3＜x＜0或x＞2．
．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式，函數(shù)與不等式等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力和觀察圖形的能力，用了數(shù)形結(jié)合思想．
14．（2023·廣東中山·統(tǒng)考二模）如圖，已知一次函數(shù)的圖象與軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)的部分交于點(diǎn)C，垂直于軸于點(diǎn)D，其中．
(1)求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)P在軸上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)，；
(2)或．
【分析】（1）利用直接寫出A點(diǎn)坐標(biāo)和B點(diǎn)坐標(biāo)，再利用平行線分線段成比例定理計(jì)算出得到C點(diǎn)坐標(biāo)；利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式；
（2）設(shè)，利用三角形面積公式得到，然后求出t得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：∵．
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為，B點(diǎn)坐標(biāo)為，
∵，
∴，
∴，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為，
把C代入得，
∴反比例函數(shù)解析式為，
把代入，
得，
解得，
∴一次函數(shù)解析式為；
（2）設(shè)，
∵，而，
∴，解得或，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無解，則兩者無交點(diǎn)．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．
15．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，中，，，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)與重合，點(diǎn)在軸上，連接，若反比例函數(shù)與直線僅有一個(gè)公共點(diǎn)
(1)求直線和反比例函數(shù)的解析式；
(2)把沿直線翻折到，與反比例函數(shù)交于點(diǎn)，求的面積．
【答案】(1)直線解析式為，反比例函數(shù)解析式為
(2)9
【分析】（1）先利用勾股定理求出，進(jìn)而利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，則，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，聯(lián)立直線的解析式和反比例函數(shù)解析式得到的一元二次方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，據(jù)此求解即可；
（2）先由折疊的性質(zhì)證明四邊形是菱形，得到，求出，得到，則．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，
又∵點(diǎn)在軸上，
∴，
∴，
設(shè)直線解析式為，
∴，
∴，
∴直線解析式為，
聯(lián)立得，即，
∵反比例函數(shù)與直線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴，
∴，
∴反比例函數(shù)解析式為；
（2）解：由折疊的性質(zhì)可得，
又∵，
∴，
∴四邊形是菱形，
∴，
在中，當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，菱形的性質(zhì)與判定，折疊的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
16．（2023·廣東揭陽·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)若點(diǎn)是拋物線的對(duì)稱軸與直線的交點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)該拋物線的解析式為
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，利用待定系數(shù)法求拋物線表達(dá)式，將，代人得，解二元一次方程組即可得到答案；
（2）將（1）中拋物線化為頂點(diǎn)式，得到拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線的對(duì)稱軸為直線，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，進(jìn)而得到點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出的長(zhǎng)．
【詳解】（1）解：將，代人，得
，解得，
∴該拋物線的解析式為；
（2）解：∵拋物線的解析式為，
∴拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線的對(duì)稱軸為直線，
當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，
設(shè)直線的解析式為（），將，代人，得，解得，
∴直線的解析式為，
拋物線的對(duì)稱軸與直線的交點(diǎn)為，
當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一般式化為頂點(diǎn)式、求拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合求出拋物線及直線的解析式是解決問題的關(guān)鍵．
17．（2023·廣東清遠(yuǎn)·統(tǒng)考一模）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)和．
(1)求反比例函數(shù)解析式；
(2)當(dāng)x為何值時(shí)，；
(3)若點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)，求的面積．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）先把代入，求得，再利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）直接利用一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)即可求解；
（3）連接，作軸于C，軸于D，利用，再利用點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)，據(jù)此求解即可．
【詳解】（1）解：把代入，
∴得，則，
∵點(diǎn)在上，
∴，
∴反比例函數(shù)為；
（2）解：由圖象可知，當(dāng)，時(shí)，；
（3）解：連接，作軸于C，軸于D，
∵在直線上，
∴，
∴，
∴
，
∵點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩函數(shù)的解析式，解決問題的關(guān)鍵是求得交點(diǎn)坐標(biāo)．
18．（2023·廣東東莞·東莞市虎門第三中學(xué)校考一模）如圖，平行四邊形ABCD放置在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣2，0），B（﹣6，0），D（0，3），點(diǎn)C在反比例函數(shù)y的圖象上．
（1）直接寫出點(diǎn)C坐標(biāo)，并求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）將平行四邊形ABCD向上平移得到平行四邊形EFGH，使點(diǎn)F在反比例函數(shù)y的圖象上，GH與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)M．連結(jié)AE，求AE的長(zhǎng)及點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【答案】（1）；（2），
【分析】（1）由與的坐標(biāo)求出的長(zhǎng)，根據(jù)四邊形為平行四邊形，求出的長(zhǎng)，進(jìn)而確定出坐標(biāo)，設(shè)反比例解析式為，把坐標(biāo)代入求出的值，即可確定出反比例解析式；
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)得到與橫坐標(biāo)相同，代入反比例解析式求出縱坐標(biāo)得到平移的距離，即為的長(zhǎng)，求出縱坐標(biāo)，即為縱坐標(biāo)，代入反比例解析式求出橫坐標(biāo)，即可確定出坐標(biāo)．
【詳解】解：（1）中，，，，
，，
，
設(shè)反比例解析式為，把坐標(biāo)代入得：，
則反比例解析式為；
（2），
把代入反比例解析式得：，即，
平行四邊形向上平移2個(gè)單位，即，
，
把代入反比例解析式得：，即．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，以及待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法．
19．（2023·廣東廣州·廣州市育才中學(xué)?？家荒＃┮阎宏P(guān)于的一元二次方程的兩根，滿足，雙曲線經(jīng)過斜邊的中點(diǎn)，與直角邊交于（如圖），求．
【答案】
【分析】首先由一元二次方程根的判別式得出的取值范圍，然后由得出或，再運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出的值，由的幾何意義，可知．如果過作于，則．易證，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，得出，最后由，得出結(jié)果．
【詳解】解：有兩根，
，
即．
由得：．
當(dāng)時(shí)，，解得，不合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，，，
解得：符合題意．
，
雙曲線的解析式為：．
過作于，則．
，，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題綜合考查了一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系，反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，相似三角形的性質(zhì)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)．此題難度稍大，綜合性比較強(qiáng)，注意對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的靈活應(yīng)用．
20．（2023·廣東·二模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、都在直線上，四邊形為平行四邊形，點(diǎn)D在x軸上，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C．
(1)求出m和k的值；
(2)將線段向右平移n個(gè)單位長(zhǎng)度，得到對(duì)應(yīng)線段EF，EF和反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)M．
①在平移過程中，如圖2，求當(dāng)點(diǎn)M為線段中點(diǎn)時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②在平移過程中，如圖3，連接、．若△AEM是直角三角形，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件n的值．
【答案】(1)、
(2)①；②或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法和平行四邊形的性質(zhì)求解即可；
（2）①設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為、則點(diǎn)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為，代入反比例函數(shù)解析式中求解即可；
（3）當(dāng)為直角時(shí)，利用勾股定理求解即可；為直角時(shí)，證明，，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，代入代入反比例函數(shù)表達(dá)式中求得，，進(jìn)而由，利用得到，進(jìn)而求解即可．
【詳解】（1）解：將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線表達(dá)式得： ，解得，
故直線的表達(dá)式為，
將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式得：，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，又點(diǎn)D在x軸上，
故點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，
故反比例函數(shù)的表達(dá)式為，
故，；
（2）解：①連接，則，
平移時(shí)，∵，，
∴點(diǎn)E、F的橫坐標(biāo)差1，故設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為、則點(diǎn)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為，
將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：，解得，
故；
②當(dāng)為直角時(shí)，即，
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，則點(diǎn)，
在中，，即，解得，
故點(diǎn)E的坐標(biāo)為，
則；
當(dāng)為直角時(shí)，
過點(diǎn)M作軸交于點(diǎn)T，
∵，，
∴，
∵，，
∴，同理可得：，
∴，
故設(shè)，則，
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為，
將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：，解得（舍去）或，
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則，，
由點(diǎn)得，
∵，
∴，即，
∴，即．解得，
綜上，或．

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