廣東中考對第14題主要考查的內(nèi)容注重思維技巧。近幾年主要考查主要考查以下兩個方面：二次函數(shù)的圖形問題；二是圓，三角形垂直平分線，角平分線，平行四邊形，三角函數(shù)的運(yùn)用，函數(shù)的圖形平移等。
1.在完成這些題型時，要求考生熟練掌握幾何相關(guān)概念與性質(zhì)，圖形變化，解三角形，二次方程根的判別式，函數(shù)的基礎(chǔ)知識．
2.在備考中應(yīng)掌握圓的相關(guān)概念與計(jì)算，包括圓周角，圓心角的角度計(jì)算，圓的關(guān)系性質(zhì)，圓的面積，扇形面積及周長，圓錐側(cè)面積等。
1．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)O在邊AC上，以O(shè)為圓心，4為半徑的圓恰好過點(diǎn)C，且與邊AB相切于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，則劣弧的長是________（結(jié)果保留）
【答案】
【分析】如圖，連接OD，OE，證明 可得 再證明 可得 再利用弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：如圖，連接OD，OE，
∵
∴





∵與邊AB相切于點(diǎn)D，
∴
∴


的長
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，弧長的計(jì)算，求解是解本題的關(guān)鍵．
2．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知直角三角形中，，將繞點(diǎn)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至的位置，且在的中點(diǎn)，在反比例函數(shù)上，則的值為________________．
【答案】
【分析】連接，作軸于點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出是等邊三角形，從而得出，即可得出，解直角三角形求得的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得．
【詳解】解：連接，作軸于點(diǎn)，
由題意知，是中點(diǎn)，，，
，
是等邊三角形，
，
，，
，
，
，
，
在反比例函數(shù)上，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，坐標(biāo)與圖形變化性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
3．（2022·廣東·統(tǒng)考中考真題）扇形的半徑為2，圓心角為90°，則該扇形的面積（結(jié)果保留）為____________．
【答案】
【分析】根據(jù)扇形面積公式可直接進(jìn)行求解．
【詳解】解：由題意得：該扇形的面積為；
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形面積公式，熟練掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．
4．（2021·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，．過點(diǎn)D作，垂足為E，則______．
【答案】
【分析】首先根據(jù)題目中的，求出ED的長度，再用勾股定理求出AE，即可求出EB，利用平行四邊形的性質(zhì)，求出CD，在Rt△DEC中，用勾股定理求出EC，再作BF⊥CE，在△BEC中，利用等面積法求出BF的長，即可求出．
【詳解】∵，
∴△ADE為直角三角形，
又∵，
∴ ,
解得DE=4,
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
,
又∵AB=12,
∴ ,
又∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴CD=AB=12,AD=BC=5
在Rt△DEC中，由勾股定理得：
,
過點(diǎn)B作BF⊥CE，垂足為F,如圖
在△EBC中：
S△EBC= ;
又∵S△EBC
∴ ,
解得,
在Rt△BFC中，
,
故填：．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的等面積法求一邊上的高線，解題關(guān)鍵在于熟練掌握解直角三角形的計(jì)算，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的計(jì)算和等面積法求一邊上的高．
5．（2020·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，從一塊半徑為的圓形鐵皮上剪出一個圓周角為120°的扇形，如果將剪下來的扇形圍成一個圓錐，則該圓錐的底面圓的半徑為_________．
【答案】
【分析】連接OA，OB，證明△AOB是等邊三角形，繼而求得AB的長，然后利用弧長公式可以計(jì)算出的長度，再根據(jù)扇形圍成圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長即可作答．
【詳解】連接OA，OB，
則∠BAO=∠BAC==60°，
又∵OA=OB，
∴△AOB是等邊三角形，
∴AB=OA=1，
∵∠BAC=120°，
∴的長為：，
設(shè)圓錐底面圓的半徑為r
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧長公式以及扇形弧長與底面圓周長相等的知識點(diǎn)，借助等量關(guān)系即可算出底面圓的半徑．
6．（2020·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，，取大于的長為半徑，分別以點(diǎn)，為圓心作弧相交于兩點(diǎn)，過此兩點(diǎn)的直線交邊于點(diǎn)（作圖痕跡如圖所示），連接，，則的度數(shù)為_________．
【答案】45°
【分析】根據(jù)題意知虛線為線段AB的垂直平分線，得AE=BE，得；結(jié)合°，，可計(jì)算的度數(shù)．
【詳解】
∵
∴
∴
故答案為：45°．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，及垂直平分線的性質(zhì)，熟知以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
7．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）已知是直角三角形，連接以為底作直角三角形且是邊上的一點(diǎn)，連接和且則長為______．
【答案】
【分析】將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，HE，利用證明，得，，則，即可解決問題．
【詳解】解：將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，HE，
是等腰直角三角形，
∴∠HBD=45°
∵∠FBD=45°
∴點(diǎn)B、F、H共線
又是等腰直角三角形，
，，，
，
，，

，
，
，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形．
8．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，BC＝2AB，點(diǎn)P為邊AD上的一個動點(diǎn)，線段BP繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BP'，連接PP' ，CP'．當(dāng)點(diǎn)P' 落在邊BC上時，∠PP'C的度數(shù)為________； 當(dāng)線段CP' 的長度最小時，∠PP'C的度數(shù)為________
【答案】 120°/120度 75°/75度
【分析】如圖，以AB為邊向右作等邊△ABE，連接EP′．利用全等三角形的性質(zhì)證明∠BEP′＝90°，推出點(diǎn)P′在射線EP′上運(yùn)動，如圖1中，設(shè)EP′交BC于點(diǎn)O，再證明△BEO是等腰直角三角形，可得結(jié)論．
【詳解】解：如圖，以AB為邊向右作等邊△ABE，連接EP′．
∵△BPP′是等邊三角形，
∴∠ABE＝∠PBP′＝60°，BP＝BP′，BA＝BE，
∴∠ABP＝∠EBP′，
在△ABP和△EBP′中，
∴△ABP≌△EBP′（SAS），
∴∠BAP＝∠BEP′＝90°，
∴點(diǎn)P′在射線EP′上運(yùn)動，
如圖1中，設(shè)EP′交BC于點(diǎn)O，
當(dāng)點(diǎn)P′落在BC上時，點(diǎn)P′與O重合，此時∠PP′C＝180°－60°＝120°，
當(dāng)CP′⊥EP′時，CP′的長最小，此時∠EBO＝∠OCP′＝30°，
∴EO＝OB，OP′＝OC，
∴EP′＝EO＋OP′＝OB＋OC＝BC，
∵BC＝2AB，
∴EP′＝AB＝EB，
∴∠EBP′＝∠EP′B＝45°，
∴∠BP′C＝45°＋90°＝135°，
∴∠PP′C＝∠BP′C－∠BP′P＝135°－60°＝75°．
故答案為：120°，75°．
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．
9．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，一同學(xué)進(jìn)行單擺運(yùn)動實(shí)驗(yàn)，從A點(diǎn)出發(fā)，在右側(cè)達(dá)到最高點(diǎn)B．實(shí)驗(yàn)過程中在O點(diǎn)正下方的P處有一個釘子．已知在O點(diǎn)測得起始位置A的俯角是，B點(diǎn)的俯角是，B點(diǎn)測得釘子P的仰角是，且長為4，則擺繩長為________．
【答案】
【分析】如圖，過作于，過作與，由題意知，，，，，，解得，，根據(jù)，即，求解的值，根據(jù)求解的值，進(jìn)而可得的值．
【詳解】解：如圖，過作于，過作與，
由題意知，，，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于明確線段之間的數(shù)量關(guān)系．
10．（2023·廣東珠海·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)A在雙曲線上，軸于點(diǎn)B，若的面積是6，則________．
【答案】
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)值的幾何意義，即可得解．
【詳解】解：∵，
∴，
由圖象可知：，
∴；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查已知圖形面積求值．熟練掌握反比例函數(shù)值的幾何意義，是解題的關(guān)鍵．
11．（2023·廣東珠?！そy(tǒng)考一模）如圖，等腰梯形的腰長，正方形的邊長為1，它的一邊在上，且頂點(diǎn)A與M重合．現(xiàn)將正方形在梯形的外面沿邊進(jìn)行翻滾，翻滾到有一個頂點(diǎn)與N重合即停止?jié)L動，則正方形在翻滾過程中點(diǎn)A所經(jīng)過的路線長為________．
【答案】
【分析】先根據(jù)點(diǎn)A繞點(diǎn)D翻滾，然后繞點(diǎn)C翻滾，半徑分別為1、，翻轉(zhuǎn)角分別為、，據(jù)此畫出圖形．再結(jié)合總結(jié)的翻轉(zhuǎn)角度和翻轉(zhuǎn)半徑，求出兩端圓弧之和即可．
【詳解】解：作圖如圖；
∵點(diǎn)A繞點(diǎn)D翻滾，然后繞點(diǎn)C翻滾，半徑分別為1、，翻轉(zhuǎn)角分別為、，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了弧長的計(jì)算、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，作出圖形并掌握弧長公式解題的關(guān)鍵．
12．（2023·廣東深圳·深圳市南山外國語學(xué)校校聯(lián)考二模）如圖，在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐課中，某同學(xué)將一塊直角三角形紙片（∠ABC＝90°，∠ACB＝60°）的三個頂點(diǎn)放置在反比例函數(shù)y＝的圖象上且AC過O點(diǎn)，點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)，則S△AOD＝_________．
【答案】
【分析】連接OB，易證明是等邊三角形，得到，根據(jù)點(diǎn)C在反比例函數(shù)圖象上設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，得到點(diǎn)B和點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)列出方程求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，進(jìn)而求出的面積，即可求解．
【詳解】解：連接OB，
∵AC經(jīng)過原點(diǎn)O，
∴OA＝OC，
∵∠ABC＝90°，
∴OB＝OC，
∵∠ACB＝60°，
∴△BOC是等邊三角形，
∴OC＝BC，
設(shè)C（m，），則B（，m），A（﹣m，﹣），
∴m2+（）2＝（m﹣）2+（m﹣）2，
解得m＝1+，
∴C（1+，），
則B（，1+），A（﹣1﹣，﹣），
作BE⊥x軸于E，CF⊥x軸于F，
∵S△BOC+S△OFC＝S△OBE+S梯形BEFC，
而S△OFC＝S△OBE＝×2＝1，
∴S△OBC＝S梯形BEFC＝×（1++）（1+﹣）＝2，
∴S△ABC＝2S△OBC＝4，
∵S△AOD＝S△ACD，S△ACD＝S△ABC，
∴S△AOD＝S△ABC＝，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等邊三角形的判定和性質(zhì)．求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)是解答關(guān)鍵．
13．（2023·廣東揭陽·統(tǒng)考一模）如圖，在中，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)?shù)拈L度為半徑畫弧分別交、邊于點(diǎn)、，再分別以點(diǎn)、為圓心，以大于為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作EDBC交于點(diǎn)，若，，則的周長為 ______ ．
【答案】
【分析】根據(jù)作圖得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，等量代換得出，進(jìn)而根據(jù)等角對等邊得出，進(jìn)而代入數(shù)據(jù)即可求解．
【詳解】由題意得：，
，
，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了作角平分線，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
14．（2023·廣東東莞·虎門五中校聯(lián)考一模）如圖，點(diǎn)P是反比例函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)M，若的面積等于3，則k的值為_________．
【答案】
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義求解即可．
【詳解】根據(jù)題意可知：，
∵反比例函數(shù)的圖象位于第二象限，則，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，一般的，從反比例函數(shù)（k為常數(shù)，）圖象上任一點(diǎn)P，向x軸和y軸作垂線你，以點(diǎn)P及點(diǎn)P的兩個垂足和坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)的矩形的面積等于常數(shù)，以點(diǎn)P及點(diǎn)P的一個垂足和坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積等于．
15．（2023·廣東深圳·二模）如圖，點(diǎn)A是函數(shù)（）的圖象上任意一點(diǎn)，軸交函數(shù)（）的圖象于點(diǎn)B，以AB為邊作平行四邊形ABCD，且，C、D在x軸上，則________．
【答案】-3
【分析】首先把平行四邊形ABCD轉(zhuǎn)化為矩形，然后根據(jù)k的幾何意義求解．
【詳解】解：過點(diǎn)B作BM⊥x軸，過點(diǎn)A作AN⊥x軸，則∠BMC＝∠AND＝90°，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴BC∥AD，BC＝AD，
∴∠BCM＝∠ADN，
在△BCM和△ADN中
，
∴△BCM≌△ADN，
∴S?BCDA＝S矩形BMNA＝5，
又∵S矩形BMNA＝?k＋2＝5，
∴k＝?3．
故答案為：?3．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)k的幾何含義，平行四邊形的性質(zhì)．需要我們熟練掌握把已知圖形轉(zhuǎn)化為模型圖形（與k相關(guān)的矩形或三角形）的能力．
16．（2023·廣東深圳·?？家荒＃┤鐖D，點(diǎn)A（1，3）為雙曲線上的一點(diǎn)，連接AO并延長與雙曲線在第三象限交于點(diǎn)B，M為軸正半軸一上點(diǎn)，連接MA并延長與雙曲線交于點(diǎn)N，連接BM、BN，已知△MBN的面積為，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為__________.
【答案】（，）
【分析】根據(jù)待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)與一次函數(shù)解析式，可得到A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），求出B點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)BN與y軸交點(diǎn)為D，設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為(, )，再利用待定系數(shù)法確定直線BM與BN的解析式，求出M、N、D坐標(biāo)，然后利用S△MNB=S△MND+S△MBD，求出a的值即可得到C點(diǎn)坐標(biāo)．
【詳解】解：將點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，3）代入雙曲線表達(dá)式，一次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=mx，解得k=3,m=3
所以雙曲線表達(dá)式，一次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=3x
兩函數(shù)聯(lián)立：
，解得或
所以B（-1，-3）
設(shè)BN交y軸于D,如圖,設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為(, )
設(shè)BN為y=bx+c,將B(-1,-3)，N(, )代入
解得
所以
當(dāng)x=0時，
所以D（0，）
設(shè)MN為y=px+q,將A(1,3)，N(, )代入
解得
所以
當(dāng)x=0時，
所以M（0，）
所以MD=（）-()=6
∵S△MNB=S△MND+S△MBD，
∴，解得，
又∵N(, )
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合性數(shù)形結(jié)合的題目，難度較大，能找到面積的等量關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.
17．（2023·廣東深圳·?？家荒＃┤鐖D，在中，，點(diǎn)在邊上，，將沿折疊，的對應(yīng)邊交于點(diǎn)，連接．若，，則的長為__________
【答案】
【分析】過點(diǎn)作射線于點(diǎn)，先證是等邊三角形，再證，得，得，故，，由折疊的性質(zhì)可知，利用三角函數(shù)求得的長，進(jìn)而得點(diǎn)與點(diǎn)重合，從而求得的長．
【詳解】解：過點(diǎn)作射線于點(diǎn)，
∵將沿折疊，的對應(yīng)邊交于點(diǎn)，
∴，，
∵，，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∵射線，
∴，
∴，
∵，
∴點(diǎn)與點(diǎn)重合，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等知識，熟練掌握等邊三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
18．（2023·廣東東莞·?？既＃┤鐖D，和是兩個完全重合的直角三角板，，斜邊長為．三角板繞直角頂點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時，則點(diǎn)所轉(zhuǎn)過的路徑長為_______．
【答案】
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，于是可判斷為等邊三角形，所以，然后根據(jù)弧長公式計(jì)算弧的長度即可．
【詳解】∵，
∴，
∵三角板繞直角頂點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)落在邊上，
∴，
∴為等邊三角形，
∴，
∴弧的長度，
即點(diǎn)所轉(zhuǎn)過的路徑長為．
答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了弧長公式．
19．（2023·廣東珠海·?？家荒＃┒x：有一組鄰邊相等且對角互補(bǔ)的四邊形叫做等補(bǔ)四邊形．例：如圖1，四邊形內(nèi)接于⊙O，AB＝AD．則四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形．
探究與運(yùn)用：如圖2，在等補(bǔ)四邊形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分線交CD的延長線于點(diǎn)F，若CD＝10，AF＝5，則DF的長為 __．
【答案】
【分析】思路引領(lǐng)：連接AC，先證∠EAD＝∠BCD，推出∠FCA＝∠FAD，再證△ACF∽△DAF，利用相似三角形對應(yīng)邊的比相等可求DF的長．
【詳解】如圖所示，連接AC，

∵四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
又∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠BCD，
∵AF平分∠EAD，
∴∠FAD∠EAD，
∵四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形，
∴A，B，C，D四點(diǎn)共圓，
∵AB＝AD，
∴，
∴∠ACD﹣∠ACB，
∴∠FCA∠BCD，
∴∠FCA＝∠FAD，
又∠AFC＝∠DFA，
∴△ACF∽△DAF，
∴，
即，
∴DF＝55．
故答案為：55．
【點(diǎn)睛】本題考查了新定義等補(bǔ)四邊形，圓的有關(guān)性質(zhì)，角平分線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是要能夠通過自主學(xué)習(xí)來進(jìn)行探究，運(yùn)用等．
20．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，分別以點(diǎn)為圓心，相同半徑畫弧，弧線分別相交有兩個交點(diǎn)，連接這兩個交點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，連接，則______．（結(jié)果若有根號則保留根號）
【答案】
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，可得，由作圖方法可知點(diǎn)在線段的垂直平分線上，進(jìn)而可得，設(shè)，則，證明，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可列式求解．
【詳解】解：中，，，
，
由作圖方法知：點(diǎn)在線段的垂直平分線上，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
設(shè)，則，
，
解得，（舍去），
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、垂直平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是設(shè)法證明．
21．（2023·廣東東莞·?？家荒＃┤鐖D，四邊形為的內(nèi)接四邊形，，則的度數(shù)為 ________．
【答案】/70度
【分析】直接利用圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)推導(dǎo)可得出答案．
【詳解】解：四邊形為的內(nèi)接四邊形，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)是解題關(guān)鍵．
22．（2023·廣東東莞·?？家荒＃┤鐖D，兩個反比例函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖象依次是和，設(shè)點(diǎn)在上，軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若四邊形的面積為5，則_____．
【答案】8
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義得到，，然后利用四邊形的面積進(jìn)行計(jì)算．
【詳解】解：軸，軸，
，，
四邊形的面積．
解得．
故答案為：8．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)中的幾何意義，即圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積的關(guān)系即．
23．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）如圖所示，這是一款在某商城熱銷的筆記本電腦散熱支架，在保護(hù)頸椎的同時能讓筆記本電腦更好地散熱．根據(jù)產(chǎn)品介紹，當(dāng)顯示屏與水平線夾角為時為最佳健康視角．如圖，小翼希望通過調(diào)試和計(jì)算對購買的散熱架進(jìn)行簡單優(yōu)化，現(xiàn)在筆記本電腦下墊入散熱架，散熱架角度為，調(diào)整顯示屏與水平線夾角保持，已知，，若要，則底座的長度應(yīng)設(shè)計(jì)為__________．（結(jié)果保留根號）

【答案】/
【分析】過點(diǎn)O作，垂足分別是點(diǎn)H和點(diǎn)D，則，可證四邊形是矩形，則在中，求得，在中，求得，則，即可得到的長度．
【詳解】解：過點(diǎn)O作，垂足分別是點(diǎn)H和點(diǎn)D，則，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴．
故答案為：
【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，還考查了矩形的判定和性質(zhì)等知識，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
24．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，點(diǎn)為中點(diǎn)，，則的值為__________．
【答案】/
【分析】延長至E，使，連接，證明，推出，再證明，求得，據(jù)此計(jì)算即可求解.
【詳解】解：延長至E，使，連接，設(shè)，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，又，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，作出合適的輔助線，證明是解題的關(guān)鍵.
25．（2023·廣東江門·統(tǒng)考一模）如圖，是的一條半徑，點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，點(diǎn)為切點(diǎn)．若，，則________．
【答案】/
【分析】由題意得， 是直角三角形，設(shè)，則，在中，，根據(jù)勾股定理得，，解得，進(jìn)而根據(jù)正弦的定義即可求解．
【詳解】解：由題意得，，，，
∴是直角三角形，
設(shè)，則，
在中，，根據(jù)勾股定理得，
∴
解得，
則半徑的長為，
∴，
∴
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，求角的正弦值，熟練掌握切線的性質(zhì)，正弦的定義是解題的關(guān)鍵．
26．（2023·廣東珠?！ば？家荒＃┤鐖D，已知，含角的直角三角板的頂點(diǎn)在直線上，若，則等于______．
【答案】
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角關(guān)系即可求得的度數(shù)．
【詳解】解：如圖所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，準(zhǔn)確表示各個角的和差關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
27．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，，將向右平移到位置，A的對應(yīng)點(diǎn)是C，O的對應(yīng)點(diǎn)是E，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C和的中點(diǎn)F，則k的值是 _____．
【答案】
【分析】先根據(jù)題意設(shè)出平移的距離m，即可得出點(diǎn)C、點(diǎn)D和點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)C和點(diǎn)F即可求出m的值，得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，代入解析式即可求出k值．
【詳解】解：根據(jù)題意可得：，
設(shè)平移的距離為，
則點(diǎn)，
∵點(diǎn)F為的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為，
∵反比例函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)C和點(diǎn)F，
∴，解得：，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為，
把代入可得：；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)的基本性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．
28．（2022·廣東江門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在中，，，，以點(diǎn)B為圓心，3為半徑作圓B，過點(diǎn)C作圓B的切線，M為切點(diǎn)，則的長為________．
【答案】
【分析】連接，解直角三角形求出，，根據(jù)切線性質(zhì)得出，利用勾股定理求出結(jié)果即可．
【詳解】解：連接，如圖所示：
∵在中，，，，
∴，
∴，
∵為的切線，
∴，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，三角函數(shù)應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出圖形，熟練掌握切線的性質(zhì)．
29．（2022·廣東江門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，分別以邊長為4的等邊三角形的三個頂點(diǎn)為圓心，以4為半徑作弧，三段弧所圍成的圖形是一個曲邊三角形，若圓O是的內(nèi)切圓，則陰影部分面積為___________．
【答案】
【分析】連接，作于，利用等邊三角形的性質(zhì)得，，再根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)得為的半徑，，再計(jì)算出，，然后根據(jù)扇形的面積公式，利用進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：連接，作于，如圖，
∵為等邊三角形，
∴，，
∵是的內(nèi)切圓，
∴為的半徑，，，
在中，，
∵，
∴
，
，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和扇形面積公式以及三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個內(nèi)角．解題關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和公式，并綜合運(yùn)用．
30．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某施工隊(duì)接到修建地鐵360米的任務(wù)，修建方案制定后，該工程隊(duì)為了盡快完成任務(wù)，在保證修建質(zhì)量的前提下提高了工作效率，實(shí)際工作效率是原計(jì)劃工作效率的1.5倍，結(jié)果提前20天完成任務(wù)．求原計(jì)劃每天修地鐵多少米？如果設(shè)原計(jì)劃每天修地鐵x米，那么根據(jù)題意，可列方程為_____．
【答案】﹣＝20
【分析】設(shè)原計(jì)劃每天修地鐵x米，則實(shí)際每天修地鐵1.5x米，根據(jù)工作時間＝工作總量÷工作效率，結(jié)合實(shí)際比原計(jì)劃提前20天完成任務(wù)，即可得出關(guān)于x的分式方程，即可得解．
【詳解】解：設(shè)原計(jì)劃每天修地鐵x米，則實(shí)際每天修地鐵1.5x米，
依題意，得：﹣＝20．
故答案為：﹣＝20
【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
31．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AC，垂足為E，BF∥AC交ED的延長線于點(diǎn)F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．給出下列四個結(jié)論：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正確的結(jié)論是_____．
【答案】①②③④
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)三線合一得到BD＝CD，AD⊥BC，故②③正確；通過△CDE≌△DBF，得到DE＝DF，CE＝BF，故①④正確．
【詳解】解：∵BF∥AC，
∴∠C＝∠CBF，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC＝∠CBF，
∴∠C＝∠ABC，
∴AB＝AC，
∵AD是△ABC的角平分線，
∴BD＝CD，AD⊥BC，故②③正確，
在△CDE與△DBF中，
，
∴△CDE≌△DBF，
∴DE＝DF，CE＝BF，故①正確；
∵AE＝2BF，
∴AC＝3BF，故④正確；
故答案為：①②③④
【點(diǎn)睛】本題利用了等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)求解，是一道綜合性的題目．
32．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，等腰直角中，，頂點(diǎn)M，P在正方形的邊及邊的延長線上動點(diǎn)．交于點(diǎn)F，連接并延長，交于N，交于點(diǎn)E．以下結(jié)論：①②③④若，則，其中正確的是________．（填寫正確的序號）
【答案】
【分析】由正方形及等腰直角三角形的性質(zhì)，可證得，，可證得，點(diǎn)A、B、M、F四點(diǎn)共圓，，由可證，可得，可得，故①正確；由可證，可得，由勾股定理可得；故②正確；通過證明，可得，故③正確；由可得，設(shè)正方形的邊長為a，可得，，故④正確，即可求解．
【詳解】解：四邊形是正方形，是等腰直角三角形，
，，，
，點(diǎn)A、B、M、F四點(diǎn)共圓，
，，
，
又，，
，
，
，
，故①正確；
如圖：將繞點(diǎn)A|順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，
，，，，
，
，
，
，
又，，
，
，
；故②正確；
，，
，
又，
，
，
又，
，故③正確；
，
，
，
設(shè)正方形的邊長為a，
，
解得，
，
，故④正確，
故答案為：．

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