一、冪函數(shù)
1.冪函數(shù)
(1)冪函數(shù)的定義
一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù).
(2)常見的五種冪函數(shù)的圖象
(3)冪函數(shù)的性質(zhì)
①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義；
②當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；
③當(dāng)α1).
④eq \r(n,an)＝a(n為大于1的奇數(shù)).
⑤eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a0，m，n∈N*，且n>1)；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義.
3.指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)
實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈R.
4.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
(1)概念：函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R.
(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
常用結(jié)論：
1.畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a))).
2.指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象和性質(zhì)跟a的取值有關(guān)，要特別注意應(yīng)分a>1與00，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝lgaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).
2.對(duì)數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算性質(zhì)與換底公式
(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：①algaN＝N；②lgaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM(n∈R).
(3)換底公式：lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
3.對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
(1)概念：函數(shù)y＝lgax(a＞0，且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域是(0，＋∞).
(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
4.反函數(shù)
指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝lgax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱.它們的定義域和值域正好互換.
常用結(jié)論：
1.換底公式的兩個(gè)重要結(jié)論
(1)lgab＝eq \f(1,lgba)(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).
(2)lgambn＝eq \f(n,m)lgab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).
2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較
如圖，作直線y＝1，則該直線與四個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù).
故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大.
四、函數(shù)的圖像
1.利用描點(diǎn)法作函數(shù)的圖象
步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)化簡(jiǎn)函數(shù)解析式；(3)討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等)；(4)列表(尤其注意特殊點(diǎn)、零點(diǎn)、最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等)，描點(diǎn)，連線.
2.利用圖象變換法作函數(shù)的圖象
(1)平移變換
(2)對(duì)稱變換
y＝f(x)的圖象eq \(――→,\s\up7(關(guān)于x軸對(duì)稱))y＝－f(x)的圖象；
y＝f(x)的圖象eq \(――→,\s\up7(關(guān)于y軸對(duì)稱))y＝f(－x)的圖象；
y＝f(x)的圖象eq \(――→,\s\up7(關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱))y＝－f(－x)的圖象；
y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象eq \(――→,\s\up17(關(guān)于直線),\s\d15(y＝x對(duì)稱))y＝lgax(a>0，且a≠1)的圖象.
(3)伸縮變換
y＝f(x)eq \(――――――――――――→,\s\up17(縱坐標(biāo)不變),\s\d15(各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的\f(1,a)（a>0）倍))y＝f(ax).
y＝f(x)eq \(――――――――――――→,\s\up17(橫坐標(biāo)不變),\s\d15(各點(diǎn)縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A(A>0)倍))y＝Af(x).
(4)翻折變換
y＝f(x)的圖象eq \(――――――――――――→,\s\up17(x軸下方部分翻折到上方),\s\d15(x軸及上方部分不變))y＝|f(x)|的圖象；
y＝f(x)的圖象eq \(――――――――――――→,\s\up17(y軸右側(cè)部分翻折到左側(cè)),\s\d15(原y軸左側(cè)部分去掉，右側(cè)不變))y＝f(|x|)的圖象.
常用結(jié)論：
1.記住幾個(gè)重要結(jié)論
(1)函數(shù)y＝f(x)與y＝f(2a－x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱.
(2)函數(shù)y＝f(x)與y＝2b－f(2a－x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)中心對(duì)稱.
(3)若函數(shù)y＝f(x)對(duì)定義域內(nèi)任意自變量x滿足：f(a＋x)＝f(a－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱.
2.圖象的左右平移僅僅是相對(duì)于x而言，如果x的系數(shù)不是1，常需把系數(shù)提出來(lái)，再進(jìn)行變換.
3.圖象的上下平移僅僅是相對(duì)于y而言的，利用“上加下減”進(jìn)行.
一、單選題
1．已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知，將變?yōu)?，根?jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可比較，的大小。然后將，與1進(jìn)行比較，再將1變?yōu)?，即可比較1與的大小，最終可以判斷，，的大小.
【解析】由已知，，
所以.
故選：B.
2．“冪函數(shù)在上為增函數(shù)”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的（ ）條件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】要使函數(shù)是冪函數(shù)，且在上為增函數(shù)，求出，可得函數(shù)為奇函數(shù)，即充分性成立；函數(shù)為奇函數(shù)，求出，故必要性不成立，可得答案.
【解析】要使函數(shù)是冪函數(shù)，且在上為增函數(shù)，
則，解得：，當(dāng)時(shí)，，，
則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，即充分性成立；
“函數(shù)為奇函數(shù)”，
則，即，
解得：，故必要性不成立，
故選：A．
3．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，設(shè)，，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的概念以及冪函數(shù)的單調(diào)性求出，在根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到，根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性得到，再結(jié)合偶函數(shù)可得答案.
【解析】根據(jù)冪函數(shù)的定義可得，解得或，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)滿足在上單調(diào)遞增，不合題意，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，
所以.
因?yàn)椋?br>又，所以，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，
又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，
所以.
故選：C
4．函數(shù)的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，然后再代入特殊值計(jì)算即可判斷.
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?，所以且，所以函?shù)為非奇非偶函數(shù)，故排除選項(xiàng)A、D，又因?yàn)?，故排除C.
故選：B.
5．已知函數(shù)（為常數(shù)）．若在區(qū)間上是增函數(shù)，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得答案.
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為增函數(shù)，若在區(qū)間上是增函數(shù)，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，必有在區(qū)間上是增函數(shù)，
又在區(qū)間上是增函數(shù)，
所以，故有.
故選：B．
6．函數(shù)的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)給定函數(shù)，由函數(shù)圖象的對(duì)稱性排除兩個(gè)選項(xiàng)，再由的值判斷作答.
【解析】函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，選項(xiàng)C，D不滿足；
又，顯然選項(xiàng)B不滿足，選項(xiàng)A符合條件.
故選：A
7．已知函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)的單調(diào)性列不等式組，由此求得的取值范圍.
【解析】函數(shù)，
若在上為單調(diào)遞增函數(shù)，
則，解得；
若在上為單調(diào)遞減函數(shù)，
則，無(wú)解．
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．
故選：C
8．若，，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合基本不等式可得出、、的大小關(guān)系.
【解析】因?yàn)?，則，由基本不等式可得，，
故，即.
故選：A.
9．已知圖中曲線分別是函數(shù)，，，的圖像，則的大小關(guān)系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)結(jié)合圖像判斷.
【解析】由對(duì)數(shù)的性質(zhì)有：，，，
結(jié)合圖像有：
，故A，C，D錯(cuò)誤.
故選：B.
10．函數(shù)的定義域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依題意可得，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解不等式，即可求出函數(shù)的定義域.
【解析】解：依題意可得，即，所以，
即函數(shù)的定義域?yàn)?
故選：C
11．函數(shù)，下列關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
B．函數(shù)的值域?yàn)?br>C．不等式的解集是
D．是增函數(shù)
【答案】A
【分析】利用特殊值法可判斷A選項(xiàng)；求出函數(shù)的值域，可判斷B選項(xiàng)；解不等式可判斷C選項(xiàng)；利用指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項(xiàng).
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)椋遥?br>所以，函數(shù)的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，由可得，則，解得，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，對(duì)任意的，，
且函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)是增函數(shù)，D對(duì).
故選：A.
12．記函數(shù)的定義域?yàn)榧螦，若“”是關(guān)于x的不等式成立”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出函數(shù)的定義域得集合，解不等式得的范圍，根據(jù)充分不必要條件的定義可得答案.
【解析】函數(shù)有意義的條件為，解得，
所以，不等式，即，
因?yàn)?，所以，記不等式的解集為集合?br>所以，所以，得.
故選：B．
13．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)，任意時(shí)，總存在使得，則的取值范圍是（ ）
A．B．或C．或D．
【答案】D
【分析】先根據(jù)冪函數(shù)定義解得m,再根據(jù)單調(diào)性進(jìn)行取舍，根據(jù)任意存在性將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)值域包含問(wèn)題，最后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性確定對(duì)應(yīng)函數(shù)值域，根據(jù)值域包含關(guān)系列不等式解得結(jié)果.
【解析】由題意，則，即，當(dāng)時(shí)， ，又當(dāng)時(shí)， ，∴，解得，故選D．
【點(diǎn)睛】對(duì)于方程任意或存在性問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)值域包含關(guān)系，即的值域包含于的值域；的值域與的值域交集非空．
14．已知是定義域?yàn)榈膯握{(diào)函數(shù)，若對(duì)任意的，都有，且方程在區(qū)間上有兩解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域和單調(diào)函數(shù)，可得必存在唯一的正實(shí)數(shù)滿足，，結(jié)合，可得，所以函數(shù)，由方程
在區(qū)間上有兩解，則在區(qū)間上有兩解，設(shè)
，作出函數(shù)在上的圖象， 結(jié)合圖象，可得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】解:因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈膯握{(diào)函數(shù)，對(duì)于任意的，
都有，
所以必存在唯一的正實(shí)數(shù)滿足，，
所以，可得，即，所以，
所以，所以函數(shù)，
由方程在區(qū)間上有兩解，則在區(qū)間上有兩解，
設(shè)，作出函數(shù)在上的圖象，如圖所示，
結(jié)合圖象，可得方程在區(qū)間上有兩解，
實(shí)數(shù)滿足.
故選:A
【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，難度較大，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，本題的解答中根據(jù)，等價(jià)轉(zhuǎn)換求得函數(shù)的解析式是解答的關(guān)鍵.
二、填空題
15．若冪函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則實(shí)數(shù)______．
【答案】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的概念和性質(zhì)計(jì)算即可
【解析】由冪函數(shù)可得，解得或，
又因?yàn)楹瘮?shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則a為偶數(shù)，所以．
故答案為：
16．不等式的解集為：_________．
【答案】
【分析】將不等式化為，構(gòu)造根據(jù)其單調(diào)性可得，求解即可.
【解析】不等式變形為
所以，
令，則有，顯然在R上單調(diào)遞增，
則，可得解得.
故不等式的解集為．
故答案為：
17．函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的范圍是____________．
【答案】
【分析】根據(jù)解析式可判斷是定義在上的奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化不等式即可求解.
【解析】，，
是定義在上的奇函數(shù)，且顯然在上單調(diào)遞增，
由可得，
，解得.
故答案為：.
18．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則______．
【答案】2或
【分析】根據(jù)條件，由，求出的值，再檢驗(yàn)即可.
【解析】函數(shù)為奇函數(shù)，其定義域?yàn)?
由，解得或
當(dāng)時(shí)，，則，滿足條件.
當(dāng)時(shí)，，則，滿足條件.
故答案為：2或
19．已知，則的值為______．
【答案】
【分析】將代入對(duì)應(yīng)解析式依次推導(dǎo)即可.
【解析】．
故答案為：.
20．關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.
【答案】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，由題中條件，得到，求解，即可得出結(jié)果.
【解析】因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的值域?yàn)?，關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，
所以只需，即，解得；
故答案為：.
21．已知（其中且為常數(shù)）有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.
【答案】
【分析】設(shè)，可轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)正解，進(jìn)而可得參數(shù)范圍.
【解析】設(shè)，
由有兩個(gè)零點(diǎn)，
即方程有兩個(gè)正解，
所以，解得，
即，
故答案為：.
22．若函數(shù)且的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，則A坐標(biāo)為______．
【答案】
【分析】令，函數(shù)值是一個(gè)定值，與參數(shù)a無(wú)關(guān)，即可得到定點(diǎn).
【解析】令，則，，
所以函數(shù)圖象恒過(guò)定點(diǎn)為.
故答案為：
23．已知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為__________.
【答案】
【分析】先求得函數(shù)的定義域，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求得的單調(diào)遞增區(qū)間.
【解析】，
解得或，所以的定義域?yàn)?
函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸為，
在上遞增，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性同增異減可知，的遞增區(qū)間為.
故答案為：
24．函數(shù)的值域是________．
【答案】
【分析】對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行變形處理，即可得解.
【解析】，
，，
所以.
故答案為：
25．若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)開___.
【答案】
【分析】利用在同一對(duì)應(yīng)法則下，括號(hào)內(nèi)的式子的取值范圍是相同的，先求得，進(jìn)而得到，再解得即可.
【解析】對(duì)于，因?yàn)?，所以?br>因此對(duì)于，有，得，所以的定義域?yàn)?
故答案為：.
26．已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且對(duì)任意的滿足，若時(shí)，有，則______.
【答案】
【分析】由條件可得，然后可算出答案.
【解析】因?yàn)?，是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，
所以
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有，所以
所以
故答案為：
27．已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____.
【答案】
【分析】結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)的存在定理，即可求解
【解析】解： 由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得為單調(diào)遞增函數(shù)，且函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，
所以，即，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故答案為：
28．已知定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，且對(duì)任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.
【答案】
【分析】由，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性得，兩式聯(lián)立可得，再由參變分離法得在上恒成立，判斷函數(shù)的單調(diào)性與最小值，即可求解.
【解析】函數(shù)滿足①，所以，由函數(shù)的奇偶性可得，②，由①②得，，因?yàn)閷?duì)任意的，恒成立，即對(duì)任意的，恒成立，令，則函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，所以.
故答案為：
29．已知函數(shù) 且 的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)， 若冪函數(shù) 的圖象也經(jīng)過(guò)該點(diǎn)， 則 _______________________．
【答案】
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合冪函數(shù)的定義進(jìn)行求解即可.
【解析】因?yàn)椋?，設(shè)冪函數(shù)，
因?yàn)閮绾瘮?shù) 的圖象經(jīng)過(guò)，
所以，
因此，
故答案為：
30．已知且，對(duì)任意且，不等式恒成立，則的取值范圍是__________．
【答案】
【分析】根據(jù)題意得到在上單調(diào)遞減，結(jié)合復(fù)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，得到，再結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域和二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式，即可求解．
【解析】因?yàn)閷?duì)任意且，不等式恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，
又由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域知，當(dāng)時(shí)，恒成立，
可得，解得，
綜上可得；，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
31．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，若，則實(shí)數(shù)t的最大值為___________.
【答案】
【分析】由題意：在區(qū)間，為正數(shù)）上的最大值為，轉(zhuǎn)化為，當(dāng)時(shí)，則有：，可得：，或因此只需要，即可得出．
【解析】解：由題意：在區(qū)間，為正數(shù)）上的最大值為，轉(zhuǎn)化為，
當(dāng)時(shí)，
則有：
那么：①
當(dāng)或時(shí)，
或
只需要，
即：
得：②
把①式代入②，
得：，
化為：，
，解得．
的最大值為．
故答案為：．
三、解答題
32．已知冪函數(shù)在上為增函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)求函數(shù)的值域.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）解方程再檢驗(yàn)即得解；
（2）令，再求函數(shù)的值域即得解.
（1）
解：由題得或.
當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，符合題意；
當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，不符合題意.
綜上所述.
（2）
解：由題得，
令，
拋物線的對(duì)稱軸為，所以.
所以函數(shù)的值域?yàn)?
33．已知冪函數(shù)為奇函數(shù)．
(1)求的值；
(2)若，求代數(shù)式的最小值．
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)定義知，結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)，求得m的值，從而求得函數(shù)值.
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，等價(jià)于，求得a的范圍，將代數(shù)式化為，利用基本不等關(guān)系求得最小值.
（1）
由題知，，解得或，
又函數(shù)為奇函數(shù)，則，，
（2）
由（1）知，函數(shù)單增，等價(jià)于，解得，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
因此，代數(shù)式的最小值為5.
34．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減.
（1）求的值并寫出的解析式；
（2）試判斷是否存在，使得函數(shù)在上的值域?yàn)?？若存在，求出的值；若不存在，?qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1），；（2）存在，.
【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義及單調(diào)性，令冪的系數(shù)為1及指數(shù)為負(fù)，列出方程求出的值，將的值代入即可；
（2）求出的解析式，按照與的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論，利用的單調(diào)性列出方程組，求解即可.
【解析】（1）（1）因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，
所以解得：或(舍去)，
所以；
（2）由（1）可得，，所以，
假設(shè)存在，使得在上的值域?yàn)椋?br>①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，不符合題意；
②當(dāng)時(shí)，，顯然不成立；
③當(dāng)時(shí)，，在和上單調(diào)遞增，
故，解得.
綜上所述，存在使得在上的值域?yàn)?
35．已知函數(shù)，，且的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱.
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)若在y軸的右側(cè)函數(shù)的圖象始終在的圖象上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意可知函數(shù)為奇函數(shù)，可利用特殊值計(jì)算出實(shí)數(shù)的值，然后檢驗(yàn)函數(shù)為奇函數(shù)即可.
（2）在y軸的右側(cè)函數(shù)的圖象始終在的圖象上方可轉(zhuǎn)化為在恒成立，然后利用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值即可.
（1）
的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱，是奇函數(shù)，
，，解得
又時(shí)，，，
所以.
（2）
在軸的右側(cè)函數(shù)的圖象始終在的圖象上方
，即對(duì)恒成立.
與在上都是增函數(shù)，
在上是增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，
解得，
故所求實(shí)數(shù)的取值范圍為.
36．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)為奇函數(shù)．
(1)求的值；
(2)，恒成立，求的取值范圍．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)和定義進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性及一元二次函數(shù)的恒成立進(jìn)行求解即可.
（1）
因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，
所以，則（經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)為奇函數(shù)，滿足題意）．
（2）
因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以不等式等價(jià)于，
又由（1）知，易知是上的減函數(shù)，
所以，即對(duì)任意的有恒成立，
從而對(duì)應(yīng)方程的根的判別式，解得．
所以的取值范圍為．
37．已知函數(shù)，
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在的值域
(2)若關(guān)于x的方程有解，求a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依題意可得，令，則，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；
（2）依題意可得有解，參變分離可得有解，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；
（1）
解：∵，，
令，∵，∴，
∴，，而對(duì)稱軸，開口向上，∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
∴的值域是.
（2）
解：方程有解，
即有解，
即有解，
∴有解，
令，則，
∴.
38．已知函數(shù)，．
(1)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最值．
【答案】(1)
(2)最大值為，最小值為0
【分析】（1）分為、和三種情形，結(jié)合分離參數(shù)思想，通過(guò)最值即可得結(jié)果；
（2）分為和兩種情形，通過(guò)去絕對(duì)值，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果.
(1)
若不等式恒成立，有，可化為
①當(dāng)時(shí)，顯然原不等式恒成立，此時(shí)；
②當(dāng)時(shí)，，原不等式可化為，
因?yàn)?，所以?br>③當(dāng)時(shí)，，原不等式可化為，
因?yàn)?，所以?br>由上知，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
(2)
，
①當(dāng)時(shí)，令，則可化為，
令，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，
故在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得的最小值為，
的最大值為；
②當(dāng)時(shí)，令
則可化為，
令，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，
故函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，
由，，
得，因?yàn)椋?br>所以函數(shù)在上的最大值為，最小值為0．
39．已知函數(shù)，有意義時(shí)的取值范圍為，其中為實(shí)數(shù)．
(1)求的值；
(2)寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求函數(shù)的最大值．
【答案】(1)
(2)增區(qū)間為 ，減區(qū)間為，最大值為
【分析】（1）由一元二次不等式的解集，結(jié)合韋達(dá)定理可解；
（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問(wèn)題，然后可得.
（1）
因?yàn)橛幸饬x時(shí)的取值范圍為，
所以的解集為，
所以和是方程的兩根．
由韋達(dá)定理可得，解得．
（2）
由（1）知，，
令，
因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí) ，取得最大值
40．設(shè)函數(shù)，且是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且的圖象過(guò)點(diǎn)．
(1)求和的值；
(2)若R，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)是否存在實(shí)數(shù)m，使函數(shù)在區(qū)間上的最大值為1．若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】(1)直接利用奇函數(shù)可得到t的值，再代回解析式看是否符合奇函數(shù)的條件，由函數(shù)過(guò)點(diǎn)代入求a；
(2)利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得，再由函數(shù)單調(diào)性脫去“”，轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立求解即可；
(3)令 換元后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)有最大值，分類討論求出最大值得出即可.
（1）
∵f（x）是定義域?yàn)镽上的奇函數(shù)，
且，∴，
∴ ，此時(shí)，滿足，
故符合題意，
∵函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，∴，即，
解得或，因?yàn)榍遥?br>∴．
（2）
由（1）知，
由，得，
∵為奇函數(shù)，∴，
為R上的增函數(shù)，
∴對(duì)一切R恒成立，即對(duì)一切R恒成立，
故，解得．
（3）
由題意
設(shè)則，
∵，∴，記，
∴函數(shù)在有最大值為1，
①若對(duì)稱軸，
∴，不合題意．
②若對(duì)稱軸，
綜上所述：故存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)g（x）在上的最大值為1．
41．已知函數(shù)，.
(1)證明：為偶函數(shù)；
(2)若函數(shù)，，是否存在，使最小值為0.若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義證明即可；
（2）首先得到，令，則，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論，分別計(jì)算可得；
(1)
證明：定義域?yàn)椋?br>，
即為，
則為偶函數(shù)；
(2)
解：
，
當(dāng)時(shí)，，
令，則，，
當(dāng)時(shí)，即，在上單調(diào)遞增，
所以時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)即，時(shí)，，
解得：不成立；
當(dāng)時(shí)，即，在上單調(diào)遞減，所以時(shí)，，
解得不成立．
故存在滿足條件的．
42．已知函數(shù)
（1）設(shè)是的反函數(shù)，當(dāng)時(shí)，解不等式；
（2）若關(guān)于的方程的解集中恰好有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的值；
（3）設(shè)，若對(duì)任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過(guò)，求的取值范圍.
【答案】（1）；（2）或；（3）.
【解析】（1）利用反函數(shù)的性質(zhì)，得到，然后，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可；
（2）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的解集中恰好有一個(gè)元素，然后，對(duì)進(jìn)行分類討論即可；
（3）利用單調(diào)性的定義法，得出在上單調(diào)遞減，
進(jìn)而可得，通過(guò)參變分離，得到
，設(shè)，對(duì)進(jìn)行分類討論，并利用均值不等式進(jìn)行求解即可
【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以?br>所以，
當(dāng)時(shí)，，故解集為；
（2）方程即，
即的解集中恰好有一個(gè)元素，
當(dāng)時(shí)，，符合題意，
當(dāng)時(shí)，，解得，
綜上所述，或；
（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，，
所以在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值為，
所以，
所以
設(shè)，則，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)樵谏线f減，所以，
所以，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：（1）解題關(guān)鍵在于利用反函數(shù)定義，得到，進(jìn)而用單調(diào)性解不等式；（2）解題關(guān)鍵在于利用二次函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行求解；（3）解題關(guān)鍵在于得出的單調(diào)性后，分類討論，并利用均值不等式求解；本題難度屬于中檔題
43．對(duì)于函數(shù)，若其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)滿足，則稱為“偽奇函數(shù)”．
（1）已知函數(shù)，試問(wèn)是否為“偽奇函數(shù)”？說(shuō)明理由；
（2）若冪函數(shù)使得為定義在上的“偽奇函數(shù)”，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得是定義在上的“偽奇函數(shù)”，若存在，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）不是；（2）；（3）．
【分析】（1）先假設(shè)為“偽奇函數(shù)”，然后推出矛盾即可說(shuō)明；
（2）先根據(jù)冪函數(shù)確定出的解析式，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“在上有解”，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域以及對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求解出的取值范圍；
（3）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“在上有解”，通過(guò)換元法結(jié)合二次函數(shù)的零點(diǎn)分布求解出的取值范圍.
【解析】（1）假設(shè)為“偽奇函數(shù)”，存在滿足，
有解，化為，無(wú)解，
不是“偽奇函數(shù)”；
（2）為冪函數(shù)，，，
，
為定義在的“偽奇函數(shù)”，
在上有解，
在上有解，
令，在上有解，
又對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且時(shí)，，時(shí)，，
，的值域?yàn)椋?br>，；
（3）設(shè)存在滿足，即在上有解，
在上有解，
在上有解，
令，取等號(hào)時(shí)，
在上有解，
在上有解（*），
，解得，
記，且對(duì)稱軸，
當(dāng)時(shí)，在上遞增，
若（*）有解，則，，
當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增，
若（*）有解，則，即，此式恒成立，，
綜上可知，.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題（2）（3）問(wèn)題的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，通過(guò)理解“偽奇函數(shù)”的定義，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有解的問(wèn)題，利用換元的思想簡(jiǎn)化運(yùn)算并完成計(jì)算.
a>1
01；
當(dāng)x

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