例題分析
【例1】
已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{}滿足（正整數(shù)
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和.
滿分秘籍
遇到an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0）的形式
第一步構(gòu)造出：an＋1＋t＝p（an＋t）的形式；
第二步利用待定系數(shù)求出t的值。
則數(shù)列{an＋t}為公比為p的等比數(shù)列。
變式訓(xùn)練
【變式1-1】已知數(shù)列滿足．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和．
【變式1-2】已知數(shù)列滿足，．
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)若，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求．
【變式1-3】在數(shù)列中，，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
考法二：an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0,1，q≠0)
例題分析
【例2】已知：，時(shí)，，求的通項(xiàng)公式．
滿分秘籍
先構(gòu)造出，然后利用待定系數(shù)法求出A和B的值，即可判斷出數(shù)列{}為公比為p的等比數(shù)列。
變式訓(xùn)練
【變式2-1】已知數(shù)列滿足：，．
（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列并求數(shù)列的前項(xiàng)和為．
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
①②得：


所以.
【變式2-2】設(shè)數(shù)列滿足，．
(1)求證：為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【變式2-3】已知數(shù)列中，，滿足，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和．
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)若不等式對任意正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
考法三：an＋1＝pan＋rqn
例題分析
【例3-1】p=q
已知數(shù)列的首項(xiàng)，滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，將數(shù)列分組：，，，，，記第組的和為.
（i）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（ii）證明.
【例3-2】p≠q
已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
滿分秘籍
當(dāng)p=q時(shí)，等式兩邊同時(shí)除以p，即可構(gòu)造出一個等差數(shù)列。
當(dāng)p≠q時(shí)，可設(shè)，利用待定系數(shù)求出參數(shù)的值，即可構(gòu)造出等比數(shù)列。
變式訓(xùn)練
【變式3-1】已知數(shù)列中,,．
(1)求證:是等比數(shù)列,并求的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè) 求數(shù)列的前項(xiàng)的和．
【變式3-2】若數(shù)列滿足,．
(1)證明:是等比數(shù)列；
(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為,求滿足的n的最大值．
考法四：an＋2＝pan+1＋qan
例題分析
【例4】已知數(shù)列中，，求的通項(xiàng)公式．
滿分秘籍
設(shè)出，利用待定系數(shù)求出s和t的值，則可等到數(shù)列為公比為t的一個等比數(shù)列。
變式訓(xùn)練
【變式4-1】已知數(shù)列滿足，，，求
【變式4-2】已知數(shù)列滿足，，．
(1)證明：是等比數(shù)列；
(2)證明：存在兩個等比數(shù)列，，使得成立．
【變式4-3】已知數(shù)列滿足，，且.
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)若對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
考法五：an＋1＝
例題分析
【例5】已知數(shù)列滿足：求通項(xiàng).
滿分秘籍
等式兩邊同時(shí)取倒數(shù)，即可得到一個新的等比數(shù)列。
變式訓(xùn)練
【變式5-1】在數(shù)列中，求．
【變式5-2】已知數(shù)列中，，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求證：數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【變式5-3】已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.
(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列：
(2)若，求滿足條件的最大整數(shù).
考法六：an＋1＝pan2
例題分析
【例6】設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
滿分秘籍
兩邊同時(shí)取對數(shù)，可以構(gòu)造出一個等比數(shù)列。
變式訓(xùn)練
【變式6-1】數(shù)列中， ，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
23．已知數(shù)列，，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
24．已知數(shù)列滿足，.
(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.
真題專練
1．已知數(shù)列，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
2．已知數(shù)列滿足，．
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求使不等式＜對一切恒成立的實(shí)數(shù)的范圍．
3．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足且.
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）證明：數(shù)列的前項(xiàng)和.
4．已知數(shù)列是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足，且，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
5．已知數(shù)列滿足，且．
（1）設(shè)，求證是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
6．設(shè)數(shù)列滿足
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，記，證明：．
7．已知數(shù)列，滿足，，．證明為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
8．在數(shù)列中，，.
(1)設(shè)，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
9．已知數(shù)列和滿足：，，數(shù)列的前項(xiàng)和為.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式：
(2)設(shè)數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
10．已知數(shù)列滿足，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
11．已知數(shù)列中，.
（1）求證：數(shù)列是常數(shù)數(shù)列；
（2）令為數(shù)列的前項(xiàng)和，求使得的的最小值.
12．已知數(shù)列滿足，且.
(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
13．已知數(shù)列中，且，
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)從條件①，②中任選一個，補(bǔ)充到下面的問題中并給出解答．
求數(shù)列______的前項(xiàng)和．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分．
14．已知數(shù)列滿足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為．
15．在數(shù)列中，，且.
(1)證明：為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
16．已知數(shù)列，，．
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列．
(2)設(shè)，求證：數(shù)列的前n項(xiàng)和．
17．已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an＋2＝2an＋1＋3an.
(1)證明：數(shù)列{an＋an＋1}為等比數(shù)列；
(2)若a1＝，a2＝，求{an}的通項(xiàng)公式.
18．已知數(shù)列{an}中，a1=3，，n∈N*.
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.
19．已知數(shù)列滿足.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在，使，求的取值范圍.
20．在數(shù)列中，，且對任意的，都有.
(1)證明：是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；
(2)若，且數(shù)列的前項(xiàng)積為，求和.

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