2025年高考數(shù)學(xué)大題題型歸納精講(新高考通用)第07講構(gòu)造法求數(shù)列通項的六種方法練習(xí)(學(xué)生版+解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

例題分析
【例1】
已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1=1,an=2an-1+3（正整數(shù)n≥2)
(1)求證：數(shù)列an+3是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.
【詳解】（1）證明：
設(shè)an+t=2（an-1+t）
則an=2an-1+t
因為an=2an-1+3
所以t=3
即an+3=2（an-1+3）
所以an+3an-1+3=2（正整數(shù)n≥2）
又a1+3=4≠0，
所以數(shù)列an+3是以a1+3=4為首項、以2為公比的等比數(shù)列.
（2）由（1）an+3=4×2n-1=2n+1，則an=2n+1-3n∈N*，
所以Sn=a1+a2+???+an=22-3+23-3+???+2n+1-3
=22+23+???+2n+1-3n
=4?1-2n1-2-3n=2n+2-3n-4.
滿分秘籍
遇到an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0）的形式
第一步構(gòu)造出：an＋1＋t＝p（an＋t）的形式；
第二步利用待定系數(shù)求出t的值。
則數(shù)列{an＋t}為公比為p的等比數(shù)列。
變式訓(xùn)練
【變式1-1】已知數(shù)列an滿足an+1=2an-1,a1+a2=a3．
(1)求an的通項公式；
(2)若bn=2n-1，數(shù)列cn滿足c4n-3=b2n-1,c4n-2=a2n-1,c4n-1=a2n,c4n=b2n，求cn的前4n+1項和S4n+1．
【答案】(1)an=2n-1+1
(2)S4n+1=4n2+6n+4n
【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系解方程得a1=2，進而證明數(shù)列an-1是等比數(shù)列，公比為2，首項為1，再根據(jù)等比數(shù)列通項公式求解即可；
（2）由題知c4n-3+c4n-2+c4n-1+c4n=8n-2+3?4n-1，進而令dn=c4n-3+c4n-2+c4n-1+c4n，記數(shù)列dn的前n項和為Tn，則S4n+1為Tn與c4n+1的和，再根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列求和公式求解即可.
【詳解】（1）解：數(shù)列an滿足an+1=2an-1,a1+a2=a3
所以，a2=2a1-1a3=2a2-1a1+a2=a3，解得a1=2,a2=3,a3=5，
由an+1=2an-1得an+1-1=2an-1，即an+1-1an-1=2，
所以，數(shù)列an-1是等比數(shù)列，公比為2，首項為1，
所以an-1=2n-1，即an=2n-1+1
所以，an的通項公式為an=2n-1+1
（2）解：因為bn=2n-1，an=2n-1+1，
所以c4n-3=b2n-1=22n-1-1=4n-3，c4n-2=a2n-1=22n-2+1，c4n-1=a2n=22n-1+1，c4n=b2n=4n-1，
所以，c4n-3+c4n-2+c4n-1+c4n=8n-2+3?22n-2=8n-2+3?4n-1，
令dn=c4n-3+c4n-2+c4n-1+c4n=8n-2+3?4n-1，
設(shè)數(shù)列dn的前n項和為Tn，
因為數(shù)列8n-2為等差數(shù)列，3?4n-1為等比數(shù)列，
所以，Tn=n6+8n-22+3×1-4n1-4=4n2+2n+4n-1
因為數(shù)列cn的前4n+1項和為Tn與c4n+1的和，c4n+1=c4n+1-3=4n+1-3=4n+1，
所以，S4n+1=Tn+c4n+1=4n+1+4n2+2n+4n-1=4n2+6n+4n.
【變式1-2】已知數(shù)列an滿足a1=1，an=3an-1+2n≥2,n∈N*．
(1)求證：數(shù)列an+1是等比數(shù)列；
(2)若bn=2n+1an+1-an，Sn為數(shù)列bn的前n項和，求Sn．
【答案】(1)證明見解析
(2)Sn=4n?3n，n∈N*
【分析】（1）根據(jù)遞推公式證明an+1an-1+1為定值即可；
（2）先由（1）求得數(shù)列an的通項，從而可得數(shù)列bn的的通項，再利用錯位相減法求解即可.
【詳解】（1）因為an=3an-1+2n≥2,n∈N*，
所以an+1=3an-1+1，
又a1+1=2，
所以an+1是以2為首項，以3為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）知an+1=2?3n-1，故an=2?3n-1-1，
所以bn=2n+12?3n-1-2?3n-1+1=432n+1?3n，
故Sn=433×3+5×32+7×33+?+2n+1?3n，
則3Sn=433×32+5×33+?+2n-1?3n+2n+1?3n+1，
兩式相減得-2Sn=433×3+2×32+2×33+?+2?3n-2n+1?3n+1
=433+61-3n1-3-2n+13n+1
=-8n?3n，
所以Sn=4n?3n.
【變式1-3】在數(shù)列an中，a1=45，4an+1=3an-15．
(1)求an的通項公式；
(2)求數(shù)列an的前n項和Sn．
【答案】(1)an=34n-1-15
(2)Sn=8+20×34n+n-40×3465,n≥720-20×34n-n5,n≤6
【分析】（1）由題知數(shù)列an+15是首項為a1+15=1，公比為34的等比數(shù)列，進而得an=34n-1-15；
（2）由題知an=34n-1-15為單調(diào)遞減數(shù)列，再根據(jù)a6>0，a70對于?n∈N*恒成立，即 λ?2n+2n+2-n2-2n-4+4>0，
可得λ?2n>n2+2n-2n+2即λ>n2+2n2n-4對于任意正整數(shù)n恒成立，
所以λ>n2+2n2n-4max，令bn=nn+22n-4，則bn+1-bn=3-n22n+1，
所以 b1b3>b4>…，可得bnmax=b2=22+2×222-4=-2，所以λ>-2，
所以λ的取值范圍為-2,+∞．
考法三：an＋1＝pan＋rqn
例題分析
【例3-1】p=q
已知數(shù)列an的首項a1=12，滿足an+1=12an+12nn∈N*.
(1)求數(shù)列an的通項公式；
(2)設(shè)bn=2nan，將數(shù)列bn分組：b1，b2,b3，b4,b5,b6，b7,b8,b9,b10，?，記第n組的和為cn.
（i）求數(shù)列cn的通項公式；
（ii）證明1c1+2c2+3c3+?+ncn-λ，解得λ>-97；
綜上所述：實數(shù)λ的取值范圍-97,34.
考法五：an＋1＝anpan+q
例題分析
【例5】已知數(shù)列an滿足：a1=2 , an=an-12an-1+1n≥2 , 求通項an.
【答案】an=24n-3
【分析】取倒數(shù)后得到1an是等差數(shù)列，求出1an=2n-32，得到通項公式.
【詳解】取倒數(shù)：1an=1an-1+2? 1an-1an-1=2，故1an是等差數(shù)列，首項為1a1=12，公差為2，
∴1an=12+2(n-1)=2n-32，
∴an=24n-3.
滿分秘籍
等式兩邊同時取倒數(shù)，即可得到一個新的等比數(shù)列。
變式訓(xùn)練
【變式5-1】在數(shù)列{an}中，a1=1,an+1=anan+3,求an．
【答案】an=23n-1.
【分析】將已知關(guān)系式變形為aa+1an+3an+1=an，兩邊同除以anan+1可得1an+1=3an+1，記bn=1an，則bn+1=3bn+1，再構(gòu)造等比數(shù)列可求解.
【詳解】由已知關(guān)系式得1an+1+12=3(1an+12),
所以數(shù)列{1an+12}是以32為首項，公比為3得等比數(shù)列，故1an+12=32?3n-1，
所以an=23n-1.
【變式5-2】已知數(shù)列an中，a1=13，an+1=an2-an.
(1)求數(shù)列an的通項公式；
(2)求證：數(shù)列an的前n項和Sn