考法一：分組法求數(shù)列前n項(xiàng)和
例題分析
【例 1】已知數(shù)列滿足.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)在相鄰兩項(xiàng)中間插入這兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，求所得新數(shù)列的前2n項(xiàng)和.
滿分秘籍
若數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為cn＝an±bn，且{an}，{bn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組分別求和法求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和．
變式訓(xùn)練
【變式1-1】已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【變式1-2】在等比數(shù)列中，已知，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【變式1-3】在等比數(shù)列中，，且，，成等差數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求滿足的k的值．
【變式1-4】為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列依次為：，規(guī)律是在和中間插入項(xiàng)，所有插入的項(xiàng)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.
考法二：并項(xiàng)法求數(shù)列前n項(xiàng)和
例題分析
【例2】已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
滿分秘籍
“并項(xiàng)求和”一般包括兩類問題：①同一數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)(三項(xiàng)或多項(xiàng))并成“大項(xiàng)”之后，各個(gè)“大項(xiàng)”又呈現(xiàn)出有規(guī)律特征，進(jìn)而通過“大項(xiàng)”的求和得出結(jié)果．②兩個(gè)數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和(差)并成“大項(xiàng)”，通過求“大項(xiàng)”的和得出結(jié)果．
變式訓(xùn)練
【變式2-1】已知是等差數(shù)列，，，且，，成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)令，記，求.
【變式2-2】記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且滿足.
(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【變式2-3】已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，為的前n項(xiàng)和，且，，成等差數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【變式2-4】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為（為正整數(shù)），且滿足是與的等差中項(xiàng)；數(shù)列滿足（，）.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)試確定的值，使得數(shù)列為等差數(shù)列；
(3)當(dāng)為等差數(shù)列時(shí)，對(duì)每個(gè)正整數(shù)，在與之間插入個(gè)2，得到一個(gè)新數(shù)列.設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，試求.
真題專練
1．已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，．
2．已知數(shù)列和滿足：，，（為常數(shù)，且）．
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)若當(dāng)和時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和取得最大值，求的表達(dá)式．
3．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.等差數(shù)列滿足.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)將數(shù)列滿足__________（在①②中任選一個(gè)條件）的第項(xiàng)取出，并按原順序組成一個(gè)新的數(shù)列，求的前20項(xiàng)和.①，②，其中.
4．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為（取整函數(shù)表示不超過的整數(shù)，如），求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.
5．已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列滿足，其前n項(xiàng)和記為，且，，，數(shù)列滿足，．
(1)求，，；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
6．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且，，成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和.
7．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)記，求數(shù)列的前2023項(xiàng)的和.
8．已知等比數(shù)列的公比，前n項(xiàng)和為，滿足：.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
9．已知等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項(xiàng)和分別為：，且滿足：，
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若求數(shù)列的前項(xiàng)的和.
10．已知為等差數(shù)列，是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，
(1)求和的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)滿足 ，記的前項(xiàng)和為，求.
11．已知數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和
12．已知數(shù)列滿足．
(1)證明是等比數(shù)列；
(2)若，求的前項(xiàng)和．
13．已知等差數(shù)列滿足，．
(1)求；
(2)數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求．
14．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
15．已知數(shù)列和滿足．
(1)證明：和都是等比數(shù)列；
(2)求的前項(xiàng)和．
16．已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前2023項(xiàng)和.
17．記是公差不為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，，求數(shù)列的前項(xiàng)的和．
18．已知數(shù)列的首項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為，且滿足．
(1)求；
(2)設(shè)，求數(shù)列的最大項(xiàng)．
19．已知公差不為零的等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，且是一個(gè)等比數(shù)列的前三項(xiàng)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前20項(xiàng)的和．
20．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)將數(shù)列和數(shù)列中所有的項(xiàng)，按照從小到大的順序排列得到一個(gè)新數(shù)列，求的前100項(xiàng)和.
21．已知數(shù)列滿足：，，
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求.
22．設(shè)為公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若成等比數(shù)列，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
23．已知，分別為等差數(shù)列，等比數(shù)列，且，，，.
(1)求，的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
24．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，且，，數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，集合且，求中所有元素的和.
25．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，等比數(shù)列滿足，．
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
26．已知數(shù)列為非零數(shù)列，且滿足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
27．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
28．在正項(xiàng)數(shù)列中，，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
29．已知數(shù)列滿足，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前40項(xiàng)和.
20．已知正項(xiàng)等比數(shù)列和數(shù)列，滿足是和的等差中項(xiàng)，.
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，
(2)若數(shù)列的前項(xiàng)積滿足，記，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.

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