題型一：和斜率有關(guān)的定值問題
例題分析
【例1】
已知是橢圓上的兩點，關(guān)于原點對稱，是橢圓上異于的一點，直線和的斜率滿足.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若斜率存在且不經(jīng)過原點的直線交橢圓于兩點異于橢圓的上、下頂點），當?shù)拿娣e最大時，求的值.
求定值問題常見類型以及解題策略：
(1)常見類型：
①證明代數(shù)式為定值：依據(jù)題設(shè)條件，得出與代數(shù)式中參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式后再化簡，即可得出定值；
②證明點到直線的距離為定值：利用點到直線的距離公式得出距離解析式，再利用條件化簡，即可證明；
③證明線段長度、面積、斜率(或以上量的和、差、積、商)等為定值，寫出各量的目標函數(shù)解析式，再做消參處理即可．
(2)常用策略：
①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；
②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
變式訓(xùn)練
【變式1-1】橢圓的離心率，過點.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過點且斜率不為0的直線與橢圓交于兩點，橢圓的左頂點為，求直線與直線的斜率之積.
【變式1-2】如圖，橢圓的左、右頂點分別為，，為橢圓上的動點且在第一象限內(nèi)，線段與橢圓交于點（異于點），直線與直線交于點，為坐標原點，連接，且直線與的斜率之積為．

(1)求橢圓的方程．
(2)設(shè)直線的斜率分別為，證明：為定值．
【變式1-3】在平面直角坐標系中，已知定點 ，定直線，動點在上的射影為，且滿足.
(1)記點的運動軌跡為，求的方程；
(2)過點作斜率不為0 的直線與交于 兩點，與軸的交點為，記直線和直線的斜率分別為，求證：.
題型二：和面積有關(guān)的定值問題
例題分析
【例2】已知橢圓的左、右頂點分別為，長軸長為短軸長的2倍，點在上運動，且面積的最大值為8．
(1)求的方程；
(2)若直線經(jīng)過點，交于兩點，直線分別交直線于，兩點，試問與的面積之比是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．
變式訓(xùn)練
【變式2-1】已知雙曲線，漸近線方程為，點在上；

(1)求雙曲線的方程；
(2)過點的兩條直線，分別與雙曲線交于，兩點（不與點重合），且兩條直線的斜率，滿足，直線與直線，軸分別交于，兩點，求證：的面積為定值.
【變式2-2】已知橢圓：（）與橢圓：（）的離心率相同，且橢圓的焦距是橢圓的焦距的倍．
(1)求實數(shù)a和b的值；
(2)若梯形的頂點都在橢圓上，，，直線BC與直線AD相交于點P．且點P在橢圓上，試探究梯形的面積是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．
【變式2-3】已知橢圓，橢圓．點為橢圓上的動點，直線與橢圓交于，兩點，且．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)以點為切點作橢圓的切線，與橢圓交于，兩點，問：四邊形的面積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，求出面積的取值范圍．
題型三：和周長有關(guān)的定值問題
例題分析
【例3】已知P為圓C：上一動點，點，線段PN的垂直平分線交線段PC于點Q．
(1)求點Q的軌跡方程；
(2)點M在圓上，且M在第一象限，過點M作圓的切線交Q點軌跡于A，B兩點，問的周長是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由.
【變式3-1】已知橢圓：的左焦點為，左、右頂點分別為，，上頂點為.
(1)若為直角三角形，求的離心率；
(2)若，，點，是橢圓上不同兩點，試判斷“”是“，關(guān)于軸對稱”的什么條件？并說明理由；
(3)若，，點為直線上的動點，直線，分別交橢圓于，兩點，試問的周長是否為定值？請說明理由.
【變式3-2】已知橢圓的長軸長為4，A，B是其左、右頂點，M是橢圓上異于A，B的動點，且．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若P為直線上一點，PA，PB分別與橢圓交于C，D兩點．
①證明：直線CD過橢圓右焦點；
②橢圓的左焦點為，求的周長是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請說明理由．
【變式3-3】在平面直角坐標系中，動圓與圓內(nèi)切，且與圓外切，記動圓圓心的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)設(shè)曲線的左、右兩個頂點分別為、，為直線上的動點，且不在軸上，直線與的另一個交點為，直線與的另一個交點為，為曲線的左焦點，求證：的周長為定值.
題型四：和線段有關(guān)的定值問題
例題分析
【例4】如圖，已知橢圓()的左右焦點分別為，，點為上的一個動點(非左右頂點)，連接并延長交于點，且的周長為，面積的最大值為2．

(1)求橢圓的標準方程；
(2)若橢圓的長軸端點為，且與的離心率相等，為與異于的交點，直線交于兩點，證明：為定值．
【變式4-1】已知橢圓C：的焦距為4，左右頂點分別為，，橢圓上異于，的任意一點P，都滿足直線，的斜率之積為．
(1)若橢圓上存在兩點，關(guān)于直線對稱，求實數(shù)m的取值范圍；
(2)過右焦點的直線交橢圓于M，N兩點，過原點O作直線MN的垂線并延長交橢圓于點Q．那么，是否存在實數(shù)k，使得為定值？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由．
【變式4-2】在平面直角坐標系xOy中，圓：，，P是圓上的一個動點，線段的垂直平分線l與直線交于點M．記點M的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程；
(2)過點作與x軸不垂直的任意直線交曲線C于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點H，求證：為定值．
【變式4-3】已知橢圓：過點，且有兩個頂點所在直線的斜率為，過橢圓左頂點的直線與橢圓交于點，與軸交于點．
(1)若的面積為，求直線的方程；
(2)設(shè)過原點且與直線平行的直線交橢圓于點，求證：為定值．
題型五：和參數(shù)有關(guān)的定值問題
例題分析
【例5】已知雙曲線的左?右焦點分別為，，且，的一條漸近線與直線垂直.
(1)求的標準方程；
(2)點為上一動點，直線，分別交于不同的兩點，（均異于點），且，，問：是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由.
【變式5-1】已知拋物線的焦點為，圓恰與的準線相切.
(1)求的方程及點與圓上點的距離的最大值；
(2)為坐標原點，過點的直線與相交于A，B兩點，直線，分別與軸相交于點P，Q，，，求證：為定值.
【變式5-2】已知圓錐曲線E上有兩個定點、，P為曲線E上不同于M，N的動點，且當直線PM和直線PN的斜率，都存在時，有．
(1)求圓錐曲線E的標準方程；
(2)若直線l：與圓錐曲線E交于A、B兩點，交x軸于點F，點A，F(xiàn)，B在直線：上的射影依次為點D，K，G
①若直線l交y軸于點T，且，，當m變化時，探究的值是否為定值？若是，求出的值；否則，說明理由；
②連接AG，BD，試探究當m變化時，直線AG與BD是否相交于定點？若是，請求出定點的坐標，并給予證明；否則，說明理由．
【變式5-3】已知橢圓的離心率為，四個頂點構(gòu)成的四邊形面積為．
(1)求橢圓方程；
(2)若直線交橢圓于，，且，求證為定值．
題型六：和距離有關(guān)的定值問題
例題分析
【例6】如圖，已知直線，，是平面內(nèi)一個動點，∥且與相交于點（位于第一象限），∥，且與相交于點（位于第四象限），若四邊形（為原點）的面積為.
(1)求動點的軌跡的方程；
(2)過點的直線與相交于兩點，是否存在定直線，使以為直徑的圓與直線相交于兩點，且為定值，若存在，求出的方程，若不存在，請說明理由.
【變式6-1】已知雙曲線的離心率為，且經(jīng)過點．
(1)求雙曲線C的標準方程及其漸近線方程；
(2)已知過點的直線與過點的直線的交點N在雙曲線C上，直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于P，Q兩點，證明為定值，并求出定值．
【變式6-2】已知雙曲線，直線過的右焦點且與交于兩點．
(1)若兩點均在雙曲線的右支上，求證：為定值；
(2)試判斷以為直徑的圓是否過定點？若經(jīng)過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．
【變式6-3】已知雙曲線的漸近線方程為，過其右焦點F且垂直于x軸的直線與C交于A，B兩點，且．
(1)求C的方程．
(2)設(shè)為C上的動點，直線與直線交于點M，與直線（與直線不重合）交于點N．是否存在t，使得為定值？若存在，求t的值，若不存在，請說明理由．
題型七：和向量有關(guān)的定值問題
例題分析
【例7】已知雙曲線 的左、右焦點分別為，，是的左頂點，的離心率為2．設(shè)過的直線交的右支于、兩點，其中在第一象限．

(1)求的標準方程；
(2)若直線、分別交直線于、兩點，證明：為定值；
(3)是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；否則，說明理由．
【變式7-1】已知橢圓的左、右焦點分別為、，斜率不為0的直線過點，與橢圓交于兩點，當直線垂直于軸時，，橢圓的離心率．
(1)求橢圓的方程；
(2)在軸上是否存在點，使得為定值？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【變式7-2】如圖橢圓C：的離心率為，點在橢圓C上．過橢圓的左焦點F的直線l與橢圓C交于C，D兩點，并與y軸交于點M，A，B分別為橢圓的上、下頂點，直線AD與直線BC交于點N．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)已知O為坐標原點，當點M異于A，B兩點時，求證：為定值．
【變式7-3】圖，在平面直角坐標系中，橢圓過點，且橢圓的離心率為.直線與橢圓相交于兩點，線段的中垂線交橢圓于兩點.

(1)求的標準方程；
(2)求線段長的最大值；
(3)證明：為定值，并求此定值.
變式訓(xùn)練
真題專練
1．設(shè)為橢圓E：上的三點，且點關(guān)于原點對稱，.
(1)求橢圓E的方程；
(2)若點B關(guān)于原點的對稱點為D，且，證明：四邊形ABCD的面積為定值.
2．已知拋物線，雙曲線，點在的左支上，過作軸的平行線交于點，過作的切線，過作直線交于點，交于點，且.
(1)證明：與相切；
(2)過作軸的平行線交的左支于點，過的直線平分，記的斜率為，若，證明：恒為定值.
3．已知雙曲線的離心率為2，焦點到一條漸近線的距離為．
(1)求雙曲線的方程．
(2)若過雙曲線的左焦點的直線交雙曲線于，兩點，交軸于，設(shè)．試判斷是否為定值，若為定值，求出定值；若不為定值，說明理由．
4．已知雙曲線的虛軸長為，左焦點為F．
(1)設(shè)O為坐標原點，若過F的直線l與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，當時，求的面積；
(2)設(shè)過F的直線l與C交于M，N兩點，若x軸上存在一點P，使得為定值，求出點P的坐標及該定值．
5．已知橢圓的右焦點為，點，在橢圓上運動，且的最小值為；當點不在軸上時點與橢圓的左、右頂點連線的斜率之積為.
(1)求橢圓的方程；
(2)已知直線與橢圓在第一象限交于點，若的內(nèi)角平分線的斜率不存在.探究：直線的斜率是否為定值，若是，求出該定值；若不是.請說明理由.
6．以等邊三角形的每個頂點為圓心，以其邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形被稱為勒洛三角形．如圖，在極坐標系Ox中，曲邊三角形OPQ為勒洛三角形，且，Q在極軸上，C為的中點．以極點O為直角坐標原點，極軸Ox為x軸正半軸建立平面直角坐標系．
(1)求所在圓P的直角坐標方程與直線CQ的極坐標方程；
(2)過O引一條射線，分別交圓P，直線CQ于A，B兩點，證明：為定值．
7．已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1,F2，離心率為，P為橢圓C上一點（除左、右頂點），直線PF?，PF?與橢圓C的另一個交點分別為A，B，且，，當m=1時，．
(1)求橢圓C標準方程；
(2)試判斷是否為定值，若是求出定值，若不是說明理由．
8．在非中，已知，其中．
(1)若，，求的值；
(2)是否存在使得為定值？若存在，求的值，并求出該定值為多少；若不存在，請說明理由．
9．已知圓O的方程為，P為圓上動點，點F坐標為，連OP，F(xiàn)P．過點P作直線FP的垂線l，線段FP的中垂線交OP于點M，直線FM交l于點A．
(1)求點A的軌跡方程；
(2)記點A的軌跡為曲線C，過點作斜率不為0的直線n交曲線C于不同兩點S，R，直線與直線n交于點H，記．，問：是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
10．已知橢圓的離心率為，短軸長為2.
(1)求橢圓E的方程；
(2)如圖，已知A，B，C為橢圓E上三個不同的點，原點O為的重心；
①如果直線AB，OC的斜率都存在，求證：為定值；
②試判斷的面積是否為定值，如果是，求出這個定值；如果不是，請說明理由.
11．已知橢圓E：的離心率為，短軸長為4．
(1)求橢圓E的方程；
(2)設(shè)直線與橢圓E交于C，D兩點，在y軸上是否存在定點Q，使得對任意實數(shù)k，直線QC，QD的斜率乘積為定值？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由．
12．已知橢圓的離心率為，其左、右頂點分別為，，左、右焦點為，，點為橢圓上異于，的動點，且的面積最大值為.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)過定點的直線交橢圓于，兩點（與，不重合）證明：直線與直線的交點的橫坐標為定值.
13．已知橢圓的離心率為，橢圓的左、右頂點分別為，，上頂點為，點到直線的距離為.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過點的直線交橢圓于，兩點，過點作軸的垂線交直線于點，點為的中點，證明：直線的斜率為定值.
14．已知橢圓的離心率為，且過點.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)直線與軸交于點，過作直線交于兩點，交于兩點.已知直線交于點，直線交于點.試探究是否為定值，若為定值，求出定值；若不為定值，說明理由.
15．已知橢圓的離心率為e，且過，兩點.
(1)求橢圓E的方程；
(2)若經(jīng)過有兩條直線，，它們的斜率互為倒數(shù)，與橢圓E交于A，B兩點，與橢圓E交于C，D兩點，P，Q分別是，的中點.試探究：與的面積之比是否為定值？若是，請求出此定值；若不是，請說明理由.
16．已知雙曲線，，設(shè)點在上，點為坐標原點.
(1)若，求的最小值；
(2)設(shè)點在上，直線、分別與相切于點，對于給定的、，在以下結(jié)論中選擇一個正確的結(jié)論（多選的按第一個給分），并加以證明：
①和的面積之和為定值；
②和的面積之差的絕對值為定值；
③直線與雙曲線的兩條漸近線圍成的三角形的面積為定值.
17．已知，是橢圓的左、右焦點，點是上一點，的中點在軸上，為坐標原點．
(1)求橢圓的方程；
(2)過點任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B，C兩點，設(shè)直線BC的斜率為，證明：為定值，并求的值．
18．已知橢圓的焦點為和，且橢圓經(jīng)過點.
(1)求橢圓的方程；
(2)過點的直線與橢圓交于兩點，則在軸上是否存在定點，使得的值為定值？若存在，求出點的坐標和該定值；若不存在，請說明理由.
19．已知橢圓的離心率是，是橢圓C上一點.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)過點的直線l與橢圓C交于A，B（異于點P）兩點，直線PA，PB的斜率分別是，，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
20．已知橢圓的左、右頂點分別為A，B．直線l與C相切，且與圓交于M，N兩點，M在N的左側(cè)．
(1)若直線l的斜率，求原點O到直線l的距離；
(2)記直線AM，BN的斜率分別為，，證明：為定值．
21．已知雙曲線，焦點到漸近線的距離為2.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)記雙曲線的左?右頂點分別為，直線交雙曲線于點（點在第一象限），記直線斜率為，直線斜率為，過原點做直線的垂線，垂足為，當為定值時，問是否存在定點，使得為定值，若存在，求此定點.若不存在，請說明理由.

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