題型一：定點問題
考法一：直線過定點
例題分析
【例1】
已知橢圓過點，且橢圓的離心率為 .
(1)求橢圓的方程；
(2)若動點在直線上，過作直線交橢圓于兩點，且為線段的中點，再過作直線，證明：直線l恒過定點，并求出該定點的坐標.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由點在橢圓上，代入橢圓的方程，再由橢圓的離心率為，求得的值，即可求解；
（2）設，當直線的斜率存在時，設直線的方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)點的橫坐標求得，結合，得到，得出直線過定點；當直線的斜率不存在時，得到直線為軸，進而得到結論.
【詳解】（1）因為點在橢圓上，可得，解得，
又因為橢圓的離心率為，所以，所以，解得，
所以橢圓的標準方程為.
（2）由題意，可設，且，
①當直線的斜率存在時，設直線的方程為，
聯(lián)立方程組，
整理得，
則，
所以，
因為為的中點，所以，即，
所以，經(jīng)檢驗，此時，
因為，所以，所以直線的方程為，
即，所以直線恒過定點.
②當直線的斜率不存在時，直線的方程為，
此時直線為軸，也過點.
綜上所述，直線恒過定點.

直線過定點問題常用方法如下：
(1)“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；
(2)“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據(jù)題設條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；
(3)求證直線過定點(x0，y0)，常利用直線的點斜式方程y－y0＝k(x－x0)或截距式y(tǒng)＝kx＋b來證明．
變式訓練
【變式1-1】已知橢圓過點，且離心率．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過點A作與相切的兩條直線，分別交橢圓C于P，Q兩點，求證：直線恒過定點．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由已知列方程組求出，可得方程；
（2）先由直線與曲線相切，由判別式法得兩直線斜率關系；再將斜率坐標化，由直線方程消整理得；然后由直線與曲線方程聯(lián)立，由韋達定理得到與的關系代入式化簡可得的等量關系；最后代回方程可得定點.
【詳解】（1）由點代入方程，，
由題可得，解得，
∴所求橢圓方程為．
（2）設過點A的直線為與相切，
，
消得，，由，
得，，∴，
則（，分別是直線和的斜率）.
設直線為：，，，
得，
則①，
由得，．
，
即
整理得，
將①式代入得，
，
整理得：，
即，或，
所以當時，直線為，恒過點，不符合題意；
當時，直線為：，即，恒過點，
綜上，直線恒過定點．

【變式1-2】已知雙曲線C：（，）的離心率為2，在C上.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)不經(jīng)過點P的直線l與C相交于M，N兩點，且，求證：直線l過定點.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)雙曲線上過的點及離心率列出方程組，求出雙曲線方程；
（2）設出直線方程，分斜率不存在和斜率存在兩種情況，特別是當斜率存在時，設直線為，與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)題干中條件，列出方程，找到和的關系，求出過的定點，記得檢驗是否滿足斜率不存在的情況.
【詳解】（1）由已知得：，則，
又因為在C上，則，
解得，，
所以雙曲線C的方程為.
（2）若直線l的斜率存在，設直線l的方程為，，，
聯(lián)立方程，消去y得，
由已知，則，且，
可得，，
又因為，
由可得：，
整理得：，
則，
可得，則，
由已知l不經(jīng)過點，故，
所以，即，
可得l：，過定點；
若直線l的斜率不存在，設，，
可得，
由可得：，
又因為，解得，滿足條件，
綜上所述：故直線l過定點.

【點睛】方法點睛：直線過定點問題，先考慮直線斜率不存在時，再考慮直線斜率時，要設出直線方程為，與曲線方程聯(lián)立后得到兩根之和與兩根之積，根據(jù)題意建立等量關系，求出的關系或者的值，從而求出定點.
【變式1-3】已知O為坐標原點，拋物線，點，設直線l與C交于不同的兩點P，Q.
(1)若直線軸，求直線的斜率的取值范圍；
(2)若直線l不垂直于x軸，且，證明：直線l過定點．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）當點在第一象限時，設，，由基本不等式求得的范圍，同理可求當點在第四象限時的范圍.
（2）設直線的方程為，由得，可證得直線l過定點．
【詳解】（1）
當點在第一象限時，設，
則，（當時取等號），∴，
同理，當點在第四象限時，.
綜上所述，直線的斜率的取值范圍是.
（2）設直線的方程為，
聯(lián)立方程 得 ，
設，則，
∵
，
即 ，
即，
即，
即 ，
∴，滿足，
∴，
∴直線過定點.
考法二：存在定點滿足某條件
例題分析
【例2】已知橢圓經(jīng)過點，過點的直線交該橢圓于，兩點.
(1)求面積的最大值，并求此時直線的方程；
(2)若直線與軸不垂直，在軸上是否存在點使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
【答案】(1)面積的最大值為，此時直線的方程為或；
(2)存在，
【分析】（1）根據(jù)條件求出橢圓方程，當直線的斜率為0時，此時三點共線，不合要求，舍去，當直線的斜率不為0時，設直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，表達出面積，利用基本不等式求出最值，并得出此時直線的方程.
（2）由角相等得到，轉化為，在第二問的基礎上，代入化簡即可得到答案.
【詳解】（1）將代入橢圓方程，
得到，故，
故橢圓方程為.
當直線的斜率為0時，此時三點共線，不合要求，舍去；
當直線的斜率不為0時，設直線的方程為，
與橢圓方程聯(lián)立，得，
設，則，
則
，
當且僅當，即時，等號成立，
故面積的最大值為，
此時直線的方程為或.
（2）在x軸上存在點使得恒成立，
理由如下：
因為，所以，即，
整理得，
即，
所以，
則，解得，
故在x軸上存在點，使得恒成立.

【點睛】方法點睛：直線與橢圓位置關系問題，從以下幾個角度分析：
（1）橢圓性質得出橢圓標準方程；
（2）直線與橢圓聯(lián)立，韋達定理的應用；
（3）求最值時，基本不等式的應用；
（4）運算過程，計算能力的考查.
定點滿足某條件：
(1)設出該點坐標；
(2)把滿足的條件當做已知條件，結合其他條件求出點的坐標。
變式訓練
【變式2-1】已知雙曲線的右焦點，右頂點分別為，，，，點在線段上，且滿足，直線的斜率為1，為坐標原點.
(1)求雙曲線的方程.
(2)過點的直線與雙曲線的右支相交于，兩點，在軸上是否存在與不同的定點，使得恒成立？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由，，直線的斜率為1，求得之間的關系式，解得的值，進而求出雙曲線的方程；
（2）設直線的方程，與雙曲線的方程聯(lián)立，可得兩根之和及兩根之積，由等式成立，可得為的角平分線，可得直線的斜率之和為0，整理可得參數(shù)的值，即求出的坐標．
【詳解】（1）設，所以，，，
因為點在線段上，且滿足，所以點，
因為直線的斜率為1，所以，所以，
因為，所以，解得，，.
所以雙曲線的方程為.
（2）假設在軸上存在與不同的定點，使得恒成立，

當直線l的斜率不存在時，E在x軸上任意位置，都有；
當直線l的斜率存在且不為0時，設，直線l的方程為，
直線與雙曲線的右支相交于，兩點，則且，
設，，
由，得， ，，
所以，，
因為，即，所以平分，，
有，即，得，
所以，由，解得.
綜上所述，存在與不同的定點，使得恒成立，且.
【變式2-2】已知點M到點的距離比它到直線l：的距離小，記動點M的軌跡為E.
(1)求E的方程；
(2)若過點F的直線交E于，兩點，則在x軸的正半軸上是否存在點P，使得PA，PB分別交E于另外兩點C，D，且？若存在，請求出P點坐標，若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)點M到點的距離等于它到直線l：的距離，結合拋物線的定義得出拋物線E的標準方程；
（2）設，由結合拋物線方程得出是方程的兩根，設直線AB的方程為，并與拋物線方程聯(lián)立結合韋達定理得出點P坐標.
【詳解】（1）因為點M到點的距離比它到直線l：的距離小，
所以點M到點的距離等于它到直線l：的距離，
則點M的軌跡為以為焦點，以為準線的拋物線，
則曲線E的方程為.
（2）設 ，
由得：，且，得，
即，所以，
代入拋物線方程，得，
整理得，同理可得
故是方程的兩根，，
由韋達定理可得①，
由題意，直線AB的斜率一定存在，故設直線AB的方程為，
與拋物線方程聯(lián)立可得，
易得，由韋達定理可得②，
由①②可得，
故在x軸的正半軸上存在一點滿足條件.

【變式2-3】已知雙曲線：，，，，，五點中恰有三點在上.
(1)求的方程；
(2)設是上位于第一象限內(nèi)的一動點，則是否存在定點，使得,若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，定點
【分析】（1）、根據(jù)五點的坐標及雙曲線的對稱性和頂點的特征確定都在上，得到方程組，求得，，即可得的方程；
（2）、根據(jù)條件及補角的定義得到，分軸與不與軸垂直兩種情況分析求解.
【詳解】（1）若，，在雙曲線上，則，，只能是雙曲線的頂點，
，，三點中只能有一點是頂點，都在雙曲線上，
，，兩點關于上對稱，
由雙曲線頂點的位置特征分析可知，在上，
將，代入雙曲線的方程中，
則，得，，故的方程為.
（2）假設存在定點滿足題意，，，，.
①、當軸時，,，，
在中，,
，，此時.
②、當不與軸垂直時，假設，滿足.
設，則，，
，
又，，即，所以假設成立.
故存在定點，使得.
考法三：圓過定點問題
例題分析
【例3】已知橢圓的離心率為，且直線是拋物線的一條切線．
(1)求橢圓的方程；
(2)過點的動直線交橢圓于兩點，試問：在直角坐標平面上是否存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過定點？若存在，求出的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在；
【分析】（1）先根據(jù)直線是拋物線的一條切線，求出的值，再由橢圓離心率為，求出的值，則橢圓方程可得．
（2）先假設存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過定點，再用垂直時，向量，的數(shù)量積為0，得到關于直線斜率的方程，求，若能求出，則存在，若求不出，則不存在．
【詳解】（1）由得
直線是拋物線的一條切線．所以
，所以橢圓
（2）
當直線與軸平行時，以為直徑的圓方程為
當直線與軸重合時，以為直徑的圓方程為
所以兩圓的交點為點猜想：所求的點為點．
證明如下．當直線與軸垂直時，以為直徑的圓過點
當直線與軸不垂直時，可設直線為：
由得，設，則
則
所以，即以為直徑的圓過點
所以存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過定點．
圓錐曲線中圓過定點問題的解法： 充分利用圓的幾何特征，即圓過定點，可依據(jù)直徑所對圓周角為直角，轉化為兩條線段的垂直，進而轉化為兩個向量垂直，即兩向量的數(shù)量積等于0，從而建立方程求解.
變式訓練
【變式3-1】知橢圓的離心率是，上、下頂點分別為，.圓與軸正半軸的交點為，且.
(1)求的方程；
(2)直線與圓相切且與相交于，兩點，證明：以為直徑的圓恒過定點.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）寫出向量的坐標，帶入求解即可；
（2）設直線后，和圓相切可得，和橢圓方程聯(lián)立后，觀察可得，從而判段出以為直徑的圓恒過定點.
【詳解】（1）由已知得，，.
則，，，所以.
因為，又，所以，.
故的方程為.
（2）當直線的斜率存在時，設的方程為，即.
因為直線與圓相切，所以，即.
設，，則，.
由化簡，得，
由韋達定理，得
所以 ，
所以，
故，即以為直徑的圓過原點.
當直線的斜率不存在時，的方程為或.
這時，或，.
顯然，以為直徑的圓也過原點.綜上，以為直徑的圓恒過原點.
【變式3-2】已知橢圓的左、右焦點分別為，，A，B分別是C的右、上頂點，且，D是C上一點，周長的最大值為8.
(1)求C的方程；
(2)C的弦過，直線，分別交直線于M，N兩點，P是線段的中點，證明：以為直徑的圓過定點.
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義結合三角形不等式求解即可；
（2）設，直線，聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)過兩點圓的方程，結合圖形的對稱性可得定點在軸上，代入韋達定理求解即可.
【詳解】（1）依題意，，
周長，當且僅當三點共線時等號成立，故，

所以，所以的方程；
（2）設，直線，代入，整理得，
，，
易知，令，得，同得，
從而中點，
以為直徑的圓為，
由對稱性可知，定點必在軸上，
令得，，
，
所以，即，因為，
所以，即，
解得，所以圓過定點.

【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設直線方程，設交點坐標為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關系轉化為，（或，）的形式；
（5）代入韋達定理求解.
【變式3-3】已知橢圓的離心率為，長軸的左端點為.
(1)求C的方程；
(2)過橢圓C的右焦點的任一直線l與橢圓C分別相交于M，N兩點，且AM，AN與直線，分別相交于D，E兩點，求證：以DE為直徑的圓恒過x軸上定點，并求出定點.
【答案】(1)
(2)證明見解析，定點分別為，
【分析】（1）由離心率，及頂點坐標得橢圓的方程；
（2）設，，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，求得，，由垂直關系利用數(shù)量積等于零，求得圓與x軸的交點.
【詳解】（1）由題可得，，得，
所以橢圓的方程：；
（2）橢圓右焦點坐標為，由題直線斜率不為零，設直線l方程為，
設，，
由題，聯(lián)立方程組，消去x得，
所以，，
，得，同理，，得，
設軸上一點，則，同理得:，
，
因為，
得：，即或，
所以以DE為直徑的圓恒過x軸上定點，定點分別為，.
題型二：定直線問題
例題分析
【例4】已知和是橢圓的左、右頂點，直線與橢圓相交于M，N兩點，直線不經(jīng)過坐標原點，且不與坐標軸平行，直線與直線的斜率之積為．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若直線OM與橢圓的另外一個交點為，直線與直線相交于點，直線PO與直線相交于點，證明：點在一條定直線上，并求出該定直線的方程．
【答案】(1)
(2)證明見解析，定直線為
【分析】（1）設，，依題意可得，進而結合可得，從而求解；
（2）設直線的方程為：，聯(lián)立直線和橢圓方程，結合韋達定理可得，，結合三點共線可得，，進而得到，進而得到直線OP的方程，進而聯(lián)立直線OP與直線的方程即可求解.
【詳解】（1）設，，
所以，即，
由題意知，所以，
所以，
則橢圓的標準方程為．
（2）證明：設直線的方程為：，
聯(lián)立橢圓的方程，得，
所以，
則，
由根與系數(shù)的關系，得，，
設，
由P，S，三點共線，得，
由P，N，三點共線，得，
則
．
所以直線OP的斜率為，
則直線OP的方程為，
聯(lián)立直線OP與直線的方程，可得，解得，
所以點在一條定直線上，該定直線的方程為．
動點在定直線上問題的解題策略：
①從特殊入手，初步確定動點所在的直線，再證明一般情況下也在該定直線上即可；
②從動點的坐標入手，直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到動點的橫縱坐標關系，進而得出定直線方程．
變式訓練
【變式4-1】已知橢圓右焦點分別為，是上一點，點與關于原點對稱，的面積為.
(1)求的標準方程；
(2)直線，且交于點，，直線與交于點.
證明：①直線與的斜率乘積為定值；
②點在定直線上.
【答案】(1)
(2)①證明見解析；②證明見解析
【分析】（1）設為，根據(jù)，解得；點在曲線上，可得，解得，，即可得出橢圓的標準方程．
（2）①設，，直線方程為，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去得，，利用斜率計算公式、根與系數(shù)的關系即可得出為定值．
②直線方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線方程，，化簡結合根與系數(shù)的關系可得為定值．
【詳解】（1）設為，，
則，即，
又點在曲線上，∴，
將代入，整理得，，
解得，，
∴橢圓的標準方程為.
（2）①設，，直線方程為：，，
聯(lián)立直線與橢圓方程，消去得，
當，即且時，
，，
∴，
，
∴，
.
②直線方程為：，即，
直線的方程為，即，
聯(lián)立直線與直線方程得，
∴，，
∴.
∴，即點在定直線上.

【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設直線方程，設交點坐標為、；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關系轉化為、的形式；
（5）代入韋達定理求解.
【變式4-2】已知為的兩個頂點，為的重心，邊上的兩條中線長度之和為6.
(1)求點的軌跡的方程.
(2)已知點，直線與曲線的另一個公共點為，直線與交于點，求證：當點變化時，點恒在一條定直線上.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由三角形重心的性質與橢圓的定義求解即可；
（2）設直線的方程為：，，聯(lián)立直線與橢圓，再表示出直線又直線與的方程，聯(lián)立求出交點，即可求解
【詳解】（1）因為為的重心，且邊上的兩條中線長度之和為6，
所以,
故由橢圓的定義可知的軌跡是以為焦點的橢圓（不包括長軸的端點），
且，所以，
所以的軌跡的方程為；
（2）設直線的方程為：，，
聯(lián)立方程得：，
則，
所以，
又直線的方程為：，
又直線的方程為：，
聯(lián)立方程得：，
把代入上式得：
，
所以當點運動時，點恒在定直線上
【變式4-3】已知橢圓的離心率為，且過點.
(1)求橢圓的方程；
(2)點關于原點的對稱點為點，與直線平行的直線與交于點，直線與交于點，點是否在定直線上？若在，求出該直線方程；若不在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)點在定直線上.
【分析】（1）解方程組可得答案；
（2）設， 的方程與橢圓方程聯(lián)立利用韋達定理代入，可得直線的方程、直線的方程，聯(lián)立兩直線方程得，由化簡可得答案.
【詳解】（1）由題意得，解得，
所以橢圓的方程是.
（2）點是在定直線上，理由如下，
由（1）知，設，
，將的方程與聯(lián)立消，得，
則，得且，且，
因為，
所以直線的方程為，即，
直線的方程為，即，
聯(lián)立直線與直線的方程，得，
得，
所以
所以點在定直線上.
題型三：定圓問題
例題分析
已知雙曲線的左、右焦點分別為，且到的一條漸近線的距離為.
(1)求的方程；
(2)過的左頂點且不與軸重合的直線交的右支于點，交直線于點，過作的平行線，交直線于點，證明：在定圓上
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)焦點到漸近線的距離求出即可得解；
（2）由題意可設PA，的斜率分別為，設直線AP的方程為，聯(lián)立雙曲線方程，求出，由三角函數(shù)可得，即化為得證.
【詳解】（1）根據(jù)題意可知C的一條漸近線方程為，
設到漸近線的距離為，
所以，
所以的方程為.
（2）設C的左頂點為A，則,
故直線為線段的垂直平分線.
所以可設PA，的斜率分別為，故直線AP的方程為.
與C的方程聯(lián)立有，
設B），則，即，
所以
當軸時，，是等腰直角三角形，
且易知
當不垂直于x軸時，直線的斜率為，故
因為，
所以
所以
因為
所以
所以為定值，
所以點Q在以為圓心且半徑為4的定圓上.
【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設直線方程，設交點坐標為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達定理求解.
動圓問題的解題策略：
①求動點的軌跡方程，剛好軌跡是圓；
②轉化為動點到定點的距離為定值；
③先通過條件找到定圓，再證明點事該圓上的點；
④用含參的式子表示出動點的橫坐標和縱坐標，通過計算得出橫縱坐標的平方和為常數(shù)。
.
變式訓練
【變式5-1】已知雙曲線：（，）的右焦點為，一條漸近線的傾斜角為60°，且上的點到的距離的最小值為1．
(1)求的方程；
(2)設點，，動直線：與的右支相交于不同兩點，，且，過點作，為垂足，證明：動點在定圓上，并求該圓的方程．
【答案】(1)
(2)證明見解析，
【分析】(1) 根據(jù)漸近線斜率及到焦點距離最值列式求解即可.
(2)根據(jù)角相等得出向量夾角相等，進而得出m,k的關系得出定點，最后根據(jù)垂直關系得出圓的方程.
【詳解】（1）設,
則由已知得,
解得,
所以的方程.
（2）由(1)得,,
設，則
于是,
同理,
由，得
即
即,
整理得，
因為，所以,
所以的方程可化為
因此過定點 .
又因為垂足為,所以動點 在以為直徑的圓上，
該圓的方程為.
【變式5-2】設點，，動直線：與的右支相交于不同兩點，，且，過點作，為垂足，證明：動點在定圓上，并求該圓的方程．
19．已知橢圓，離心率，左、右頂點與上頂點圍成的三角形的面積為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)M，N，A，B為橢圓上不同的四點，且均與橢圓右頂點P不重合，，，，證明：直線MN和直線AB的交點在一個定圓上．
【答案】(1)
(2)證明見詳解
【分析】（1）由條件列關于的方程，解方程可得，由此可得橢圓方程；
（2）方法一：設直線，，聯(lián)立方程組利用設而不求法證明直線和直線過定點，結合條件證明結論.
方法二：直線，，通過齊次化變形，證明，，由此證明直線和直線過定點，結合條件證明結論.
【詳解】（1）由，，
三角形面積，
解得，，
所以橢圓C的方程為．
（2）由（1）得，設，，，，
直線，．
聯(lián)立
消去y整理得，
方程的判別式，
則，
因為，所以，
所以，
所以，
整理得．若，則，
則直線MN過定點，與題意矛盾；
若，則，則直線MN過定點．
同理可得
又因為，
所以，
所以，
所以，
所以，
整理得．
若，則，則直線AB過定點，與題意矛盾；
若，則，則直線AB過定點．
又因為，所以，
所以直線AB與MN的交點在以和所連線段為直徑的定圓上．
方法二：設，，，，
直線，．
橢圓方程變形為，
直線變形為，
代入橢圓方程得，
即，
左右兩邊同時除以得，，
則，為方程的兩個根，則，
所以，直線MN過定點．
同理可得，
則，為方程的兩個根，則，
所以，
直線AB過定點．
又因為，所以，
所以直線AB與MN的交點在以和所連線段為直徑的定圓上．
【點睛】關鍵點點睛：
解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：
（1）注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；
（2）強化有關直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．
【變式5-3】雙曲線的左頂點為，焦距為4，過右焦點作垂直于實軸的直線交于兩點，且是直角三角形.
(1)求雙曲線的方程；
(2)已知是上不同的兩點，中點的橫坐標為2，且的中垂線為直線，是否存在半徑為1的定圓，使得被圓截得的弦長為定值，若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）根據(jù)雙曲線的性質，結合是等腰直角三角形的性質，列出關系式即可求解雙曲線方程；
（2）首先利用點差法求出直線所過的定點，即可求出定圓的方程.
【詳解】（1）依題意，，焦半徑，
當時，，得，即，
所以，由，得，得，
解得：（其中舍去），
所以，
故雙曲線的方程為；

（2）設的中點為
因為是上不同的兩點，中點的橫坐標為2.
所以.
①-②得，
當存在時，，
因為的中垂線為直線，所以，即，
所以過定點.

當不存在時，關于軸對稱，的中垂線為軸，此時也過，
所以存在以為圓心的定圓，使得被圓截得的弦長為定值2.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查直線與雙曲線相交的綜合應用，本題的關鍵是求得直線所過的定點，因為半徑為1，所以定圓圓心為定點，弦長就是直徑.
真題專練
1．在平面直角坐標系中，已知動圓與圓內(nèi)切，且與直線相切，設動圓圓心的軌跡為曲線．
(1)求的方程；
(2)已知是曲線上一點，是曲線上異于點的兩個動點，設直線?的傾斜角分別為，且，請問：直線是否經(jīng)過定點？若是，請求出該定點，若不是，請說明理由.
【答案】(1)
(2)是，
【分析】（1）由題意可得動圓的圓心到點的距離與到直線的距離相等，從而可求得其軌跡方程，
（2）當直線?中其中一條的斜率不存在，可求得直線的方程為；當直線?的斜率都存在時，故設直線?的斜率，，然后表示出，再由可得，設直線方程為，代入拋物線方程化簡利用根與系數(shù)的關系，結合前面的式子可求得直線過的定點.
【詳解】（1）圓的圓心為，半徑為，
由題意可得，動圓的圓心到點的距離與到直線的距離相等，
所以點的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，
所以曲線的方程為；
（2）由（1）可得，
當直線?中其中一條的斜率不存在，不妨設，，
易得，直線的直線為，與聯(lián)立可得，
故直線的方程為；
當直線?的斜率都存在時，故設直線?的斜率，
設
所以，同理可得，
因為，所以，所以，即，
所以，
所以，即，
由題意可設方程為，聯(lián)立，消整理得，
所以，，，
所以即，所以，
令得，，此時有定點，
綜上所述，直線經(jīng)過定點

【點睛】關鍵點點睛：此題考查軌跡方程的求法，考查直線與拋物線的位置關系，解題的關鍵是設直線?的斜率，再由結合兩角和的正切公式，與斜率公式可得，考查計算能力，屬于較難題.
2．已知橢圓的離心率是，點在上．
(1)求的方程；
(2)過點的直線交于兩點，直線與軸的交點分別為，證明：線段的中點為定點．
【答案】(1)
(2)證明見詳解
【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進而可得結果；
（2）設直線的方程，進而可求點的坐標，結合韋達定理驗證為定值即可.
【詳解】（1）由題意可得，解得，
所以橢圓方程為.
（2）由題意可知：直線的斜率存在，設，
聯(lián)立方程，消去y得：，
則，解得，
可得，
因為，則直線，
令，解得，即,
同理可得，
則

，
所以線段的中點是定點.

【點睛】方法點睛：求解定值問題的三個步驟
（1）由特例得出一個值，此值一般就是定值；
（2）證明定值，有時可直接證明定值，有時將問題轉化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無關；也可令系數(shù)等于零，得出定值；
（3）得出結論．
3．已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為，離心率為．
(1)求C的方程；
(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.
【答案】(1)
(2)證明見解析.
【分析】（1）由題意求得的值即可確定雙曲線方程；
（2）設出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，然后由點的坐標分別寫出直線與的方程，聯(lián)立直線方程，消去，結合韋達定理計算可得，即交點的橫坐標為定值，據(jù)此可證得點在定直線上.
【詳解】（1）設雙曲線方程為，由焦點坐標可知，
則由可得，，
雙曲線方程為.
（2）由(1)可得，設，
顯然直線的斜率不為0，所以設直線的方程為，且，
與聯(lián)立可得，且，
則，

直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立直線與直線的方程可得：
，
由可得，即，
據(jù)此可得點在定直線上運動.
【點睛】關鍵點點睛:求雙曲線方程的定直線問題，意在考查學生的計算能力，轉化能力和綜合應用能力，其中根據(jù)設而不求的思想，利用韋達定理得到根與系數(shù)的關系可以簡化運算，是解題的關鍵.
4．已知動圓過定點，且與直線相切，其中．
(1)求動圓圓心的軌跡的方程；
(2)設是軌跡C上異于原點O的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當變化且為定值時，證明直線恒過定點，并求出該定點的坐標．
【答案】(1)；
(2)當時，直線恒過定點，當時，直線恒過定點；詳見解析.
【分析】（1）根據(jù)拋物線定義即得；
（2）由題意知直線的斜率存在，從而設方程為，聯(lián)立拋物線方程利用韋達定理法結合條件可表示出，進而即得.
【詳解】（1）由題可知動圓圓心到定點的距離與定直線的距離相等，
由拋物線的定義知，點的軌跡為拋物線，其中為焦點，為準線，
所以動圓圓心的軌跡方程為；
（2）設，由題意得(否則)，且，
由題意知直線的斜率存在，從而設的方程為，顯然，
將與聯(lián)立消去，得，
由韋達定理知，，
因為為定值，
當時，
，
所以，
所以直線的方程為，即，
所以直線恒過定點，
當時，則，可得，直線的方程為，恒過定點，
綜上，當時，直線恒過定點，當時，直線恒過定點.
5．已知雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為，，P為雙曲線右支上的一點，為的內(nèi)心，且.
(1)求C的離心率；
(2)設點為雙曲線C右支上異于其頂點的動點，直線與雙曲線左支交于點S.雙曲線的右頂點為，直線，分別與圓O：相交，交點分別為異于點D的點M，N，判斷直線是否過定點，求出定點，如果不過定點，請說明理由.
【答案】(1)2
(2)過定點
【分析】（1）由題意畫出圖形，由已知向量等式可得，結合，得，又，則，由此可得雙曲線的離心率；
（2）設直線ST的方程為：，與雙曲線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系證明，即可得結論.
【詳解】（1）如圖所示，

延長IP到A且，延長到B且，
由，得，
∴I是的重心，，同理，，
即，
又，，，
，又I是的內(nèi)心，則，
由，得，又，則，即；
（2）弦MN過定點,

由已知右頂點，結合（1）得，，，
所以雙曲線方程為.
則，，
設點，直線ST的方程為：，
聯(lián)立，得，
則，，，，
則
，
即，也就是，
∴MN為圓O的直徑，故弦MN恒過圓心.
【點睛】思路點睛：
（1）向量條件合理轉化是關鍵，延長IP到A且，延長到B且，由，得，∴I是的重心，
進一步，又I是的內(nèi)心，則，結合雙曲線定義得解；
（2）設出直線ST的方程為：與雙曲線聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系證明，即可得結論.
6．橢圓E的方程為，左、右頂點分別為，，點P為橢圓E上的點，且在第一象限，直線l過點P
(1)若直線l分別交x，y軸于C，D兩點，若，求的長；
(2)若直線l過點，且交橢圓E于另一點Q（異于點A，B），記直線與直線交于點M，試問點M是否在一條定直線上？若是，求出該定直線方程；若不是，說明理由．
【答案】(1)；
(2)點M在定直線上，理由見解析.
【分析】（1）設，由題意可得則，，從而可得，根據(jù)即可求解；
（2）依題可設直線l的方程為，，，．求出直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立可得，聯(lián)立直線l的方程和橢圓方程，結合韋達定理，從而可求解.
【詳解】（1）設，
則①，②，
由①②可得，
，即，
（2）依題可設直線l的方程為，，，．
聯(lián)立方程組，整理得，
，
則，
直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立方程組，得，
因為
，
，
由，得，得．
所以.
故點M在定直線上．

【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設直線方程，設交點坐標為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達定理求解.
7．已知橢圓：的短軸長為，離心率為．
(1)求橢圓的方程；
(2)過點的動直線與橢圓相交于不同的兩點，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題意得，再結合可求出，從而可求得橢圓方程，
（2）設，，，，設的方程為，代入橢圓方程化簡，利用根與系數(shù)的關系，由可得，再結合前面的式子化簡可求出關于的方程，從而可證得結論.
【詳解】（1）由題意可知，因為，所以解得，．
所以所求橢圓的方程為
（2）設，，，，
直線的斜率顯然存在，設為，則的方程為．
因為，，，四點共線，不妨設，
則，，，，
由，可得，
化簡得．（*）
聯(lián)立直線和橢圓的方程，得，
消去，得，
，得，
由韋達定理，得，．代入（*）
化簡得，即．
又，代入上式，得，化簡得．
所以點總在一條定直線上．

【點睛】關鍵點睛：本題解題的關鍵是設出直線的方程，利用弦長公式表示出，代入化簡，再將直線方程代入橢圓方程化簡，利用根與系數(shù)的關系，幾個式子相結合可證得結論.
8．已知橢圓的離心率為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)當橢圓的焦點在x軸上時，直線與橢圓的一個交點為P（點P不在坐標軸上），點P關于x軸的對稱點為Q，經(jīng)過點Q且斜率為的直線與l交于點M，點N滿足軸，軸，求證：點N在直線上．
【答案】(1)或
(2)證明見解析
【分析】（1）分焦點在軸和軸上兩種情況求橢圓方程即可；
（2）聯(lián)立橢圓和直線的方程得到點的坐標，根據(jù)點和點的對稱關系得到點的坐標，即可得到經(jīng)過點的直線方程，然后聯(lián)立直線方程得到點的橫坐標，即可得到點的坐標，最后根據(jù)點橫縱坐標的關系即可證明點在直線上.
【詳解】（1）當橢圓的焦點在軸上時，，解得，，所以此時橢圓方程為
；
當橢圓的焦點在軸上時，，所以，解得，所以此時橢圓方程為.
（2）
由題意得，橢圓方程為，聯(lián)立得，
設點，則，所以，故，，
所以經(jīng)過點且斜率為的直線方程為，
聯(lián)立得，所以，，,
又，所以點在直線上.
9．已知橢圓：，為橢圓的右焦點，三點，，中恰有兩點在橢圓上.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設點為橢圓的左右端點，過點作直線交橢圓于，兩點（不同于），求證：直線與直線的交點在定直線上運動，并求出該直線的方程.
【答案】(1)
(2)證明見解析，
【分析】（1）由對稱性得到點，在橢圓上，結合焦點坐標，得到方程組，求出，，求出橢圓方程；
（2）設直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，設，，，得到兩根之和，兩根之積，由和共線得到方程組，聯(lián)立后得到，求出，得到交點在定直線上，并求出該直線的方程.
【詳解】（1）因為為橢圓的右焦點，所以①,
由對稱性得，點，在橢圓上，代入得②,
聯(lián)立①②解得，，，
所以橢圓的標準方程為：.
（2）由條件知直線與直線不重合，故直線的斜率不為0，

設直線的方程為，
聯(lián)立，可得，
設，，，
則，，，
由（1）可得，，
由共線得：③，
由共線得：④，
由③÷④消去并整理得，，
即，所以，
綜上所述，直線與直線的交點在定直線上運動.
【點睛】定值問題常見方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；
（2）直接推理計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.
10．已知是圓：上的動點，點，直線與圓的另一個交點為，點在直線上，，動點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)若過點的直線與曲線相交于，兩點，且，都在軸上方，問：在軸上是否存在定點，使得的內(nèi)心在一條定直線上?請你給出結論并證明.
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）由題意可得點在以，為焦點，為實軸長的雙曲線上，且焦距為，從而可求出曲線的方程；
（2）由條件可設：，代入雙曲線方程化簡，再利用根與系數(shù)的關系，當時，可求得，則的平分線為定直線，從而可得結論.
【詳解】（1）圓的圓心為，半徑，
因為，所以，又因為，
所以，
所以，
所以點在以，為焦點，為實軸長的雙曲線上，
設雙曲線的方程為，
則，.
所以，，
又不可能在軸上，所以曲線的方程為.

（2）在軸上存在定點，使得的內(nèi)心在一條定直線上.
證明如下：由條件可設：.代入，
得，
設，，則
，得，
所以
所以，
取，
則
又，都在軸上方，所以的平分線為定直線，
所以在軸上存在定點，使得的內(nèi)心在定直線上.
【點睛】關鍵點點睛：此題考查直線與雙曲線的位置關系，考查雙曲線方程的求解，第（2）問解題的關鍵是取，通過計算，可得定直線為，考查數(shù)學計算能力，屬于較難題.
11．橢圓C：的離心率為，且過點.
(1)求橢圓C的方程和長軸長；
(2)點M，N在C上，且.證明：直線MN過定點.
【答案】(1)橢圓的方程為：，長軸長為
(2)證明見解析
【分析】（1）利用離心率、橢圓上的點和橢圓關系可構造方程組求得，從而得到橢圓方程及長軸長；
（2）由可得到；假設直線方程，與橢圓方程聯(lián)立后得到韋達定理的形式，代入垂直關系得到等式中，可整理得到關系，代入直線方程后可確定所過定點.
【詳解】（1）由題意得：，解得：，
橢圓的方程為：，長軸長為；
（2）設點，，
，，
整理可得：①，
當直線斜率存在時，設，
聯(lián)立得：，
由得：，
則，，
，，
代入①式化簡可得：，
即，或，
則直線方程為或，
直線過定點或，又和點重合，故舍去，
當直線斜率不存在時，則，
此時，即，
又，解得或（舍去），
此時直線的方程為，過點，
綜上所述，直線過定點.

【點睛】思路點睛：本題考查直線與橢圓綜合應用中的定點問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：
①假設直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關于或的一元二次方程的形式；
②利用求得變量之間的關系，同時得到韋達定理的形式；
③利用韋達定理表示出已知的等量關系，化簡整理得到所求定點.
12．在xOy平面上，設橢圓，梯形ABCD的四個頂點均在上，且.設直線AB的方程為

(1)若AB為的長軸，梯形ABCD的高為，且C在AB上的射影為的焦點，求m的值；
(2)設，直線CD經(jīng)過點，求的取值范圍；
【答案】(1)2；
(2)；
【分析】（1）由題意知，由此可得，再由即可求出答案；
（2）由題意知橢圓，直線CD的方程為，聯(lián)立直線與橢圓，由直線與橢圓有兩交點可得，，，利用表示出，由此即可求出其取值范圍.
【詳解】（1）因為梯形為的長軸，的高為，，
所以點的縱坐標為，代入橢圓方程得，
可得，又因為在上的射影為的焦點，
∴，解得，
∵，∴.
（2）由題意，橢圓，直線CD的方程為，
設，，則，化簡得，
，得，
∴，，
∴
，
∵，所以，
所以的取值范圍為.
13．已知橢圓的左、右焦點分別為、，且橢圓上存在一點P，滿足，.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）已知A、B分別是橢圓C的左、右頂點，過的直線交橢圓C于M、N兩點，記直線的交點為T，是否存在一條定直線l，使點T恒在直線l上？
【答案】（1）；（2）存在.
【分析】（1）設，內(nèi)，由余弦定理得，解得，，解得，進而可得橢圓的方程；
（2）設，，，，，設的方程為，與橢圓聯(lián)立并結合共線與韋達理從而求出的橫坐標為定值即可.
【詳解】（1）設，△內(nèi)，
由余弦定理得，
化簡得，解得，
故，，，
所以橢圓的標準方程為；
（2）由（1）知，，設，，，，，
，①
，②
兩式相除得．
又，
故，③
設的方程為，代入整理，
得，△恒成立．
把，，
代入③，，
得，
得到，故點在定直線上．
【點睛】關鍵點睛：解決本題第（1）問的關鍵是運用橢圓的定義及余弦定理，解決第（2）問的關鍵是計算與韋達定理的使用.
14．已知橢圓，若拋物線的焦點恰好為橢圓的右焦點，且該拋物線與橢圓在第一象限的交點為.
（1）求的標準方程；
（2）設、是橢圓的左、右頂點，過點作直線與橢圓交于（不同于、）兩點，設直線與直線交于點，求證：點在定直線上.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）先求出橢圓的焦點坐標，然后利用橢圓的定義求出，可得答案.
(2) 設直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，得出韋達定理，設，，得出直線，的方程，將兩方程聯(lián)立，將韋達定理代入可得答案.
【詳解】（1）由題意得，
由橢圓定義知，
所以，，
所以橢圓的標準方程為.
（2）由（1）知，設直線的方程為，
由，得.
顯然恒成立.
設，，
所以有， ①
直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立兩方程可得，所以，
，
由①式可得，
代入上式可得，
解得，
故點在定直線上.
【點睛】關鍵點睛：本題考查利用橢圓定義求橢圓方程和點在定直線上的問題，解答本題的關鍵是聯(lián)立方程得出韋達定理， ，由直線的方程為，直線的方程為聯(lián)立結合韋達定理得出，屬于中檔題.
15．在直角坐標平面內(nèi)，已知，，動點滿足條件：直線與直線的斜率之積等于，記動點的軌跡為．
(1)求的方程；
(2)過點作直線交于，兩點，直線與交點是否在一條定直線上？若是，求出這條直線方程；若不是，說明理由．
【答案】(1)
(2)點在直線上
【分析】（1）設 ，由斜率公式得到方程，整理即可得解；
（2）依題意直線的斜率不為，設直線的方程為，，，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、列出韋達定理，表示出直線、的方程，即可得到直線，的交點的坐標滿足，根據(jù)韋達定理求出，即可求出，從而得解.
【詳解】（1）解：設 ，則，得，即 ，
故軌跡的方程為： ．
（2）解：根據(jù)題意，直線的斜率不為，
設直線的方程為，
由，消去并整理得，
其中，則或．
設，，則，．
顯然，
從而可設直線的方程為①，
直線的方程為②，
所以直線，的交點的坐標滿足：．
而
，
因此，，即點在直線上．
16．已知雙曲線：（，）實軸端點分別為，，右焦點為，離心率為2，過點且斜率1的直線與雙曲線交于另一點，已知的面積為．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若過的直線與雙曲線交于，兩點，試探究直線與直線的交點是否在某條定直線上？若在，請求出該定直線方程；如不在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)在定直線方程上
【分析】（1）聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，可得點，進而根據(jù)三角形面積公式即可求出的值；（2）分直線斜率 和不存在兩種情況討論，求出兩直線交點，代入化簡即可求解.
【詳解】（1）設直線的方程為，聯(lián)立，得，
又，，代入上式得，即，
∴，解得，∴，，∴雙曲線的方程為．
（2）當直線點的斜率不存在時，，，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得的，
當直線的斜率存在時，設直線的方程為，，，
聯(lián)立得，∴，，
∴直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立直線與直線的方程可得：
，兩邊平方得，
又，滿足，
∴
，
∴，∴，或，（舍去）
綜上，在定直線上，且定直線方程為．
17．已知雙曲線：（，）的離心率為，右頂點到漸近線的距離等于.
(1)求雙曲線的方程.
(2)點，在上，且，直線是否過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由.
【答案】(1)
(2)直線過定點
【分析】（1）利用點到直線的距離公式，的關系和離心率即可求解.
（2）由題知直線的斜率存在且不為，設直線：，與的方程聯(lián)立，可得，因為，用代替，同理解得，進而表示出直線的方程，即可得解.
【詳解】（1）由題意，取漸近線，
右頂點到該漸近線的距離，
又，，解得，，，
的方程為.
（2）由題意知直線的斜率存在且不為，
設直線：，
與的方程聯(lián)立，消去得，
易知，
由韋達定理得，則.
因為，所以，
用代替（顯然此時），
同理得，
得，
直線：，
過定點.
當時，直線的斜率不存在，
易知直線的方程為，過左焦點.
綜上，直線過定點.

18．已知拋物線上的點到其焦點距離為3，過拋物線外一動點作拋物線的兩條切線，切點分別為，且切點弦恒過點.
（1）求和；
（2）求證：動點在一條定直線上運動.
【答案】（1），.（2）證明見解析
【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義求得，由此求得拋物線方程，將的坐標代入拋物線方程，由此求得.
（2）設出的坐標，根據(jù)拋物線的切線方程求得直線的方程，將的坐標代入直線的方程，由此求得直線的方程，將點坐標代入直線的方程，由此判斷出動點在直線上運動.
【詳解】（1）由題意得
拋物線方程為，∴，
（2）首先推導拋物線切線方程的一般性：設拋物線上的一點為，由，所以拋物線過點的切線的斜率為，切線方程為，化簡得.
設
∴拋物線的切線的方程：
拋物線的切線的方程：
∵均經(jīng)過，∴
故直線即過，也過
故方程：
∵它恒過，∴，∴它在上運動.
【點睛】本小題主要考查拋物線的定義和標準方程，考查拋物線的切線方程，屬于中檔題.
19．平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y2＝2px（p＞0）及點M（2，0），動直線l過點M交拋物線于A，B兩點，當l垂直于x軸時，AB＝4.
（1）求p的值；
（2）若l與x軸不垂直，設線段AB中點為C，直線l1經(jīng)過點C且垂直于y軸，直線l2經(jīng)過點M且垂直于直線l，記l1，l2相交于點P，求證：點P在定直線上.
【答案】（1）p＝1（2）證明見解析
【分析】（1）根據(jù)AB＝4，知拋物線y2＝2px（p＞0）過點（2，2），代入計算得到答案.
（2）由題意設直線l的方程為：y＝k（x﹣2），且k≠0，點A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立方程得到y(tǒng)1+y2，y1y2＝﹣4，根據(jù)直線方程得到P（1，），得到答案.
【詳解】（1）當直線l過點M（2，0），且垂直于x軸時，
由AB＝4，知拋物線y2＝2px（p＞0）過點（2，2），
代入拋物線方程，得4＝2p×2，解得p＝1；
（2）證明：由題意設直線l的方程為：y＝k（x﹣2），且k≠0，
點A（x1，y1），B（x2，y2），
聯(lián)立，消去x，化簡得ky2﹣2y﹣4k＝0，
由根與系數(shù)的關系得y1+y2，y1y2＝﹣4；
又點C在直線AB上，則yC，所以直線l1的方程為y；
又直線l2過點M且與直線l垂直，則直線l2的方程為y（x﹣2）；
聯(lián)立，解得，所以點P（1，），
所以點P在定直線x＝1上.
【點睛】本題考查了拋物線的值，定直線問題，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.
20．已知點為拋物線的焦點，點，過點作直線與拋物線順次交于兩點，過點A作斜率為的直線與拋物線的另一個交點為點．
(1)求拋物線的標準方程；
(2)求證：直線過定點．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由求得參數(shù)得拋物線方程；
（2）設的方程為，設，直線方程代入拋物線方程整理后應用韋達定理得，得，直線方程代入拋物線方程應用韋達定理并結合前者得，然后按直線斜率是否存在分類求得直線方程，利用得定點坐標．
【詳解】（1）焦點，∵，∴
拋物線E的標準方程為；
（2）顯然直線斜率存在，設的方程為，
由，化簡得：，
設，則，
∴ ①
直線的方程為，
由化簡得：，
設則 ②
由①②得，∴ ③
（?。┤糁本€沒有斜率，則，又，∴，∴，
∴的方程為．
（ⅱ）若直線有斜率，為，
直線的方程為，即，
將③代入得，∴，
故直線有斜率時過點．
【點睛】方法點睛：圓錐曲線中直線過定點問題，一般設出直線方程，設出交點坐標為，直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立后消元應用韋達定理得（或），把此結論代入題設中其它條件或性質得出的關系，從而化簡直線方程，由化簡后的直線方程可得定點坐標，解題中也需注意直線斜率不存在的情形的驗證．

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