TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc12629" 一、必備秘籍 PAGEREF _Tc12629 \h 1
\l "_Tc15772" 二、典型題型 PAGEREF _Tc15772 \h 2
\l "_Tc20829" 題型一：構(gòu)造法 PAGEREF _Tc20829 \h 2
\l "_Tc22156" 題型二：倒數(shù)法 PAGEREF _Tc22156 \h 5
\l "_Tc1818" 三、數(shù)列求通項(xiàng)（構(gòu)造法、倒數(shù)法）專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練 PAGEREF _Tc1818 \h 8
一、必備秘籍
1.構(gòu)造法
類(lèi)型1： 用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列
形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為（其中：），由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
標(biāo)準(zhǔn)模型：（為常數(shù)，）或（為常數(shù)，）
類(lèi)型2：用“同除法”構(gòu)造等差數(shù)列
（1）形如，可通過(guò)兩邊同除，將它轉(zhuǎn)化為，從而構(gòu)造數(shù)列為等差數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，便可求得的通項(xiàng)公式.
（2）形如，可通過(guò)兩邊同除，將它轉(zhuǎn)化為，換元令：，則原式化為：，先利用構(gòu)造法類(lèi)型1求出，再求出的通項(xiàng)公式.
（3）形如的數(shù)列，可通過(guò)兩邊同除以，變形為的形式，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，便可求得的通項(xiàng)公式.
2.倒數(shù)法
用“倒數(shù)變換法”構(gòu)造等差數(shù)列
類(lèi)型1：形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，通過(guò)兩邊取“倒”，變形為，即：，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，即可求得.
類(lèi)型2：形如（為常數(shù)，，，）的數(shù)列，通過(guò)兩邊取“倒”，變形為，可通過(guò)換元：，化簡(jiǎn)為：（此類(lèi)型符構(gòu)造法類(lèi)型1： 用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列：形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為（其中：），由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.）
二、典型題型
題型一：構(gòu)造法
例題1．（2023秋·江西宜春·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知正項(xiàng)數(shù)列中，，則數(shù)列的通項(xiàng)（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】解法一：在遞推公式的兩邊同時(shí)除以，得①，
令，則①式變?yōu)?，即?br>所以數(shù)列是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比為，
所以，即，
所以，
所以，
解法二：設(shè)，則，
與比較可得，
所以，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，
所以，所以，
故選：D
例題2．（多選）（2023秋·廣東深圳·高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，，則（ ）
A．B．C．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列D．為等比數(shù)列
【答案】ABC
【詳解】由得，兩式相減得，
，
又當(dāng)時(shí)，，則，故為首項(xiàng)是1，公差為的等差數(shù)列，
即.
顯然A、C正確；
，故B正確；
由通項(xiàng)公式易得，，，三者不成等比數(shù)列，故D錯(cuò)誤．
故選：ABC．
例題3．（2023春·山東淄博·高二?？计谥校┮阎獢?shù)列滿(mǎn)足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為
【答案】
【詳解】由得，
故為等差數(shù)列，公差為1，首項(xiàng)為1，
所以
所以.
故答案為：
例題4．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿(mǎn)足，則數(shù)列的前項(xiàng)和為 ．
【答案】
【詳解】解：因?yàn)椋?br>所以，即，即，
所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
所以，所以，則，
令數(shù)列的前項(xiàng)和為，
則
故答案為：
例題5．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在數(shù)列中，，且，求.
【答案】
【詳解】由，得，
所以數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
所以，即.
當(dāng)時(shí)，，此式也滿(mǎn)足，
故.
例題6．（2023·四川綿陽(yáng)·四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．
(1)求證數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析，
【詳解】（1）因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，解得．
當(dāng)時(shí)，，則，
整理得，故，，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以．所以
例題7．（2023秋·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）由于，故，，
∴，
∴，，
∴，，
，可得，
所以數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為1，公比為2的一個(gè)等比數(shù)列；
例題8．（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知正項(xiàng)數(shù)列滿(mǎn)足，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)
【詳解】（1）數(shù)列中，，由，可得
又，則數(shù)列是首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，則，
則數(shù)列的通項(xiàng)公式為
題型二：倒數(shù)法
例題1．（多選）（2023春·云南玉溪·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿(mǎn)足，則（ ）
A．為等比數(shù)列
B．的通項(xiàng)公式為
C．為單調(diào)遞減數(shù)列
D．的前n項(xiàng)和
【答案】BCD
【詳解】因?yàn)?，所以是?為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
，即，故選項(xiàng)B正確；
根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
又因?yàn)?，，則數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，故選項(xiàng)C正確；
的前項(xiàng)和，故選項(xiàng)D正確,
故選：BCD.
例題2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，則 ．
【答案】
【詳解】設(shè)，令得：，解得：；
，化簡(jiǎn)得，，
所以，從而，
故，
又，所以是首項(xiàng)和公差均為的等差數(shù)列，
從而，故．
故答案為：
例題3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列的遞推公式，且首項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【答案】
【詳解】令．先求出數(shù)列的不動(dòng)點(diǎn)，解得．
將不動(dòng)點(diǎn)代入遞推公式，得，
整理得，，
∴．
令，則，．
∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列．
∴的通項(xiàng)公式為．
將代入，得．
∴．
例題4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，求的通項(xiàng)公式．
【答案】．
【詳解】由題意，
，
所以，則，而，
故是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．
于是．
例題5．（2023春·遼寧錦州·高二?？计谥校┮阎獢?shù)列的首項(xiàng)，，.
(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)
【詳解】（1）因?yàn)?，?br>所以，
取倒得，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
所以是，的等比數(shù)列，
所以．
例題6．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若，，.
(1)求證：；
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）證明：假設(shè)，因，，則，解得或，
于是得或，與題設(shè)且矛盾，故假設(shè)不成立，所以成立.
7．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿(mǎn)足.
(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列：
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）證明：由，可得，
又
故數(shù)列為等比數(shù)列.
三、數(shù)列求通項(xiàng)（構(gòu)造法、倒數(shù)法）專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練
一、單選題
1．（2023春·河南許昌·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿(mǎn)足，則的通項(xiàng)公式（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】由得，而，
故是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
所以，即.
故選：D
二、填空題
2．（2023秋·陜西商洛·高三陜西省山陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，則滿(mǎn)足的最小正整數(shù) ．
【答案】5
【詳解】由，解得，
又，所以．
另一方面由，可得，
所以是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，
所以，易知是遞增數(shù)列，
又，，
所以滿(mǎn)足的最小正整數(shù)．
故答案為：5．
3．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）數(shù)列中，，，則 ．
【答案】
【詳解】由，，可得，
所以，即(定值)，
故數(shù)列以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
所以，
所以，所以．
故答案為：．
4．（2023春·江西南昌·高二南昌二中?？茧A段練習(xí)）數(shù)列中，，，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式 .
【答案】
【詳解】因?yàn)?，所以，又?br>所以，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，則.
故答案為：
5．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)列{an}滿(mǎn)足，，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為 .
【答案】．
【詳解】∵，所以，即，
∴是等差數(shù)列，而，
所以，
所以．
故答案為：．
6．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則
【答案】
【詳解】，
令，
則，
∴又，，
∴；
故答案為：；
三、解答題
7．（2023秋·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿(mǎn)足：求通項(xiàng).
【答案】
【詳解】取倒數(shù)：，故是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為2，
，
∴.
8．（2023秋·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知：，時(shí)，，求的通項(xiàng)公式．
【答案】
【詳解】設(shè)，所以，
∴ ，解得：，
又 ，∴ 是以3為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列，
∴ ，∴ ．
9．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，.若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【答案】
【詳解】將代入已知可得.
因?yàn)?，所以?br>所以有，所以.
又，
所以，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
所以，，
所以，.
10．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【答案】．
【詳解】解：由，
得：，
∴，
即數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴，
得．
11．（2023秋·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，．
(1)求；
【答案】(1)
【詳解】（1）因?yàn)?，?br>所以，
兩邊同除以得，
因?yàn)?，所以?br>因此數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
所以，所以.
12．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為
(1)試求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)
【詳解】（1）由題意，兩邊同時(shí)除以，將其變形為，即，
由等差數(shù)列的定義可知是以首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列，
所以，即.
13．（2023春·海南儋州·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【答案】(1)
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>所以，
所以數(shù)列是以為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列，
所以，得，
所以，
14．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列，，．
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）∵，∴，
∵，∴，∴，
∴
，
∴是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列；
15．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿(mǎn)足，.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【答案】
【詳解】由兩邊取倒數(shù)，得，所以，
又，所以是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，
所以，即，
所以.
16．（2023春·河南許昌·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列中，，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.
【詳解】（1）因?yàn)?，令，則，又，所以.
對(duì)兩邊同時(shí)除以，得，
又因?yàn)?，所以是首?xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
所以，故；
四、雙空題
17．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿(mǎn)足，若，，則 ；若，，則 .
【答案】 85
【詳解】解：因?yàn)?，?dāng)，時(shí)，所以，，；
當(dāng)，時(shí)，則，又，所以，即
故答案為：；；

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