【例 1】1．設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
滿分秘籍
(1)如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時，常采用錯位相減法．
(2)錯位相減法求和時，應(yīng)注意：
①在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項(xiàng)對齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．
②應(yīng)用等比數(shù)列求和公式必須注意公比q是否等于1，如果q＝1，應(yīng)用公式Sn＝na1.
變式訓(xùn)練
【變式1-1】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【變式1-2】已知數(shù)列和，，，.
(1)求證數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【變式1-3】在①，②這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答該問題．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且滿足________．
(1)求；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分．
【變式1-4】記正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，且，數(shù)列滿足，．
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【變式1-5】設(shè)是公比不為的等比數(shù)列，，為，的等差中項(xiàng).
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
真題專練
1．已知是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為.是公比為的等比數(shù)列..
(1)求和的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
2．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
3．已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，前項(xiàng)和；
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
4．在①，②，③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并解答.
已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為是與的等比中項(xiàng)，___________.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分.
5．已知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，且公差和公比都是，若對滿足的任意正整數(shù)，，均有成立．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
6．已知數(shù)列的前項(xiàng)的和為，，數(shù)列為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，且有，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列滿足，設(shè)的前項(xiàng)的和為，求的值.
7．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,數(shù)列的前項(xiàng)積.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
8．已知是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，是，的等比中項(xiàng)，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
9．在①；②，與都是等比數(shù)列；③，這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并作答．
已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且______．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
注：如果選擇多個條件分別作答，則按所作第一個解答計(jì)分．
10．已知數(shù)列是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且滿足． 將數(shù)列與的公共項(xiàng)按照由小到大的順序排列，構(gòu)成新數(shù)列．
(1)證明：
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
11．設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，當(dāng)時，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
12．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
13．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
14．在數(shù)列中，，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
15．已知數(shù)列和等差數(shù)列滿足，且當(dāng)時，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
16．已知等比數(shù)列的公比，若，且，，分別是等差數(shù)列第1，3，5項(xiàng)．
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)若求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和．
17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，請從以下三個條件中選擇一個完成解答.
①數(shù)列是首項(xiàng)為2的單調(diào)遞減的等比數(shù)列，且成等差數(shù)列；
②；
③.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
18．已知數(shù)列滿足，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
19．設(shè)各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)函數(shù)，且，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
20．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

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