題型一：多面體的表面積和體積
【典例例題】
例1. （2023春·廣東省東莞實驗中學高三一模）如圖1，水平放置的直三棱柱容器中，，，現(xiàn)往內(nèi)灌進一些水，水深為2．將容器底面的一邊AB固定于地面上，再將容器傾斜，當傾斜到某一位置時，水面形狀恰好為三角形，如圖2，則容器的高h為（ ）
A．3B．4C．D．6
【變式訓練】
1.（2023春·廣東省大灣區(qū)高三第二次聯(lián)考）如圖為三棱錐的平面展開圖，其中，，垂足為，則該三棱錐的體積為______．
2.（2023春·廣東省高三二模） 已知直四棱柱的棱長均為2，，除面ABCD外，該四棱柱其余各個面的中心分別為點E，F(xiàn)，G，H，Ⅰ，則由點E，F(xiàn)，G，H，Ⅰ構成的四棱錐的體積為______．
3.（2023秋·廣東省深圳市高三模擬）（多選）已知正四棱臺的上底面邊長為，下底面邊長為，側(cè)棱長為2，則（ ）
A. 棱臺的側(cè)面積為 B. 棱臺的體積為
C. 棱臺的側(cè)棱與底面所成角的余弦值為
D. 棱臺的側(cè)面與底面所成銳二面角的余弦值為
題型二：旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積
【典例例題】
例1.（2023春·廣東省高三一模）已知一個圓錐和圓柱的底面半徑和高分別相等，若圓錐的軸截面是等邊三角形，則這個圓錐和圓柱的側(cè)面積之比為（ ）
A. B. C. D.
【變式訓練】
1.（2023春·廣東省高三二模）現(xiàn)有一個軸截面是邊長為4的等邊三角形的倒置圓錐（頂點在下方，底面在上方），將半徑為的小球放入圓錐，使得小球與圓錐的側(cè)面相切，過所有切點所在平面將圓錐分割成兩個部分，則分割得到的圓臺的側(cè)面積為（ ）
A. B. C. D.
2.（2023春·廣東省潮州市高三二模）折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖1）.圖2是一個圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個圓弧DE，AC所在圓的半徑分別是3和6，且，則該圓臺的體積為（ ）
A. B. C. D.
3.（2023春·廣東省佛山市高三二模）科技是一個國家強盛之根，創(chuàng)新是一個民族進步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國之重器，極目一號（如圖1）是中國科學院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮空器．2022年5月，“極目一號”III型浮空艇成功完成10次升空大氣科學觀測，最高升空至9050米，超過珠穆朗瑪峰，創(chuàng)造了浮空艇大氣科學觀測海拔最高的世界紀錄，彰顯了中國的實力．“極目一號”III型浮空艇長55米，高19米，若將它近似看作一個半球、一個圓柱和一個圓臺的組合體，正視圖如圖2所示，則“極目一號”III型浮空艇的體積約為（ ）
（參考數(shù)據(jù)：，，，）
A. B. C. D.
4.（2023春·廣東省揭陽市普寧市華僑中學高三二模） 遼寧省博物館收藏的商晚期饕餮紋大圓鼎（如圖1）出土于遼寧省略左縣小波汰溝．此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分別飾單層獸面紋，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕．它的主體部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體（忽略鼎壁厚度），如圖2所示．已知球的半徑為R，圓柱的高近似于半球的半徑，則此鼎的容積約為（ ）
A. B. C. D.
題型三：球的表面積和體積
【典例例題】
例1.（2023春·廣東省高三一模）水平桌面上放置了4個半徑為2的小球，4個小球的球心構成正方形，且相鄰的兩個小球相切.若用一個半球形的容器罩住四個小球，則半球形容器內(nèi)壁的半徑的最小值為（ ）
A. 4B. C. D. 6
【變式訓練】
1.（2023春·廣東省廣州市高三一模）已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，，，則球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
2.（2023春·廣東省江門市高三一模）（多選） 勒洛Franz Reuleaux（1829～1905），德國機械工程專家，機構運動學的創(chuàng)始人.他所著的《理論運動學》對機械元件的運動過程進行了系統(tǒng)的分析，成為機械工程方面的名著.勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它能在兩個平行平面間自由轉(zhuǎn)動，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動.勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的相交部分圍成的幾何體.如圖所示，設正四面體的棱長為2，則下列說法正確的是（ ）
A. 勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為
B. 勒洛四面體被平面截得的截面面積是
C. 勒洛四面體表面上交線的長度為
D. 勒洛四面體表面上任意兩點間的距離可能大于2
3.（2023春·廣東省汕頭市高三一模）如圖，在正四棱臺中，，，若半徑為r的球O與該正四棱臺的各個面均相切，則該球的表面積______．
4.（2023春·廣東省梅州市高三一模）《九章算術》是我國古代著名的數(shù)學著作，書中記載有幾何體“芻甍”.現(xiàn)有一個芻甍如圖所示，底面為正方形，平面，四邊形，為兩個全等的等腰梯形，，且，則此芻甍的外接球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
5.（2023秋·廣東省中山市模擬）已知三棱錐的四個頂點均在同一球面上，平面，，，且與平面所成角的正弦值為，則該球的表面積為______.
1.（新課標全國Ⅰ卷）（多選）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內(nèi)的有（ ）
A．直徑為的球體
B．所有棱長均為的四面體
C．底面直徑為，高為的圓柱體
D．底面直徑為，高為的圓柱體
2.（新課標全國Ⅰ卷）在正四棱臺中，，則該棱臺的體積為________．
3.（新課標全國Ⅱ卷）（多選）已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點C在底面圓周上，且二面角為45°，則（ ）．
A．該圓錐的體積為B．該圓錐的側(cè)面積為
C．D．的面積為
4.（新課標全國Ⅱ卷）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為______．
5.（全國乙卷數(shù)學(理)（文））如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該零件的表面積為（ ）

A．24B．26C．28D．30
6.（全國乙卷數(shù)學（文））已知點均在半徑為2的球面上，是邊長為3的等邊三角形，平面，則________．
7.（全國乙卷數(shù)學(理)）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
8.（全國甲卷數(shù)學（文））在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（ ）
A．1B．C．2D．3
9.（全國甲卷數(shù)學（文））在正方體中，為的中點，若該正方體的棱與球的球面有公共點，則球的半徑的取值范圍是________．
10.（全國甲卷數(shù)學（理））在四棱錐中，底面為正方形，，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
11.（全國甲卷數(shù)學（理））在正方體中，E，F(xiàn)分別為CD，的中點，則以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數(shù)為____________．
12.（新高考天津卷）在三棱錐中，線段上的點滿足，線段上的點滿足，則三棱錐和三棱錐的體積之比為（ ）
A．B．C．D．
1.（2023春·廣東省深圳市4月份高三大聯(lián)考）圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角為60°，底面圓的半徑為8，則圓錐的側(cè)面積為（ ）
A. B. C. D.
2.（2023秋·廣東省東莞市模擬）已知體積為1的正四棱臺上、下底面的邊長分別為，若棱臺的高為，則（ ）
A. B. C. D.
3.（2023春·廣東省深圳市高三一模）如圖，一個棱長1分米的正方體形封閉容器中盛有V升的水，若將該容器任意放置均不能使水平面呈三角形，則V的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
4.（2023秋·廣東省深圳市高三聯(lián)考）如圖所示，一個球內(nèi)接圓臺，已知圓臺上?下底面的半徑分別為3和4，球的表面積為，則該圓臺的體積為（ ）
A. B. C. D.
5.（2023春·廣東省韶關市高三二模）已知四棱臺的下底面為矩形，，高為，且該棱臺的體積為，則該棱臺上底面的周長的最小值是（ ）
A. 15B. 14C. 13D. 12
6.（2023春·廣東省深圳市高三二模） 設表面積相等的正方體、正四面體和球的體積分別為、和，則（ ）
A. B. C. D.
7.（2023秋·廣東省東莞市高三模擬） 如圖，一個三棱柱形容器中盛有水，側(cè)棱，若側(cè)面水平放置時，水面恰好過，，，的中點，那么當?shù)酌嫠椒胖脮r，水面高為（ ）
A. B. C. D.
8．（2023春·廣東省東莞實驗中學高三一模）（多選）已知同底面的兩個正三棱錐和均內(nèi)接于球O，且正三棱錐的側(cè)面與底面所成角的大小為，則下列說法正確的是（ ）.
A．平面QBC
B．設三棱錐和的體積分別為和，則
C．平面ABC截球O所得的截面面積是球O表面積的倍
D．二面角的正切值為
9.（2023春·廣東省惠州市高三一模）（多選）在如圖所示的幾何體中，底面是邊長為4的正方形，均與底面垂直，且，點分別為線段的中點，則下列說法正確的是（ ）
A. 直線與所在平面相交
B. 三棱錐的外接球的表面積為
C. 直線與直線所成角的余弦值為
D. 二面角中，平面，平面為棱上不同兩點，，若，，則
10.（2023春·廣東省汕頭市高三一模）（多選）如圖，平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長均為1，且它們彼此的夾角都是60°，則（ ）
A.
B.
C. 四邊形的面積為
D. 平行六面體的體積為
12.（2023春·廣東省大灣區(qū)高三第二次聯(lián)考）已知某圓錐的內(nèi)切球（球與圓錐側(cè)面?底面均相切）的體積為，則該圓錐的表面積的最小值為（ ）
A. B. C. D.
13.（2023春·廣東省高州市高三二模）貫耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如圖所示的青花折枝花卉紋六方貫耳瓶是清乾隆時期的文物，現(xiàn)收藏于首都博物館，若忽略瓶嘴與貫耳，把該瓶瓶體看作3個幾何體的組合體，上面的幾何體Ⅰ是直棱柱，中間的幾何體Ⅱ是棱臺，下面的幾何體Ⅲ也是棱臺，幾何體Ⅲ的下底面與幾何體Ⅰ的底面是全等的六邊形，幾何體Ⅲ的上底面面積是下底面面積的4倍，若幾何體Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的高之比分別為，則幾何體Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的體積之比為（ ）

A B. C. D.
14.（2023秋·廣東省梅州市高三模擬）（多選）如圖所示，四邊形是邊長為4的正方形，分別為線段上異于點的動點，且滿足，點為的中點，將點沿折至點處，使平面，則下列判斷正確的是（ ）
A. 若點為的中點，則五棱錐的體積為
B. 當點與點重合時，三棱錐的體積為
C. 當點與點重合時，三棱錐的內(nèi)切球的半徑為
D. 五棱錐體積的最大值為
15.（2023春·廣東省茂名市高三二模）如圖所示，正三棱錐，底面邊長為2，點Р到平面ABC距離為2，點M在平面PAC內(nèi)，且點M到平面ABC的距離是點P到平面ABC距離的，過點M作一個平面，使其平行于直線PB和AC，則這個平面與三棱錐表面交線的總長為（ ）
A B.
C. D.
16.（2023春·廣東省茂名市高三二模）（多選）如圖所示，有一個棱長為4的正四面體容器，D是PB的中點，E是CD上的動點，則下列說法正確的是（ ）
A. 若E是CD的中點，則直線AE與PB所成角為
B. 的周長最小值為
C. 如果在這個容器中放入1個小球（全部進入），則小球半徑的最大值為
D. 如果在這個容器中放入10個完全相同的小球（全部進入），則小球半徑的最大值為
17.（2023春·廣東省汕頭市高三二模）（多選）已知圓臺的上下底面的圓周都在半徑為2的球面上，圓臺的下底面過球心，上底面半徑為，設圓臺的體積為V，則下列選項中說法正確的是（ ）
A. 當時，
B. V存在最大值
C. 當r在區(qū)間內(nèi)變化時，V逐漸減小
D. 當r在區(qū)間內(nèi)變化時，V先增大后減小
18.（2023秋·廣東省惠州市高三模擬）（多選）如圖，正方體的棱長為2，點是其側(cè)面上的一個動點（含邊界），點P是線段上的動點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 存在點，使得二面角大小為
B. 存在點，使得平面與平面平行
C. 當P為棱的中點且時，則點M的軌跡長度為
D. 當為中點時，四棱錐外接球的體積為
19.（2023秋·廣東省梅州市高三模擬）（多選）已知同底面的兩個正三棱錐和均內(nèi)接于球O，且正三棱錐的側(cè)面與底面所成角的大小為，則下列說法正確的是（ ）.
A. 平面QBC
B. 設三棱錐和的體積分別為和，則
C. 平面ABC截球O所得的截面面積是球O表面積的倍
D. 二面角的正切值為
20.（2023秋·廣東省中山市模擬）（多選）如圖，在一個有蓋的圓錐容器內(nèi)放入兩個球體，已知該圓錐容器的底面圓直徑和母線長都是，則（ ）
A. 這兩個球體的半徑之和的最大值為
B. 這兩個球體的半徑之和的最大值為
C. 這兩個球體的表面積之和的最大值為
D. 這兩個球體的表面積之和的最大值為
21.（2023春·廣東省梅州市高三二模）半徑為2的半圓卷成一個圓錐，則該圓錐的體積為______
22.（2023春·廣東省韶關市高三二模）將一個圓心角為、面積為的扇形卷成一個圓錐，則此圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積為______.
23.（2023秋·廣東省肇慶市模擬）已知某正三棱柱既有內(nèi)切球又有外接球，外接球的表面積為，則該三棱柱的體積為__________.
24. （2023春·廣東省高州市高三二模）已知球與正四面體各棱相切，且與平面相切，若，則正四面體表面上的點到平面距離的最大值為__________.
25. （2023秋·廣東省東莞市高三模擬）已知四面體滿足，它的體積為，其外接球球的表面積為，則點在球表面的軌跡長度為__________；線段長度的最小值為______.
26.（2023秋·廣東省深圳市高三大聯(lián)考）如圖所示，已知三棱錐中，底面為等腰直角三角形，斜邊，側(cè)面為正三角形，D為的中點，底面，則三棱錐外接球的表面積為_____.

27.（2023秋·廣東省東莞市高三模擬） 已知長方體ABCD?A1B1C1D1中，AD=9，AA1=10，過點A且與直線CD平行平面將長方體分成兩部分，且分別與棱DD1，CC1交于點H，M.
（1）若DH=DC=9，則三棱柱ADH?BCM外接球表面積為________；
（2）現(xiàn)同時將兩個球分別放入被平面分成的兩部分幾何體內(nèi).在平面變化過程中，這兩個球半徑之和的最大值為________.

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