題型一：導(dǎo)數(shù)的幾何意義
【典例例題】
例1. （2023春·廣東省實驗學(xué)校高三模擬）14.已知直線與曲線相切，則___________.
【答案】3
【分析】設(shè)切點為，則，即求.
【詳解】對求導(dǎo)，得，
設(shè)切點為，則，解得，
故答案為：3.
【變式訓(xùn)練】
1.（2023春·廣東省汕頭市高三一模）已知是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，則曲線在點處的切線方程為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)是定義在上的偶函數(shù)，以及當(dāng)時，等條件求出時，的導(dǎo)數(shù)為,進(jìn)而求出時， ,代入即可求出答案.
【詳解】解：由是定義在上的偶函數(shù)，
當(dāng)時，，
可得時，，
所以當(dāng)時，的導(dǎo)數(shù)為，
則曲線在點處的切線的斜率為，切點為，
則切線的方程為，所以
2. （2023春·廣東省高州市高三二模）已知曲線在處的切線與在處的切線平行，則的值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】求導(dǎo)，根據(jù)列方程可得.
【詳解】，
由題意可知，，即，解得.
故答案：
3.（2023春·廣東省佛山市第一中學(xué)2023屆高三一模）已知函數(shù)，，函數(shù)的圖象在點和點的兩條切線互相垂直，且分別與軸交于兩點，則的取值范圍是________．
【答案】
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得在處的切線方程，并得到；根據(jù)切線互相垂直可得，由此得到，令，可得，利用分離常數(shù)法可求得的范圍，即為的范圍.
【詳解】當(dāng)，時，
，，
在處的切線方程為，即，
；
當(dāng)，，，
同理可求得：在處的切線方程為：，
，
兩條切線互相垂直，，，，
令，
設(shè)，，
則在上單調(diào)遞增，，即．
故答案為：.
4.（2023春·廣東省深圳市2023屆高三一模） 已知函數(shù)，，若總存在兩條不同的直線與函數(shù)，圖象均相切，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)函數(shù)，的切點坐標(biāo)分別為，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可得，，即該方程有兩個不同的實根，則設(shè)，求導(dǎo)確定其單調(diào)性與取值情況，即可得實數(shù)a的取值范圍.
【詳解】解：設(shè)函數(shù)上的切點坐標(biāo)為，且，函數(shù)上的切點坐標(biāo)為，且，
又，則公切線的斜率，則，所以，
則公切線方程為，即，
代入得：，則，整理得，
若總存在兩條不同的直線與函數(shù)，圖象均相切，則方程有兩個不同的實根，
設(shè)，則，令得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，
又可得，則時，；時，，則函數(shù)的大致圖象如下：
所以，解得，故實數(shù)a的取值范圍為.
故選：B.
5.（2023春·廣東省高三二模） 已知，若過點恰能作兩條直線與曲線相切，且這兩條切線關(guān)于直線對稱，則的一個可能值為______．
【答案】（或或或）
【解析】
【分析】設(shè)切點坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，將點的方程代入切線方程，可得出，設(shè)過點且與曲線相切的切線的切點的橫坐標(biāo)分別為、，易知、關(guān)于的方程的兩個根，且，利用三次方程根與系數(shù)的關(guān)系可求得實數(shù)的值.
【詳解】設(shè)切點坐標(biāo)為，因為，則，切線斜率為，
所以，曲線在處的切線方程為
將點的坐標(biāo)代入切線方程可得，
設(shè)過點且與曲線相切的切線的切點的橫坐標(biāo)分別為、，且，
因為這兩條切線關(guān)于直線對稱，則，
所以，，
易知、關(guān)于的方程的兩個根，設(shè)該方程的第三個根為，
則，
則，
所以，，
因為過點恰能作兩條直線與曲線相切，
則關(guān)于的方程只有兩個不等的實根，不妨設(shè)，
則，
若，則，可得，解得；
若，則，所以，，可得，，
所以，，解得.
綜上所述，或.
故答案為：（或或或）.
6.（2023春·廣東省惠州市2023屆高三一模） 已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求在處的切線方程；
（2）當(dāng)時，不等式恒成立，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)后可求切線的斜率，從而可求切線方程.
（2）利用參變分離結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求參數(shù)的取值范圍，我們也可以利用分類討論求出函數(shù)的最值，根據(jù)最值的性質(zhì)討論參數(shù)的取值范圍.
【小問1詳解】
當(dāng)時，．
故切線的斜率，又切點為
切線方程為，化簡得．
【小問2詳解】
法1：當(dāng)時，恒成立，故，
也就是，即，
由得，令，
則，
令，則，
可知在單調(diào)遞增，則，即在恒成立，．
故在單調(diào)遞增，所以，故在恒成立．
所以在單調(diào)遞增，而，所以，故．
法2：因為當(dāng)時，恒成立，故，
由，
令，得或，
①當(dāng)，即時，在上恒成立，
在上單調(diào)遞減，，
不合題意，合題意．
②當(dāng)，即時，
當(dāng)時，當(dāng)時，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，
設(shè)，則恒成立，
在上單調(diào)遞減，故即，合題意．
綜上，．
法3：因為當(dāng)時，恒成立，也就是，
即恒成立，令，
令，
恒成立，上單調(diào)遞增．
．
①當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，
，合題意；
②當(dāng)，即時，，
因為，，
存在，使得，即．
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
，不合題意．
綜上，．
題型二：導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間
【典例例題】
例1. （2023春·廣東省梅州市一模）已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，討論函數(shù)的零點個數(shù).
【答案】（1）增區(qū)間為和，減區(qū)間為
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）當(dāng)時，求得，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可求得函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；
（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，對實數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，結(jié)合零點存在定理可得出結(jié)論.
【小問1詳解】
解：當(dāng)時，，該函數(shù)的定義域為，
，
由可得，由可得或.
故當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為和，減區(qū)間為.
【小問2詳解】
解：函數(shù)的定義域為，
，
由，得，，
由可得，由可得或.
所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，
所以，函數(shù)的極大值為，
極小值為，
當(dāng)時，，
令，其中，
則，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時，，
此時，，所以在上不存在零點；
①當(dāng)時，，此時函數(shù)無零點；
②當(dāng)時，，此時函數(shù)只有一個零點；
③當(dāng)時，，，
則在與上各有一個零點.
綜上所述，（i）當(dāng)時，在上不存在零點；
（ii）當(dāng)時，在上存在一個零點；
（iii）當(dāng)時，在上存在兩個零點.
【變式訓(xùn)練】
1. （2023春·廣東省深圳市一模）（多選）已知函數(shù)，若，其中，則（ ）
A. B.
C. D. 的取值范圍為
【答案】BCD
【解析】
【分析】對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可得函數(shù)的大致圖象．設(shè)，由圖象可得知，，的取值范圍，從而可判斷A；又根據(jù)，對照系數(shù)可得的值，可得得取值范圍，從而可判斷C，D；結(jié)合A和C即可判斷B．
【詳解】因為，所以，
令，解得或，
當(dāng)時，或，所以單調(diào)遞增區(qū)間為和；
當(dāng)時，，所以單調(diào)遞減區(qū)間為，
的圖象如右圖所示，
設(shè)，則，，故A錯誤；
又，所以，
即，
對照系數(shù)得，故選項C正確；
，故選項D正確；
因為，所以，解得，故選項B正確．
故選：BCD．
2.（2023春·廣東省江門市一模）我們知道按照一定順序排列的數(shù)字可以構(gòu)成數(shù)列，那么按照一定順序排列的函數(shù)可以構(gòu)成函數(shù)列.設(shè)無窮函數(shù)列（）的通項公式為，，記為的值域，為所有的并集，則E為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，進(jìn)而，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，進(jìn)而即得.
【詳解】因為，，，
所以，
故在上單調(diào)遞增，
又，，
所以，
設(shè)，，令，
則，
由，可得，由，可得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，
所以，，
設(shè)，則在上單調(diào)遞減，
所以，，
綜上，，.
故選：C.
3. （2023春·廣東省深圳市一模）已知函數(shù)，其中且．
（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若存在實數(shù)，使得，則稱為函數(shù)的“不動點”求函數(shù)的“不動點”的個數(shù)；
（3）若關(guān)于x的方程有兩個相異的實數(shù)根，求a的取值范圍．
【答案】（1）的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；
（2）答案見解析； （3）且.
【解析】
【分析】（1）直接利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）記，利用導(dǎo)數(shù)得在和上均單調(diào)遞增．記，對分討論，結(jié)合零點定理求函數(shù)的“不動點”的個數(shù)；
（3）記，利用（1）得出的單調(diào)性和值域，然后分和兩種情況，結(jié)合（2）中不動點的范圍對進(jìn)行分析即可
【小問1詳解】
當(dāng)時，，定義域為R．
，令，得．
當(dāng)時，；當(dāng)時，．
所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．
【小問2詳解】
函數(shù)的不動點即為方程的根，即方程的根．
顯然，不是方程的根，所以．
記，因為（當(dāng)且僅當(dāng)取等號），所以在和上均單調(diào)遞增．
由，記．
①當(dāng)時，
（ⅰ）當(dāng)時，，
（可設(shè)
當(dāng)，當(dāng)，
單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以），
存在，使得，即存在唯一使得；
（ⅱ）當(dāng)時，，
（設(shè)
當(dāng)，當(dāng)，
在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以），存在，使得，即存在唯一使得．
②當(dāng)時，
（?。┊?dāng)時，無零點；
（ⅱ）當(dāng)時，因為，，存在，使得，即存在唯一使得．
綜上所述，
當(dāng)時，函數(shù)有兩個“不動點”，；當(dāng)時，函數(shù)有一個“不動點”．
【小問3詳解】
記，由（1）知，
當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，且；
當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，且；
當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，且當(dāng)趨向于無窮時，的增長速率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于一次函數(shù)的增長速率，則．
當(dāng)，由（2）知
（其中）．
由，代入得．
因為，所以此時只有一個解；
因為，所以此時有兩個解，
故共有三個解，不滿足題意；
當(dāng)，由（2）知
由，代入得，
當(dāng)時，只有一個解，不滿足題意，此時；
時，共有兩個解，滿足題意，
綜上所述，當(dāng)且時方程有兩個不同實數(shù)根．
4.（2023春·廣東省茂名市二模）已知函數(shù)，為常數(shù)，且.
（1）判斷的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時，如果存在兩個不同的正實數(shù)，且，證明：.
【答案】（1）答案見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）運用導(dǎo)數(shù)，分類討論與時的單調(diào)性.
（2）計算的值，結(jié)合已知可得，運用的單調(diào)性進(jìn)而可設(shè)，運用的單調(diào)性及已知條件等量代換將問題轉(zhuǎn)化為求證（），構(gòu)造函數(shù)，運用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可求證.
【小問1詳解】
∵，
∴，，
記，
①當(dāng)，即時，恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增.
②當(dāng)，即時，
方程有兩個不等實根，且，，
∴，，，單調(diào)遞增，
，，，單調(diào)遞減，
，，，單調(diào)遞增，
綜上所述：①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，
②當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
【小問2詳解】
∵，∴，
由（1）可知時，在上單調(diào)遞增，
故不妨設(shè)，
要證：，即證：，
又∵當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，∴只需證，
又∵，∴只需證：，
即證：，（），
記，，
，
∴當(dāng)時，恒成立，單調(diào)遞增，
∴，
∴原命題得證.即.
題型三：函數(shù)的極值和最值
【典例例題】
例1.（2023春·廣東省江門市一模）已知，是方程（）兩根，且，則的最大值是________．
【答案】
【解析】
【分析】由題意得，即，所以，構(gòu)造函數(shù)，()，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及最值求解即可．
【詳解】由題意是方程的兩根，且，
則，，即，
所以，()，
令，()，，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
則當(dāng)時，取最大值，
所以的最大值是．
故答案為：．
例2.（2023春·廣東省廣州市一模）已知，函數(shù).
（1）若，證明：當(dāng)時，：
（2）若函數(shù)存在極小值點，證明：
【答案】（1）證明見解析；
（2）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）把代入，構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性推理作答.
（2）由給定條件確定a的取值范圍，再分段討論函數(shù)的極小值點及極小值推理判斷作答.
【小問1詳解】
若，則，設(shè)，
，設(shè)，
，則在上單調(diào)遞增，，即，
于是在上單調(diào)遞增，，即，
所以當(dāng)時，.
【小問2詳解】
函數(shù)，其定義域為，
，
由（1）知在上單調(diào)遞增，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
則由，解得或，其中且，即且，
否則恒有，則在上單調(diào)遞增，函數(shù)無極值點，不符合題意，
若，即，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，因此是的極小值點，，
若，即，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，
在單調(diào)遞減，因此是的極小值點，
，又，于是，
綜上所述，函數(shù)存在極小值點.
【變式訓(xùn)練】
1.（2023春·廣東省江門市一模）（多選）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A. 的圖象是軸對稱圖形B. 的極大值為0
C. 的所有極值點之和為D. 的極小值之積為
【答案】BCD
【解析】
【分析】將代入中化簡，若，使得，等式均成立，則是軸對稱圖形，化簡等式，建立方程解出根，即可判斷A；對求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)為0，求出極值點之間關(guān)系，進(jìn)而判斷單調(diào)性即可判斷B、C，計算的極小值之積，即可判斷D.
【詳解】對A，若，使得,有成立，
即，
即，
即，
化簡可得：
，
因等式成立，所以有成立，解得，
故不存在這樣的使得，有成立，即不是軸對稱圖形，
故選項A錯誤；
對B,因為，
所以，可得或，
因為，所以有兩個不等實根記為，
由韋達(dá)定理得，所以，
當(dāng)時，，，所以，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，，所以，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，，所以，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，，所以，單調(diào)遞增，
所以的極大值點為，即選項B正確；
對C，的所有極值點之和為：，即選項C正確；
對D，由單調(diào)性可知的極小值點為，所以
將代入有：
，
故選項D正確.
故選：BCD
2.（2023春·廣東省揭陽市普寧市華僑中學(xué)2023屆高三二模）（多選）對于函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A. 在處取得極大值 B. 有兩個不同零點
C. D. 當(dāng)時，方程有兩解
【答案】ACD
【解析】
【分析】A.利用導(dǎo)數(shù)法求解判斷； B.由A畫出函數(shù)圖象判斷； C.根據(jù)在遞減，結(jié)合判斷； D.由A知：畫出函數(shù)的圖象判斷.
【詳解】A.，當(dāng)時，，遞增；當(dāng)時，，遞減，所以在處取得極大值，故正確；
B.由A畫出函數(shù)圖象如圖所示：
當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，又，所以只有一個零點，故錯誤；
C.因為在遞減，又，則，而，
令，則，當(dāng)時，，遞減，又，則，即，
即，所以，故正確；
D.由A知：函數(shù)的圖象如圖所示：
由圖象知：當(dāng)時，方程有兩解，故正確，
故選：ACD
3.（2023春·廣東省江門市高三一模）已知函數(shù)，其中.
（1）若的圖象在處的切線過點，求a的值；
（2）證明：，，其中e的值約為2.718，它是自然對數(shù)的底數(shù)；
（3）當(dāng)時，求證：有3個零點，且3個零點之積為定值.
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求在處的切線方程，然后由切線過點求得的值；
（2），構(gòu)造函數(shù)，，利用函數(shù)的單調(diào)性求證即可；
（3）令求得，可得在，上單調(diào)遞增，在遞減 ，則至多有三個零點．又，，，所以，結(jié)合零點存在定理知：使得，又，，則，所以恰有三個零點：，1，，從而得出結(jié)論.
【小問1詳解】
由條件得： ∴，
又 ∴在處的切線為：，
∵的圖象在處的切線過點，
∴ ∴.
【小問2詳解】
令，，則，
令，，
∴在遞減 ，
∴，即
∴在遞減，
∴，即， ；
【小問3詳解】
的定義域為：，，
時，由得：，，
時，；時，；時，，
∴在，上單調(diào)遞增，在遞減 ，
∴至多有三個零點.
∵，∴，∴，
又，在遞減，
∴，又由（2）知，所以，
結(jié)合零點存在定理知：使得，
又∴，，
∴，又， ，
∴恰有三個零點：，1，，
∴時，的所有零點之積為（定值）.
4.（2023春·廣東省汕頭市高三一模）已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)在處取得極值，求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍．
【答案】（1），單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，依題意求出求的值，令，利用導(dǎo)數(shù)說明的單調(diào)性，即可得到的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）依題意可得，設(shè)函數(shù)，則，利用導(dǎo)數(shù)說明的單調(diào)性，即可得到，則只需在上有兩個根，然后構(gòu)造新函數(shù)求的取值范圍.
【小問1詳解】
函數(shù)定義域為，，在處取得極值，則，
所以，此時，
令，，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，且，
所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增.
故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
【小問2詳解】
依題意即在上有兩個根，
整理為，即，
設(shè)函數(shù)，則上式為，
因為恒成立，所以單調(diào)遞增，所以，
所以只需在上有兩個根，
令，，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在處取得極大值即最大值，，
且當(dāng)時，當(dāng)時，
要想在上有兩個根，只需，解得，
所以的取值范圍為.
題型四：恒成立問題
【典例例題】
例1．（2023春·廣東省實驗學(xué)校高三模擬）已知函數(shù)，其中.
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)有兩個極值點，，且恒成立（為自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)的取值范圍.
解：（1）的定義域是，
，
①當(dāng)時，時，，時，，的減區(qū)間，增區(qū)間是；
②當(dāng)時，或時，，時，，的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；
③當(dāng)時，恒成立，的增區(qū)間是，無減區(qū)間；
④當(dāng)時，或時，，時，，的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；
綜上所述，當(dāng)時，的減區(qū)間為，增區(qū)間為；
當(dāng)時，的增區(qū)間是，，減區(qū)間是；
當(dāng)時，在單調(diào)遞增；
當(dāng)時，的增區(qū)間是和，減區(qū)間是。
（2），由題意有兩個不等正根，
，，又，，所以，
，
，
由題意，
，
設(shè)，則，
在上遞減，又，所以由，得．
綜上，．
【變式訓(xùn)練】
1. （2023春·廣東省東莞市高三模擬）已知函數(shù).
（1）求的極值；
（2）當(dāng)時，，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）極小值，無極大值
（2）
【解析】
【分析】（1）先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性得出極值；
（2）原問題轉(zhuǎn)化為不等式在上恒成立，方法一通過研究函數(shù)單調(diào)性求得的最小值為，從而求出；方法二通過同構(gòu)構(gòu)造函數(shù)并研究其單調(diào)性最值，從而說明的最小值為，進(jìn)而求出.
【小問1詳解】
求導(dǎo)得，
所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以有極小值，無極大值
【小問2詳解】
方法一：由題知不等式在上恒成立，
則原問題等價于不等式在上恒成立，
記，
則，
記，則恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，又，
所以存在，使得，
即當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
由，得，
即，
所以，
①當(dāng)時，
因為，所以不等式恒成立，
所以；
②當(dāng)時，
因為存在，使得，而，
此時不滿足，
所以無解.
綜上所述，.
方法二：由題知不等式在上恒成立，
原問題等價于不等式在上恒成立，
即在上恒成立.
記，則，當(dāng)單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
因為即，
①當(dāng)時，
因為，所以不等式恒成立，所以；
②當(dāng)時，令，顯然單調(diào)遞增，且，
故存在，使得，即，而，此時不滿足，所以無解.
綜上所述，.
2.（2023春·廣東省高州市高三二模）設(shè)定義在R上的函數(shù)．
（1）若存在，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）定義：如果實數(shù)s，t，r滿足，那么稱s比t更接近r．對于（1）中的a及，問：和哪個更接近？并說明理由．
【答案】（1）
（2）比更接近，理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件轉(zhuǎn)化為最值問題，討論的單調(diào)性，從而求出a的取值范圍；
（2）根據(jù)已知條件轉(zhuǎn)化為比較兩個函數(shù)的大小，利用函數(shù)的單調(diào)性，求出比更接近
【小問1詳解】
因為存在，使得成立，即
由題設(shè)知，，
①當(dāng)時，恒成立，在R上單調(diào)遞增；
即在單調(diào)遞增，，不滿足，
所以舍去.
②當(dāng)時，令，得，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在單調(diào)遞增，，不滿足，所以，舍去.
當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增， 所以成立，故當(dāng)時成立.
綜上：實數(shù)a的取值范圍.
【小問2詳解】
令，
，在單調(diào)遞減．因為
故當(dāng)時，；當(dāng)時，；
令，
，令，，在單調(diào)遞增，
故，所以，則在單調(diào)遞增，
所以，由（1）知，;
①當(dāng)時，，,
令，
所以，故在單調(diào)遞減，
所以，由（1）知，所以，
即，故，
所以比更接近；
②當(dāng)時，，，
令，，令，
，在上單調(diào)遞減，
所以，，在單調(diào)遞減，
所以，由（1）知，所以，
即，故，
所以比更接近；
綜上：當(dāng)及，比更接近．
題型五：不等式證明問題
【典例例題】
例1.（2023春·廣東省潮州市高三二模）已知函數(shù).
（1）若函數(shù)為增函數(shù)，求的取值范圍；
（2）已知.
（i）證明：；
（ii）若，證明：.
【答案】（1）
（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析
【解析】
分析】（1）分析可得原題意等價于對恒成立，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)求最值結(jié)合恒成立問題運算求解；
（2）（i）取，根據(jù)題意分析可得，構(gòu)建，結(jié)合導(dǎo)數(shù)證明即可；
（ii）根據(jù)題意分析可得，，，構(gòu)建，結(jié)合導(dǎo)數(shù)證明，即可得結(jié)果.
【小問1詳解】
∵，則，
若是增函數(shù)，則，
且，可得，
故原題意等價于對恒成立，
構(gòu)建，則，
令，解得；令，解得；
則在上遞增，在遞減，故，
∴的取值范圍為.
【小問2詳解】
（i）由（1）可知：當(dāng)時，單調(diào)遞增，
∵，則，即，
整理得，
構(gòu)建，則，
令，解得；令，解得；
則在上遞減，在遞增，
故，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
令，可得，
故；
（ii）∵，則，
可知有兩個不同實數(shù)根，由（1）知，
可得，
同理可得，
構(gòu)建，則，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；
且，故對恒成立，
故在上單調(diào)遞減，
∵，則，即，
且，則，故，
可得；
又∵，由（i）可得，即，
則，
且，則，
可得；
綜上所述：.
可得，則
故.
【變式訓(xùn)練】
1.（2023春·廣東省惠州市高三二模） 已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個零點.
（1）求實數(shù)的取值范圍；
（2）若的兩個零點分別為，，證明：.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1） 有兩個零點，等價于有兩個零點，等價于有兩個零點，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，判斷零點存在的條件，求實數(shù)的取值范圍；
（2）要證 只需證，即證，
由（1）知，，所以只需證，只需證，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，取最值得證.
【小問1詳解】
有兩個零點，
等價于有兩個零點，
令，則，在時恒成立，所以在時單調(diào)遞增，
所以有兩個零點，等價于有兩個零點，
因為 ，所以
①當(dāng)時，，單調(diào)遞增，不可能有兩個零點；
②當(dāng)時，令，得，單調(diào)遞增，令，得，單調(diào)遞減，
所以，
若，得，此時恒成立，沒有零點；
若，得，此時有一個零點；
若，得，因為，，，
所以在，上各存在一個零點，符合題意，
綜上，a的取值范圍為.
【小問2詳解】
要證 只需證，即證，
由（1）知，，所以只需證
因為，，所以，，
所以 ，只需證，
設(shè)，令， 則，所以只需證 即證 ，
令，，則 ，，
即當(dāng)時， 成立，
所以，即，即.
2.（2023春·廣東省廣州市高三二模）已知函數(shù)，.
（1）當(dāng)時，，求實數(shù)的取值范圍；
（2）已知，證明：.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）證明出，在時，可得出，在時，，分析可知，綜合可得出實數(shù)的取值范圍；
（2）由（1）變形可得，令，可得出，可得出，，證明出，可得出，，利用不等式的基本性質(zhì)可證得結(jié)論成立.
【小問1詳解】
解：令，則，
當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，，即，
所以，當(dāng)時，，即，
當(dāng)時，取，
由于，而，得，
故，不合乎題意.
綜上所述，.
【小問2詳解】
證明：當(dāng)時，由（1）可得，則，
可得，即，即，
令，所以，，所以，，即，
所以，，，
令，則，且不恒為零，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，則，
所以，，，
所以，
.
題型六：構(gòu)造函數(shù)
【典例例題】
例1.（2023春·廣東省廣州市高三一模）已知函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)函數(shù)為，若.，則關(guān)于x的不等式的解集為__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)探討單調(diào)性，求解不等式作答.
【詳解】令函數(shù)，則，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，
，因此，即，解得，
所以不等式的解集為.
故答案為：
【變式訓(xùn)練】
1.（2023春·廣東省廣州市高三二模） 已知偶函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且也是偶函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由偶函數(shù)的定義結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得出，由已知可得出，可求出的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可知函數(shù)在上為增函數(shù)，再由可得出，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，解之即可.
【詳解】因為為偶函數(shù)，則，等式兩邊求導(dǎo)可得，①
因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，②
聯(lián)立①②可得，
令，則，且不恒為零，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，即函數(shù)在上為增函數(shù)，
故當(dāng)時，，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，
由可得，
所以，，整理可得，解得.
故選：B.
2.（2023春·廣東省深圳市高三二模）已知，，且，則下列關(guān)系式恒成立的為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】構(gòu)造，，求導(dǎo)研究其單調(diào)性，分類討論得到正確選項.
【詳解】構(gòu)造，，
則，
當(dāng)時，，，
所以在單調(diào)遞增，
因為，
當(dāng)，時，則,所以所以
單調(diào)遞減，所以;
當(dāng)，時,所以所以,
單調(diào)遞增，所以.
故選：A
3.（2023春·廣東省揭陽市普寧市華僑中學(xué)高三二模）定義在上的單調(diào)函數(shù)，若對任意實數(shù)，都有，若是方程的一個解，則可能存在的區(qū)間是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意可得為常數(shù)，令（m為常數(shù)），則，再根據(jù)求出，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)零點的存在性定理即可得解.
【詳解】單調(diào)函數(shù)，對于，都有，
所以為常數(shù)，
令（m為常數(shù)），
所以，所以，
即，
因為函數(shù)在上都是增函數(shù)，
所以函數(shù)在上是增函數(shù)，
所以，
所以，
又，所以，
因為是方程的一個解，所以是方程的解，
令，則，
當(dāng)時恒成立，
所以單調(diào)遞增，
又，，
所以．
故選：C．
4. （2023春·廣東省高三二模）已知，存在，使得．
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）試探究與3的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【答案】（1）；
（2），證明見解析.
【解析】
【分析】（1）由已知可得函數(shù)與函數(shù)的圖象有三個公共點，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由此可得a的取值范圍；
（2）由（1）可得，由，可得，考慮構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，
證明，結(jié)合證明，由此證明結(jié)論.
【小問1詳解】
由題意得有三個零點，
所以方程有三個根，即方程有三個根.
所以函數(shù)與函數(shù)的圖象有三個公共點，
設(shè)，則，
令，解得；令，解得或，
所以在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，
因為當(dāng)時，，當(dāng)時，，
且，，
所以，即實數(shù)a的取值范圍為．
小問2詳解】
因為，由（1）得，
由，得，
設(shè)，則，
求導(dǎo)得，
令，解得，令，解得，
所以h（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
設(shè)，，
則，，
求導(dǎo)得恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，
所以，即，
因為，所以，
又因為，，h（x）在上單調(diào)遞減，
所以，即，
設(shè)且，則，
因為在上單調(diào)遞減，所以，
因為，所以，
所以，
因為在上單調(diào)遞減，所以，
所以，
所以．
1.（新課標(biāo)全國Ⅰ卷）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：當(dāng)時，．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【詳解】（1）因為，定義域為，所以，
當(dāng)時，由于，則，故恒成立，
所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，令，解得，
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；
綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）方法一：
由（1）得，，
要證，即證，即證恒成立，
令，則，
令，則；令，則；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，則恒成立，
所以當(dāng)時，恒成立，證畢.
方法二：
令，則，
由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
又，
所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
因為，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
所以要證，即證，即證，
令，則，
令，則；令，則；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，則恒成立，
所以當(dāng)時，恒成立，證畢.
2.（新課標(biāo)全國Ⅱ卷）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（ ）．
A．B．eC．D．
【答案】C
【詳解】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，
設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，
，故，即，即a的最小值為．
故選：C．
3.（新課標(biāo)全國Ⅱ卷）（多選）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（ ）．
A．B．C．D．
【答案】BCD
【詳解】函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，
因為函數(shù)既有極大值也有極小值，則函數(shù)在上有兩個變號零點，而，
因此方程有兩個不等的正根，
于是，即有，，，顯然，即，A錯誤，BCD正確.
故選：BCD
4.（新課標(biāo)全國Ⅱ卷）（1）證明：當(dāng)時，；
（2）已知函數(shù)，若是的極大值點，求a的取值范圍．
【答案】（1）證明見詳解（2）
【詳解】（1）構(gòu)建，則對恒成立，
則在上單調(diào)遞增，可得，
所以；
構(gòu)建，
則，
構(gòu)建，則對恒成立，
則在上單調(diào)遞增，可得，
即對恒成立，
則在上單調(diào)遞增，可得，
所以；
綜上所述：.
（2）令，解得，即函數(shù)的定義域為，
若，則，
因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故是的極小值點，不合題意，所以.
當(dāng)時，令
因為，
且，
所以函數(shù)在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，
由題意可得：，
（i）當(dāng)時，取，，則，
由（1）可得，
且，
所以，
即當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，
結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知：在上單調(diào)遞減，
所以是的極小值點，不合題意；
（ⅱ）當(dāng)時，取，則，
由（1）可得，
構(gòu)建，
則，
且，則對恒成立，
可知在上單調(diào)遞增，且，
所以在內(nèi)存在唯一的零點，
當(dāng)時，則，且，
則，
即當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，
結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知：在上單調(diào)遞增，
所以是的極大值點，符合題意；
綜上所述：，即，解得或，
故a的取值范圍為.
5.（全國乙卷數(shù)學(xué)（文））函數(shù)存在3個零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】，則，
若要存在3個零點，則要存在極大值和極小值，則，
令，解得或，
且當(dāng)時，，
當(dāng)，，
故的極大值為，極小值為，
若要存在3個零點，則，即，解得，
故選：B.
6.（全國乙卷數(shù)學(xué)（文））已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程．
(2)若函數(shù)在單調(diào)遞增，求的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）當(dāng)時，，
則，
據(jù)此可得，
所以函數(shù)在處的切線方程為，即.
（2）由函數(shù)的解析式可得，
滿足題意時在區(qū)間上恒成立.
令，則，
令，原問題等價于在區(qū)間上恒成立，
則，
當(dāng)時，由于，故，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
此時，不合題意;
令，則，
當(dāng)，時，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
即在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，滿足題意.
當(dāng)時，由可得，
當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，
注意到，故當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
由于，故當(dāng)時，，不合題意.
綜上可知：實數(shù)得取值范圍是.
7.（全國乙卷數(shù)學(xué)（理））設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是______.
【答案】
【詳解】由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立，
則，即在區(qū)間上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
結(jié)合題意可得實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
8.（全國乙卷數(shù)學(xué)（理））已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
(2)是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.
(3)若在存在極值，求a的取值范圍.
【答案】(1)；
(2)存在滿足題意，理由見解析.
(3).
【詳解】（1）當(dāng)時，，
則，
據(jù)此可得，
函數(shù)在處的切線方程為，
即.
（2）由函數(shù)的解析式可得，
函數(shù)的定義域滿足，即函數(shù)的定義域為，
定義域關(guān)于直線對稱，由題意可得，
由對稱性可知，
取可得，
即，則，解得，
經(jīng)檢驗滿足題意，故.
即存在滿足題意.
（3）由函數(shù)的解析式可得，
由在區(qū)間存在極值點，則在區(qū)間上存在變號零點;
令，
則，
令，
在區(qū)間存在極值點，等價于在區(qū)間上存在變號零點，
當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
此時，在區(qū)間上無零點，不合題意;
當(dāng)，時，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，
所以在區(qū)間上無零點，不符合題意；
當(dāng)時，由可得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
故的最小值為，
令，則，
函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，，
據(jù)此可得恒成立，
則，
令，則，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
故，即(取等條件為)，
所以，
，且注意到，
根據(jù)零點存在性定理可知:在區(qū)間上存在唯一零點.
當(dāng)時，，單調(diào)減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以.
令，則，
則單調(diào)遞減，注意到，
故當(dāng)時，，從而有，
所以
，
令得，所以，
所以函數(shù)在區(qū)間上存在變號零點，符合題意.
綜合上面可知:實數(shù)得取值范圍是.
9.（全國甲卷數(shù)學(xué)（文））曲線在點處的切線方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】設(shè)曲線在點處的切線方程為，
因為，
所以，
所以
所以
所以曲線在點處的切線方程為.
故選：C
10.（全國甲卷數(shù)學(xué)（文））已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
(2)若，求的取值范圍．
【答案】(1)在上單調(diào)遞減
(2)
【詳解】（1）因為，所以，
則
，
令，由于，所以，
所以，
因為，，，
所以在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞減.
（2）法一：
構(gòu)建，
則，
若，且，
則，解得，
當(dāng)時，因為，
又，所以，，則，
所以，滿足題意；
當(dāng)時，由于，顯然，
所以，滿足題意；
綜上所述：若，等價于，
所以的取值范圍為.
法二：
因為，
因為，所以，，
故在上恒成立，
所以當(dāng)時，，滿足題意；
當(dāng)時，由于，顯然，
所以，滿足題意；
當(dāng)時，因為，
令，則，
注意到，
若，，則在上單調(diào)遞增，
注意到，所以，即，不滿足題意；
若，，則，
所以在上最靠近處必存在零點，使得，
此時在上有，所以在上單調(diào)遞增，
則在上有，即，不滿足題意；
綜上：.
11.（全國甲卷數(shù)學(xué)（文））已知
(1)若，討論的單調(diào)性；
(2)若恒成立，求a的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析.
(2)
【詳解】（1）
令,則
則
當(dāng)
當(dāng),即.
當(dāng),即.
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減
（2）設(shè)
設(shè)
所以.
若,
即在上單調(diào)遞減,所以.
所以當(dāng),符合題意.
若
當(dāng),所以.
.
所以,使得,即,使得.
當(dāng),即當(dāng)單調(diào)遞增.
所以當(dāng),不合題意.
綜上,的取值范圍為.
12.（新高考天津卷）已知函數(shù)．
(1)求曲線在處切線的斜率；
(2)當(dāng)時，證明：；
(3)證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【詳解】（1），則，
所以，故處的切線斜率為；
（2）要證時，即證，
令且，則，
所以在上遞增，則，即.
所以時.
（3）設(shè)，，
則，
由（2）知：，則，
所以，故在上遞減，故；
下證，
令且，則，
當(dāng)時，遞增，當(dāng)時，遞減，
所以，故在上恒成立，
則，
所以，，…，，
累加得：，而，
因為，所以，
則，
所以，故；
綜上，，即.
1.（2023春·廣東省佛山市高三二模）若斜率為1的直線與曲線和圓都相切，則實數(shù)的值為（ ）
A. B. 0C. 2D. 0或2
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)直線與曲線的切點為，先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在切點處的切線方程，再根據(jù)直線與圓相切和圓心到直線距離的關(guān)系列式求解即可．
【詳解】設(shè)直線與曲線的切點為，
由，則，
則，，即切點為，所以直線為，
又直線與圓都相切，則有，解得或．
故選：D．
2. （2023春·廣東省汕頭市潮陽區(qū)七校聯(lián)合體二模）（多選）關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（ ）
A. 是的極小值點
B. 函數(shù)圖像上的點到直線的最短距離為
C. 函數(shù)有且只有1個零點
D. 不存在正實數(shù)k，使成立
【答案】AB
【解析】
【分析】對A：求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求極值點；對B：結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析運算；對C：求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)分析零點問題；對D：結(jié)合選項C中的結(jié)論分析判斷.
【詳解】對A：函數(shù)的定義域為，，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以是的極小值點，故A正確；
對B：設(shè)直線與函數(shù)的圖像相切，切點坐標(biāo)為，
由，可得，解得，
所以，即切點為，
則切點到直線的距離為，
即函數(shù)圖像上的點到直線的最短距離為，故B正確；
對C：因為，所以，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
故函數(shù)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，
所以函數(shù)不存在零點，故C不正確，
對D：由選項C可知：，即恒成立，
所以存在正實數(shù)k，使恒成立，故D錯誤．
故選：AB．
3. （2023春·廣東省汕頭市高三二模）給出定義：設(shè)是函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).若方程有實數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“拐點”，且該“拐點”也是函數(shù)的圖象的對稱中心.若函數(shù)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通過二次求導(dǎo)可得，求出的圖像的對稱中心為，得到，據(jù)此規(guī)律求和即可.
【詳解】由，可得，
令，可得，又，
所以的圖像的對稱中心為，
即，
所以
，
故選：B.
4.（2023春·廣東省深圳市龍崗區(qū)德琳學(xué)校2023屆高三二模）（多選）已知函數(shù)，在R上的導(dǎo)函數(shù)分別為，，若為偶函數(shù)，是奇函數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. 是R上的奇函數(shù)D. 是R上的奇函數(shù)
【答案】AD
【解析】
【分析】利用函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性，以及原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的奇偶性，即可判斷各選項正誤.
【詳解】解：已知為偶函數(shù)，可知關(guān)于對稱，
所以關(guān)于對稱，
因為是奇函數(shù)，可知關(guān)于對稱，
所以關(guān)于對稱，
又因為，則，即，
所以與關(guān)于對稱，
因為關(guān)于對稱的點為，直線關(guān)于對稱的直線為，
所以關(guān)于對稱，關(guān)于直線對稱，是偶函數(shù)，
而關(guān)于對稱，，又，
則，，，
即是周期為4的偶函數(shù)，故C選項錯誤；
由關(guān)于直線對稱，，關(guān)于對稱，，
則，，
所以，即是周期為4的偶函數(shù)，
由于是周期為4的偶函數(shù)，則，
等號兩邊同時求導(dǎo)，可得，所以是周期為4的奇函數(shù)，
同理，由于是周期為4的偶函數(shù)，則，
等號兩邊同時求導(dǎo)，可得，是周期為4的奇函數(shù)，
所以與均是周期為4的奇函數(shù)，故D選項正確；
由于關(guān)于對稱，，，則，
所以，故A選項正確；
，故B選項錯誤；
故選：AD.
5. （2023春·廣東省佛山市高三二模）（多選） 已知函數(shù)，對于任意的實數(shù)，，下列結(jié)論一定成立的有（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性一一判定即可.
【詳解】，
令在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，故，
所以在上單調(diào)遞增，且.
對于A項，若，顯然B正確；
對于B項，有，
令，令，
在R上單調(diào)遞增，而，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，
所以，故A正確；
對于D項，若，
即，故D正確；
設(shè)，若，則滿足，
但，故C錯誤.
故選：ABD
6.（2023春·廣東省梅州市高三二模） 設(shè)函數(shù)在R上存在導(dǎo)數(shù)，對任意的，有，且在上．若，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通過構(gòu)造函數(shù)，利用的奇偶性和條件得到在上單調(diào)遞減，再將變形成，從而得到，即可求出結(jié)果.
【詳解】因為，所以，得到，
令，所以，
則為奇函數(shù)，且，
又當(dāng)時，，所以由奇函數(shù)的性質(zhì)知，在上單調(diào)遞減，
又，所以，即，
所以，即.
故選：A.
7.（2023春·廣東省佛山市高三二模）已知函數(shù)有2個極值點，，則______．
【答案】0
【解析】
【分析】由得，然后根據(jù)函數(shù)解析式結(jié)合條件即得.
【詳解】因為函數(shù)有兩個極值點與
由，則的兩根為與，
所以，即，
由，可得，
所以.
故答案為：0.
8.（2023春·廣東省汕頭市潮陽區(qū)七校聯(lián)合體高三二模）設(shè)，是函數(shù)（）的兩個極值點，若，則的最小值為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)極值點定義可將問題轉(zhuǎn)化為與有兩個不同交點；化簡得到，利用換元法令，則，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出，將參數(shù)分離出來，構(gòu)造函數(shù)，即可得出.
【詳解】，是的兩個極值點，
是的兩根，又當(dāng)時，方程不成立，
即，兩式作比得到:==，
所以，令，所以
令 ，則
令 ，則
所以在上單調(diào)遞減，所以
所以在上單調(diào)遞減，
所以
令 ，則 恒成立
所以在上單調(diào)遞減，即
故答案為：.
9.（2023春·廣東省梅州市高三二模）已知函數(shù)的圖象在處的切線在y軸上的截距為2，則實數(shù)____________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程作答.
【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得：，，而，
因此函數(shù)的圖象在處的切線方程為：，
令，得，于是，解得，
所以.
故答案為：
10.（2023春·廣東省深圳市高三二模） 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
（2）若函數(shù)有兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）.
（2）.
【解析】
【分析】（1）運用導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線的斜率，進(jìn)而求得切線方程.
（2）將問題轉(zhuǎn)化為（）有兩個不同的根，運用分離參數(shù)研究函數(shù)與在上有兩個不同的交點，運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象觀察即可.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，
則，
所以，
切線斜率為，
所以切線方程為：，
即：.
【小問2詳解】
∵，定義域為，
∴，
又∵有兩個極值點，
∴有兩個零點，即：（）有兩個不同的根.
即：（）有兩個不同的根.
令，則與在上有兩個不同的交點.
∵，
則，，
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又∵，，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
∴的圖象如圖所示，
所以，
所以
11.（2023春·廣東省佛山市高三二模） 已知函數(shù)，其中．
（1）若有兩個零點，求的取值范圍；
（2）若，求的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）由題可得方程有兩個解，然后構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)而即得；
（2）由題知恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)時，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件可得只需證明即可，再構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式即得.
【小問1詳解】
由有兩個零點，得方程有兩個解，
設(shè)，則，
由，可得，單調(diào)遞增，由，可得，單調(diào)遞減，
所以的最大值為，當(dāng)時，當(dāng)時，，
所以可得函數(shù)的大致圖象，
所以，解得，
所以，有兩個零點時，的取值范圍是；
小問2詳解】
設(shè)，即，則恒成立，
由，，可得，
下面證明當(dāng)時，，即證，
令，則證，，
令為開口向上的二次函數(shù)，對稱軸為，
由（1）可知，故在時單調(diào)遞增，
則，
下面只需證明即可，即證，
令，則，
令，則，
所以函數(shù)單調(diào)遞減，且，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故，即，從而不等式得證，
綜上，的取值范圍是．
12. （2023春·廣東省揭陽市普寧市華僑中學(xué)2023屆高三二模）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，若，證明：．
（2）當(dāng)時，，求a的取值范圍．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）首先不等式變形后，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明，即可證明；
（2）首先構(gòu)造函數(shù)，分，和三種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，討論不等式，并得到的取值范圍.
【小問1詳解】
當(dāng)時，需證，只需證
設(shè)，
，
當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，
所以．
所以
【小問2詳解】
因為，所以
設(shè)，
可得，
又，則，
若，，由（1）知，當(dāng)時，；
當(dāng)時，，
所以恒成立，符合題意；
若，，
當(dāng)時，，不合題意；
若，因為時，，
所以在上單調(diào)遞增，
因為，又，
所以存在，，
當(dāng)時，，
在上單調(diào)遞減，，不合題意；
綜上，，的取值范圍是．
13.（2023春·廣東省梅州市高三二模）已知函數(shù)，其中．
（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為；
（2）.
【解析】
【分析】（1）把代入，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間作答.
（2）構(gòu)造函數(shù)并求出導(dǎo)數(shù)，再按分段討論函數(shù)單調(diào)性，由此求出取得最小值1作答.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，函數(shù)的定義域為，
求導(dǎo)得，
顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
因此當(dāng)時,單調(diào)遞減，當(dāng)時,單調(diào)遞增，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
【小問2詳解】
，令，求導(dǎo)得，
當(dāng)時,，則在上單調(diào)遞增，，滿足題意，
當(dāng)時，設(shè)，則，因此函數(shù)，即在上單調(diào)遞增，
而，
(i)當(dāng)時,在上單調(diào)遞增，
于是，滿足題意，
(ii)當(dāng)，即時，對，則在上單調(diào)遞減，
此時，不合題意，
（iii）當(dāng)時，因為在上單調(diào)遞增，
且，于是，使，且當(dāng)時,單調(diào)遞減，
此時，不合題意，
所以實數(shù)的取值范圍為.
14.（2023春·廣東省大灣區(qū)2023屆高三一模） 已知函數(shù)，其中a為常數(shù)，…是自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；
（2）當(dāng)時，問有幾個零點，請說明理由．
【答案】（1）
（2）三個
【解析】
【分析】（1）當(dāng)時，求出、的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得所求切線的方程；
（2）令，可得出，令，則原方程轉(zhuǎn)化為（*），令，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理可得出結(jié)論.
【小問1詳解】
解：當(dāng)時，，則，
，則，
故當(dāng)時，曲線在處的切線方程為.
【小問2詳解】
解：令，可得，
即，即，即，
令，則上述方程轉(zhuǎn)化為（*）
的零點個數(shù)即為方程（*）的根的個數(shù).
則，令可得，列表如下：
所以，為函數(shù)的唯一極大值點，且，
令，當(dāng)時，，，
①當(dāng)時，，，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，
為解方程，只需解方程，
令，其中，即，
令，其中，則，令，可得，列表如下：
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，故，
，，
根據(jù)零點存在定理，存在唯一的，使得，即，
所以，，故方程（*）在上有唯一解；
②當(dāng)時，不成立，故不是方程（*）的解；
③當(dāng)時.
（i）當(dāng)時，，，所以，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，
故在上單調(diào)遞增，
因為，
，
根據(jù)零點存在定理，函數(shù)在上存在唯一零點；
（ii）當(dāng)時，，，而在上單調(diào)遞增，
為解方程，只需解方程，
令，其中，
因為，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
因為，，
故存在唯一的，使得，即，即，
故方程在區(qū)間上也存在唯一解.
綜上所述，當(dāng)時，方程存在三個解，即函數(shù)有三個零點.
15.（2023春·廣東省汕頭市高三二模）已知函數(shù)，，.
（1）若函數(shù)存在極值點，且，其中，求證：；
（2）用表示m，n中的最小值，記函數(shù)，，若函數(shù)有且僅有三個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)存在極值點，再分類討論即可證得；
（2）按x分三類討論，利用導(dǎo)數(shù)即可求得函數(shù)有且僅有三個不同的零點時實數(shù)a的取值范圍.
【小問1詳解】
由題意，，，
當(dāng)時，恒成立，沒有極值.
當(dāng)時，令，即，解之得，，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，， 單調(diào)遞增.
∴時，有極大值為，
時，有極小值為，
當(dāng)時，要證，即證，
代入計算有，，，
則有符合題意，即得證；
當(dāng)時，要證，即證，
代入計算有，，，
則有符合題意，即得證.
綜上，當(dāng)為極大值點和極小值點時，均成立.
【小問2詳解】
①當(dāng)時，，∴，
故函數(shù)時無零點；
②當(dāng)時，，，若，則，
，故是函數(shù)的一個零點；
若，則，∴，故時函數(shù)無零點.
③當(dāng)時，，因此只需要考慮，
由題意，，，
㈠當(dāng)時，恒成立，
∴在上單調(diào)遞增，，∴在恒成立，
即在內(nèi)無零點，也即在內(nèi)無零點；
㈡當(dāng)時，，恒成立，
∴在上單調(diào)遞減，
即在內(nèi)有1個零點，也即在內(nèi)有1個零點；
㈢時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
∴，
若，即時，
在內(nèi)無零點，也即在內(nèi)無零點；
若，即時，在內(nèi)有唯一的一個零點，
也即在內(nèi)有唯一的零點；
若，即時，由，，
∴時，在內(nèi)有兩個零點.
綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)有3個零點.
16. （2023春·廣東省汕頭市潮陽區(qū)七校聯(lián)合體2023屆高三下學(xué)期第三次聯(lián)考）已知函數(shù)（a為非零常數(shù)），記（），．
（1）當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)a的最大值；
（2）當(dāng)時，設(shè)，對任意的，當(dāng)時，取得最小值，證明：且所有點在一條定直線上．
【答案】（1）
（2）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）轉(zhuǎn)化為時求，令，利用導(dǎo)數(shù)求出可得答案；
（2）求出，，可得，時，，當(dāng)時，，利用導(dǎo)數(shù)求出時，取得最小值，且，可得答案；
【小問1詳解】
由，，
令，，
時，，時，
∴在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
∴，
∴，
即的最大值為；
【小問2詳解】
解：，∴，，
，，
時，，
當(dāng)時，，
，令，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
∴時，取得最小值，
且，
∴為在定直線上運動；
17.（2023春·廣東省韶關(guān)市高三二模）已知，，.
（1）求曲線在點處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積；
（2）若，，設(shè)（其中，）為的極值點，若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，由點斜式可得切線方程，進(jìn)而可得與坐標(biāo)軸交點的坐標(biāo)，進(jìn)而可得答案．
（2）根據(jù)題意可得，求導(dǎo)得分析的單調(diào)性，推出，同理可得存在唯一，使得，可得，，由，整理得，可得或，又，則，即可得出答案．
【小問1詳解】
因為，所以，
所以，
所以點為切點的切線方程為，
令，解得，令，解得，
所以切線與坐標(biāo)軸交點的坐標(biāo)為，，
所以切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為．
【小問2詳解】
因為，
所以，
當(dāng)時，，
由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且值域，
所以存在唯一，使得，
此時當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以，
同理，存在唯一，使得，
此時當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以，
由，，，
同理，
由，整理得，
又，
所以，則有，
由，故或，
又，
當(dāng)時，不滿足，舍去，
所以，即，即，
綜上所述，．
18.（2023春·廣東省深圳市高三二模） 已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時，函數(shù)恰有兩個零點.
（i）求m的取值范圍；
（ii）證明:.
【答案】（1）答案見解析
（2）（i）；（ii）證明見解析
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，再分和，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號即可得出答案；
（2）（i）求導(dǎo)，，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合（1）分和兩種情況討論，利用零點的存在性定理即可得出答案；
（ii）由（i）可得要證，即證，先證明，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，從而可得出結(jié)論.
【小問1詳解】
，
當(dāng)時，，所以函數(shù)在上遞減，
當(dāng)時，設(shè)，則，
所以函數(shù)在上遞增，即在上遞增，
令，得，
當(dāng)時，，函數(shù)為減函數(shù)，
當(dāng)時，，函數(shù)為增函數(shù)，
綜上可得，當(dāng)時，函數(shù)在上遞減；
當(dāng)時，函數(shù)在上遞減，在上遞增；
【小問2詳解】
（i），
函數(shù)的定義域為，
，
設(shè)，則，
所以函數(shù)在上遞增，
由（1）可知，當(dāng)時，，
即，
所以，
所以，
又因，由零點的存在性定理可得，
存在，使得，即，（*）
當(dāng)時，，即，為減函數(shù)，
當(dāng)時，，即，為增函數(shù)，
當(dāng)時，由（*）可知，
且，
設(shè)，則，
所以函數(shù)在上遞增，
因為，結(jié)合，
得，又，所以，
所以，
即，
所以當(dāng)時，函數(shù)最多一個零點，與題意矛盾，
當(dāng)時，，
設(shè)，則，
所以函數(shù)在上遞增，
所以，即，
因為，所以，即，所以，
則，
所以，且，
當(dāng)時，，
所以由單調(diào)性可知，且，
所以當(dāng)時，，為減函數(shù)，
當(dāng)時，，為增函數(shù)，
所以由零點的存在性定理可知，在區(qū)間上存在唯一的零點，
，且，
所以由零點的存在性定理可知，在區(qū)間上存在唯一的零點，
所以當(dāng)時，函數(shù)恰有兩個零點，
綜上所述，m的取值范圍為；
（ii）因為，即，
則，
所以，
有基本不等式可得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，
由，由可得，這與矛盾，所以，
所以，
要證，即證，
設(shè)，
則
所以函數(shù)在上遞減，
所以當(dāng)時，，
因為，所以，
所以，
又，
所以.
19.（2023春·廣東省深圳市龍崗區(qū)德琳學(xué)校2023屆高三二模） 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）①當(dāng)時，試證明函數(shù)恰有三個零點；
②記①中的三個零點分別為，，，且，試證明.
【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間
（2）①證明見解析；②證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的定義域，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）①當(dāng)時，求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出極值點，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后證明函數(shù)恰有三個零點；
②記①中的三個零點分別為，，，判斷零點所在區(qū)間，利用分析法結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化證明即可．
【小問1詳解】
當(dāng)時，定義域為，
所以，
所以在定義域上單調(diào)遞減，其單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間．
【小問2詳解】
①由定義域為，
所以，
令，因為，，
設(shè)方程的兩根分別為，，且，則，，
所以有兩個零點，，且，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
所以在處取得極小值，在處取得極大值，
又，故，則，
又因為，，且，
故有，由零點存在性定理可知，
在恰有一個零點，在也恰有一個零點，
易知是的零點，所以恰有三個零點；
②由①知，，則，
因為，所以，
所以要證，
即證，
即證，
即證，
即證，
即證．
令，則，
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，
所以，故式成立，
所以．
20. （2023秋·河南省南陽市新野縣第一高級中學(xué)校12月份模擬）已知函數(shù)（）.
（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）極小值為，無極大值.
（2）的取值范圍是.
【解析】
【分析】（1）先求函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與極值點的關(guān)系求極值點，再求極值即可；
（2）由條件可知在上恒成立，再分離變量求最值即可求解.
【小問1詳解】
函數(shù)的定義域為，
當(dāng)時，
求導(dǎo)得，
整理得：.
令可得，或（舍去）
當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，函數(shù)取極小值，極小值為，
函數(shù)無極大值；
【小問2詳解】
由已知時，恒成立，
所以恒成立，
即恒成立，則.
令函數(shù)，
由知在單調(diào)遞增，
從而.
經(jīng)檢驗知，當(dāng)時，函數(shù)不是常函數(shù)，
所以的取值范圍是.
增
極大
減
減
極小
增

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