1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則
2.三角形常用面積公式
(1)S＝eq \f(1,2)a·ha(ha表示邊a上的高)；
(2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A；
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形內(nèi)切圓半徑)．
3．測量中的有關(guān)幾個術(shù)語
方法技巧
【核心題型】
題型一：正余弦定理
1．（2023·陜西·西安市西光中學(xué)校聯(lián)考一模）在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 的對邊分別為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
2．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考一模） SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．4B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c． SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點為D，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．4C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
題型二：邊角互化
4．（2022秋·甘肅張掖·高三高臺縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）秦九韶是我國南宋數(shù)學(xué)家，其著作《數(shù)書九章》中的大衍求一術(shù)、三斜求積術(shù)和秦九韶算法是具有世界意義的重要貢獻．秦九韶把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜，三斜求積術(shù)即已知三邊長求三角形面積的方法，用公式表示為： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的對邊．已知 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 面積的最大值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2022·山西呂梁·統(tǒng)考二模）銳角 SKIPIF 1 < 0 是單位圓的內(nèi)接三角形，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
題型三：三角形面積公式巧用
7．（2023·廣西柳州·二模）在 SKIPIF 1 < 0 中，內(nèi)角 SKIPIF 1 < 0 所對的邊分別為 SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C．2D．3
8．（2023·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在 SKIPIF 1 < 0 中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知 SKIPIF 1 < 0 ，若角A的內(nèi)角平分線 SKIPIF 1 < 0 的長為3，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A．21B．24C．27D．36
9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，在銳角 SKIPIF 1 < 0 中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 面積的最大值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
題型四：解三角形的實際應(yīng)用
10．（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在其撰寫的《海島算經(jīng)》中給出了著名的望海島問題：今有望海島，立兩表，齊高三丈，前后相去千步，今前表與后表三相直．從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末三合．從后表卻行一百二十七步，亦與表末三合．問島高及去表各幾何．這一方法領(lǐng)先印度500多年，領(lǐng)先歐洲1300多年．其大意為：測量望海島 SKIPIF 1 < 0 的高度及海島離海岸的距離，在海岸邊立兩等高標(biāo)桿 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共面，均垂直于地面），使目測點 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共線，目測點 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共線，測出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可求出島高 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的距離（如圖）．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則海島的高 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．18B．16C．12D．21
11．（2022·四川南充·統(tǒng)考一模）某工廠的煙囪如圖所示，底部為 SKIPIF 1 < 0 ，頂部為 SKIPIF 1 < 0 ，相距為 SKIPIF 1 < 0 的點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與點 SKIPIF 1 < 0 在同一水平線上，用高為 SKIPIF 1 < 0 的測角工具在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 位置測得煙囪頂部 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 處的仰角分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 在同一條水平線上， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，則煙囪的高 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
12．（2022·江西·江西師大附中?？既＃┑靥広M江東岸的騰王閣與岳陽樓?黃鶴樓并稱為“江南三大名樓”，是中國古代四大名樓之一?“中國十大歷史文化名樓”之一，世稱“西江第一樓”.“云銷雨霽，彩徹區(qū)明.落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色.漁舟唱晚，響窮彭蠡之濱；雁陣驚寒，聲斷衡陽之浦”是唐代文學(xué)家王勃對騰王閣的生動描寫.某位游客（身高忽略不計）從地面D點看樓頂點A的仰角為30°，沿直線前進72米到達E點，此時看點C的仰角為45°，若 SKIPIF 1 < 0 ，則樓高AB約為（ ）
A．58米B．68米C．78米D．88米
題型五：解三角形的綜合應(yīng)用
13．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 的對邊分別為 SKIPIF 1 < 0 ，且滿足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求角 SKIPIF 1 < 0 的大??；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 為邊 SKIPIF 1 < 0 的中點，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面積.
14．（2023·全國·唐山市第十一中學(xué)?？寄M預(yù)測）在銳角三角形 SKIPIF 1 < 0 中,角 SKIPIF 1 < 0 的對邊分別為 SKIPIF 1 < 0 ,向量 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求角 SKIPIF 1 < 0 的大小;
(2)若 SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍.
15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的一點， SKIPIF 1 < 0 記為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 記為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中的對邊分別記為m，n， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，記 SKIPIF 1 < 0 ，求線段 SKIPIF 1 < 0 的長和 SKIPIF 1 < 0 面積的最大值.
【高考必刷】
一、單選題
16．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考一模） SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．4B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
17．（2022·安徽黃山·統(tǒng)考一模）在 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 ,O是 SKIPIF 1 < 0 的外心,則 SKIPIF 1 < 0 的最大值為（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．3D． SKIPIF 1 < 0
18．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）圭表（如圖甲）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標(biāo)竿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)竿垂直的長尺（稱為“圭”），當(dāng)太陽在正午時刻照射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至．圖乙是一個根據(jù)某地的地理位置設(shè)計的主表的示意圖，已知某地冬至正午時太陽高度角（即∠ABC）大約為15°，夏至正午時太陽高度角（即∠ADC）大約為60°，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即DB的長）為a，則表高（即AC的長）為（注： SKIPIF 1 < 0 ）（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
19．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測）在 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在 SKIPIF 1 < 0 中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 外接圓的周長為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的周長為（ ）
A．20B． SKIPIF 1 < 0 C．27D． SKIPIF 1 < 0
21．（2022秋·吉林長春·高三長春市第二實驗中學(xué)?？计谀┰?SKIPIF 1 < 0 中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則線段CD長度的最小值為（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C．3D． SKIPIF 1 < 0
22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 的對邊分別為 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 面積的最大值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
23．（2022·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 ）的焦點為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是橢圓上一點，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)切圓的半徑 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 為橢圓 SKIPIF 1 < 0 的離心率）的最小值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多選題
24．（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學(xué)?？寄M預(yù)測）在 SKIPIF 1 < 0 中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若 SKIPIF 1 < 0 ，則B的值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
25．（2022·湖北·荊門市龍泉中學(xué)校聯(lián)考一模） SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，BC邊上的中線 SKIPIF 1 < 0 ，則下列說法正確的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 為定值B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的最大值為30°
26．（2022·全國·模擬預(yù)測）在 SKIPIF 1 < 0 中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則以下四個命題中正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 面積的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0
C．已知M是邊BC的中點，則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0
D．當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 的周長為 SKIPIF 1 < 0
27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所對的邊為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 邊上的中點為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，下列選項正確的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D．角 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0
三、填空題
28．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在 SKIPIF 1 < 0 中，內(nèi)角 SKIPIF 1 < 0 的對邊長分別為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則b的值為______．
29．（2023·浙江·永嘉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）我國南宋時期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中，提出了已知三角形三邊長求三角形面積的公式.在 SKIPIF 1 < 0 中，設(shè) SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)角 SKIPIF 1 < 0 的對邊，S表示 SKIPIF 1 < 0 的面積，其公式為 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ______.
30．（2023·陜西·西安市西光中學(xué)校聯(lián)考一模）在銳角 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的對邊分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值為______.
31．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）雙紐線也稱伯努利雙紐線，是指定線段AB長度為2a，動點 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 的軌跡稱為雙紐線．已知曲線 SKIPIF 1 < 0 為雙紐線，若 SKIPIF 1 < 0 為曲線 SKIPIF 1 < 0 上的動點，A，B的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 面積的最大值為______．
四、解答題
32．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求B；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
33．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考一模）已知條件：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 .在這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答.問題：在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所對的邊分別是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，滿足：______.注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分.
(1)求角 SKIPIF 1 < 0 的大?。?br>(2)若 SKIPIF 1 < 0 為銳角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍.
34．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的面積；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求b．
35．（2023·四川攀枝花·攀枝花七中?？寄M預(yù)測）如圖，在梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 周長的最大值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
定理
正弦定理
余弦定理
內(nèi)容
(1)eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R
(2)a2＝b2＋c2－2bccs A；
b2＝c2＋a2－2cacs B；
c2＝a2＋b2－2abcs C
變形
(3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(4)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)；
(5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
(7)cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ac)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
術(shù)語名稱
術(shù)語意義
圖形表示
仰角與俯角
在目標(biāo)視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角
方位角
從某點的指北方向線起按順時針方向到目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角．方位角θ的范圍是0°≤θ

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