題型一：直線與平面所成的角
【典例例題】
例1. （2023春·廣東省佛山市高三一模）19. 如圖，在四棱錐中，已知，，，，，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn).
（1）證明：平面平面；
（2）若，求平面與平面所成夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)線面平行及面面平行的判定定理即得；
（2）方法一，延長(zhǎng)與交于，由題可得面面，過(guò)作，過(guò)作，進(jìn)而可得即為面與面所成二面角的平面角，結(jié)合條件即得；
方法二，利用坐標(biāo)法，根據(jù)面面角的向量求法即得.
【小問(wèn)1詳解】
連接，∵為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，
∴，又面，面，
∴面，
在中，，，，
∴，即，
在中，，，∴，，
在中，，，，，
∴，，∴，
∵F為AB中點(diǎn)，∴，，
∴，又∵面，面，
∴面，又∵，CF，面，
∴平面平面；
【小問(wèn)2詳解】
解法一：延長(zhǎng)與交于，連，則面面，
在中，，，，所以，
又，，，面，
∴面，面，
∴面面，
在面內(nèi)過(guò)作，則面，
∵面，∴，
過(guò)作，連，∵，面，面，
∴面，面，
∴，
∴即為面與面所成二面角的平面角，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，，，又，
∴，， ，
∴.
解法二：在中，，，，所以，
又，，平面，
所以平面，平面，
所以平面平面，
又∵，，
∴，
以為軸，為軸，過(guò)且垂直于面的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
設(shè)平面的法向量，，，
，令，則，∴，
設(shè)平面的法向量，，
令，則，，
∴，
所以，
∴平面與平面所成角的余弦值為.
【變式訓(xùn)練】
1.（2023春·廣東省廣州市高三一模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，
（1）求證：；
（2）求平面PAB與平面ABCD交角的正弦值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，可證明，，進(jìn)而可證平面，則結(jié)論成立；（2）過(guò)做平面，過(guò)做于，則為平面PAB與平面所成角，根據(jù)題中所給條件計(jì)算，的長(zhǎng)，求出正切值，進(jìn)而求出正弦值.
【小問(wèn)1詳解】
取中點(diǎn)，連接，
因?yàn)?，且，所以四邊形為平行四邊形，即?br>因?yàn)椋裕?br>因?yàn)椤鱌AD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，所以；
，所以平面，平面，所以.
【小問(wèn)2詳解】
過(guò)做平面，過(guò)做于，則為平面PAB與平面所成角，
由（1）可知：平面，平面，所以平面平面，平面平面，
則直線，由題意可知，，又，所以，在直角三角形中，，所以，，
過(guò)做于，則，
中，，，則，，
所以，所以，，則.
2.（2023春·廣東省江門(mén)市高三一模）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且平面.
（1）求的值；
（2）若平面，，，，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）連接與交于點(diǎn)，求出，利用線面平行的性質(zhì)可得出，由此可得出的值；
（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，由可得出，求出的值，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.
【小問(wèn)1詳解】
解：連接與交于點(diǎn)，
因?yàn)榈酌媸橇庑?，是的中點(diǎn)，
所以，且，所以.
因?yàn)槠矫妫矫?，平面平面?br>所以 ，所以.
【小問(wèn)2詳解】
解：因?yàn)榈酌媸橇庑?，是的中點(diǎn)，，
因?yàn)椋瑒t，
由余弦定理可得，
所以，，所以.
因平面，平面，平面，
所以，，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
則，，，.
設(shè)，，則，
所以.
因?yàn)椋?，解?
所以，，.
設(shè)為平面的法向量，則，得，
取，所以為平面的一個(gè)法向量.
因?yàn)椋?br>所以直線與平面所成角的正弦值是.
題型二：二面角
【典例例題】
例1.（2023春·廣東省東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三一模）如圖，為圓柱的軸截面，是圓柱上異于，的母線.
(1)證明：平面DEF；
(2)若，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求二面角的余弦值.
（1）
證明：如右圖，連接AE，由題意知AB為的直徑，所以.
因?yàn)锳D，EF是圓柱的母線，所以且,
所以四邊形AEFD是平行四邊形.
所以 ,
所以.
因?yàn)镋F是圓柱的母線，所以平面ABE,
又因?yàn)槠矫鍭BE，
所以.
又因?yàn)椋珼F，平面DEF，
所以平面DEF.
（2）
由（1）知BE是三棱錐底面DEF上的高，
由（1）知，，所以，
即底面三角形DEF是直角三角形.
設(shè)，，則,
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)時(shí)，
三棱錐的體積最大,
下面求二面角的余弦值：
如圖，以點(diǎn)E為原點(diǎn)，EA，EB，EF所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則.
由（1）知平面DEF，故平面DEF的法向量可取為.
設(shè)平面BDF的法向量為，由，，
得，即，即，
取，得.
設(shè)二面角的平面角為,
則，
由圖可知為銳角，所以二面角的余弦值為.
【變式訓(xùn)練】
1.（2023春·廣東省高三一模）如圖所示的在多面體中，，平面平面，平面平面，點(diǎn)分別是中點(diǎn).
（1）證明：平面平面；
（2）若，求平面和平面夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理和線面平行及面面平行的判定定理即可完成證明,
（2）方法一先建系求法向量，再利用向量法求兩平面的夾角，方法二利用幾何法找到面面角，利用三角形知識(shí)求兩平面的夾角.
【小問(wèn)1詳解】
如圖，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面?br>所以平面，
同理可得平面，
所以，
又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面?br>因?yàn)辄c(diǎn)分別是中點(diǎn)，所以，
又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面?br>又因?yàn)槠矫?，所以平面平?
【小問(wèn)2詳解】
方法一：因?yàn)椋裕?br>由（1）知平面平面，
所以，
所以兩兩相互垂直，
如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)椋裕?br>則，
平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面的法向量為，
由，
得，即，解得，
取，得，
設(shè)平面和平面的夾角為，
則，
所以平面和平面的夾角的余弦值為.
方法二：因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫婧推矫娴膴A角即二面角.
如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，
則為二面角所成平面角.
在中，，
在中，，
在直角梯形中，因?yàn)椋?所以，
所以
在中，，
所以，
利用三角形等面積可得，
所以，
因?yàn)椋裕?br>過(guò)點(diǎn)作于，則，
所以，
在中，，
所以，
所以平面和平面夾角余弦值為.
2.（2023春·廣東省惠州市高三一模）如圖，在四棱臺(tái)中，底面是菱形，，平面．
（1）若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：平面；
（2）棱上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為若存在，求線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）存在；
【解析】
【分析】（1）連接，可得四邊形是平行四邊形，或，從而，可證得平面；
（2）取中點(diǎn)，連接，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)點(diǎn)存在，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量為，由二面角的余弦值為可得的值，可得的長(zhǎng)．
【小問(wèn)1詳解】
方法一：連接，由已知得，，且，
所以四邊形是平行四邊形，即，
又平面平面，
所以平面．
方法二：連接，由已知得，且，
，即，
又平面平面
所以平面
【小問(wèn)2詳解】
取中點(diǎn)，連接，由題易得是正三角形，所以，即，
由于平面，分別以為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
，
假設(shè)點(diǎn)存在，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
設(shè)平面的法向量，則，
即，可取，
又平面法向量為，
所以，解得：，
由于二面角為銳角，則點(diǎn)在線段上，所以，即．
故上存在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，二面角的余弦值為．
題型三：點(diǎn)到平面距離
【典例例題】
例1.（2023春·廣東省茂名市高三二模）在四棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).
（1）求證：；
（2）若，，，，點(diǎn)在棱上，直線與平面所成角為，求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證明；（2）由邊長(zhǎng)關(guān)系，根據(jù)勾股定理證明得，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)和相關(guān)向量的坐標(biāo)，設(shè)，利用空間向量的夾角公式，根據(jù)直線與平面的夾角列式計(jì)算點(diǎn)的坐標(biāo)，求解平面的法向量，再利用點(diǎn)到平面的距離公式列式求解距離即可.
【小問(wèn)1詳解】
∵，為的中點(diǎn)，∴
又∵平面平面，平面平面，
∴平面，又平面，
∴
【小問(wèn)2詳解】
由，，
可知四邊形為等腰梯形，易知，
∵，∴
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
，，，，，
平面的法向量為，
設(shè)，則，
，，
∵直線與平面所成角為，
∴，
∴①
∵點(diǎn)在棱上，∴，
即，
∴，，代入①解得或（舍去）.
， ，，
設(shè)平面的法向量為，
，
令，得，，
所以點(diǎn)到平面的距離
【變式訓(xùn)練】
1.（2023春·廣東省梅州市高三二模）如圖，正三棱柱中，，點(diǎn)M為的中點(diǎn)．
（1）在棱上是否存在點(diǎn)Q，使得AQ⊥平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由：
（2）求點(diǎn)C到平面的距離．
【答案】（1）存在，；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明平面平面，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，利用面面垂直的性質(zhì)推理作答.
（2）利用（1）的結(jié)論，把所求距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離求解作答.
【小問(wèn)1詳解】
在正三棱柱中，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，則，
又平面， 平面，則有，
而平面，于是平面，
平面，則平面平面，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，
平面平面，因此平面，于是點(diǎn)即為所要找的點(diǎn)，
顯然，因此，即有，于是，，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，則，
于是為平行四邊形，即，而平面，平面，
因此平面，有點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離,
又為之中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離的一半,
而由（1）知，當(dāng)時(shí),平面，，
設(shè)，則，
所以點(diǎn)C到平面的距離.
2.（2023秋·廣東省東莞市高三模擬）已知三棱錐中，，，，.
（1）求點(diǎn)到平面的距離；
（2）求平面與平面夾角的正弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理證得平面，再利用勾股定理求得，從而得解；
（2）結(jié)合（1）中結(jié)論建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
取中點(diǎn)，連接，，
在和中，，，，
可得，則，所以，
因?yàn)?，且，平面?br>所以平面，
在平面中，過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，，，
因?yàn)槠矫妫移矫?，所以?br>又，平面，
所以平面，即為點(diǎn)到平面的距離，
在中，，，
由余弦定理可得，則，
中，，
在中，，
在中，，
則，解得，
則，即，
所以點(diǎn)到平面的距離為.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，所以四邊形是平行四邊形，
又，所以四邊形是正方形，
以A為原點(diǎn)，為軸，為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
可得，，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，，即，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，，即，
設(shè)平面與平面的夾角，則，
可得，
，
所以平面與平面的夾角的正弦值.
1.（新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

(1)證明：；
(2)點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2)1
【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，
，
，
又不在同一條直線上，
.
（2）設(shè)，
則，
設(shè)平面的法向量，
則，
令 ，得，
，
設(shè)平面的法向量，
則，
令 ，得，
，
，
化簡(jiǎn)可得，，
解得或，
或，
.
2.（新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．

(1)證明：；
(2)點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2)．
【詳解】（1）連接，因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，，所以①，
因?yàn)?，，所以與均為等邊三角形，
，從而②，由①②，，平面，
所以，平面，而平面，所以．
（2）不妨設(shè)，，．
，，又，平面平面．
以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

設(shè)，
設(shè)平面與平面的一個(gè)法向量分別為，
二面角平面角為,而，
因?yàn)椋?，即有?br>，取，所以；
，取，所以，
所以，，從而．
所以二面角的正弦值為．
3.（全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理））在三棱柱中，，底面ABC，，到平面的距離為1．

(1)求證：；
(2)若直線與距離為2，求與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【詳解】（1）如圖，

底面，面，
，又，平面，,
平面ACC1A1，又平面，
平面平面，
過(guò)作交于，又平面平面，平面，
平面
到平面的距離為1，，
在中，，
設(shè)，則，
為直角三角形，且，
，，，
，解得，
，
（2），
，
過(guò)B作，交于D，則為中點(diǎn)，
由直線與距離為2，所以
，，，
在，，
延長(zhǎng)，使，連接，
由知四邊形為平行四邊形，
，平面，又平面，
則在中，，，
在中，，，
,
又到平面距離也為1，
所以與平面所成角的正弦值為.
4.（新高考天津卷）三棱臺(tái)中，若面，分別是中點(diǎn).

(1)求證：//平面；
(2)求平面與平面所成夾角的余弦值；
(3)求點(diǎn)到平面的距離．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
(3)
【詳解】（1）
連接.由分別是的中點(diǎn)，根據(jù)中位線性質(zhì)，//，且，
由棱臺(tái)性質(zhì)，//，于是//，由可知，四邊形是平行四邊形，則//，
又平面，平面，于是//平面.
（2）過(guò)作，垂足為，過(guò)作，垂足為,連接.
由面，面，故，又，，平面，則平面.
由平面，故，又，，平面，于是平面，
由平面，故.于是平面與平面所成角即.
又，，則，故，在中，，則，
于是

（3）[方法一：幾何法]

過(guò)作，垂足為，作，垂足為，連接，過(guò)作，垂足為.
由題干數(shù)據(jù)可得，，，根據(jù)勾股定理，，
由平面，平面，則，又，，平面，于是平面.
又平面，則，又，，平面，故平面.
在中，，
又，故點(diǎn)到平面的距離是到平面的距離的兩倍，
即點(diǎn)到平面的距離是.
[方法二：等體積法]

輔助線同方法一.
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為.
，
.
由，即.
1. （2023春·廣東省佛山市高三二模）（多選）四面體中，，，，，，平面與平面的夾角為，則的值可能為（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量數(shù)量積運(yùn)算律求解判斷作答.
【詳解】在四面體中，，，則是二面角的平面角，如圖，
，而，，，
，
因?yàn)槠矫媾c平面的夾角為，則當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以的值可能為，.
故選：AD
2.（2023春·廣東省廣州市高三二模）木升在古代多用來(lái)盛裝糧食作物，是農(nóng)家必備的用具，如圖為一升制木升，某同學(xué)制作了一個(gè)高為40的正四棱臺(tái)木升模型，已知該正四棱臺(tái)的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為50的球O的球面上，且一個(gè)底面的中心與球O的球心重合，則該正四棱臺(tái)的側(cè)面與底面所成二面角的正弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)正四棱臺(tái)的外接球的性質(zhì)可得兩底面的邊長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系，結(jié)合二面角的定義即可求解.
【詳解】如圖：正四棱臺(tái)，由題意可知：是底面正方形的中心也是球O的球心，
且所以 ,進(jìn)而可得
取的中點(diǎn)為，過(guò)的中點(diǎn)作，連接,
所以 ,,故,
在直角三角形中， 故，
由于,所以即為正四棱臺(tái)的側(cè)面與底面所成二面角，故正弦值為，
故選：A
3.（2023春·廣東省高三一模）（多選）在四棱錐中，平面，四邊形是正方形，若，則（ ）
A.
B. 與所成角為
C. 與平面所成角為
D. 與平面所成角的正切值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，利用線面垂直的判定定理得到AC⊥平面SBD，進(jìn)而可判定選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，由平面，知，故可選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C和D，利用線面的定義，找出線面角，從而轉(zhuǎn)化成平面角，在相應(yīng)的三角形中進(jìn)行求解，即可判斷選項(xiàng)的正誤.
【詳解】選項(xiàng)A，因?yàn)榈酌?，面，所?
因?yàn)樗倪呅问钦叫危?，又，平面，所以平面?br>又面，所以，選項(xiàng)A正確．
選項(xiàng)B，因?yàn)槠矫?，又面，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤．
選項(xiàng)C，因?yàn)榈酌妫?，所?
因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，又，平?
所以平面,
所以與平面所成角，易知，故選項(xiàng)C正確．
選項(xiàng)D，如圖，取中點(diǎn)，連，
因?yàn)榈酌?，面，所?
雙四邊形是正方形，所以，又，所以平面,
面，所以，
又，所以，，所以面，
所以與平面所成角為，
不妨設(shè)，易知,
在，，故選項(xiàng)D正確．
故選：ACD
4.（2023春·廣東省廣州市高三二模）（多選）已知正四面體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)，分別為和的重心，為線段上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若取得最小值，則
B. 若，則平面
C. 若平面，則三棱錐外接球的表面積為
D. 直線到平面的距離為
【答案】BCD
【解析】
【分析】將正四面體放入正方體中，建立空間直角坐標(biāo)系，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可．
【詳解】將正四面體放入正方體中，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以，，所在直線為軸，軸，軸，如圖所示，
因?yàn)檎拿骟w的長(zhǎng)為2，
所以正方體的棱長(zhǎng)為，
則，，，
因?yàn)辄c(diǎn)，分別為和的重心，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為
所以
設(shè)，則，
所以，
所以，
，
對(duì)于Ａ：因?yàn)椋?br>，
所以，
當(dāng)時(shí)，即，，取得最小值，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：若，則，
所以，
因?yàn)椋?，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，取，則，
因?yàn)椋?br>所以平面，即平面，故B正確；
對(duì)于C：若平面，則，即，
，即，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，?br>則，取，則，
因?yàn)椋?br>所以平面，則三棱錐外接球的球心在直線上，
又因?yàn)辄c(diǎn)為等邊三角形的重心，
所以點(diǎn)為等邊三角形的外心，外接圓半徑為，
設(shè)三棱錐外接球半徑為，
則，即，解得，
所以三棱錐P－ABC外接球的表面積為，故C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D：因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
因?yàn)?，?br>所以，取，則，
因?yàn)椋抑本€平面，
所以直線平面，
所以點(diǎn)到平面的距離就是直線到平面的距離，
則點(diǎn)到平面的距離，
即直線到平面的距離為，故D正確，
故選：BCD．
5.（2023春·廣東省揭陽(yáng)市普寧市華僑中學(xué)高三二模）（多選）如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方形中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則（ ）
A.
B. 與平面所成角的正弦值為
C. 二面角的余弦值為
D. 平面截正方體所得的截面周長(zhǎng)為
【答案】BD
【解析】
【分析】利用坐標(biāo)法，對(duì)A，由向量數(shù)量積與垂直的關(guān)系即可判斷；對(duì)B，由向量法求線面角；對(duì)C，由向量法求面面角；對(duì)D，分析得，則平面AEF截正方體所得的截面為四邊形，即可根據(jù)幾何關(guān)系求周長(zhǎng)，
【詳解】以D為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則
，
對(duì)A， ，，故與不垂直，A錯(cuò)；
對(duì)B，，設(shè)平面AEF的法向量為，則，令，則有，
設(shè)與平面AEF所成角為，則，B對(duì)；
對(duì)C，平面EFC的一個(gè)法向量為，則，∴二面角的余弦值為，C錯(cuò)；
對(duì)D，由，，可得，平面AEF截正方體所得的截面為四邊形，
則有，故平面AEF截正方體所得的截面周長(zhǎng)為，D對(duì).
故選：BD.
6.（2023春·廣東省佛山市高三一模）（多選）如圖所示，從一個(gè)半徑為（單位：）的圓形紙板中切割出一塊中間是正方形，四周是四個(gè)正三角形的紙板，以此為表面（舍棄陰影部分）折疊成一個(gè)正四棱錐，則以下說(shuō)法正確的是（ ）
A. 四棱錐的體積是
B. 四棱錐的外接球的表面積是
C. 異面直線與所成角大小為
D. 二面角所成角的余弦值為
【答案】BCD
【解析】
【詳解】設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，則有，
所以，解得，
折疊而成正四棱錐如圖所示，其中為外接球的球心，
四棱錐的高，
所以四棱錐的體積，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
設(shè)四棱錐外接球的半徑為，球心到底面的距離為，
則有，
解得，所以四棱錐外接球表面積，
因?yàn)椋援惷嬷本€與所成角為，
取的中點(diǎn)，連接，，如圖，
因?yàn)椋鶠榈冗吶切危?br>所以，，
所以為二面角所成角的平面角，
在中，由余弦定理得
，
故正確答案為BCD.
故選：BCD
7. （2023春·廣東省潮州市高三二模）（多選）在正方體中，，點(diǎn)P滿足，其中，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 當(dāng)平面時(shí)，與所成夾角可能為
B. 當(dāng)時(shí)，的最小值為
C. 若與平面所成角為，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為
D. 當(dāng)時(shí)，正方體經(jīng)過(guò)點(diǎn)?P?C的截面面積的取值范圍為
【答案】AC
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，得到，求出平面的一個(gè)法向量，由，求出，再根據(jù)列出方程，求出或1，得到A正確；
B選項(xiàng)，先根據(jù)，得到點(diǎn)在棱上，將平面與平面沿著展成平面圖形，結(jié)合余弦定理求出答案；
C選項(xiàng)，先得到為與平面所成角，根據(jù)所成角的大小得到，從而得到點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以1為半徑的個(gè)圓，求出軌跡長(zhǎng)度；
D選項(xiàng)，先確定點(diǎn)在上，作出輔助線得到平行四邊形即為正方體過(guò)點(diǎn)?P?C的截面，設(shè)，求出點(diǎn)到直線的距離，配方后得到其最大值與最小值，從而得到截面的最大值與最小值，得到取值范圍.
【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
則，設(shè)平面一個(gè)法向量為，
所以，
令，則，即平面的一個(gè)法向量為，
若平面，則，即，
故，故，其中，
令，
解得：或1，
故與可能是，A正確；
B選項(xiàng)，因?yàn)?，故點(diǎn)在棱上，
如圖，將平面與平面沿著展成平面圖形，
線段即為的最小值，
利用余弦定理可得：
，
所以，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，因?yàn)椤推矫妫B接，則即為與平面所成角，
若與平面所成角為，則，所以，
即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以1為半徑的個(gè)圓，
于是點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，C正確；
D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，
則，所以平行四邊形即為正方體過(guò)點(diǎn)?P?C的截面，
設(shè)，
所以，則，，
所以點(diǎn)到直線的距離為，
于是當(dāng)時(shí)，，的面積取得最小值，此時(shí)截面面積最小為，
當(dāng)或1時(shí)，，的面積取得最大值，此時(shí)截面面積最大為，
故截面面積的取值范圍為，D錯(cuò)誤.
故選：AC
8.（2023春·廣東省深圳市高三二模）（多選）如圖，在矩形AEFC中，，EF=4，B為EF中點(diǎn)，現(xiàn)分別沿AB、BC將△ABE、△BCF翻折，使點(diǎn)E、F重合，記為點(diǎn)P，翻折后得到三棱錐P-ABC，則（ ）
A. 三棱錐的體積為B. 直線PA與直線BC所成角的余弦值為
C. 直線PA與平面PBC所成角的正弦值為D. 三棱錐外接球的半徑為
【答案】BD
【解析】
【分析】證明平面，再根據(jù)即可判斷A；先利用余弦定理求出，將用表示，利用向量法求解即可判斷B；利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離，再根據(jù)直線PA與平面PBC所成角的正弦值為即可判斷C；利用正弦定理求出的外接圓的半徑，再利用勾股定理求出外接球的半徑即可判斷D.
【詳解】由題意可得，
又平面，
所以平面，
在中，，邊上的高為，
所以，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，在中，，
，
所以直線PA與直線BC所成角的余弦值為，故B正確；
對(duì)于C，，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
由，得，解得，
所以直線PA與平面PBC所成角的正弦值為，故C錯(cuò)誤；
由B選項(xiàng)知，，則，
所以的外接圓的半徑，
設(shè)三棱錐外接球的半徑為，
又因?yàn)槠矫妫?br>則，所以，
即三棱錐外接球的半徑為，故D正確.
故選：BD.
9.（2023秋·廣東省東莞市模擬）（多選）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為線段的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. 直線到平面的距離為2
C. 點(diǎn)到直線的距離為 D. 平面截正方體的截面的面積為
【答案】ABD
【解析】
【分析】依題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法逐一分析判斷各選項(xiàng)即可得解.
【詳解】依題意，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
，
對(duì)于A，，
則，故A正確；
對(duì)于B，易得平面的法向量為，而，
所以，又平面，所以平面，
所以點(diǎn)到平面的距離即直線到平面的距離，即，故B正確；
對(duì)于C，，，
所以，
則點(diǎn)到直線的距離為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，記的中點(diǎn)為，連接，則，
所以，顯然，即，
所以四點(diǎn)共面，即平行四邊形為平面截正方體的截面，
由勾股定理易得，故平行四邊形是菱形，
又，所以，，
所以，故D正確.
故選：ABD.
10. （2023春·廣東省汕頭市高三二模）如圖所示，在矩形中，，，平面，且，點(diǎn)為線段（除端點(diǎn)外）上的動(dòng)點(diǎn)，沿直線將翻折到，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A. 當(dāng)點(diǎn)固定在線段的某位置時(shí)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為球面
B. 存在點(diǎn)，使平面
C. 點(diǎn)到平面的距離為
D. 異面直線與所成角的余弦值的取值范圍是
【答案】D
【解析】
【分析】當(dāng)點(diǎn)固定在線段的某位置時(shí)，線段的長(zhǎng)度為定值，，過(guò)作于點(diǎn)，為定點(diǎn)，的長(zhǎng)度為定值，由此可判斷A；無(wú)論在（端點(diǎn)除外）的哪個(gè)位置，均不與垂直，即可判斷B；以，，為x，y，z的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量為，由點(diǎn)到平面的距離公式求解，即可判斷C；設(shè)，，利用向量夾角公式求解，即可判斷D.
【詳解】
選項(xiàng)A：當(dāng)點(diǎn)固定在線段的某位置時(shí)，線段的長(zhǎng)度為定值，，過(guò)作于點(diǎn)，為定點(diǎn)，的長(zhǎng)度為定值，且在過(guò)點(diǎn)與垂直的平面內(nèi)，故的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，故A錯(cuò)；
選項(xiàng)B：無(wú)論在（端點(diǎn)除外）的哪個(gè)位置，均不與垂直，故不與平面垂直，故B錯(cuò)；
選項(xiàng)C：以，，為x，y，z的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，．
，
設(shè)平面的法向量為，取，
則點(diǎn)到平面的距離為，故C錯(cuò)；
選項(xiàng)D：設(shè)，，，，設(shè)與所成的角為，則，故D正確.
故選：D．
11.（2023秋·廣東省中山市模擬）如圖，在直三棱柱中，，，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】取的中點(diǎn)，連接，，.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，此時(shí)異面直線與所成角即為直線與所成角，根據(jù)余弦定理即可求出答案.
【詳解】取的中點(diǎn)，連接，，.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.
又，，三棱柱為直三棱柱，所以，，，
，
故異面直線與所成角的余弦值為.
故答案為：.
12.（2023春·廣東省深圳市高三二模）在三棱柱中，，，.
（1）證明:；
（2）若，，求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】(1)先由線面垂直得出,又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，可以得出結(jié)論；
(2)建系應(yīng)用空間向量法求面面角的余弦值即可.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)的中點(diǎn)為，連接
因?yàn)椋?，又因?yàn)榍遥?br>所以， 因?yàn)槠矫妫遥?br>所以平面 ,因?yàn)?平面 ，
所以,又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，
所以 .
【小問(wèn)2詳解】
在中，由余弦定理求得則
因?yàn)?，所以，解?
在和中，可知.
在中，，因此.
由(1)知，，且平面，且，
所以平面 .
以 所在直線分別為x軸，y軸，z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則.
所以,
設(shè)平面的法向量為,
則 ,
,
令，得.
設(shè)平面的法向量為,
則 ,
即
令，得 ,
設(shè)平面與平面夾角為,則,
所以平面與平面夾角的余弦值為.
12.（2023春·廣東省深圳市4月份高三大聯(lián)考）已知正三棱柱中，側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為2，D為AB中點(diǎn).
（1）證明：；
（2）求二面角的大?。?br>（3）求直線CA與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由正三棱柱的性質(zhì)可得平面，再利用線面垂直的判定定理即可證明平面，即可得；（2）以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量與二面角的幾何關(guān)系即可求得二面角的大小為；（3）根據(jù)（2）中結(jié)論，利用線面角與空間向量的關(guān)系即可得直線CA與平面所成角的正弦值為.
【小問(wèn)1詳解】
由為正三棱柱可知，平面，
又平面，所以，
由底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，D為AB的中點(diǎn)，所以；
又，平面，所以平面；
又平面，所以；
【小問(wèn)2詳解】
取線段的中點(diǎn)分別為，連接，
易知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示;
由側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為2可得，
，
由D為AB的中點(diǎn)可得，
所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，可得；
即；
易得即為平面的一個(gè)法向量，
所以，
設(shè)二面角的平面角為，由圖可知為銳角，
所以，即；
即二面角的大小為.
【小問(wèn)3詳解】
由（2）可知，平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)直線CA與平面所成的角為，
所以，
即直線CA與平面所成角的正弦值為.
13.（2023春·廣東省汕頭市高三一模）如圖，在多面體中，四邊形與均為直角梯形，，，平面，，．
（1）已知點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，求證：與平面不平行；
（2）已知直線與平面所成角的正弦值為，求該多面體的體積．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量及直線的方向向量，即可證明；
（2）設(shè)且，利用空間向量法求出表示出線面角的正弦值，即可求出參數(shù)的值，再根據(jù)錐體的體積公式計(jì)算可得.
【小問(wèn)1詳解】
證明：因?yàn)槠矫妫矫?，所以、，又?br>如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以，
因?yàn)?，且不存在使得，即與不共線，
所以與平面不平行且不垂直.
小問(wèn)2詳解】
解：設(shè)且，則，所以，
直線與平面所成角的正弦值為，
，化簡(jiǎn)得，解得或（舍去），
因?yàn)椋矫?，所以平面，又平面，平面?br>所以，，又，，所以，
，平面，所以平面，
又，所以，
，所以，
所以，即多面體的體積為.
14.（2023春·廣東省大灣區(qū)高三第二次聯(lián)考）如圖，在三棱臺(tái)ABC—中，，平面平面
（1）證明：平面；
（2）若二面角的大小是，求線段的長(zhǎng).
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）2.
【解析】
【分析】（1）在等腰梯形中，作，利用勾股定理得到，再利用面面垂直的性質(zhì)定理得到，即可得證.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面與平面的法向量，再利用二面角的大小是，即可求出.
【小問(wèn)1詳解】
在等腰梯形中，作，則，在中，，，，
在中，，解得，
，即
由平面平面，平面平面，
平面
，平面
平面.
【小問(wèn)2詳解】
如圖，在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作，以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則
設(shè)平面的法向量為，
則，即，則
平面的一個(gè)法向量為
則，解得
即.
15.（2023春·廣東省深圳市高三一模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，，且，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，．
（1）證明：平面PAC⊥平面ABCD；
（2）若，求平面PAB與平面PBC夾角的余弦值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）連接，證明BD⊥平面APC，再由平面ABCD，得出平面APC⊥平面ABCD．
（2）作輔助線，利用線面垂直的判定證明PH⊥平面ABCD，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
連接DB交AC于點(diǎn)O，連接PO．
因?yàn)锳BCD是菱形，所以BD⊥AC，且O為BD的中點(diǎn)．
因?yàn)镻B＝PD，所以PO⊥BD．
又因?yàn)锳C，平面APC，且，所以BD⊥平面APC．
又平面ABCD，所以平面APC⊥平面ABCD．
【小問(wèn)2詳解】
取AB中點(diǎn)M，連接DM交AC于點(diǎn)H，連接PH．
因?yàn)?，所以△ABD是等邊三角形，所以DM⊥AB．
又因?yàn)镻D⊥AB，，平面PDM，
所以AB⊥平面PDM．所以AB⊥PH．
由（1）知BD⊥PH，且，所以PH⊥平面ABCD．
由ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，在△ABC中，，．
由AP⊥PC，在△APC中，
，所以．
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、分別為x軸、y軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
所以，，．
設(shè)平面PAB的法向量為，
所以，
令得．
設(shè)平面PBC的法向量為，
所以，
令得．
設(shè)平面PAB與平面PBC的夾角為．
所以，
所以，平面PAB與平面PBC夾角的余弦值為．
16.（2023春·廣東省梅州市高三一模）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正三角形中，為邊的中點(diǎn)，過(guò)作于.把沿翻折至的位置，連接?.
（1）為邊的一點(diǎn)，若，求證：平面；
（2）當(dāng)四面體的體積取得最大值時(shí)，求平面與平面的夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】(1)由線面平行判定定理證明平面，平面，根據(jù)面面平行判定定理證明平面平面，根據(jù)面面平行性質(zhì)定理證明平面；
(2)根據(jù)錐體體積公式由條件確定平面，建立空間直角坐標(biāo)系，求平面與平面的法向量，根據(jù)向量夾角公式求法向量的夾角余弦，由此可得結(jié)論.
【小問(wèn)1詳解】
取中點(diǎn)，連接，
因?yàn)樵谡切沃?，?br>又因?yàn)椋裕?br>平面，平面，
所以平面，
又有，且，所以，
而平面，平面，所以平面
有，平面，
所以平面平面，
又平面，
因此平面.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，又因?yàn)榈拿娣e為定值，
所以當(dāng)?shù)狡矫娴木嚯x最大時(shí)，四面體的體積有最大值，
因?yàn)?，，，，平面?br>所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以平面平面?br>當(dāng)時(shí)，平面平面，平面
所以平面，即在翻折過(guò)程中，點(diǎn)到平面的最大距離是，
因此四面體的體積取得最大值時(shí)，必有平面.
如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直接坐標(biāo)系，
易知，，，，
，，，
為平面的一個(gè)法向量，
設(shè)平面的法向量為，
，
由，令得：，，
所以為平面的一個(gè)法向量，
.
所以平面與平面的夾角（銳角）的余弦值為.
17.（2023春·廣東省揭陽(yáng)市普寧市華僑中學(xué)高三二模）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代張蒼，耿壽昌所撰寫(xiě)的一部數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書(shū)》中最重要的一部，成于公元一世紀(jì)左右，是當(dāng)時(shí)世界上最簡(jiǎn)練有效的應(yīng)用數(shù)學(xué)專著，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系．在《九章算術(shù)·商功》篇中提到“陽(yáng)馬”這一幾何體，是指底面為矩形，有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，現(xiàn)有“陽(yáng)馬”，底面為邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱⊥面，，E、F為邊、上的點(diǎn)，，，點(diǎn)M為AD的中點(diǎn)．
（1）若，證明：面PBM⊥面PAF；
（2）是否存在實(shí)數(shù)，使二面角的大小為？如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果存在，求此時(shí)直線與面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）存在；.
【解析】
【分析】（1）證明面面垂直即證面線面垂直，證明線面垂直即證、線線垂直；
（2）首先利用二面角的大小為，求出、的長(zhǎng)，然后建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，然后再求其線面角.
【小問(wèn)1詳解】
時(shí)，點(diǎn)E、F為及的中點(diǎn)．
連接與交于點(diǎn)G，
在和中，
所以 ，于是．
而
所以
故，即．
又⊥面，面，
所以．
因?yàn)椋?，面，面?br>所以面．
又因?yàn)槊妫悦婷妫?br>【小問(wèn)2詳解】
連接AC，交EF于點(diǎn)Q，連接PQ，記BD與AC交于點(diǎn)O，如圖：
因?yàn)?，?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以從而，
所以為二面角的一個(gè)平面角．
由題意，，從而，
所以
于是，
所以，．
如圖，以AB方向?yàn)閤軸，AD方向?yàn)閥軸，AP方向?yàn)閦軸建立空間直角坐標(biāo)系，．
于是，，，，，
，，，
設(shè)面PEF的一個(gè)法向量是
由 ，得：
取，則，，則．
所以直線與面所成角為θ，則
．
18. （2023春·廣東省韶關(guān)市高三二模）如圖，在三棱柱中，為的中點(diǎn)，，，，點(diǎn)在底面上的射影為點(diǎn).

（1）求證：平面；
（2）若，求平面與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，可得，進(jìn)而可證平面；
（2）如圖以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量與平面的一個(gè)法向量，利用向量法可求平面與平面所成角的余弦值，即可得解．
【小問(wèn)1詳解】
連接交于點(diǎn)，連接，則是的中點(diǎn)，
由于、分別是，的中點(diǎn)，
所以，由于平面，平面，所以平面；
【小問(wèn)2詳解】
由點(diǎn)在底面上的射影為點(diǎn)，所以平面．
在中，，，，，
過(guò)作的平行線為，易知，，兩兩垂直，
如圖以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
，，，，，
，得，，，，，
設(shè)平面的法向量，
，令，則，，
，
設(shè)平面的法向量為，
，令，則，，
平面的法向量為，
設(shè)平面與平面所成角為，
所以，則，
所以平面與平面所成角的正弦值為．

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