題型一：空間幾何平行位置關(guān)系
【典例例題】
例1.（2023秋·廣東省東莞市東莞中學(xué)高三模擬）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等邊三角形，側(cè)面BCC1B1是矩形，AB＝A1B，N是B1C的中點(diǎn)，M是棱AA1上的中點(diǎn)，且AA1⊥CM.
（1）證明：MN∥平面ABC；
（2）若AB⊥A1B，求二面角A--CM--N的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）取中點(diǎn)，構(gòu)造平行四邊形，由線面平行推出線面平行.
（2）根據(jù)已知條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.
【小問1詳解】
證明：如圖
在三棱柱中，連接，取的中點(diǎn)，連接，，
因?yàn)槿庵?，所?br>因?yàn)閭?cè)面是矩形，，所以，
又，，所以平面，，
因?yàn)?，?br>因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是中點(diǎn)，
所以，且，
又是中點(diǎn)，所以,,
所以四邊形是平行四邊形，所以，平面
平面，所以平面.
小問2詳解】
因?yàn)椋?，所以是等腰直角三角形，設(shè)，則
，.
在中，，所以.
在中，，所以.
因?yàn)椋瑒t兩兩垂直.如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
則，
設(shè)平面的法向量為，
則即，即
取，得，
故平面的一個(gè)法向量為.
又因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，
所以.
由圖可知二面角為鈍二面角，
所以二面角的余弦值為.
【變式訓(xùn)練】
1. （2023春·廣東省茂名市高三二模）已知平面α，直線m，n滿足mα，nα，則“m∥n”是“m∥α”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【詳解】，，所以當(dāng)時(shí)，成立，即充分性成立；當(dāng)時(shí)， 不一定成立，可能是異面直線，故必要性不成立；所以是的充分不必要條件，
故選：A
2. （2023春·廣東省梅州市高三一模）（多選）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，EP//平面B. 當(dāng)時(shí)，取得最小值，其值為
C. 的最小值為D. 當(dāng)平面CEP時(shí)，
【答案】BC
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷A；利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算判斷BC；確定直線與平面CEP交點(diǎn)的位置判斷D作答.
【詳解】在棱長(zhǎng)為2的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
，
，則點(diǎn)，
對(duì)于A，，，，而，
顯然，即是平面的一個(gè)法向量，
而，因此不平行于平面，即直線與平面不平行，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，則，
因此當(dāng)時(shí)，取得最小值，B正確；
對(duì)于C，，
于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，C正確；
對(duì)于D，取的中點(diǎn)，連接，如圖，
因?yàn)镋為邊AD的中點(diǎn)，則，當(dāng)平面CEP時(shí)，平面，
連接，連接，連接，顯然平面平面，
因此，平面，平面，則平面，
即有，而，所以，D錯(cuò)誤.
故選：BC
3.（2023春·廣東省汕頭市高三二模）已知，，是三個(gè)平面，，，，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 直線b與直線c可能是異面直線B. 直線a與直線c可能平行
C. 直線a，b，c必然交于一點(diǎn)（即三線共點(diǎn)）D. 直線c與平面可能平行
【答案】C
【解析】
【分析】先由點(diǎn)，線，面的位置關(guān)系得到直線a，b，c必然交于一點(diǎn)，AB錯(cuò)誤，C正確；再利用假設(shè)法推出D錯(cuò)誤.
【詳解】ABC選項(xiàng)，因?yàn)椋?，?br>所以，
因?yàn)?，所以?br>所以直線a，b，c必然交于一點(diǎn)（即三線共點(diǎn)），AB錯(cuò)誤，C正確；
D選項(xiàng)，假設(shè)直線c與平面平行，
假設(shè)直線c與平面 α 平行，由，可知，
這與矛盾，故假設(shè)不成立，D錯(cuò)誤.
故選：C
4.（2023秋·廣東省肇慶市模擬）已知是三個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. ，則
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)空間中直線與平面的位置關(guān)系一一判定即可.
【詳解】如圖所示正方體中，

若直線分別對(duì)應(yīng)，底面對(duì)應(yīng)，顯然有，
但，即A錯(cuò)誤；
若底面對(duì)應(yīng)，側(cè)面分別對(duì)應(yīng)，顯然有，
但，即B錯(cuò)誤；
同上假設(shè)底面對(duì)應(yīng)，側(cè)面分別對(duì)應(yīng)，
則直線分別對(duì)應(yīng)，顯然三條直線兩兩垂直，即D錯(cuò)誤；
由面面平行的性質(zhì)可知C項(xiàng)正確.
故選：C
5. （2023春·廣東省廣州市高三一模）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn).且平面，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為__________.點(diǎn)到直線的距離的最小值為__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，作出平面截正方體所得截面，再確定點(diǎn)的軌跡，計(jì)算長(zhǎng)度即可；再建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出點(diǎn)到直線的距離作答.
【詳解】在正方體中，連接，如圖，對(duì)角面為矩形，
因?yàn)辄c(diǎn)分別是棱中點(diǎn)，則，而，
即平面截正方體所得截面為梯形，顯然過點(diǎn)與平面平行的平面交平面、平面
分別于，因此，連，平面、平面與平面分別交于，，
因此，而，即四邊形為平行四邊形，于是，
即點(diǎn)M為的中點(diǎn)，同理為中點(diǎn)，，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)始終滿足平面，
于是平面，又在側(cè)面上，所以點(diǎn)的軌跡是線段，軌跡長(zhǎng)為；
以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，
則，令，
則有，，
于是點(diǎn)到直線的距離，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以點(diǎn)到直線的距離的最小值為.
故答案為：；
6.（2023春·廣東省高州市高三二模）如圖，在三棱臺(tái)中，平面，與是分別以和為斜邊的等腰直角三角形，，，與交于點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且.

（1）求證：平面；
（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）連接,通過幾何關(guān)系可得到，然后利用線面平行的判定定理即可證明；
（2）取中點(diǎn),連接，然后建立空間直角坐標(biāo)系，求出和平面的法向量，即可求出對(duì)應(yīng)角的正弦值
【小問1詳解】
連接,
在梯形中,,所以，
因?yàn)?所以,所以.
因?yàn)槠矫嫫矫?
所以平面；
【小問2詳解】
取中點(diǎn),連接,易得，
因?yàn)槠矫?，所以平面?br>以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則
由可得,
所以,
設(shè)平面的法向量為,則有,得,
取,得,
設(shè)直線與平面所成角為.
則
所以直線與平面所成角的正弦值
7. （2023秋·廣東省廣州市高三大聯(lián)考） 如圖所示，在四棱錐中，底面，，底面為直角梯形，，，，N是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)M，Q分別在線段PD與AP上，且，.
（1）當(dāng)時(shí)，求平面MDN與平面DNC的夾角大??；
（2）若平面PBC，證明：.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得平面MDN與平面DNC的夾角；
（2）利用空間向量法把線面平行轉(zhuǎn)化為得向量垂直，從而利用數(shù)量積的運(yùn)算化簡(jiǎn)即可證明；
【小問1詳解】
因?yàn)?，底面?br>如圖，以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，
當(dāng)時(shí)，、、、、、、
，則，，，
設(shè)平面MDN的法向量為，則，
取，可得，
設(shè)平面DNC的法向量為，則，
取，可得，所以，
設(shè)平面MDN與平面DNC的夾角為，所以，所以，
故平面MDN與平面DNC的夾角為.
【小問2詳解】
，，設(shè)平面PBC的法向量為，
則，取，可得，
因?yàn)?，，所以，?br>則，因?yàn)槠矫鍼BC，
所以，即，
所以，即，
所以，所以.
題型二：空間幾何垂直位置關(guān)系
【典例例題】
例1. （2023春·廣東省高三二模） 如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，，，，．
（1）證明：
（2）若平面平面PCD，且，求直線AC與平面PBC所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理和勾股定理可得，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)分析判斷；
（2）方法一：建系，利用空間向量求線面夾角；方法二：利用等體積法求點(diǎn)A到平面PBC的距離，結(jié)合線面夾角的定義分析運(yùn)算.
【小問1詳解】
如圖1，連接BD，
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，且，，，
所以，，，
所以，
所以，
所以，所以，
又因?yàn)椋?，BD，PD平面PBD，
所以平面PBD，
因?yàn)镻B平面PBD，所以，
因?yàn)椋裕?br>【小問2詳解】
如圖2，設(shè)平面PAB和平面PCD的交線為直線l，
因?yàn)?，CD平面PAB，AB平面PAB，所以平面PAB，
因?yàn)镃D平面PCD，平面PAD平面，
所以，
因?yàn)槠矫鍼BD，所以平面PBD，
因?yàn)镻B，PD平面PBD，所以∠BPD是平面PAB與平面PCD的二面角，
因?yàn)槠矫嫫矫鍼CD，所以，即
在Rt△ABP中，因?yàn)?，，所?br>在Rt△BPD中，因?yàn)?，則，所以△BPD為等腰直角三角形，
方法一：由（1）得CD⊥平面PBD，如圖3，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DB所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，過點(diǎn)D垂直于平面ABCD的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，
所以，，，
設(shè)平面PBC的法向量為，
則，
取，則，得，
記直線AC與平面PBC所成角為θ，
則，
所以直線AC與平面PBC所成角的正弦值為．
方法二：在△ABC中，因?yàn)椋?，，則
，
設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為d，
由（1）知CD⊥平面PBD，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以，
又因?yàn)槠矫鍼BC，平面PBC，所以平面PBC，
所以，
因?yàn)?，所以?br>設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為d，由（1）知CD⊥平面PBD，
所以，
在△PBC中，，，，
因?yàn)?，所以?br>所以，
所以，解得，
記直線AC與平面PBC所成角為θ，則，
所以直線AC與平面PBC所成角的正弦值為．
【變式訓(xùn)練】
1.（2023秋·廣東省梅州市高三模擬）如圖，在四面體中，，平面平面為線段的中點(diǎn)，則下列判斷錯(cuò)誤的是（ ）
A. B. 平面
C. D. 平面
【答案】C
【解析】
【分析】利用面面垂直的性質(zhì)可判定線面垂直，從而得出線線垂直，即可判定A、B、D三項(xiàng)正確.
【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面?br>所以平面，即B項(xiàng)正確；
因?yàn)槠矫妫?，即A正確；
因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，
所以，同理可得平面，即D正確；
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>平面，若，則平面，
顯然不重合，故C錯(cuò)誤.
故選：C
2.（2023春·廣東省梅州市高三一模）（多選）如圖，在直三棱柱中，，，，為棱的中點(diǎn)；為棱上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），過點(diǎn)A??作三棱柱的截面，且交于，則（ ）
A. 線段的最小值為B. 棱上的不存在點(diǎn)，使得平面
C. 棱上的存在點(diǎn)，使得D. 當(dāng)為棱的中點(diǎn)時(shí)，
【答案】ABD
【解析】
【分析】如圖，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法研究空間位置關(guān)系，求線段長(zhǎng)，從而判斷各選項(xiàng)．
【詳解】如圖，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，
由于與底面垂直，因此當(dāng)與重合時(shí)，在平面內(nèi)，，此時(shí)最小為，A正確；
，，
若，與不垂直，因此不可能與平面垂直，B正確；
設(shè)，則，，
若，則，即，此方程無實(shí)數(shù)解，因此棱上的不存在點(diǎn)，使得，C錯(cuò)；
是中點(diǎn)時(shí)，，，D正確．
故選：ABD．
3.（2023春·廣東省深圳市高三一模）（多選）如圖，已知正三棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2和3，側(cè)棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)（包含邊界），且AP與平面所成角的正切值為，則（ ）
A. CP長(zhǎng)度的最小值為
B. 存在點(diǎn)P，使得
C. 存在點(diǎn)P，存在點(diǎn)，使得
D. 所有滿足條件的動(dòng)線段AP形成的曲面面積為
【答案】ACD
【解析】
【分析】先將正三棱臺(tái)側(cè)棱延長(zhǎng)補(bǔ)成正三棱錐，求出點(diǎn)到平面的距離即可確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，再逐項(xiàng)分析即可.
【詳解】依題意，延長(zhǎng)正三棱臺(tái)側(cè)棱相交于點(diǎn)，取中點(diǎn)，
中點(diǎn)，連接，則有，
所以的延長(zhǎng)線必過點(diǎn)且，
過點(diǎn)作，則四邊形是邊長(zhǎng)為1的菱形.
如圖所示：
在中，，即，
解得，所以，
所以為邊長(zhǎng)為3等邊三角形，
所以，
所以，
因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為3的等邊三角形且為中點(diǎn)，
所以，，
中，由余弦定理變形得，，
在中，由余弦定理變形得，
，
解得，所以，所以；
由，可得平面，
又平面，所以，
由，，，可得平面，
因?yàn)锳P與平面所成角的正切值為，
所以，解得，，
所以點(diǎn)在平面的軌跡為，
對(duì)于A：當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與的交點(diǎn)時(shí)有最小值，
因?yàn)樗倪呅问沁呴L(zhǎng)為1且的菱形，
所以，所以，
故A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B：要使得，則點(diǎn)必須落在
平面與平面的交線上且，
由圖易知，在平面中不存在這樣的點(diǎn)，
故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C：當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，連接，交于點(diǎn)，
連接，由于平面平面，
所以平面，又平面，平面平面，
所以，所以存在點(diǎn)P，存在點(diǎn)，使得，
故C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D：設(shè)的長(zhǎng)度為，則，
動(dòng)線段AP形成的曲面展開為兩個(gè)面積相等扇形，設(shè)其中一個(gè)的面積為,
則有，
因此所有滿足條件的動(dòng)線段AP形成的曲面面積為，
故D選項(xiàng)正確；
故選：ACD.
4.（2023春·廣東省潮州市高三二模）圖1是由矩形，和菱形組成的一個(gè)平面圖形，其中，，，將其沿，折起使得與重合，連接，如圖2.
（1）證明：圖2中的，，，四點(diǎn)共面，且平面平面；
（2）求圖2中的直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）證明即可證得，，，四點(diǎn)共面，根據(jù)，證明平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；
（2）連接，取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)證明平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.
【小問1詳解】
在圖2中，由題意得，
所以，
所以圖2中的，，，四點(diǎn)共面，
由已知得，
又平面，
所以平面，
又因平面，所以平面平面；
【小問2詳解】
連接，在菱形中，，則為等邊三角形，
取的中點(diǎn)，連接，則，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?br>所以平面，
如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
則，
設(shè)平面的法向量，
則有，可取，
則，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
5.（2023春·廣東省佛山市高三二模）中國正在由“制造大國”向“制造強(qiáng)國”邁進(jìn)，企業(yè)不僅僅需要大批技術(shù)過硬的技術(shù)工人，更需要努力培育工人們執(zhí)著專注、精益求精、一絲不茍、追求卓越的工匠精神，這是傳承工藝、革新技術(shù)的重要基石．如圖所示的一塊木料中，是正方形，平面，，點(diǎn)，是，的中點(diǎn)．
（1）若要經(jīng)過點(diǎn)和棱將木料鋸開，在木料表面應(yīng)該怎樣畫線，請(qǐng)說明理由并計(jì)算截面周長(zhǎng)；
（2）若要經(jīng)過點(diǎn)B，E，F(xiàn)將木料鋸開，在木料表面應(yīng)該怎樣畫線，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）詳見解析；
（2）詳見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理可得平面，設(shè)的中點(diǎn)為，根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得就是應(yīng)畫的線，然后根據(jù)線面垂直的判定定理結(jié)合條件可得截面周長(zhǎng)；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，可得平面的法向量，設(shè)平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得的位置，進(jìn)而即得.
【小問1詳解】
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面，又平面，
設(shè)平面平面，則，
設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，又，
所以，即為，就是應(yīng)畫的線，
因?yàn)槠矫妫矫妫?
所以，又，，平面，
所以平面，平面，
所以，即截面為直角梯形，又，
所以，，
所以，截面周長(zhǎng)為；
【小問2詳解】
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，可得，
設(shè)平面，設(shè)，又，
∴，，
由，可得，即，
即為的三等分點(diǎn)，連接，即就是應(yīng)畫的線.
6.（2023春·廣東省廣州市高三二模）如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E在上，平面.
（1）求證：平面平面；
（2）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中點(diǎn)，連接、，由三角形的中位線定理可得，進(jìn)而由直三棱柱可得，所以平面，再由平面，得，再由線面垂直的性質(zhì)可得平面，從而推出平面，再由面面垂直的性質(zhì)即可證明；
（2）由（1）知平面，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，設(shè)出，結(jié)合立體幾何的體積公式，和基本不等式可求出，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線的方向向量與平面的法向量，利用向量的夾角公式，結(jié)合向量的夾角與線面角的關(guān)系，即可求解.
【小問1詳解】
取中點(diǎn)，連接、，如圖所示：
，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
又是的中點(diǎn)，
，
又在直三棱柱中，有， 平面
，
平面，
平面，且面，平面平面，
，
平面，且平面，
，
又，且、平面，
平面，
又，
平面，
平面，
面平面.
【小問2詳解】
由（1）知平面，則，
設(shè)，則，，，
，
由基本不等式知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即三棱錐的體積最大，
此時(shí)，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則有，，，，，
，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則有，取，解得，
設(shè)直線與平面所成的角為，
，
故直線與平面所成角的正弦值為.
1.（新課標(biāo)全國Ⅰ卷）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

證明：；
【答案】
【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，
，
，
又不在同一條直線上，
.
2.（新課標(biāo)全國Ⅱ卷）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．

證明：；
【答案】
【詳解】連接，因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，，所以①，
因?yàn)椋?，所以與均為等邊三角形，
，從而②，由①②，，平面，
所以，平面，而平面，所以．
3.（全國乙卷數(shù)學(xué)(理)（文））如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，.
(1)證明：平面；
(2)證明：平面平面BEF；
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析；
【詳解】（1）連接，設(shè)，則，，，
則，
解得，則為的中點(diǎn)，由分別為的中點(diǎn)，
于是，即，則四邊形為平行四邊形，
，又平面平面，
所以平面.

（2）由（1）可知，則，得，
因此，則，有，
又，平面，
則有平面，又平面，所以平面平面.
4.（全國甲卷數(shù)學(xué)（文））如圖，在三棱柱中，平面．

(1)證明：平面平面；
(2)設(shè)，求四棱錐的高．
【答案】(1)證明見解析.
(2)
【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫?，平?
所以,
又因?yàn)?，即?br>平面，,
所以平面，
又因?yàn)槠矫?
所以平面平面.
（2）如圖，

過點(diǎn)作，垂足為.
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?br>所以平面，
所以四棱錐的高為.
因?yàn)槠矫妫矫?
所以,,
又因?yàn)?，為公共邊?br>所以與全等，所以.
設(shè)，則，
所以為中點(diǎn)，,
又因?yàn)?所以,
即，解得，
所以，
所以四棱錐的高為．
1.（2023春·廣東省高三二模）（多選）已知直線與平面有公共點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A. 平面內(nèi)存在直線與直線平行
B. 平面內(nèi)存在直線與直線垂直
C. 存在平面與直線和平面都平行
D. 存在過直線的平面與平面垂直
【答案】BD
【解析】
【分析】利用反證法可判斷A選項(xiàng)；對(duì)直線與的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論，結(jié)合圖形可判斷B選項(xiàng)；利用圖形可判斷C選項(xiàng)；利用面滿垂直的判定定理可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若直線與相交，且平面內(nèi)存在直線與直線平行，
由于，則，這與直線與相交矛盾，假設(shè)不成立，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，若，則在平面內(nèi)必存在與直線垂直，
若直線與相交，設(shè)，如下圖所示：
若，且，則，
若與斜交，過直線上一點(diǎn)（異于點(diǎn)）作，垂足點(diǎn)為，
過點(diǎn)作直線，使得，因?yàn)?，，則，
又因?yàn)椋?，、平面，所以，平面?br>因?yàn)槠矫?，所以，?br>綜上所述，平面內(nèi)存在直線與直線垂直，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)直線與平面一個(gè)公共點(diǎn)為點(diǎn)，
假設(shè)存在平面，使得且，
過直線作平面，使得，因?yàn)椋?，，則，
因?yàn)椋?，又因?yàn)椋瑒t，
因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)有且只有一條直線與直線平行，且，故、重合，
所以，，但不一定在平面內(nèi)，當(dāng)與相交時(shí)，則與也相交，C錯(cuò)；
對(duì)于D選項(xiàng)，若，則過直線的任意一個(gè)平面都與平面垂直，
若與不垂直，設(shè)直線與平面的一個(gè)公共點(diǎn)為點(diǎn)，
則過點(diǎn)有且只有一條直線與平面垂直，記直線、所確定的平面為，則，D對(duì).
故選：BD.
2.（2023春·廣東省韶關(guān)市高三二模）（多選）如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為1，，分別是棱，的中點(diǎn)，過直線的平面分別與棱，交于點(diǎn)，，以下四個(gè)命題中正確的是（ ）

A. 四邊形一定為矩形B. 平面平面
C. 四棱錐體積為D. 四邊形的周長(zhǎng)最小值為
【答案】BC
【解析】
【分析】對(duì)于A，由正方體性質(zhì)得平面平面，從而，同理得，再由，得四邊形為菱形；對(duì)于B，連接，，，推導(dǎo)出，，從而得到平面平面；對(duì)于C，求出四棱錐的體積進(jìn)行判斷；對(duì)于D，四邊形是菱形，當(dāng)點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)最?。?br>【詳解】連接，，，，，顯然，且，所以為平行四邊形，
所以，由題意得，平面，平面，所以，
，平面，所以平面，則平面，
平面，所以平面平面，故B正確；
由正方體的性質(zhì)得平面平面，
平面平面，平面平面，故，
同理得，又平面，平面，，四邊形為菱形，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于C，四棱錐的體積為：
，故C正確；
對(duì)于D，四邊形是菱形，
四邊形的周長(zhǎng)，
當(dāng)點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)最小，
此時(shí)，即周長(zhǎng)的最小值為4，故D錯(cuò)誤．
故選：BC．

3.（2023秋·廣東省廣州市高三聯(lián)考）（多選）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P滿足，，，（P，B，D，四點(diǎn)不重合），則下列說法正確的是（ ）．
A. 當(dāng)時(shí)，的最小值是1
B. 當(dāng)，時(shí)，∥平面
C. 當(dāng)，時(shí)，平面平面
D. 當(dāng)，時(shí)，直線與平面所成角的正切值的最大值為
【答案】BCD
【解析】
【分析】對(duì)于A：根據(jù)空間向量分析可知點(diǎn)在平面內(nèi)，利用等體積法求點(diǎn)到平面的距離；對(duì)于B：根據(jù)空間向量分析可知點(diǎn)在直線上，根據(jù)線面平行的判定定理分析判斷；對(duì)于C：根據(jù)空間向量分析可知點(diǎn)為取的中點(diǎn)，結(jié)合線面垂直關(guān)系分析證明；對(duì)于D：根據(jù)空間向量分析可知點(diǎn)在平面內(nèi)，根據(jù)線面夾角的定義結(jié)合基本不等式分析判斷.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，即，
則，
可得，則，
可知點(diǎn)在平面內(nèi)，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，可知，
由可得，解得，
所以的最小值是，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)，時(shí)，
則，
可得，則，
由正方體的性質(zhì)可知：∥，且，
則為平行四邊形，可得∥，且，
即，則，
可知點(diǎn)在直線上，直線即為直線，
且∥，平面，平面，
所以∥平面，即∥平面，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)，時(shí)，
則，
取的中點(diǎn)，可得，
可知點(diǎn)即為點(diǎn)，
因?yàn)槠矫?，平面，則，
設(shè)，連接，
可知，，平面，
所以平面，且平面，可得，
同理可得：，且，平面，
所以平面，
又因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則∥，可得平面，
且平面，所以平面平面，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)，時(shí)，
則，
可知點(diǎn)在平面內(nèi)，
因?yàn)槠矫妗纹矫妫?br>則直線與平面所成角即為直線與平面所成的角，
因?yàn)槠矫?，則直線與平面所成的角為，
可得，
又因?yàn)?，即，則，
可得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
可知的最小值為，則的最大值，
所以直線與平面所成角的正切值的最大值為，故D正確；
故選：BCD.
4.（2023秋·廣東省東莞市東莞中學(xué)高三模擬）（多選）如圖，正方體中，頂點(diǎn)A在平面α內(nèi)，其余頂點(diǎn)在α的同側(cè)，頂點(diǎn)，B，C到的距離分別為，1，2，則（ ）
A. BC∥平面 B. 平面A1AC⊥平面
C. 直線與所成角比直線與所成角小
D. 正方體的棱長(zhǎng)為2
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)點(diǎn)到面的距離的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理、線面角的定義、面面相交的性質(zhì)進(jìn)行求解判斷即可.
【詳解】對(duì)A，因?yàn)锽，C到的距離分別為1，2，顯然不相等，
所以BC不可能與平面平行，因此選項(xiàng)A不正確；
對(duì)B，設(shè)的交點(diǎn)為，顯然是的中點(diǎn)，
因?yàn)槠矫妫?C到的距離為2，
所以O(shè)到的距離分別為1，而B到的距離為1，
因此，即，設(shè)平面，
所以，
因?yàn)槭钦叫?，所以?br>又因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，因?yàn)槠矫妫?br>所以平面，因此有平面，而，
所以平面平面，因此選項(xiàng)B正確；
對(duì)C，設(shè)到平面的距離為，
因?yàn)槠矫妫钦叫?，點(diǎn)，B到的距離分別為，1，
所以有，
設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，
設(shè)直線與所成角為，所以，
設(shè)直線與所成角為，所以，
因?yàn)椋?，因此選項(xiàng)C正確；
對(duì)D，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，?br>所以在平面的射影與共線，
顯然，如圖所示：
由，
，
由（負(fù)值舍去），
因此選項(xiàng)D正確，
故選：.
5.（2023春·廣東省汕頭市高三二模）如圖，正方體中，直線平面，，.
（1）設(shè)，，試在所給圖中作出直線，使得，并說明理由；
（2）設(shè)點(diǎn)A與（1）中所作直線確定平面.
①求平面與平面ABCD的夾角的余弦值；
②請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中作出平面截正方體所得的截面，并寫出作法.
【答案】（1）答案見解析；
（2）①；②答案見解析.
【解析】
【分析】（1）取和中點(diǎn)分別為P、Q，利用正方體的性質(zhì)結(jié)合線面垂直的判定定理可得平面，進(jìn)而即得；
（2）利用坐標(biāo)法，根據(jù)面面角的向量求法即得；設(shè)直線交于，連接分別交于，進(jìn)而可得截面.
【小問1詳解】
由題意，P、Q分別為和的中點(diǎn)吋，有，
證明過程如下：連接，取和中點(diǎn)分別為P、Q，連接，
∵，∴一定過經(jīng)過點(diǎn)E,∴PQ即為所求作的l.
∵P、Q分別為和的中點(diǎn)，∴P、Q為的中位線，
∴，且PQ過經(jīng)過點(diǎn)E，
∵正方體的的上底面為正方形.
∴，∵，∴，
又∵正方體的側(cè)棱垂直底面，，
∴，又∵，平面，.
∴平面，∵平面，
∴，即；
【小問2詳解】
①連接AP，AQ，∵正方體中，有AD，DC，DD兩兩垂直，以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2，則有，，，，，
所以，，
∵正方體的側(cè)棱垂直底面ABCD，∴為平面ABCD的法向量.
設(shè)平面，即平面APQ的法向量，則，.
∴，，即
令，則，.
∴平面APQ的一個(gè)法向量.
，，，
設(shè)平面與平面ABCD夾角的平面角為，
則；
②設(shè)直線交于，連接分別交于，連接，則平面即為平面截正方體所得的截面，如圖所示.
6.（2023春·廣東省汕頭市高三二模）如圖，是圓錐的母線，延長(zhǎng)底面圓直徑到點(diǎn)，使得，直線與圓切于點(diǎn)，已知，二面角的大小為．
（1）求該圓錐的側(cè)面積；
（2）若平面平面，求三棱錐的體積．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解法1，利用二面角的定義確定二面角的平面角，即可得圓錐的高度與母線長(zhǎng)，從而可得圓錐的側(cè)面積；解法2，建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的坐標(biāo)運(yùn)算即可得圓錐的高度與母線長(zhǎng)，從而可得圓錐的側(cè)面積；
（2）解法1，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得，再由線面垂直的判定于性質(zhì)定理可證得，結(jié)合幾何性質(zhì)即可求得三棱錐的體積；解法2，根據(jù)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算證得，結(jié)合幾何性質(zhì)即可求得三棱錐的體積.
【小問1詳解】
解法1：
連結(jié)，
因?yàn)榕c圓切于點(diǎn)，所以．
因?yàn)槠矫?，平面，則，
又平面，所以平面，又平面
所以，所以是的平面角．
因此．
因?yàn)椋?，故?br>于是該圓錐的側(cè)面積．
解法2：
連結(jié)，則平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，y軸在平面內(nèi)．
因?yàn)榕c圓切于點(diǎn)，所以，因?yàn)檫B結(jié)，因?yàn)?，，所以?br>因此，，．
設(shè)，則．
設(shè)平面的法向量，則，可?。?br>平面的一個(gè)法向量，由可得．
可知，因?yàn)椋裕?br>于是該圓錐的側(cè)面積．
【小問2詳解】
解法1：
過在平面內(nèi)作垂足為．
因?yàn)槠矫嫫矫?，交線為，又，平面
所以平面，因?yàn)槠矫?，可得?br>又，平面，所以平面，
因?yàn)槠矫?，從而?br>由題設(shè)及（1）得，，可知，面積為．
因此三棱錐的體積．
解法2：
因?yàn)?，，所以?br>設(shè)，則，．
因?yàn)?，取平面的一個(gè)法向量，
則，又，可得．
所以，故，所以．
由，得面積為．
于是三棱錐的體積．
7.（2023春·廣東省深圳市龍崗區(qū)高三大聯(lián)考）如圖1所示，等邊的邊長(zhǎng)為，是邊上的高，，分別是，邊的中點(diǎn)．現(xiàn)將沿折疊，如圖2所示.

（1）證明：；
（2）折疊后若，求二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知可得面，進(jìn)而可證，可證，
（2）取的中點(diǎn)，連接，，取和的中點(diǎn)分別為和，連接，，，可證二面角的平面角為，進(jìn)而求解即可．
【小問1詳解】
在等邊的邊長(zhǎng)為，是邊上的高，
根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，
因?yàn)?，，，平面?br>所以平面，因?yàn)槠矫?，所以?br>因?yàn)楹头謩e是和的中點(diǎn)，
所以，所以，
【小問2詳解】
取的中點(diǎn)，連接，
取和的中點(diǎn)分別為和，連接，，，

因?yàn)?，，中點(diǎn)分別為，，，
所以，，
因?yàn)?，所以為等邊三角形，又為的中點(diǎn)，所以，
所以，又平面，平面，平面，所以，
又因?yàn)槠矫妫?br>所以，又因?yàn)椋矫妫?br>所以平面，平面，
所以，
則二面角的平面角為，
所以，
又，解得，顯然為銳角，
所以，即二面角的余弦值為．
8.（2023秋·廣東省深圳市高三大聯(lián)考）如圖，在三棱錐中，，，.
（1）證明：平面平面；
（2）在線段上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角的正切值為?若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】（1）證明見解析
（2）存在，.
【解析】
【分析】（1）用余弦定理求角，再用幾何關(guān)系證明線面垂直即可證明面面垂直；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用向量方法進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.
【詳解】（1）證明：在中，，所以，
過點(diǎn)D作于點(diǎn)O，連接，則，
因?yàn)?，，為公共邊，所?
所以，且，又，所以，所以，
又因?yàn)?，平面，，所以平面?br>又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?
（2）設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)E，由（1）可知，，兩兩垂直，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，則，，，，
，，，
設(shè)，，則，
顯然平面的法向量.
設(shè)平面的法向量，則，
取，則，，所以，
若二面角的正切值為，則其余弦值為，
則，
整理得，所以，又因?yàn)?，所以?br>所以，即當(dāng)時(shí)，二面角的正切值為.
9. （2023秋·廣東省梅州市高三模擬）如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)，分別在棱，上，，，，.
（1）證明：.
（2）求平面與平面的夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積證明垂直即可；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，以向量法去求平面與平面的夾角的余弦值即可解決.
【小問1詳解】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，所以，，
因?yàn)?，所?
【小問2詳解】
由（1），，
設(shè)平面的法向量為，則，
即，不妨取，則.
易得平面，所以是平面的一個(gè)法向量，且.
設(shè)平面設(shè)與平面夾角為，
所以.
故平面與平面的夾角的余弦值為.
10.（2023秋·廣東省惠州市高三模擬）如圖，已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，，且底面，點(diǎn)P，Q分別在棱、上.
（1）若P是的中點(diǎn)，證明：；
（2）若平面，二面角的余弦值為，求四面體的體積.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明異面直線的垂直；
（2）求平面法向量，由二面角的余弦值為和平面，解得P點(diǎn)坐標(biāo)，可求四面體的體積.
【小問1詳解】
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，x軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
設(shè)，其中，，
若P是的中點(diǎn)，則，，，
于是，∴，即.
【小問2詳解】
由題設(shè)知，，是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量.
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，
則取，得.
又平面的一個(gè)法向量是，
∴，
而二面角的余弦值為，因此，
解得或（舍去），此時(shí).
設(shè)（），而，由此得點(diǎn)，，
∵平面，且平面的一個(gè)法向量是，
∴，即，解得，從而.
將四面體視為以為底面的三棱錐，則其高，
故四面體的體積.
11.（2023秋·廣東省梅州市高三模擬）如圖，在長(zhǎng)方形中，，點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且.
（1）證明：；
（2）若二面角的大小為，求的值.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，得,，可得，求兩個(gè)向量的數(shù)得積，由向量垂直的充要條件可知兩向量垂直；
（2）由題意求得平面的法向量為，可求得平面的法向量為的一個(gè)解為，然后利用面面角的向量求法即得.
【詳解】（1）以為原點(diǎn), 為軸為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
不妨設(shè),則，,，
，于是，
，
故；
（2）平面，平面的法向量為，
又.
設(shè)平面的法向量為，
則，
所以向量的一個(gè)解為.
因?yàn)槎娼堑拇笮?，則,
解得.
又因是棱上的一點(diǎn)，所以，故所求的值為.
12.（2023秋·廣東省肇慶市模擬）如圖，C是以為直徑的圓O上異于A，B的點(diǎn)，平面平面為正三角形，E，F(xiàn)分別是上的動(dòng)點(diǎn).
（1）求證：；
（2）若E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)且異面直線與所成角的正切值為，記平面與平面的交線為直線l，點(diǎn)Q為直線l上動(dòng)點(diǎn)，求直線與平面所成角的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明平面，即可證明.
（2）由已知結(jié)合線面平行的判定定理知平面，結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理知，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面的一個(gè)法向量，利用空間向量求線面角即可得解.
小問1詳解】
證明：因?yàn)镃是以為直徑的圓O上異于A，B的點(diǎn)，所以，
又平面平面，且平面平面平面，
所以平面平面.
所以
【小問2詳解】
由E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，連結(jié)，所以，由（1）知，
所以，所以在中，就是異面直線與所成的角.
因?yàn)楫惷嬷本€與所成角的正切值為，
所以，即
又平面平面，
所以平面，又平面，平面平面，
所以
所以在平面中，過點(diǎn)A作的平行線即為直線l.
以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，過C且垂直于平面的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè).
因?yàn)闉檎切嗡?，從?br>由已知E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，所以
則，所以，
所以，
因?yàn)?，所以可設(shè)，平面的一個(gè)法向量為，
則，取，得，
又，則.
設(shè)直線與平面所成角為，則.
所以直線與平面所成角的取值范圍為.
13.（2023秋·廣東省肇慶市模擬）如圖，在幾何體ABCDEF中，平面ABC，，側(cè)面ABFE為正方形，，M為AB的中點(diǎn)，．

（1）證明：；
（2）若直線MF與平面DME所成角的正弦值為，求實(shí)數(shù)λ的值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）通過證明平面CDM來證得.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法以及直線MF與平面DME所成角的正弦值求得.
【小問1詳解】
因?yàn)镃D⊥平面ABC，，所以平面ABC，
因?yàn)閭?cè)面ABFE為正方形，，所以平面ABC，
又平面ABC，所以，
因?yàn)?，所以?br>又平面ABFE，所以平面ABFE，
又平面ABFE，所以，
因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，
所以，
又平面CDM，所以平面CDM，
又平面CDM，所以．
【小問2詳解】
由（1）可知，，M為AB的中點(diǎn)，所以．
取的中點(diǎn)為N，連接MN，則，
因?yàn)槠矫鍭BC，所以平面ABC．
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則M（0，0，0），，，F(xiàn)（1，0，2），
所以，，，
設(shè)平面DME的法向量為，
由得，取，
則，
設(shè)直線MF與平面DME所成角為θ，
則，
由題意可知，，
解得（負(fù)值舍去），故實(shí)數(shù)λ的值為．

14.（2023秋·廣東省中山市模擬）如圖，在五面體中，四邊形為矩形，平面平面，且，正三角形的邊長(zhǎng)為2.
（1）證明：平面.
（2）若，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值.
【答案】（1）證明見解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）先通過線面平行的判定定理證明平面，然后根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理證明，再結(jié)合線面平行的判定定理完成證明；
（2）建立合適空間直角坐標(biāo)系，然后根據(jù)直線的方向向量與平面的法向量夾角的余弦值求解出的值.
【小問1詳解】
因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以?br>又平面平面，
所以平面，
因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫?，所以?br>又平面平面，
所以平面.
【小問2詳解】
分別取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)槠矫嫫矫鏋檎切危?br>以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)，則，
設(shè)平面的法向量為，
則由得，
令，得，
因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為，
所以，
解得或（舍去），
故.
15.（2023秋·廣東省東莞市模擬）如圖，在直三棱柱中，，是的中點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）求平面與平面夾角余弦值．
【答案】（1）證明見詳解.
（2）
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法證明線線垂直，求二面角夾角的余弦值.
【小問1詳解】
易知，，，所以：可以為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.
則，，，，，.
，
，∴，∴.
【小問2詳解】
設(shè)平面的法向量為，則
，
取，那么.
設(shè)平面的法向量為，則
，
取，那么.
則：，，，
所以.
即為所求二面角的余弦值.
16.（2023秋·廣東省中山市模擬）在四棱錐中，，，，，E為的中點(diǎn)．
（1）證明：平面PCD；
（2）若平面ABCD，且，求CP與平面PBD所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)中點(diǎn)為，連接證明，平面即得證；
（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求與平面所成角的正弦值.
【小問1詳解】
證明：設(shè)PC的中點(diǎn)為F，如圖，連接EF，DF．
因?yàn)镋為PB的中點(diǎn)，所以且．
因?yàn)椋?，所以，且?br>所以四邊形AEFD為平行四邊形，故．
因?yàn)槠矫鍼CD，平面PCD，所以平面PCD．
小問2詳解】
因?yàn)?，，，且，所以?br>以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，
所以，，
設(shè)平面PBD的法向量為，則，
令，得，
設(shè)CP與平面PBD所成角為，則，
即CP與平面PBD所成角的正弦值為．

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