【題型一 分布列的性質(zhì)】
1.（2022·華師大二附中高三練習(xí)）隨機(jī)變量的概率分布列如下：
則___________.
2. （2022·河南高三月考）已知隨機(jī)變量X的分布列如表所示，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)）若隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：
則a2＋b2的最小值為________．
4. 隨機(jī)變量的概率分布滿足（，1，2，…，10），則的值為___________.
5. 已知隨機(jī)變量X的分布列為，，則等于（ ）
A．B．C．D．
【題型二 求離散型隨機(jī)變量的分布列】
1.（2022·四川模擬）甲?乙兩名同學(xué)與同一臺(tái)智能機(jī)器人進(jìn)行象棋比賽，計(jì)分規(guī)則如下：在一輪比賽中，如果甲贏而乙輸，則甲得1分；如果甲輸而乙贏，則甲得分；如果甲和乙同時(shí)贏或同時(shí)輸，則甲得0分.設(shè)甲贏機(jī)器人的概率為0.6，乙贏機(jī)器人的概率為0.5.求：
(1)在一輪比賽中，甲的得分的分布列；
(2)在兩輪比賽中，甲的得分的分布列及期望.
2.（2022·武昌模擬）某乒乓球隊(duì)有9名隊(duì)員，其中2名是種子選手，現(xiàn)挑選5名隊(duì)員參加比賽，設(shè)X表示其中種子選手人數(shù)，求X的分布列．
3．（2022·石家莊模擬）將個(gè)質(zhì)地、大小一樣的球裝入袋中，球上依次編號(hào).現(xiàn)從中任取個(gè)球，以表示取出球的最大號(hào)碼.
(1)求的分布列；
(2)求的概率.
4. （2022·臨沂二模）為了解決家長(zhǎng)接送孩子放學(xué)的問題，教育部提出推行課后服務(wù)“”模式，即學(xué)校每周5天都要開展課后服務(wù)，每天至少開展2h，結(jié)束時(shí)間要與當(dāng)?shù)卣Ｏ掳鄷r(shí)間相銜接，且不得利用課后服務(wù)時(shí)間講新課.為了課后服務(wù)的有序開展，某教育局就課后服務(wù)的時(shí)長(zhǎng)在網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行意見征集，并從中隨機(jī)抽取了100份調(diào)查表，以此為樣本繪制了如圖所示的頻率分布直方圖：
(1)從樣本中隨機(jī)抽取2份調(diào)查表，若其中一份調(diào)查表所建議的課后服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過200 min，求另一份調(diào)查表所建議的課后服務(wù)時(shí)長(zhǎng)也超過200min的概率；
(2)為了進(jìn)一步了解課后服務(wù)時(shí)長(zhǎng)的需求情況，從樣本中建議課后服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過180 min的人中分層抽取10人，再從這10人中任取3人，記建議課后服務(wù)時(shí)長(zhǎng)在的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
5. 2022年7月，中共中央辦公廳?國(guó)務(wù)院辦公廳印發(fā)了《關(guān)于進(jìn)一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見》（簡(jiǎn)稱“雙減”政策）.某校為了落實(shí)“雙減”政策，安排了25名教師參與課后服務(wù)工作，在某個(gè)星期內(nèi)，他們參與課后服務(wù)的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示.
(1)求這25名教師在該星期參與課后服務(wù)的平均次數(shù)；
(2)從這25名教師中任選2人，設(shè)這2人在該星期參與課后服務(wù)的次數(shù)之差的絕對(duì)值為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
【題型三 離散型隨機(jī)變量的均值和方差】
1.（2022·唐山二模）已知隨機(jī)變量的分布列為下表所示，若，則（ ）
A．B．C．1D．
2. （2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量的分布列如下：
則的最大值為（ ）
A．B．3
C．6D．5
3．（2022·高三課時(shí)練習(xí)）隨機(jī)變量的概率分布列為，k＝1，2，3，其中c是常數(shù)，則的值為（ ）
A．10B．117C．38D．35
4.（2022·廣東高三模擬）1971年“乒乓外交”翻開了中美關(guān)系的新篇章，2022年休斯頓世乒賽中美兩國(guó)選手又一次踐行了“乒乓外交”所蘊(yùn)含的友誼?尊重?合作的精神，使“乒乓外交”的內(nèi)涵和外延得到了進(jìn)一步的豐富和創(chuàng)新，幾十年來，乒乓球運(yùn)動(dòng)也成為國(guó)內(nèi)民眾喜愛的運(yùn)動(dòng)之一，今有小王?小張?小馬三人進(jìn)行乒乓球比賽，規(guī)則為：先由兩人上場(chǎng)比賽，另一人做裁判，敗者下場(chǎng)做裁判，另兩人上場(chǎng)比賽，依次規(guī)則循環(huán)進(jìn)行比賽.由抽簽決定小王?小張先上場(chǎng)比賽，小馬做裁判.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)比賽：小王與小張比賽小王獲勝的概率為，小馬與小張比賽小張獲勝的概率為，小馬與小王比賽小馬獲勝的概率為.
(1)比賽完3局時(shí)，求三人各勝1局的概率；
(2)比賽完4局時(shí)，設(shè)小馬做裁判的次數(shù)為X，求X的分布列和期望.
【題型四 均值和方差在決策問題中應(yīng)用】
1.（2022·山東·高密三中高三階段練習(xí)）2021年7月24日，在奧運(yùn)會(huì)女子個(gè)人重劍決賽中，中國(guó)選手孫一文在最后關(guān)頭一劍封喉，斬獲金牌，掀起了新一輪“擊劍熱潮”．甲、乙、丙三位重劍愛好者決定進(jìn)行一場(chǎng)比賽，每局兩人對(duì)戰(zhàn)，沒有平局，已知每局比賽甲贏乙的概率為，甲贏丙的概率為，丙贏乙的概率為．因?yàn)榧资亲钊醯?，所以讓他決定第一局的兩個(gè)比賽者（甲可以選定自己比賽，也可以選定另外兩個(gè)人比賽），每局獲勝者與此局未比賽的人進(jìn)行下一局的比賽，在比賽中某人首先獲勝兩局就成為整個(gè)比賽的冠軍，比賽結(jié)束．
(1)若甲指定第一局由乙丙對(duì)戰(zhàn)，求“只進(jìn)行三局甲就成為冠軍”的概率；
(2)請(qǐng)幫助甲進(jìn)行第一局的決策（甲乙、甲丙或乙丙比賽），使得甲最終獲得冠軍的概率最大．
2．（2022·常州市新橋高級(jí)中學(xué)高三模擬）手機(jī)運(yùn)動(dòng)計(jì)步已經(jīng)成為一種新時(shí)尚．某單位統(tǒng)計(jì)職工一天行走步數(shù)（單位：百步）得到如下頻率分布直方圖．由頻率分布直方圖估計(jì)該單位職工一天行走步數(shù)的中位數(shù)為125（百步），其中同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表．
(1)試計(jì)算圖中的a、b值，并以此估計(jì)該單位職工一天行走步數(shù)的平均值；
(2)為鼓勵(lì)職工積極參與健康步行，該單位制定甲、乙兩套激勵(lì)方案：記職工個(gè)人每日步行數(shù)為，其超過平均值的百分?jǐn)?shù)，若，職工獲得一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)；若，職工獲得二次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)；若，職工獲得三次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)；若，職工獲得四次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)；若超過50，職工獲得五次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)．設(shè)職工獲得抽獎(jiǎng)次數(shù)為n．方案甲：從裝有1個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋中有放回的逐個(gè)抽取n個(gè)小球，抽得紅球個(gè)數(shù)即表示該職工中獎(jiǎng)幾次；方案乙：從裝有6個(gè)紅球和4個(gè)白球的口袋中無放回的逐個(gè)抽取n個(gè)小球，抽得紅球個(gè)數(shù)即表示該職工中獎(jiǎng)幾次；若某職工日步行數(shù)為15700步，以期望為決策依據(jù)判斷哪個(gè)方案更佳？
3.（2022·濟(jì)北中學(xué)高三月考）某學(xué)校的自主招生考試中有一種多項(xiàng)選擇題，每題設(shè)置了四個(gè)選項(xiàng)ABCD，其中至少兩項(xiàng)、至多三項(xiàng)是符合題目要求的．在每題中，如果考生全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．小明同學(xué)參加考試時(shí)遇到一道這樣的多選題，他沒有能力判斷每個(gè)選項(xiàng)正確與否，只能瞎猜．假設(shè)對(duì)于每個(gè)選項(xiàng)，正確或者錯(cuò)誤的概率均為．
(1)寫出正確選項(xiàng)的所有可能情況；如果小明隨便選2個(gè)或3個(gè)選項(xiàng)，求出小明這道題能得5分的概率；
(2)從這道題得分的數(shù)學(xué)期望來看，小明應(yīng)該只選一個(gè)選項(xiàng)？還是兩個(gè)選項(xiàng)？還是三個(gè)選項(xiàng)？
4. （2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某財(cái)經(jīng)雜志發(fā)起一項(xiàng)調(diào)查，旨在預(yù)測(cè)中國(guó)經(jīng)濟(jì)前景，隨機(jī)訪問了位業(yè)內(nèi)人士，根據(jù)被訪問者的問卷得分（滿分分）將經(jīng)濟(jì)前景預(yù)期劃分為三個(gè)等級(jí)（悲觀?尚可?樂觀）.分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)及這位被訪問者得分頻數(shù)分布情況如下：
假設(shè)被訪問的每個(gè)人獨(dú)立完成問卷（互不影響），根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，這位人士的意見即可代表業(yè)內(nèi)人士意見，且他們預(yù)測(cè)各等級(jí)的頻率可估計(jì)未來經(jīng)濟(jì)各等級(jí)發(fā)生的可能性.
(1)該雜志記者又隨機(jī)訪問了兩名業(yè)內(nèi)人士，試估計(jì)至少有一人預(yù)測(cè)中國(guó)經(jīng)濟(jì)前景為“樂觀”的概率；
(2)某人有一筆資金，現(xiàn)有兩個(gè)備選的投資意向：物聯(lián)網(wǎng)項(xiàng)目或人工智能項(xiàng)目，兩種投資項(xiàng)目的年回報(bào)率都與中國(guó)經(jīng)濟(jì)前景等級(jí)有關(guān)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，大致關(guān)系如下（正數(shù)表示贏利，負(fù)數(shù)表示虧損）：
根據(jù)以上信息，請(qǐng)分別計(jì)算這兩種投資項(xiàng)目的年回報(bào)率的期望與方差，并用統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)給出投資建議.
0
1
2
3
4
5
6
X
1
2
3
P
a
2a
3a
X
0
1
2
3
P
a
b
X
1
2
3
P
a
b
2b—a
經(jīng)濟(jì)前景等級(jí)
悲觀
尚可
樂觀
問卷得分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
頻數(shù)
2
3
5
10
19
24
17
9
7
4
經(jīng)濟(jì)前景等級(jí)
樂觀
尚可
悲觀
物聯(lián)網(wǎng)項(xiàng)目年回報(bào)率（%）
12
4
人工智能項(xiàng)目年回報(bào)率（%）
7
5

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