1.函數的零點
(1)函數零點的概念
如果函數y＝f(x)在實數α處的值等于零，即f(α)＝0，則α叫做這個函數的零點.
(2)函數零點與方程根的關系
方程f(x)＝0有實數根?函數y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數y＝f(x)有零點.
(3)零點存在性定理
如果函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象不間斷，并且在它的兩個端點處的函數值異號，即f(a)f(b)0)的圖象與零點的關系
3.指數、對數、冪函數模型性質比較
4.幾種常見的函數模型
1.識圖
對于給定函數的圖象，要從圖象的左右、上下分布范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性，注意圖象與函數解析式中參數的關系.
2.用圖
借助函數圖象，可以研究函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、對稱性等性質.利用函數的圖象，還可以判斷方程f(x)＝g(x)的解的個數，求不等式的解集等.
3.轉化思想在函數零點問題中的應用
方程解的個數問題可轉化為兩個函數圖象交點的個數問題；已知方程有解求參數范圍問題可轉化為函數值域問題.
4.判斷函數零點個數的常用方法
(1)通過解方程來判斷.
(2)根據零點存在性定理，結合函數性質來判斷.
(3)將函數y＝f(x)－g(x)的零點個數轉化為函數y＝f(x)與y＝g(x)圖象公共點的個數來判斷.
5.解函數應用問題的步驟
(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇數學模型；
(2)建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識，建立相應的數學模型；
(3)解模：求解數學模型，得出數學結論；
(4)還原：將數學問題還原為實際問題.
以上過程用框圖表示如下：
函數與方程
一、單選題
1． (2023·全國·模擬預測）已知函數滿足，且是的一個零點，則一定是下列函數的零點的是（ ）
A．B．
C．D．
2． (2023·河南·模擬預測（文））已知，，若在區(qū)間上恰有4個零點，則實數a的取值范圍是（ ）
A．（1，3）B．（2，4）C．D．
3． (2023·江西師大附中一模（理））已知函數，，的零點分別為，，，則（ ）．
A．B．
C．D．
4． (2023·河南·鄭州中學模擬預測（文））函數在區(qū)間上的大致圖像為（ ）
A．B．
C．D．
5． (2023·江西贛州·二模（理））若函數有零點，則a的取值范圍是（ ）
A．[，]B．
C．（0，）D．（，+∞）
6． (2023·河南洛陽·模擬預測（理））已知正項數列{an}的前n項和為Sn，a1＞1，且6Sn＝an2+3an+2．若對于任意實數a∈[﹣2，2]．不等式恒成立，則實數t的取值范圍為（ ）
A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]
7． (2023·江蘇·南京市第一中學三模）非空集合，，，則實數的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
8． (2023·江西南昌·一模（文））已知，若，分別是方程，的根，則下列說法：①；②；③，其中正確的個數為（ ）
A．0B．1C．2D．3
9． (2023·湖北黃岡·模擬預測（文））求下列函數的零點，可以采用二分法的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
10． (2023·遼寧錦州·一模）設函數的定義域為，為奇函數，為偶函數，當時，，則下列結論正確的是（ ）
A．B．在上為減函數
C．點是函數的一個對稱中心D．方程僅有個實數解
11． (2023·福建三明·模擬預測）已知函數在區(qū)間（1，＋∞）內沒有零點，則實數a的取值可以為（ ）
A．－1B．2C．3D．4
三、填空題
12． (2023·湖南永州·三模）已知函數，若在內單調且有一個零點，則的取值范圍是__________．
13． (2023·寧夏中衛(wèi)·三模（理））已知方程的根在區(qū)間上，第一次用二分法求其近似解時，其根所在區(qū)間應為__________．
四、解答題
14． (2023·四川雅安·二模）已知函數．
(1)當時，曲線在點處的切線方程；
(2)若為整數，當時，，求的最小值．
五、雙空題
15． (2023·江蘇江蘇·一模）已知是定義在上的奇函數，且.若當時，，則在區(qū)間上的值域為____________，在區(qū)間內的所有零點之和為__________
16． (2023·廣東汕頭·一模）為檢測出新冠肺炎的感染者，醫(yī)學上可采用“二分檢測法”、假設待檢測的總人數是（）將個人的樣本混合在一起做第1輪檢測（檢測一次），如果檢測結果為陰性，可確定這批人未感染；如果檢測結果為陽性，可確定其中有感染者，則將這批人平均分為兩組，每組人的樣本混合在一起做第2輪檢測，每組檢測1次，如此類推：每輪檢測后，排除結果為陰性的那組人，而將每輪檢測后結果為陽性的組在平均分成兩組，做下一輪檢測，直到檢測出所有感染者（感染者必須通過檢測來確定）.若待檢測的總人數為8，采用“二分檢測法”檢測，經過4輪共7次檢測后確定了所有感染者，則感染者人數最多為______人.若待檢測的總人數為，且假設其中有不超過2名感染者，采用“二分檢測法”所需檢測總次數記為n，則n的最大值為______.
函數模型及其應用
一、單選題
1． (2023·廣東·一模）已知函數，，則圖象如圖的函數可能是( )
A．B．C．D．
2． (2023·貴州·模擬預測（理））生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一個新的環(huán)境，從而對入侵地的生態(tài)系統(tǒng)造成危害的現(xiàn)象.若某入侵物種的個體平均繁殖數量為，一年四季均可繁殖，繁殖間隔為相鄰兩代間繁殖所需的平均時間.在物種入侵初期，可用對數模型（為常數）來描述該物種累計繁殖數量與入侵時間（單位：天）之間的對應關系，且，在物種入侵初期，基于現(xiàn)有數據得出，.據此估計該物種累計繁殖數量比初始累計繁殖數量增加倍所需要的時間為（，）（ ）
A．天B．天C．天D．天
3． (2023·廣西·模擬預測（理））異速生長規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數量關系通常以冪函數形式表示．比如，某類動物的新陳代謝率與其體重滿足，其中和為正常數，該類動物某一個體在生長發(fā)育過程中，其體重增長到初始狀態(tài)的16倍時，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則為（ ）
A．B．C．D．
4． (2023·河南新鄉(xiāng)·三模（理））中國的5G技術領先世界，5G技術的數學原理之一便是著名的香農公式：.它表示，在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬W，信道內信號的平均功率S，信道內部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫作信噪比.當信噪比比較大時，公式中真數里面的1可以忽略不計.按照香農公式，增加帶寬，提高信號功率和降低噪聲功率都可以提升信息傳遞速度，若在信噪比為1000的基礎上，將帶寬W增大到原來的2倍，信號功率S增大到原來的10倍，噪聲功率N減小到原來的，則信息傳遞速度C大約增加了（ ）（參考數據：）
A．87%B．123%C．156%D．213%
5． (2023·天津市第七中學模擬預測）一種藥在病人血液中的量不少于才有效，而低于病人就有危險．現(xiàn)給某病人注射了這種藥，如果藥在血液中以每小時的比例衰減，為了充分發(fā)揮藥物的利用價值，那么從現(xiàn)在起經過 （ ）小時向病人的血液補充這種藥，才能保持療效．（附：，，結果精確到）
A．小時B．小時C．小時D．小時
二、多選題
6． (2023·湖北·一模）盡管目前人類還無法準確預報地震，但科學家經過研究，已經對地震有所了解，例如，地震時釋放的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的關系為lgE=4.8+1.5M，則下列說法正確的是（ ）
A．地震釋放的能量為1015.3焦耳時，地震里氏震級約為七級
B．八級地震釋放的能量約為七級地震釋放的能量的6.3倍
C．八級地震釋放的能量約為六級地震釋放的能量的1000倍
D．記地震里氏震級為n（n=1，2，···，9，10），地震釋放的能量為an，則數列{an}是等比數列
7． (2023·福建廈門·一模）某醫(yī)藥研究機構開發(fā)了一種新藥，據監(jiān)測，如果患者每次按規(guī)定的劑量注射該藥物，注射后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時間t（小時）之間的關系近似滿足如圖所示的曲線．據進一步測定，當每毫升血液中含藥量不少于0.125微克時，治療該病有效，則（ ）
A．
B．注射一次治療該病的有效時間長度為6小時
C．注射該藥物小時后每毫升血液中的含藥量為0.4微克
D．注射一次治療該病的有效時間長度為時
8． (2023·江蘇南京·二模）某港口一天24h內潮水的高度S（單位：m）隨時間t（單位：h，0≤t≤24）的變化近似滿足關系式，則下列說法正確的有（ ）
A．在[0，2]上的平均變化率為m/h
B．相鄰兩次潮水高度最高的時間間距為24h
C．當t＝6時，潮水的高度會達到一天中最低
D．18時潮水起落的速度為m/h
9． (2023·福建莆田·模擬預測）某導演的紀錄片《垃圾圍城》真實地反映了城市垃圾污染問題，目前中國668個城市中有超過的城市處于垃圾的包圍之中，且城市垃圾中的快遞行業(yè)產生的包裝垃圾正在逐年攀升，有關數據顯示，某城市從2016年到2019年產生的包裝垃圾量如下表：
（1）有下列函數模型：①；②；③（參考數據：，），以上函數模型（ ）A．選擇模型①，函數模型解析式，近似反映該城市近幾年包裝垃圾生產量y（萬噸）與年份x的函數關系
B．選擇模型②，函數模型解析式，近似反映該城市近幾年包裝垃圾生產量y（萬噸）與年份x的函數關系
C．若不加以控制，任由包裝垃圾如此增長下去，從2021年開始，該城市的包裝垃圾將超過40萬噸
D．若不加以控制，任由包裝垃圾如此增長下去，從2022年開始，該城市的包裝垃圾將超過40萬噸
三、填空題
10． (2023·重慶·模擬預測）我國的酒駕標準是指車輛駕駛員血液中的酒精含量大于或者等于，已知一駕駛員某次飲酒后體內每血液中的酒精含量（單位：）與時間（單位：）的關系是：當時，；當時，，那么該駕駛員在飲酒后至少要經過__________才可駕車.
四、解答題
11． (2023·四川·瀘縣五中模擬預測（理））為響應綠色出行，前段時間貴陽市在推出“共享單車”后，又推出“新能源分時租賃汽車”，其中一款新能源分時租賃汽車，每次租車收費的標準由兩部分組成：①根據行駛里程按1元/公里計費；②行駛時間不超過40分鐘時，按0.12元/分鐘計費；超出部分按0.20元/分鐘計費，已知張先生家離上班地點15公里，每天租用該款汽車上、下班各一次.由于堵車、紅路燈等因素，每次路上開車花費的時間（分鐘）是一個隨機變量.現(xiàn)統(tǒng)計了100次路上開車花費時間，在各時間段內的頻數分布情況如下表所示：
將各時間段發(fā)生的頻率視為概率，每次路上開車花費的時間視為用車的時間，范圍為分鐘.
(1)寫出張先生一次租車費用（元）與用車時間（分鐘）的函數關系式；
(2)若公司每月給900元的車補，請估計張先生每月（按24天計算）的車補是否足夠上下租用新能源分時租賃汽車？并說明理由；（同一時段，用該區(qū)間的中點值作代表）
(3)若張先生一次開車時間不超過40分鐘為“路段暢通”，設表示3次租用新能源分時租賃汽車中“路段暢通”的次數，求的分布列和期望.
12． (2023·全國·模擬預測）隨著我國經濟發(fā)展?醫(yī)療消費需求增長?人們健康觀念轉變以及人口老齡化進程加快等因素的影響，醫(yī)療器械市場近年來一直保持了持續(xù)增長的趨勢.某醫(yī)療器械公司為了進一步增加市場競爭力，計劃改進技術生產某產品.已知生產該產品的年固定成本為萬元，最大產能為臺.每生產臺，需另投入成本萬元，且由市場調研知，該產品每臺的售價為200萬元，且全年內生產的該產品當年能全部銷售完.
（1）寫出年利潤萬元關于年產量臺的函數解析式（利潤=銷售收入-成本）；
（2）當該產品的年產量為多少時，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？
13．（2018·全國·三模（理））某企業(yè)采用新工藝，把企業(yè)生產中排放的二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品.已知該單位每月的處理量最少為300噸，最多為600噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數關系可近似地表示為y200x＋80000，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產品價值為100元.
(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？
(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家至少需要補貼多少元才能使該單位不虧損？
函數綜合
一、單選題
1． (2023·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學一模）已知，且函數.若對任意的不等式恒成立，則實數的取值范圍為
A．B．C．D．
2． (2023·河南·模擬預測（理））若關于的方程有三個不相等的實數解，且，其中，為自然對數的底數，則的值為（ ）
A．1B．C．D．
3． (2023·貴州·鎮(zhèn)遠縣文德民族中學校模擬預測（文））設函數的定義域為，滿足，且當時，.若對任意，都有，則的取值范圍是
A．B．C．D．
4． (2023·浙江·模擬預測）已知函數，則函數的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
5． (2023·安徽·池州市第一中學模擬預測（理））設函數，其中 ，若存在唯一的整數，使得，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
6． (2023·四川·仁壽一中二模（文））關于函數有下述四個結論：
①f(x)是偶函數 ②f(x)在區(qū)間（,）單調遞增
③f(x)在有4個零點 ④f(x)的最大值為2
其中所有正確結論的編號是
A．①②④B．②④C．①④D．①③
二、多選題
7． (2023·全國·模擬預測）已知函數，下列四個命題正確的是．
A．函數為偶函數
B．若，其中，，，則
C．函數在上為單調遞增函數
D．若，則
三、填空題
8． (2023·北京八十中模擬預測）已知集合，若對于任意，存在，使得成立，則稱集合是“好集合.給出下列4個集合：① ； ② ；③ ； ④ .其中所有“好集合”的序號是________________.
_
一、單選題
1． (2023·海南·高考真題）基本再生數R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數.基本再生數指一個感染者傳染的平均人數，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數模型：描述累計感染病例數I(t)隨時間t(單位:天)的變化規(guī)律，指數增長率r與R0，T近似滿足R0 =1+rT.有學者基于已有數據估計出R0=3.28，T=6.據此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間約為(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天B．1.8天
C．2.5天D．3.5天
2． (2023·天津·高考真題）已知函數若函數恰有4個零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
3． (2023·全國·高考真題（理））若，則（ ）
A．B．C．D．
4． (2023·全國·高考真題（理））在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網上銷售業(yè)務，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（ ）
A．10名B．18名C．24名D．32名
5． (2023·全國·高考真題（理））關于函數有下述四個結論：
①f(x)是偶函數 ②f(x)在區(qū)間（,）單調遞增
③f(x)在有4個零點 ④f(x)的最大值為2
其中所有正確結論的編號是
A．①②④B．②④C．①④D．①③
二、雙空題
6． (2023·北京·高考真題（理））李明自主創(chuàng)業(yè)，在網上經營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網上支付成功后，李明會得到支付款的80%．
①當x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為__________．
三、填空題
7． (2023·江蘇·高考真題）設是定義在上的兩個周期函數，的周期為4，的周期為2，且是奇函數.當時，，，其中.若在區(qū)間上，關于的方程有8個不同的實數根，則 的取值范圍是_____.
四、解答題
8． (2023·江蘇·高考真題）如圖，一個湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）．規(guī)劃在公路l上選兩個點P、Q，并修建兩段直線型道路PB、QA．規(guī)劃要求:線段PB、QA上的所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑．已知點A、B到直線l的距離分別為AC和BD（C、D為垂足），測得AB=10，AC=6，BD=12（單位:百米）．
（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長；
（2）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個點選在D處？并說明理由；
（3）對規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長度均為d（單位：百米）.求當d最小時，P、Q兩點間的距離．
一、單選題
1. （2022·遼寧大東·模擬預測） 已知函數在內有且僅有兩個零點，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
2. （2022·全國·模擬預測） 科學家以里氏震級來度量地震的強度，若設I為地震時所散發(fā)出來的相對能量程度，則里氏震級度量r可定義為，則每增加一個震級，相對能量程度擴大到（ ）
A. 31.6倍B. 13.16倍C. 6.32倍D. 3.16倍
3. （2022·全國·模擬預測）牛頓流體符合牛頓黏性定律，在一定溫度和剪切速率范圍內黏度值是保持恒定的：，其中為剪切應力，為黏度，為剪切速率；而當液體的剪切應力和剪切速率存在非線性關系時液體就稱為非牛頓流體．非牛頓流體會產生很多非常有趣的現(xiàn)象，如人陷入沼澤越掙扎將會陷得越深；也有很多廣泛的應用，如某些高分子聚合物還可以做成“液體防彈衣”．如圖是測得的某幾種液體的流變曲線，則其中屬于沼澤和液體防彈衣所用液體的曲線分別是（ ）
A. ③和①B. ①和③C. ④和②D. ②和④
4. （2022·天津·模擬預測） 已知函數，關于的方程有四個相異的實數根，則的取值范圍是（ ）
A. B. ，
C. ，D. ，，
5. （2022·湖南永州·二模）在流行病學中，基本傳染數是指每名感染者平均可傳染的人數.假設某種傳染病的基本傳染數為，個感染者在每個傳染期會接觸到個新人，這個人中有個人接種過疫苗（稱為接種率），那么個感染者傳染人數為.已知某種傳染病在某地的基本傳染數，為了使個感染者傳染人數不超過，則該地疫苗的接種率至少為（ ）
A. B. C. D.
6. （2022·全國·模擬預測）已知某種垃圾的分解率為，與時間（月）滿足函數關系式（其中，為非零常數），若經過12個月，這種垃圾的分解率為10%，經過24個月，這種垃圾的分解率為20%，那么這種垃圾完全分解，至少需要經過（ ）（參考數據：）
A. 48個月B. 52個月C. 64個月D. 120個月
二、多選題
7. （2022·福建莆田·模擬預測） 已知定義在上的函數（ ）
A. 若恰有兩個零點，則的取值范圍是
B. 若恰有兩個零點，則的取值范圍是
C. 若的最大值為，則的取值個數最多為2
D. 若的最大值為，則的取值個數最多為3
三、填空題
8. （2022·廣東茂名·一模）已知函數，若均不相等，且，則的取值范圍是___________
9. （2022·浙江·模擬預測）我國古代有一則家喻戶曉的神話故事——后羿射日，在《淮南子?本經訓》和《山海經?海內經》都有一定記載.如果被射下來的九個太陽中有一個距離地球約3500光年，如果將“3500光年”的單位“光年”換算成以”米”為單位，所得結果的數量級是___________（光年是指光在宇宙真空中沿直線經過一年時間的距離，光速；通常情況下，數量級是指一系列10的冪，例如數字的數量級是3）.
10. （2022·重慶實驗外國語學校一模） 已知函數，若存在，，…，，使得，則的值為________．
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ0)的圖象
與x軸的交點
(x1，0)，(x2，0)
(x1，0)
無交點
零點個數
2
1
0
函數
性質
y＝ax
(a>1)
y＝lgax
(a>1)
y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)
上的增減性
單調遞增
單調遞增
單調遞增
增長速度
越來越快
越來越慢
相對平穩(wěn)
圖象的變化
隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行
隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行
隨n值變化
而各有不同
函數模型
函數解析式
一次函數模型
f(x)＝ax＋b(a、b為常數，a≠0)
二次函數模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)
與指數函數
相關模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數，a>0且a≠1，b≠0)
與對數函數
相關模型
f(x)＝blgax＋c(a，b，c為常數，a>0且a≠1，b≠0)
與冪函數
相關模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數，a≠0)
年份x
2016
2017
2018
2019
包裝垃圾y（萬噸）
4
6
9
13. 5
時間（分鐘）
頻數
4
36
40
20

考點05 函數的應用（核心考點講與練）
1.函數的零點
(1)函數零點的概念
如果函數y＝f(x)在實數α處的值等于零，即f(α)＝0，則α叫做這個函數的零點.
(2)函數零點與方程根的關系
方程f(x)＝0有實數根?函數y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數y＝f(x)有零點.
(3)零點存在性定理
如果函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象不間斷，并且在它的兩個端點處的函數值異號，即f(a)f(b)0)的圖象與零點的關系
3.指數、對數、冪函數模型性質比較
4.幾種常見的函數模型
1.識圖
對于給定函數的圖象，要從圖象的左右、上下分布范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性，注意圖象與函數解析式中參數的關系.
2.用圖
借助函數圖象，可以研究函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、對稱性等性質.利用函數的圖象，還可以判斷方程f(x)＝g(x)的解的個數，求不等式的解集等.
3.轉化思想在函數零點問題中的應用
方程解的個數問題可轉化為兩個函數圖象交點的個數問題；已知方程有解求參數范圍問題可轉化為函數值域問題.
4.判斷函數零點個數的常用方法
(1)通過解方程來判斷.
(2)根據零點存在性定理，結合函數性質來判斷.
(3)將函數y＝f(x)－g(x)的零點個數轉化為函數y＝f(x)與y＝g(x)圖象公共點的個數來判斷.
5.解函數應用問題的步驟
(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇數學模型；
(2)建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識，建立相應的數學模型；
(3)解模：求解數學模型，得出數學結論；
(4)還原：將數學問題還原為實際問題.
以上過程用框圖表示如下：
函數與方程
一、單選題
1． (2023·全國·模擬預測）已知函數滿足，且是的一個零點，則一定是下列函數的零點的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先判斷函數是奇函數，由零點定義可知，，再經過變形，結合選項判斷是否是函數的零點.
【詳解】因為，所以，所以函數是奇函數．由已知可得，即．所以，所以，故一定是的零點，故A正確，B錯誤；
又由，得，所以，故C錯誤；由，故D錯誤.
故選：A．
2． (2023·河南·模擬預測（文））已知，，若在區(qū)間上恰有4個零點，則實數a的取值范圍是（ ）
A．（1，3）B．（2，4）C．D．
【答案】C
【分析】x∈，數形結合確定的范圍使得圖像和恰好有四個交點.
【詳解】，
在區(qū)間上恰有4個零點，等價與圖象恰好有4個交點，因為x∈，所以，
如圖所示，
則應該滿足，解得.
故選：C.
3． (2023·江西師大附中一模（理））已知函數，，的零點分別為，，，則（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】轉化函數，，的零點為與，，的交點，數形結合，即得解.
【詳解】函數，，的零點，即為與，，的交點，
作出與，，的圖象，
如圖所示，可知
故選：C
4． (2023·河南·鄭州中學模擬預測（文））函數在區(qū)間上的大致圖像為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據奇偶性排除A，D，根據，函數值的正負可選出選項.
【詳解】由題可得是偶函數，排除A,D兩個選項，
當時，，，
當時，，，
所以當時，僅有一個零點.
故選：C
【點睛】此題考查函數的奇偶性和零點問題，解題時要善于觀察出函數的一個零點，再分別討論，函數值的正負便可得出選項.
5． (2023·江西贛州·二模（理））若函數有零點，則a的取值范圍是（ ）
A．[，]B．
C．（0，）D．（，+∞）
【答案】A
【分析】構造函數=，利用函數單調性可得即得.
【詳解】由有解，
可得，=，
因為與在[1，+∞）都是增函數，
所以在是增函數，又時，
所以當時有零點.
故選：A.
6． (2023·河南洛陽·模擬預測（理））已知正項數列{an}的前n項和為Sn，a1＞1，且6Sn＝an2+3an+2．若對于任意實數a∈[﹣2，2]．不等式恒成立，則實數t的取值范圍為（ ）
A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]
【答案】A
【分析】根據an與Sn的關系，由6Sn＝an2+3an+2，得6Sn﹣1＝an﹣12+3an﹣1+2，兩式相減整理得an﹣an﹣1＝3，由等差數列的定義求得an的通項公式，然后將不等式恒成立，轉化為2t2+at﹣4≥0，對于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*恒成立求解.
【詳解】由6Sn＝an2+3an+2，
當n＝1時，6a1＝a12+3a1+2．解得a1＝2，
當n≥2時，6Sn﹣1＝an﹣12+3an﹣1+2，
兩式相減得6an＝an2+3an﹣（an﹣12+3an﹣1），
整理得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣3）＝0，
由an＞0，所以an+an﹣1＞0，所以an﹣an﹣1＝3，
所以數列{an}是以2為首項，3為公差的等差數列，
所以an+1＝2+3（n+1﹣1）＝3n+2，
所以＝＝3﹣＜3，
因此原不等式轉化為2t2+at﹣1≥3，對于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*恒成立，
即為：2t2+at﹣4≥0，對于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*恒成立，
設f（a）＝2t2+at﹣4，a∈[﹣2，2]，
則f（2）≥0且f（﹣2）≥0，
即有，
解得t≥2或t≤﹣2，
則實數t的取值范圍是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
故選：A．
【點睛】本題主要考查數列與不等式的，an與Sn的關系，等差數列的定義，方程的根的分布問題，還考查了轉化化歸思想和運算求解的能力，屬于中檔題．
7． (2023·江蘇·南京市第一中學三模）非空集合，，，則實數的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由題知，進而構造函數，再根據零點存在性定理得，解不等式即可得答案.
【詳解】解：由題知，
因為，所以，
所以，
故令函數，
所以，如圖，結合二次函數的圖像性質與零點的存在性定理得：
，即，解得，
所以，實數的取值范圍為.
故選：A
8． (2023·江西南昌·一模（文））已知，若，分別是方程，的根，則下列說法：①；②；③，其中正確的個數為（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】由題意可得的圖象關于直線對稱，與的圖象關于直線對稱，在同一坐標系中畫出3個函數的圖象，可求得的范圍，然后逐個分析判斷即可
【詳解】
，
因為，所以，
所以，且在上單調遞減，
，分別是方程，的根，
因為與互為反函數，
所以與的圖象關于直線對稱，
由，得，
畫出函數，和的圖象，
由圖可得
，
因為當時，，
當時，，
所以，
所以，所以①正確，
對于②，由圖可得，所以，
因為，所以，所以②正確，
對于③，因為的圖象關于直線對稱，
因為和互為反函數，
所以與關于直線對稱，
所以或，化簡得，所以③正確，
故選：D
【點睛】關鍵點點睛：此題考查函數與方程的綜合應用，考查數形結合的思想，解題的關鍵是正確畫出函數圖象，根據圖象分析求解的范圍，考查數學轉化思想，屬于較難題
9． (2023·湖北黃岡·模擬預測（文））求下列函數的零點，可以采用二分法的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】不是單調函數，，不能用二分法求零點；
是單調函數，，能用二分法求零點；
不是單調函數，，不能用二分法求零點；
不是單調函數，，不能用二分法求零點.
故選：B
二、多選題
10． (2023·遼寧錦州·一模）設函數的定義域為，為奇函數，為偶函數，當時，，則下列結論正確的是（ ）
A．B．在上為減函數
C．點是函數的一個對稱中心D．方程僅有個實數解
【答案】CD
【分析】根據和的奇偶性可推導得到，，
由可知A錯誤；推導可得，知C正確；作出圖象，結合圖象知B錯誤；將解的個數轉化為與的交點個數，結合圖象可知D正確.
【詳解】為奇函數，，即，
關于點對稱；
為偶函數，，即，
關于對稱；
由，得：，
，即是周期為的周期函數；
對于A，，A錯誤；
對于C，，即，
關于點成中心對稱，C正確；
對于BD，由周期性和對稱性可得圖象如下圖所示，
由圖象可知：在上單調遞增，B錯誤；
方程的解的個數，等價于與的交點個數，
，，
結合圖象可知：與共有個交點，即有個實數解，D正確.
故選：CD.
11． (2023·福建三明·模擬預測）已知函數在區(qū)間（1，＋∞）內沒有零點，則實數a的取值可以為（ ）
A．－1B．2C．3D．4
【答案】ABC
【分析】由題意設，則在上， 與有相同的零點，即討論在區(qū)間內沒有零點，求出其導函數，分析其單調性，得出其最值情況，從而結合其大致的圖形可得出答案.
【詳解】，設
則在上， 與有相同的零點.
故函數在區(qū)間內沒有零點,即在區(qū)間內沒有零點
當時，在區(qū)間上恒成立,則在區(qū)間上單調遞增.
所以，顯然在區(qū)間內沒有零點.
當時, 令，得，令，得
所以在區(qū)間上單調遞減增.在區(qū)間上單調遞增.
所以
設，則
所以在上單調遞減,且
所以存在，使得
要使得在區(qū)間內沒有零點，則
所以
綜上所述，滿足條件的的范圍是
由選項可知：選項ABC可使得在區(qū)間內沒有零點，即滿足題意.
故選：ABC
三、填空題
12． (2023·湖南永州·三模）已知函數，若在內單調且有一個零點，則的取值范圍是__________．
【答案】
【分析】由已知，確定范圍，再由正弦型三角函數圖像的性質得到，進而化簡求解.
【詳解】在內單調且，可得，，解得，
又∵，∴，
又 在上恰有一個零點，所以，
∴且，解之得.
故答案為：
13． (2023·寧夏中衛(wèi)·三模（理））已知方程的根在區(qū)間上，第一次用二分法求其近似解時，其根所在區(qū)間應為__________．
【答案】
【分析】由題意構造函數，求方程的一個近似解，就是求函數在某個區(qū)間內有零點，分析函數值的符號是否異號即可．
【詳解】解：令，其在定義域上單調遞增，
且，，
，
由f（2.5）f（3）＜0知根所在區(qū)間為．
故答案為：．
四、解答題
14． (2023·四川雅安·二模）已知函數．
(1)當時，曲線在點處的切線方程；
(2)若為整數，當時，，求的最小值．
【答案】(1) (2)2
【分析】（1）求出函數的導函數，再根據導數的幾何意義即可得出答案；
（2）由，可得，求導，再令，用導數法得到時，取得極小值，分和時，即論證，再驗證是否成立即可.
(1)解：當時，，
則，
則，，
所以曲線在點處的切線方程為；
(2)因為當時，，
所以，即，
所以，則，
令，則，
因為，
所以在遞增，又，
當時，，遞減，當時，，遞增，
所以當時，取得極小值，
當時，，即，
所以在上遞增，則，
又，
令，在上遞增，
所以，
所以，滿足題意；
當時，因為a為整數，則，此時，
則，，
因為函數在都是增函數，
所以函數在是增函數，
又，
所以存在，使得，
則當時，，故函數遞減，
當時，，故函數遞增，
又，
所以存在，使得，
則當時，，故函數遞減，
當時，，故函數遞增，
所以，
而，即，所以，
所以，
令，
則，
令，
則，
所以函數在上遞減，
所以，
所以，
所以函數在上遞減，
所以,
所以，即，滿足題意；
當時，，則，
，
因為函數在都是增函數，
所以函數在是增函數，
且，
所以在上遞增，又，
所以存在，使得，
當時，，故函數遞減，，不滿足題意，
綜上：整數的最小值為2.
【點睛】
思路點睛：本題第二問基本思路是由確定，再由，當時，取得極小值，確定分類標準而得解，特別注意是驗證是否成立是本題的關鍵.
五、雙空題
15． (2023·江蘇江蘇·一模）已知是定義在上的奇函數，且.若當時，，則在區(qū)間上的值域為____________，在區(qū)間內的所有零點之和為__________
【答案】 ##2.5
【分析】第一空先求出函數在上的解析式，結合奇函數畫出的圖像，再由得到，
進而得到函數在上的圖像，即可求得值域；
第二空畫出將零點轉化為的交點，再畫出的圖像即可求解.
【詳解】
由當時，，可得當時，，當時，，
又是奇函數，可得函數圖像關于原點對稱.又當時，即，即，
即函數右移兩個單位，函數值變?yōu)樵瓉淼?倍，由此可得函數在上的圖像如圖所示：
結合圖像可知在區(qū)間上的值域為；，即，即的交點，
畫出的圖像，由圖像可知4個交點的橫坐標依次為，又均是奇函數，故，
故.
故答案為：；.
16． (2023·廣東汕頭·一模）為檢測出新冠肺炎的感染者，醫(yī)學上可采用“二分檢測法”、假設待檢測的總人數是（）將個人的樣本混合在一起做第1輪檢測（檢測一次），如果檢測結果為陰性，可確定這批人未感染；如果檢測結果為陽性，可確定其中有感染者，則將這批人平均分為兩組，每組人的樣本混合在一起做第2輪檢測，每組檢測1次，如此類推：每輪檢測后，排除結果為陰性的那組人，而將每輪檢測后結果為陽性的組在平均分成兩組，做下一輪檢測，直到檢測出所有感染者（感染者必須通過檢測來確定）.若待檢測的總人數為8，采用“二分檢測法”檢測，經過4輪共7次檢測后確定了所有感染者，則感染者人數最多為______人.若待檢測的總人數為，且假設其中有不超過2名感染者，采用“二分檢測法”所需檢測總次數記為n，則n的最大值為______.
【答案】 2
【分析】利用二分檢測法求解.
【詳解】若待檢測的總人數為8，則第一輪需檢測1次，第2輪需檢測2次，第3輪需檢測2次，第4輪需檢測2次，
則共需檢測7次，此時感染者人數最多為2人；
若待檢測的總人數為，且假設其中有不超過2名感染者，
若沒有感染者，則只需1次檢測即可；
若只有1個感染者，則只需次檢測；
若只有2個感染者，若要檢測次數最多，則第2輪檢測時，2個感染者不位于同一組，
此時相當兩個待檢測均為的組，
每組1個感染者，此時每組需要次檢測，
所以此時兩組共需次檢測，
故有2個感染者，且檢測次數最多，共需次檢測，
所以采用“二分檢測法”所需檢測總次數記為n，則n的最大值為.
故答案為：2，
函數模型及其應用
一、單選題
1． (2023·廣東·一模）已知函數，，則圖象如圖的函數可能是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】結合函數圖像的奇偶性和單調性即可判斷.
【詳解】由圖可知，該函數為奇函數，和為非奇非偶函數，故A、B不符；
當x＞0時，單調遞增，與圖像不符，故C不符；
為奇函數，當x→＋?時，∵y＝的增長速度快于y＝lnx的增長速度，故＞0且單調遞減，故圖像應該在x軸上方且無限靠近x軸，與圖像相符.
故選：D.
2． (2023·貴州·模擬預測（理））生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一個新的環(huán)境，從而對入侵地的生態(tài)系統(tǒng)造成危害的現(xiàn)象.若某入侵物種的個體平均繁殖數量為，一年四季均可繁殖，繁殖間隔為相鄰兩代間繁殖所需的平均時間.在物種入侵初期，可用對數模型（為常數）來描述該物種累計繁殖數量與入侵時間（單位：天）之間的對應關系，且，在物種入侵初期，基于現(xiàn)有數據得出，.據此估計該物種累計繁殖數量比初始累計繁殖數量增加倍所需要的時間為（，）（ ）
A．天B．天C．天D．天
【答案】C
【分析】根據已知數據可求得，設初始時間為，累計繁殖數量增加倍后的時間為，利用，結合對數運算法則可求得結果.
【詳解】，，，，解得：.
設初始時間為，初始累計繁殖數量為，累計繁殖數量增加倍后的時間為，
則（天）.
故選：C.
3． (2023·廣西·模擬預測（理））異速生長規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數量關系通常以冪函數形式表示．比如，某類動物的新陳代謝率與其體重滿足，其中和為正常數，該類動物某一個體在生長發(fā)育過程中，其體重增長到初始狀態(tài)的16倍時，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】初始狀態(tài)設為，變化后為，根據，的關系代入后可求解．
【詳解】設初始狀態(tài)為，則，，
又，，即，
，，，，．
故選：D．
4． (2023·河南新鄉(xiāng)·三模（理））中國的5G技術領先世界，5G技術的數學原理之一便是著名的香農公式：.它表示，在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬W，信道內信號的平均功率S，信道內部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫作信噪比.當信噪比比較大時，公式中真數里面的1可以忽略不計.按照香農公式，增加帶寬，提高信號功率和降低噪聲功率都可以提升信息傳遞速度，若在信噪比為1000的基礎上，將帶寬W增大到原來的2倍，信號功率S增大到原來的10倍，噪聲功率N減小到原來的，則信息傳遞速度C大約增加了（ ）（參考數據：）
A．87%B．123%C．156%D．213%
【答案】D
【分析】先求得提升前的信息傳遞速度，然后求得提升后的信息傳播速度，由此求得正確答案.
【詳解】提升前的信息傳遞速度，
提升后的信息傳遞速度，
所以信息傳遞速度C大約增加了.
故選：D
5． (2023·天津市第七中學模擬預測）一種藥在病人血液中的量不少于才有效，而低于病人就有危險．現(xiàn)給某病人注射了這種藥，如果藥在血液中以每小時的比例衰減，為了充分發(fā)揮藥物的利用價值，那么從現(xiàn)在起經過 （ ）小時向病人的血液補充這種藥，才能保持療效．（附：，，結果精確到）
A．小時B．小時C．小時D．小時
【答案】A
【分析】根據已知關系式可得不等式，結合對數運算法則解不等式即可求得結果.
【詳解】設應在病人注射這種藥小時后再向病人的血液補充這種藥，
則，整理可得：，
，
，，
，即應在用藥小時后再向病人的血液補充這種藥.
故選：A.
二、多選題
6． (2023·湖北·一模）盡管目前人類還無法準確預報地震，但科學家經過研究，已經對地震有所了解，例如，地震時釋放的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的關系為lgE=4.8+1.5M，則下列說法正確的是（ ）
A．地震釋放的能量為1015.3焦耳時，地震里氏震級約為七級
B．八級地震釋放的能量約為七級地震釋放的能量的6.3倍
C．八級地震釋放的能量約為六級地震釋放的能量的1000倍
D．記地震里氏震級為n（n=1，2，···，9，10），地震釋放的能量為an，則數列{an}是等比數列
【答案】ACD
【分析】根據所給公式，結合指對互化原則，逐一分析各個選項，即可得答案.
【詳解】對于A：當時，由題意得，
解得，即地震里氏震級約為七級，故A正確；
對于B：八級地震即時，，解得，
所以，
所以八級地震釋放的能量約為七級地震釋放的能量的倍，故B錯誤；
對于C：六級地震即時，，解得，
所以，
即八級地震釋放的能量約為六級地震釋放的能量的1000倍，故C正確；
對于D：由題意得（n=1，2，···，9，10），
所以，所以
所以，即數列{an}是等比數列，故D正確；
故選：ACD
7． (2023·福建廈門·一模）某醫(yī)藥研究機構開發(fā)了一種新藥，據監(jiān)測，如果患者每次按規(guī)定的劑量注射該藥物，注射后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時間t（小時）之間的關系近似滿足如圖所示的曲線．據進一步測定，當每毫升血液中含藥量不少于0.125微克時，治療該病有效，則（ ）
A．
B．注射一次治療該病的有效時間長度為6小時
C．注射該藥物小時后每毫升血液中的含藥量為0.4微克
D．注射一次治療該病的有效時間長度為時
【答案】AD
【分析】利用圖象分別求出兩段函數解析式，再進行逐個分析，即可解決．
【詳解】由函數圖象可知，
當時，，即，解得，
，故正確，
藥物剛好起效的時間，當，即，
藥物剛好失效的時間，解得，
故藥物有效時長為小時，
藥物的有效時間不到6個小時，故錯誤，正確；
注射該藥物小時后每毫升血液含藥量為微克，故錯誤，
故選：．
8． (2023·江蘇南京·二模）某港口一天24h內潮水的高度S（單位：m）隨時間t（單位：h，0≤t≤24）的變化近似滿足關系式，則下列說法正確的有（ ）
A．在[0，2]上的平均變化率為m/h
B．相鄰兩次潮水高度最高的時間間距為24h
C．當t＝6時，潮水的高度會達到一天中最低
D．18時潮水起落的速度為m/h
【答案】BD
【解析】利用導數的概念及幾何意義、求導法則，逐個判斷選項即可
【詳解】由題意，對于選項A，，，
所以在[0，2]上的平均變化率為m/h，故A選項錯誤；
對于選項B，相鄰兩次潮水高度最高的時間間距為一個周期，而h，故B選項正確；對于選項C，當t＝6時，，
所以潮水的高度會達到一天中最低為錯誤說法，即C選項錯誤；
對于選項D，，
所以，
則選項D正確；綜上，答案選BD.
故選：BD
【點睛】關鍵點睛：解題關鍵在于利用導數的概念及幾何意義、求導法則，求出題中函數的單調性、周期和最值，進而判斷選項，屬于基礎題
9． (2023·福建莆田·模擬預測）某導演的紀錄片《垃圾圍城》真實地反映了城市垃圾污染問題，目前中國668個城市中有超過的城市處于垃圾的包圍之中，且城市垃圾中的快遞行業(yè)產生的包裝垃圾正在逐年攀升，有關數據顯示，某城市從2016年到2019年產生的包裝垃圾量如下表：
（1）有下列函數模型：①；②；③（參考數據：，），以上函數模型（ ）A．選擇模型①，函數模型解析式，近似反映該城市近幾年包裝垃圾生產量y（萬噸）與年份x的函數關系
B．選擇模型②，函數模型解析式，近似反映該城市近幾年包裝垃圾生產量y（萬噸）與年份x的函數關系
C．若不加以控制，任由包裝垃圾如此增長下去，從2021年開始，該城市的包裝垃圾將超過40萬噸
D．若不加以控制，任由包裝垃圾如此增長下去，從2022年開始，該城市的包裝垃圾將超過40萬噸
【答案】AD
【解析】分別選函數模型: ，，代入數據計算得到近似值，比較即可，根據選擇的函數模型，令計算得出結論.
【詳解】若選，計算可得對應數據近似為，
若選，計算可得對應數據近似值都大于2012，顯然A正確，B錯誤；
按照選擇函數模型，
令，即，
，
，
，
，
即從2022年開始，該城市的包裝垃圾將超過40萬噸，故C錯誤D正確.
故選：AD
【點睛】關鍵點點睛：根據給出的函數模型，利用所給數據比較擬合程度即可選出適合的函數模型，根據所選函數模型，解不等式即可求出結論，考查運算能力，屬于中檔題.
三、填空題
10． (2023·重慶·模擬預測）我國的酒駕標準是指車輛駕駛員血液中的酒精含量大于或者等于，已知一駕駛員某次飲酒后體內每血液中的酒精含量（單位：）與時間（單位：）的關系是：當時，；當時，，那么該駕駛員在飲酒后至少要經過__________才可駕車.
【答案】
【分析】根據二次函數的單調性和反比例函數的單調性進行求解即可.
【詳解】當時，，
當時，函數有最大值，所以當時，飲酒后體內每血液中的酒精含量小于，
當當時，函數單調遞減，令，因此飲酒后小時體內每血液中的酒精含量等于，
故答案為：
四、解答題
11． (2023·四川·瀘縣五中模擬預測（理））為響應綠色出行，前段時間貴陽市在推出“共享單車”后，又推出“新能源分時租賃汽車”，其中一款新能源分時租賃汽車，每次租車收費的標準由兩部分組成：①根據行駛里程按1元/公里計費；②行駛時間不超過40分鐘時，按0.12元/分鐘計費；超出部分按0.20元/分鐘計費，已知張先生家離上班地點15公里，每天租用該款汽車上、下班各一次.由于堵車、紅路燈等因素，每次路上開車花費的時間（分鐘）是一個隨機變量.現(xiàn)統(tǒng)計了100次路上開車花費時間，在各時間段內的頻數分布情況如下表所示：
將各時間段發(fā)生的頻率視為概率，每次路上開車花費的時間視為用車的時間，范圍為分鐘.
(1)寫出張先生一次租車費用（元）與用車時間（分鐘）的函數關系式；
(2)若公司每月給900元的車補，請估計張先生每月（按24天計算）的車補是否足夠上下租用新能源分時租賃汽車？并說明理由；（同一時段，用該區(qū)間的中點值作代表）
(3)若張先生一次開車時間不超過40分鐘為“路段暢通”，設表示3次租用新能源分時租賃汽車中“路段暢通”的次數，求的分布列和期望.
【答案】(1)；
(2)張先生每月的車補不夠上下班租用新能源分時租賃汽車費用，理由見解析；
(3)分布列見解析，期望為.
【分析】（1）分類討論得到一次租車費用（元）與用車時間（分鐘）的函數關系式；
（2）求出一個月上下班租車的費用即得解；
（3）由題得可取，再求出對應的概率即得解.
(1)解：當時，
當時，
所以.
(2)解：張先生租用一次新能源分時汽車上下班，
平均用車時間為
每次上下班租車的費用約為
一個月上下班租車的費用約為，
估計張先生每月的車補不夠上下班租用新能源分時租賃汽車費用.
(3)解：張先生租賃分時汽車為“路段暢通”的概率，
可取.
，
的分布列為：
所以
12． (2023·全國·模擬預測）隨著我國經濟發(fā)展?醫(yī)療消費需求增長?人們健康觀念轉變以及人口老齡化進程加快等因素的影響，醫(yī)療器械市場近年來一直保持了持續(xù)增長的趨勢.某醫(yī)療器械公司為了進一步增加市場競爭力，計劃改進技術生產某產品.已知生產該產品的年固定成本為萬元，最大產能為臺.每生產臺，需另投入成本萬元，且由市場調研知，該產品每臺的售價為200萬元，且全年內生產的該產品當年能全部銷售完.
（1）寫出年利潤萬元關于年產量臺的函數解析式（利潤=銷售收入-成本）；
（2）當該產品的年產量為多少時，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？
【答案】（1）；（2）該產品的年產量為臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤是萬元.
【分析】（1）根據年利潤等于總收入減去固定成本萬再減去另投入成本，寫成分段函數的形式即可；
（2）分別由二次函數的性質以及基本不等式求出分段函數各段的最大值，再比較取最大值即可求解.
【詳解】（1）由題意可得：
當時，
；
當時，，
所以
（2）若，，
所以當時，萬元.
若，，
當且僅當時，即時，萬元.
所以該產品的年產量為臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤是萬元.
13．（2018·全國·三模（理））某企業(yè)采用新工藝，把企業(yè)生產中排放的二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品.已知該單位每月的處理量最少為300噸，最多為600噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數關系可近似地表示為y200x＋80000，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產品價值為100元.
(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？
(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家至少需要補貼多少元才能使該單位不虧損？
【答案】(1)400；(2)不能獲利，至少需要補貼35000元.
【分析】(1)每月每噸的平均處理成本為，利用基本不等式求解即得最低成本；
(2)寫出該單位每月的獲利f(x)關于x的函數，整理并利用二次函數的單調性求出最值即可作答.
(1)由題意可知：，
每噸二氧化碳的平均處理成本為：
，
當且僅當，即時，等號成立，
∴該單位每月處理量為400噸時，每噸的平均處理成本最低；
(2)該單位每月的獲利：
，
因，函數在區(qū)間上單調遞減，
從而得當時，函數取得最大值，即，
所以，該單位每月不能獲利，國家至少需要補貼35000元才能使該單位不虧損.
函數綜合
一、單選題
1． (2023·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學一模）已知，且函數.若對任意的不等式恒成立，則實數的取值范圍為
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先參變分離得，然后分類討論求出得最小值，列不等式解出的范圍即可.
【詳解】解：因為，不等式恒成立，
所以，
即恒成立，
令，則，
時，＜0，g（x）遞減；時，＞0，g（x）遞增，
所以g（x）最小值為：，
令（），
所以
令
（1）當時，t≥4，，所以的最小值為：，
所以，
即，解得：，
所以
（2）當1＜＜4時，所以，，的最小值為：，
所以，
即，解得：
所以恒成立．
綜合（1）（2）可知：
故選B.
【點睛】本題考查了函數的綜合問題，不等式恒成立問題，參變分離和分類討論是解題關鍵，屬于難題.
2． (2023·河南·模擬預測（理））若關于的方程有三個不相等的實數解，且，其中，為自然對數的底數，則的值為（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【詳解】化簡，可得，令，原式可化為，，由韋達定理可得，，， 兩式相乘可得，即的值為，故選A.
【方法點睛】本題主要考查韋達定理的應用及數學的轉化與劃歸思想，屬于難題.轉化與劃歸思想解決高中數學問題的一種重要思想方法，是中學數學四種重要的數學思想之一，尤其在解決知識點較多以及知識跨度較大的問題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運用這種方法的關鍵是將題設條件研究透，這樣才能快速找準突破點.以便將問題轉化為我們所熟悉的知識領域，進而順利解答，希望同學們能夠熟練掌握并應用于解題當中.本題中，利用換元法，將問題轉化為，是解題的關鍵.
3． (2023·貴州·鎮(zhèn)遠縣文德民族中學校模擬預測（文））設函數的定義域為，滿足，且當時，.若對任意，都有，則的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根據已知條件求出當時，函數，
做出示意圖如下圖所示： 要使，則需，而由可解得，從而得出的范圍.
【詳解】當時，，而時，所以
又，
所以當時，，
當時，，
做出示意圖如下圖所示：
要使，則需，而由解得，所以，
故選：D.
【點睛】本題考查函數不等式的求解問題，解決問題的關鍵在于根據已知條件求出相應區(qū)間的解析式，運用數形結合的思想巧妙求解不等式，屬于中檔題.
4． (2023·浙江·模擬預測）已知函數，則函數的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用特殊值代入的方法排除C D，當時，求出，，比較變化情況排除選項A，即可得出結果.
【詳解】因為，
由，排除C D；
當時，
，
，
又，
則，
；
，
，
選項A在減的越來越快，不符合題意；
故選：B.
【點睛】方法點睛：本題考查函數圖象的識別，此類問題一般利用特殊值代入，根據函數的奇偶性、單調性、函數在特殊點處的函數的符號等來判別.
5． (2023·安徽·池州市第一中學模擬預測（理））設函數，其中 ，若存在唯一的整數，使得，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設，，問題轉化為存在唯一的整數使得滿足，求導可得出函數的極值，數形結合可得且，由此可得出實數的取值范圍.
【詳解】設，，
由題意知，函數在直線下方的圖象中只有一個點的橫坐標為整數，
，當時，；當時，.
所以，函數的最小值為.
又，.
直線恒過定點且斜率為，
故且，解得，故選D.
【點睛】本題考查導數與極值，涉及數形結合思想轉化，屬于中等題.
6． (2023·四川·仁壽一中二模（文））關于函數有下述四個結論：
①f(x)是偶函數 ②f(x)在區(qū)間（,）單調遞增
③f(x)在有4個零點 ④f(x)的最大值為2
其中所有正確結論的編號是
A．①②④B．②④C．①④D．①③
【答案】C
【分析】化簡函數，研究它的性質從而得出正確答案．
【詳解】為偶函數，故①正確．當時，，它在區(qū)間單調遞減，故②錯誤．當時，，它有兩個零點：；當時，，它有一個零點：，故在有個零點：，故③錯誤．當時，；當時，，又為偶函數，的最大值為，故④正確．綜上所述，①④ 正確，故選C．
【點睛】畫出函數的圖象，由圖象可得①④正確，故選C．
二、多選題
7． (2023·全國·模擬預測）已知函數，下列四個命題正確的是．
A．函數為偶函數
B．若，其中，，，則
C．函數在上為單調遞增函數
D．若，則
【答案】ABD
【分析】根據函數的奇偶性定義，函數性質、對數函數的性質，以及作差法，可以判斷.
【詳解】函數
對于，，，所以函數為偶函數，故正確；
對于，若，其中，，，所以，
，即，得到，故正確；
對于，函數，由，解得，所以函數的定義域為，因此在上不具有單調性，故錯誤；
對于，因為，，故
，故正確.
故選：.
【點睛】本題主要考查的是函數的性質以及對數函數性質的應用，作差法的應用，考查學生的分析問題的能力，和計算能力，是中檔題.
三、填空題
8． (2023·北京八十中模擬預測）已知集合，若對于任意，存在，使得成立，則稱集合是“好集合.給出下列4個集合：① ； ② ；③ ； ④ .其中所有“好集合”的序號是________________.
【答案】②③
【解析】根據題意設，由，可知，即，逐個作圖，分別判斷即可得解.
【詳解】根據題意設，由，
可知，即，
對①，，如圖，不管在一側還是同側均不能有
對②，，如圖，對任意，均有使得，
對③，，如圖，對任意，均有使得，
對④， ，如圖，當取，則不存在使得，
故答案為：②③
【點睛】本題考查了函數相關的新定義，考查了轉化思想和數形結合思想，屬于中檔題.
本題的關鍵點有：
（1）陌生的問題熟悉化，通過轉化把新定義轉化為垂直問題；
（2）數形結合，對圖像的的直觀認識是解題關鍵.
_
一、單選題
1． (2023·海南·高考真題）基本再生數R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數.基本再生數指一個感染者傳染的平均人數，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數模型：描述累計感染病例數I(t)隨時間t(單位:天)的變化規(guī)律，指數增長率r與R0，T近似滿足R0 =1+rT.有學者基于已有數據估計出R0=3.28，T=6.據此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間約為(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天B．1.8天
C．2.5天D．3.5天
【答案】B
【分析】根據題意可得，設在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間為天，根據，解得即可得結果.
【詳解】因為，，，所以，所以，
設在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間為天，
則，所以，所以，
所以天.
故選：B.
【點睛】本題考查了指數型函數模型的應用，考查了指數式化對數式，屬于基礎題.
2． (2023·天津·高考真題）已知函數若函數恰有4個零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由，結合已知，將問題轉化為與有個不同交點，分三種情況，數形結合討論即可得到答案.
【詳解】注意到，所以要使恰有4個零點，只需方程恰有3個實根
即可，
令，即與的圖象有個不同交點.
因為，
當時，此時，如圖1，與有個不同交點，不滿足題意；
當時，如圖2，此時與恒有個不同交點，滿足題意；
當時，如圖3，當與相切時，聯(lián)立方程得，
令得，解得（負值舍去），所以.
綜上，的取值范圍為.
故選：D.

【點晴】本題主要考查函數與方程的應用，考查數形結合思想，轉化與化歸思想，是一道中檔題.
3． (2023·全國·高考真題（理））若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設，利用作差法結合的單調性即可得到答案.
【詳解】設，則為增函數，因為
所以，
所以，所以.
，
當時，，此時，有
當時，，此時，有，所以C、D錯誤.
故選：B.
【點晴】本題主要考查函數與方程的綜合應用，涉及到構造函數，利用函數的單調性比較大小，是一道中檔題.
4． (2023·全國·高考真題（理））在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網上銷售業(yè)務，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（ ）
A．10名B．18名C．24名D．32名
【答案】B
【分析】算出第二天訂單數，除以志愿者每天能完成的訂單配貨數即可.
【詳解】由題意，第二天新增訂單數為，
，故至少需要志愿者名.
故選：B
【點晴】本題主要考查函數模型的簡單應用，屬于基礎題.
5． (2023·全國·高考真題（理））關于函數有下述四個結論：
①f(x)是偶函數 ②f(x)在區(qū)間（,）單調遞增
③f(x)在有4個零點 ④f(x)的最大值為2
其中所有正確結論的編號是
A．①②④B．②④C．①④D．①③
【答案】C
【分析】化簡函數，研究它的性質從而得出正確答案．
【詳解】為偶函數，故①正確．當時，，它在區(qū)間單調遞減，故②錯誤．當時，，它有兩個零點：；當時，，它有一個零點：，故在有個零點：，故③錯誤．當時，；當時，，又為偶函數，的最大值為，故④正確．綜上所述，①④ 正確，故選C．
【點睛】畫出函數的圖象，由圖象可得①④正確，故選C．
二、雙空題
6． (2023·北京·高考真題（理））李明自主創(chuàng)業(yè)，在網上經營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網上支付成功后，李明會得到支付款的80%．
①當x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為__________．
【答案】 130. 15.
【分析】由題意可得顧客需要支付的費用，然后分類討論，將原問題轉化為不等式恒成立的問題可得的最大值.
【詳解】(1),顧客一次購買草莓和西瓜各一盒,需要支付元.
(2)設顧客一次購買水果的促銷前總價為元,
元時,李明得到的金額為,符合要求.
元時,有恒成立,即,即元.
所以的最大值為.
【點睛】本題主要考查不等式的概念與性質?數學的應用意識?數學式子變形與運算求解能力,以實際生活為背景，創(chuàng)設問題情境，考查學生身邊的數學，考查學生的數學建模素養(yǎng).
三、填空題
7． (2023·江蘇·高考真題）設是定義在上的兩個周期函數，的周期為4，的周期為2，且是奇函數.當時，，，其中.若在區(qū)間上，關于的方程有8個不同的實數根，則 的取值范圍是_____.
【答案】.
【分析】分別考查函數和函數圖像的性質，考查臨界條件確定k的取值范圍即可.
【詳解】當時，即
又為奇函數，其圖象關于原點對稱，其周期為，如圖，函數與的圖象，要使在上有個實根，只需二者圖象有個交點即可.

當時，函數與的圖象有個交點；
當時，的圖象為恒過點的直線，只需函數與的圖象有個交點.當與圖象相切時，圓心到直線的距離為，即，得，函數與的圖象有個交點；當過點時，函數與的圖象有個交點，此時，得.
綜上可知，滿足在上有個實根的的取值范圍為.
【點睛】本題考點為參數的取值范圍，側重函數方程的多個實根，難度較大.不能正確畫出函數圖象的交點而致誤，根據函數的周期性平移圖象，找出兩個函數圖象相切或相交的臨界交點個數，從而確定參數的取值范圍.
四、解答題
8． (2023·江蘇·高考真題）如圖，一個湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）．規(guī)劃在公路l上選兩個點P、Q，并修建兩段直線型道路PB、QA．規(guī)劃要求:線段PB、QA上的所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑．已知點A、B到直線l的距離分別為AC和BD（C、D為垂足），測得AB=10，AC=6，BD=12（單位:百米）．
（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長；
（2）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個點選在D處？并說明理由；
（3）對規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長度均為d（單位：百米）.求當d最小時，P、Q兩點間的距離．
【答案】（1）15（百米）；（2）見解析；（3）17+（百米）.
【分析】解：解法一：
（1）過A作，垂足為E.利用幾何關系即可求得道路PB的長；
（2）分類討論P和Q中能否有一個點選在D處即可.
（3）先討論點P的位置，然后再討論點Q的位置即可確定當d最小時，P、Q兩點間的距離．
解法二：
（1）建立空間直角坐標系，分別確定點P和點B的坐標，然后利用兩點之間距離公式可得道路PB的長；
（2）分類討論P和Q中能否有一個點選在D處即可.
（3）先討論點P的位置，然后再討論點Q的位置即可確定當d最小時，P、Q兩點間的距離．
【詳解】解法一：
（1）過A作，垂足為E.
由已知條件得，四邊形ACDE為矩形，.
因為PB⊥AB，
所以.
所以.
因此道路PB的長為15（百米）.
（2）①若P在D處，由（1）可得E在圓上，則線段BE上的點（除B，E）到點O的距離均小于圓O的半徑，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.
②若Q在D處，連結AD，由（1）知，
從而，所以∠BAD為銳角.
所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.
因此，Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.
綜上，P和Q均不能選在D處.
（3）先討論點P的位置.
當∠OBP90°時，在中，.
由上可知，d≥15.
再討論點Q的位置.
由（2）知，要使得QA≥15，點Q只有位于點C的右側，才能符合規(guī)劃要求.當QA=15時，.此時，線段QA上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.
綜上，當PB⊥AB，點Q位于點C右側，且CQ=時，d最小，此時P，Q兩點間的距離PQ=PD+CD+CQ=17+.
因此，d最小時，P，Q兩點間的距離為17+（百米）.
解法二：
（1）如圖，過O作OH⊥l，垂足為H.
以O為坐標原點，直線OH為y軸，建立平面直角坐標系.
因為BD=12，AC=6，所以OH=9，直線l的方程為y=9，點A，B的縱坐標分別為3，?3.
因為AB為圓O的直徑，AB=10，所以圓O的方程為x2+y2=25.
從而A（4，3），B（?4，?3），直線AB的斜率為.
因為PB⊥AB，所以直線PB的斜率為，
直線PB的方程為.
所以P（?13，9），.
因此道路PB的長為15（百米）.
（2）①若P在D處，取線段BD上一點E（?4，0），則EO=40
Δ＝0
Δ0)的圖象
與x軸的交點
(x1，0)，(x2，0)
(x1，0)
無交點
零點個數
2
1
0
函數
性質
y＝ax
(a>1)
y＝lgax
(a>1)
y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)
上的增減性
單調遞增
單調遞增
單調遞增
增長速度
越來越快
越來越慢
相對平穩(wěn)
圖象的變化
隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行
隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行
隨n值變化
而各有不同
函數模型
函數解析式
一次函數模型
f(x)＝ax＋b(a、b為常數，a≠0)
二次函數模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)
與指數函數
相關模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數，a>0且a≠1，b≠0)
與對數函數
相關模型
f(x)＝blgax＋c(a，b，c為常數，a>0且a≠1，b≠0)
與冪函數
相關模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數，a≠0)
年份x
2016
2017
2018
2019
包裝垃圾y（萬噸）
4
6
9
13. 5
時間（分鐘）
頻數
4
36
40
20
0
1
2
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p

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