1．（2024?海淀區(qū)校級三模）在平面直角坐標系中，已知雙曲線的左、右焦點分別為，，為雙曲線右支上一點，連接交軸于點．若△為等邊三角形，則雙曲線的離心率為
A．B．C．D．
2．（2024?新鄭市校級一模）已知雙曲線的左、右頂點分別為，，為的右焦點，的離心率為2，若為右支上一點，滿足，則
A．B．1C．D．2
3．（2024?浙江模擬）雙曲線的左、右焦點為，，直線過點且平行于的一條漸近線，交于點，若，則的離心率為
A．B．2C．D．3
4．（2024?江西一模）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，點為關于漸近線的對稱點．若，且△ 的面積為8，則的方程為
A．B．C．D．
5．（2024?山西模擬）設直線與雙曲線相交于，兩點，若線段中點的坐標是，，且，則
A．B．C．D．2
6．（2024?遼寧模擬）已知定點，動點在圓上，的垂直平分線交直線于點，若動點的軌跡是雙曲線，則的值可以是
A．2B．3C．4D．5
7．（2024?大武口區(qū)校級四模）雙曲線的左、右焦點分別為、．過作其中一條漸近線的垂線，垂足為．已知，直線的斜率為，則雙曲線的方程為
A．B．C．D．
8．（2024?天津模擬）如圖，已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線與分別在第一、二象限交于，兩點，內(nèi)切圓半徑為，若，則的離心率為
A．B．C．D．
9．（2024?岳麓區(qū)校級模擬）已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值是
A．B．C．D．
10．（2024?臨渭區(qū)校級模擬）已知直線與雙曲線的兩條漸近線交于，兩點，且點在第一象限．為坐標原點，若，則雙曲線的離心率為
A．B．C．2D．5
二．多選題（共4小題）
11．（2024?屯溪區(qū)校級模擬）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與圓相切于點，與第二象限內(nèi)的漸近線交于點，則
A．雙曲線的離心率
B．若，則的漸近線方程為
C．若，則的漸近線方程為
D．若，則的漸近線方程為
12．（2024?安徽模擬）已知雙曲線，過原點的直線，分別交雙曲線于，和，四點，，，四點逆時針排列），且兩直線斜率之積為，則下列結論正確的是
A．四邊形一定是平行四邊形
B．四邊形可能為菱形
C．的中點可能為
D．的值可能為
13．（2024?新縣校級模擬）雙曲線，左、右頂點分別為，，為坐標原點，如圖，已知動直線與雙曲線左、右兩支分別交于，兩點，與其兩條漸近線分別交于，兩點，則下列命題正確的是
A．存在直線，使得
B．在運動的過程中，始終有
C．若直線的方程為，存在，使得取到最大值
D．若直線的方程為，，則雙曲線的離心率為
14．（2024?灌云縣校級模擬）雙曲線具有如下光學性質：如圖，是雙曲線的左、右焦點，從右焦點發(fā)出的光線交雙曲線右支于點，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過左焦點．若雙曲線的方程為，則
A．雙曲線的焦點到漸近線的距離為
B．若，則
C．當過點時，光線由所經(jīng)過的路程為8
D．反射光線所在直線的斜率為，則
三．填空題（共5小題）
15．（2024?浙江模擬）已知雙曲線為雙曲線的左右焦點，過作斜率為正的直線交雙曲線左支于，，，兩點，若，，則雙曲線的離心率是 ．
16．（2024?江寧區(qū)校級三模）已知雙曲線與直線交于，兩點（點位于第一象限），點是直線上的動點，點，分別為的左、右頂點，當最大時，為坐標原點），則雙曲線的離心率 ．
17．（2024?閔行區(qū)二模）雙曲線的左右焦點分別為、，過坐標原點的直線與相交于、兩點，若，則 ．
18．（2024?咸安區(qū)校級模擬）已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉角得到向量，叫做把點繞點沿逆時針方向旋轉角得到點．現(xiàn)將雙曲線上的每個點繞坐標原點沿逆時針方向旋轉后得到曲線，則曲線的方程為 ．
19．（2024?遼寧模擬）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點作斜率為的直線與的右支交于點，且點滿足，且，則的離心率是 ．
四．解答題（共6小題）
20．（2024?鹽湖區(qū)一模）已知、是雙曲線的左、右焦點，直線經(jīng)過雙曲線的左焦點，與雙曲線左、右兩支分別相交于、兩點．
（1）求直線斜率的取值范圍；
（2）若，求的面積．
21．（2024?江西模擬）已知雙曲線的離心率為2，頂點到漸近線的距離為．
（1）求的方程；
（2）若直線交于，兩點，為坐標原點，且的面積為，求的值．
22．（2024?浦東新區(qū)三模）已知雙曲線，點、分別為雙曲線的左、右焦點，，、，為雙曲線上的點．
（1）求右焦點到雙曲線的漸近線的距離；
（2）若，求直線的方程；
（3）若，其中、兩點均在軸上方，且分別位于雙曲線的左、右兩支，求四邊形的面積的取值范圍．
23．（2024?濮陽模擬）已知雙曲線分別是的左、右焦點．若的離心率，且點在上．
（1）求的方程．
（2）若過點的直線與的左、右兩支分別交于，兩點（不同于雙曲線的頂點），問：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
24．（2024?青島模擬）在平面內(nèi)，若直線將多邊形分為兩部分，多邊形在兩側的頂點到直線的距離之和相等，則稱為多邊形的一條“等線”，已知為坐標原點，雙曲線的左，右焦點分別為，，的離心率為2．點為右支上一動點，直線與曲線相切于點，且與的漸近線交于，兩點．當軸時，直線為△的等線．
（1）求的方程；
（2）若是四邊形的等線，求四邊形的面積；
（3）設，點的軌跡為曲線，證明：在點處的切線為△的等線．
25．（2024?青羊區(qū)校級模擬）已知雙曲線經(jīng)過點，且離心率為2．
（1）求的方程；
（2）過點作軸的垂線，交直線于點，交軸于點．設點，為雙曲線上的兩個動點，直線，的斜率分別為，，若，求．
2025年菁優(yōu)高考數(shù)學壓軸訓練20
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
1．（2024?海淀區(qū)校級三模）在平面直角坐標系中，已知雙曲線的左、右焦點分別為，，為雙曲線右支上一點，連接交軸于點．若△為等邊三角形，則雙曲線的離心率為
A．B．C．D．
【答案】
【考點】雙曲線的幾何特征
【專題】轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解
【分析】利用等邊三角形的性質以及三角形全等，結合雙曲線的幾何性質，求出雙曲線的離心率．
【解答】解：由題意，因為△為等邊三角形，
所以，，
因為△△，
所以，，即，故點，
因為，
則，解得．
故選：．
【點評】本題考查雙曲線的幾何性質的運用，雙曲線離心率的求法，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于中檔題．
2．（2024?新鄭市校級一模）已知雙曲線的左、右頂點分別為，，為的右焦點，的離心率為2，若為右支上一點，滿足，則
A．B．1C．D．2
【答案】
【考點】雙曲線的幾何特征
【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解
【分析】設點，，由的離心率可得、與的關系，再由，求得，將代入的方程，得，然后分類利用三角公式求解．
【解答】解：設點，，
由，得，
，，將代入的方程得，得，
當時，，
故．
同理可得當時，．
故選：．
【點評】本題考查雙曲線的簡單性質，考查運算求解能力，是中檔題．
3．（2024?浙江模擬）雙曲線的左、右焦點為，，直線過點且平行于的一條漸近線，交于點，若，則的離心率為
A．B．2C．D．3
【答案】
【考點】雙曲線與平面向量
【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；數(shù)學運算
【分析】先求出直線的方程，聯(lián)立直線與曲線方程，結合向量數(shù)量積的性質即可求解．
【解答】解：由題意得，，，直線的方程為，
聯(lián)立與可得，，
若，則，
所以，
所以，
化簡得，，
所以．
故選：．
【點評】本題主要考查了直線與雙曲線的位置關系及雙曲線性質的應用，屬于中檔題．
4．（2024?江西一模）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，點為關于漸近線的對稱點．若，且△ 的面積為8，則的方程為
A．B．C．D．
【答案】
【考點】雙曲線的幾何特征
【專題】轉化思想；轉化法；圓錐曲線的定義、性質與方程；數(shù)學運算
【分析】根據(jù)雙曲線的性質可知，，由條件得，根據(jù)三角形中位線，可得，再結合，即可求解．
【解答】解：因為關于的一條漸近線的對稱點為，
令漸近線為．即，，
則到的距離為，
所以，又．
所以，
因為，所以，
又因為△的面積為8，
因為，且，
所以，
所以，即，又，
所以，，
所以雙曲線方程為．
故選：．
【點評】本題考查雙曲線方程的應用，屬于中檔題．
5．（2024?山西模擬）設直線與雙曲線相交于，兩點，若線段中點的坐標是，，且，則
A．B．C．D．2
【答案】
【考點】雙曲線的中點弦
【專題】綜合法；數(shù)學運算；方程思想；圓錐曲線的定義、性質與方程
【分析】聯(lián)立直線方程和雙曲線的方程，運用韋達定理和中點坐標公式，化簡整理所求值．
【解答】解：將，代入直線中，得，
聯(lián)立，解得，，
設，，，
聯(lián)立和雙曲線，
消去得，
則△，
因此，
整理得，則，
所以．
故選：．
【點評】本題考查雙曲線的方程、直線和雙曲線的位置關系，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．
6．（2024?遼寧模擬）已知定點，動點在圓上，的垂直平分線交直線于點，若動點的軌跡是雙曲線，則的值可以是
A．2B．3C．4D．5
【答案】
【考點】雙曲線的性質
【專題】方程思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質與方程；邏輯推理；數(shù)學運算
【分析】當在圓內(nèi)時，由幾何性質可得，此時點的軌跡是以，為焦點的橢圓，當點在圓上時，線段的中垂線交線段于圓心，當點在圓外時，
，此時點的軌跡是以，為焦點的雙曲線的一支，從而得到答案．
【解答】解：當在圓內(nèi)，設與圓的另一交點為，設點為弦的中點，
則，線段的中點在線段內(nèi)，
則線段的中垂線交線段于點，如圖1，
連接，則，
所以，
則，
此時的軌跡是以，為焦點的橢圓，
當點在圓上時，線段的中垂線交線段于圓心，
當點在圓外時，設與圓的另一交點為，
設點為弦的中點，則，線段的中點在線段內(nèi)，
則線段的中垂線交線段的延長線于點，如圖2，
連接，則，
所以，
則，
此時點的軌跡是以，為焦點的雙曲線的一支，
同理當在圓上運動時，還會得到，
所以動點的軌跡是雙曲線，則點在圓外，所以．
綜上可得，．
故選：．
【點評】本題考查了動點軌跡方程的求解，橢圓與雙曲線定義的應用，求解動點軌跡的常見方法有：直接法、定義法、代入法、消元法、交軌法等，屬于中檔題．
7．（2024?大武口區(qū)校級四模）雙曲線的左、右焦點分別為、．過作其中一條漸近線的垂線，垂足為．已知，直線的斜率為，則雙曲線的方程為
A．B．C．D．
【答案】
【考點】雙曲線的幾何特征
【專題】圓錐曲線的定義、性質與方程；方程思想；綜合法；數(shù)學運算
【分析】根據(jù)對稱性，不妨設雙曲線的其中一條漸近線方程為，則過且垂直漸近線的直線方程為，聯(lián)立兩直線方程求出，，再根據(jù)題意建立方程，即可求解．
【解答】解：根據(jù)對稱性，不妨設雙曲線的其中一條漸近線方程為，
則過且垂直漸近線的直線方程為，
聯(lián)立，可得，，
，又，
，，
，，又，
雙曲線的方程為．
故選：．
【點評】本題考查雙曲線的幾何性質，方程思想，屬中檔題．
8．（2024?天津模擬）如圖，已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線與分別在第一、二象限交于，兩點，內(nèi)切圓半徑為，若，則的離心率為
A．B．C．D．
【答案】
【考點】雙曲線的幾何特征
【專題】數(shù)學運算；方程思想；圓錐曲線的定義、性質與方程；綜合法
【分析】根據(jù)雙曲線定義和幾何性質，結合圓的切線長定理與余弦定理即可求解．
【解答】解：如圖，
設，內(nèi)切圓圓心為，內(nèi)切圓在，，上的切點分別為，，，
則，，，
由及雙曲線的定義可知，
，
故四邊形是正方形，
得，于是，
故，得，
于是，
在△中，由余弦定理可得：
，
從而，．
故選：．
【點評】本題考查雙曲線的幾何性質，考查直線與圓位置關系的應用，考查運算求解能力，是中檔題．
9．（2024?岳麓區(qū)校級模擬）已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值是
A．B．C．D．
【答案】
【考點】雙曲線的幾何特征
【專題】數(shù)學運算；不等式；整體思想；圓錐曲線的定義、性質與方程；綜合法
【分析】由橢圓與雙曲線的定義，結合基本不等式的應用求解．
【解答】解：如圖，設橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，
則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義得：，，
，，
設，
則在△中，由余弦定理得：，
化簡得，
即，
則
，
當且僅當，
即時等號成立，
故選：．
【點評】本題考查了橢圓與雙曲線的定義，重點考查了基本不等式的應用，屬中檔題．
10．（2024?臨渭區(qū)校級模擬）已知直線與雙曲線的兩條漸近線交于，兩點，且點在第一象限．為坐標原點，若，則雙曲線的離心率為
A．B．C．2D．5
【答案】
【考點】雙曲線的幾何特征
【專題】綜合法；計算題；轉化思想；圓錐曲線的定義、性質與方程；數(shù)學運算
【分析】根據(jù)給定的雙曲線方程求出漸近線方程，再與直線方程聯(lián)立求出點，的坐標，然后列式求出，的關系即可．
【解答】解：雙曲線的漸近線方程為和，
顯然直線與直線交點在第一象限，則有，即，
由，解得，即點，
由，解得，即點，而，
即，整理得，
所以雙曲線的離心率．
故選：．
【點評】本題考查雙曲線的簡單性質的應用，離心率的求法，是中檔題．
二．多選題（共4小題）
11．（2024?屯溪區(qū)校級模擬）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與圓相切于點，與第二象限內(nèi)的漸近線交于點，則
A．雙曲線的離心率
B．若，則的漸近線方程為
C．若，則的漸近線方程為
D．若，則的漸近線方程為
【答案】
【考點】求雙曲線的離心率；雙曲線的幾何特征；求雙曲線的漸近線方程
【專題】數(shù)學運算；綜合法；計算題；轉化思想；圓錐曲線的定義、性質與方程
【分析】利用，可得，與漸近線斜率相比較即可構造不等式求得離心率，知正確；根據(jù)斜率關系可知直線為雙曲線的一條漸近線，利用可構造方程求得正確；分別利用和可構造方程求得正誤．
【解答】解：對于，，，，，
，，
又與第二象限內(nèi)的漸近線交于點，
，即，，，正確；
對于，由知：，又，，直線即為雙曲線的一條漸近線，，
，又，，，，，
，，整理可得：，即，
，
，即，解得：，的漸近線方程為，錯誤；
對于，，，
，
，整理可得：，
即，，，的漸近線方程為，正確；
對于，，，，
，
，，
，整理可得：，
，，即，的漸近線方程為，錯誤．
故選：．
【點評】本題考查雙曲線離心率、漸近線的求解問題，解題關鍵是能夠利用余弦定理和漸近線斜率構造關于，，的方程，進而求得雙曲線的離心率和漸近線方程．是中檔題．
12．（2024?安徽模擬）已知雙曲線，過原點的直線，分別交雙曲線于，和，四點，，，四點逆時針排列），且兩直線斜率之積為，則下列結論正確的是
A．四邊形一定是平行四邊形
B．四邊形可能為菱形
C．的中點可能為
D．的值可能為
【答案】
【考點】直線與雙曲線的位置關系及公共點個數(shù)
【專題】數(shù)學運算；綜合法；方程思想；圓錐曲線的定義、性質與方程
【分析】運用雙曲線的方程和性質，結合直線的斜率公式、點差法和對勾函數(shù)的性質，對選項分析可得結論．
【解答】解：由雙曲線的中心對稱性可知，，分別關于原點與，對稱，
故，，所以四邊形一定是平行四邊形，
而直線，斜率之積為，則與不垂直，
所以四邊形不可能為菱形，正確，錯；
設，，，，則，，
兩式作差得，
將，代入，
求得，故的方程為，將其與雙曲線聯(lián)立，
解得 ，此時，故錯誤；
當點位于第四象限，點位于第一象限，
由直線的夾角公式和對勾函數(shù)的單調性，可得的取值范圍為，
當點位于第一象限，點位于第二象限，設直線的斜率為，則直線的斜率為，
由 可得，
又因為，
可得 的取值范圍為，
綜上的取值范圍為，正確．
故選：．
【點評】本題考查雙曲線的方程和性質，以及直線和雙曲線的位置關系，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．
13．（2024?新縣校級模擬）雙曲線，左、右頂點分別為，，為坐標原點，如圖，已知動直線與雙曲線左、右兩支分別交于，兩點，與其兩條漸近線分別交于，兩點，則下列命題正確的是
A．存在直線，使得
B．在運動的過程中，始終有
C．若直線的方程為，存在，使得取到最大值
D．若直線的方程為，，則雙曲線的離心率為
【答案】
【考點】雙曲線的幾何特征
【專題】圓錐曲線的定義、性質與方程；整體思想；計算題；綜合法；數(shù)學運算
【分析】根據(jù)與漸近線平行的直線不可能與雙曲線有兩個交點可對項判斷；設直線分別與雙曲線聯(lián)立，漸近線聯(lián)立，分別求出，和，坐標，從而可對、項判斷；根據(jù)，求出，從而可對項判斷．
【解答】解：對于項：與漸近線平行的直線不可能與雙曲線有兩個交點，故項錯誤；
對于項：設直線，與雙曲線聯(lián)立，得：，
設，，，，由根與系數(shù)關系得：，
所以線段中點，
將直線與漸近線聯(lián)立得點坐標為，
將直線與漸近線聯(lián)立得點坐標為，
所以線段中點，
所以線段與線段的中點重合，所以，故項正確；
對于項：由項可得，
因為為定值，當越來越接近漸近線的斜率時，趨向于無窮，
所以會趨向于無窮，不可能有最大值，故項錯誤；
對于項：聯(lián)立直線與漸近線，解得，
聯(lián)立直線與漸近線，解得，
由題可知，，
所以，即，
，解得，所以，故項正確．
故選：．
【點評】本題考查了雙曲線的性質，屬于難題．
14．（2024?灌云縣校級模擬）雙曲線具有如下光學性質：如圖，是雙曲線的左、右焦點，從右焦點發(fā)出的光線交雙曲線右支于點，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過左焦點．若雙曲線的方程為，則
A．雙曲線的焦點到漸近線的距離為
B．若，則
C．當過點時，光線由所經(jīng)過的路程為8
D．反射光線所在直線的斜率為，則
【答案】
【考點】雙曲線的幾何特征
【專題】圓錐曲線的定義、性質與方程；轉化思想；數(shù)學運算；轉化法
【分析】對于，求出雙曲線的漸近線方程，由點到直線的距離公式即可判斷；
對于，判斷出，由定義和勾股定理聯(lián)立方程組即可求得；
對于，利用雙曲線的定義直接求得；
對于，先求出雙曲線的漸近線方程，由在雙曲線右支上，即可得到所在直線的斜率的范圍；
【解答】解：對于，由雙曲線的方程為知雙曲線的漸近線方程為：，
焦點到直線的距離為：，故正確；
對于，若，
則，
因為在雙曲線右支上，
所以，由勾股定理得：，
二者聯(lián)立解得：，故正確；
對于，光由所經(jīng)過的路程為，故不正確；
對于，雙曲線的漸進線方程為，
設左、右頂點分別為、，如圖所示：
當與同向共線時，的方向為，此時，最小，
因為在雙曲線右支上，
所以所在直線的斜率為．即，故正確．
故選：．
【點評】本題主要考查雙曲線的性質，考查轉化能力，屬于中檔題．
三．填空題（共5小題）
15．（2024?浙江模擬）已知雙曲線為雙曲線的左右焦點，過作斜率為正的直線交雙曲線左支于，，，兩點，若，，則雙曲線的離心率是 ．
【答案】．
【考點】雙曲線的幾何特征
【專題】方程思想；數(shù)學運算；圓錐曲線的定義、性質與方程；綜合法
【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質及勾股定理即可求解．
【解答】解：設，，，
，又，
，又，
，
，，，
，，
又，，
，
，
，
，又，
．
故答案為：．
【點評】本題考查雙曲線的幾何性質，方程思想，屬中檔題．
16．（2024?江寧區(qū)校級三模）已知雙曲線與直線交于，兩點（點位于第一象限），點是直線上的動點，點，分別為的左、右頂點，當最大時，為坐標原點），則雙曲線的離心率 ．
【答案】．
【考點】雙曲線的幾何特征
【專題】綜合法；整體思想；計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程；數(shù)學運算
【分析】先求得，兩點的坐標，分析得到當最大時，最大，利用正切函數(shù)的定義及基本不等式求出當最大時點的位置，根據(jù)求得，進而求得雙曲線的離心率．
【解答】解：將代入雙曲線方程得，得，所以．
設點的坐標為，不妨設，
由題意知為銳角，所以當最大時，最大，則最大．
設雙曲線的右焦點為，因為，
所以
，
當且僅當，即時等號成立，
所以當時，最大，即最大．
由可得，所以，
故雙曲線的離心率．
故答案為：．
【點評】本題主要考查雙曲線的性質，屬于中檔題．
17．（2024?閔行區(qū)二模）雙曲線的左右焦點分別為、，過坐標原點的直線與相交于、兩點，若，則 4 ．
【答案】4．
【考點】雙曲線與平面向量
【專題】綜合法；數(shù)學運算；圓錐曲線的定義、性質與方程；方程思想
【分析】推得四邊形是平行四邊形，再由雙曲線的定義和平行四邊形的性質，推得平行四邊形的鄰邊的長，由余弦定理和向量數(shù)量積的定義，可得所求值．
【解答】解：雙曲線的，，，
設在第一象限，在第四象限，設，，
由題意可得，
由，，可得四邊形是平行四邊形，
則，
由雙曲線的定義，可得，即，即有，，
在△中，由余弦定理可得，
即有，
則．
故答案為：4．
【點評】本題考查雙曲線的定義、方程和性質，以及平行四邊形的性質、余弦定理的運用和向量數(shù)量積的定義，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．
18．（2024?咸安區(qū)校級模擬）已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉角得到向量，叫做把點繞點沿逆時針方向旋轉角得到點．現(xiàn)將雙曲線上的每個點繞坐標原點沿逆時針方向旋轉后得到曲線，則曲線的方程為 ．
【答案】．
【考點】雙曲線與平面向量
【專題】數(shù)學運算；邏輯推理；轉化思想；圓錐曲線的定義、性質與方程；綜合法
【分析】根據(jù)定義，在雙曲線上設點，求出旋轉后點的坐標，然后反求出的坐標，再代入雙曲線方程，化簡即得．
【解答】解：在雙曲線上任取一點，
將其繞坐標原點沿逆時針方向旋轉后得到點
，即，
在曲線上設點，
則有，
求出，，得，
因點在雙曲線上，
故：，
整理得：，故曲線的方程為．
故答案為：．
【點評】本題考查新定義的運用，考查雙曲線的方程與性質，屬于中檔題．
19．（2024?遼寧模擬）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點作斜率為的直線與的右支交于點，且點滿足，且，則的離心率是 ．
【答案】．
【考點】雙曲線的定義；雙曲線的離心率
【專題】數(shù)學運算；對應思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質與方程
【分析】根據(jù)題意得到是線段的垂直平分線，從而得到，再利用推得，結合雙曲線的定義得到關于，，的齊次方程，進而得解．
【解答】解：如圖，直線的斜率為．
由，得點為的中點，
又，所以是線段的垂直平分線，所以，
過點作于點，由已知得，
所以，
所以，
所以，即，所以，
又，為的中點，所以，所以，
由雙曲線的定義可得，即，
所以，可得，整理得，
即，解得或（舍去），
又題中直線與的右支有交點，所以，即，
所以，即，所以，即，
所以的離心率為．
故答案為：．
【點評】本題考查雙曲線離心率相關計算知識，屬于中檔題．
四．解答題（共6小題）
20．（2024?鹽湖區(qū)一模）已知、是雙曲線的左、右焦點，直線經(jīng)過雙曲線的左焦點，與雙曲線左、右兩支分別相交于、兩點．
（1）求直線斜率的取值范圍；
（2）若，求的面積．
【答案】（1）；
（2）．
【考點】雙曲線與平面向量
【專題】數(shù)形結合；圓錐曲線中的最值與范圍問題；數(shù)學運算；方程思想；綜合法
【分析】（1）設直線的方程為，將該直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立，根據(jù)直線與雙曲線的位置關系可得出關于實數(shù)的不等式組，即可解得的取值范圍；
（2）設直線的方程為，設點，、，，由平面向量的坐標運算可得出，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，結合韋達定理求出的值，可得出的值，然后利用三角形的面積公式可求得的面積．
【解答】解：（1）在雙曲線中，，，則，
該雙曲線的左焦點為，若直線的斜率不存在，則直線與雙曲線交于左支上的兩點，不合乎題意，
設直線的方程為，設點，、，，
聯(lián)立可得，
因為直線與雙曲線左、右兩支分別相交于、兩點，
所以，，解得，
因此，直線的斜率的取值范圍是．
（2）因為，，
由可得，則，
當直線與軸重合時，則點、，，，
此時，，不合乎題意，
設直線的方程為，聯(lián)立可得，
由（1）可得，則或，
由韋達定理可得，則，
，即，解得，則，
所以，．
【點評】本題考查了雙曲線的性質，考查了直線與雙曲線的綜合，考查了方程思想及數(shù)形結合思想，屬于中檔題．
21．（2024?江西模擬）已知雙曲線的離心率為2，頂點到漸近線的距離為．
（1）求的方程；
（2）若直線交于，兩點，為坐標原點，且的面積為，求的值．
【答案】（1）；
（2）或．
【考點】由雙曲線的離心率求解方程或參數(shù)
【專題】邏輯推理；綜合法；數(shù)學運算；對應思想；綜合題；圓錐曲線的定義、性質與方程
【分析】（1）由題意，根據(jù)題目所給信息列出等式求出和的值，進而可得的方程；
（2）設出，兩點的坐標，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，推出且，再根據(jù)韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式以及三角形面積公式進行求解即可．
【解答】解：（1）記雙曲線的半焦距為，
因為雙曲線的離心率為2，
所以，①
不妨設的頂點為，漸近線方程為，
因為雙曲線的頂點到漸近線的距離為，
所以，②
又，③
聯(lián)立①②③，
解得，，，
則的方程為；
（2）設，，，，
聯(lián)立，消去并整理得，
此時且△，
解得解得且，
由韋達定理得，，
所以，
又點到直線的距離，
所以 的面積，
解得或，
此時滿足且．
故或．
【點評】本題考查雙曲線的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運算能力，屬于中檔題．
22．（2024?浦東新區(qū)三模）已知雙曲線，點、分別為雙曲線的左、右焦點，，、，為雙曲線上的點．
（1）求右焦點到雙曲線的漸近線的距離；
（2）若，求直線的方程；
（3）若，其中、兩點均在軸上方，且分別位于雙曲線的左、右兩支，求四邊形的面積的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）；
（3），．
【考點】雙曲線與平面向量
【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解
【分析】（1）由已知結合點到直線的距離公式即可直接求解；
（2）先設直線的方程，聯(lián)立直線與雙曲線方程，結合方程的根與系數(shù)關系可求；
（3）由對稱性得，四邊形為平行四邊形，且面積為四邊形面積的2倍，先設，，直線程為，直線方程，結合弦長公式求出，及平行線與之間的距離，進而表示出四邊形的面積，再由函數(shù)的單調性即可求解．
【解答】解：（1）由題，右焦點，
漸近線方程為，
因此焦點到漸近線的距離為；
（2）顯然，直線不與軸重合，設直線方程為，
由，得，
聯(lián)立方程，得，
其中，△恒成立，，，
代入，消元得，，
即，解得，
所以，直線的方程為；
（3）延長交雙曲線于點，延長交雙曲線于點．則由對稱性得，四邊形為平行四邊形，且面積為四邊形面積的2倍，
由題，設，，直線程為，直線方程，
由第（2）問，易得，
因為，得，即，因而，
平行線與之間的距離為，
因此，，
令，則，
故，
得在上是嚴格增函數(shù)，
故（等號當且僅當時成立）
所以，四邊形面積的取值范圍為，．
【點評】本題主要考查了雙曲線的性質及直線與雙曲線位置關系的應用，屬于中檔題．
23．（2024?濮陽模擬）已知雙曲線分別是的左、右焦點．若的離心率，且點在上．
（1）求的方程．
（2）若過點的直線與的左、右兩支分別交于，兩點（不同于雙曲線的頂點），問：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
【考點】雙曲線的定點及定值問題
【專題】綜合題；對應思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；邏輯推理；數(shù)學運算
【分析】（1）由題意，根據(jù)題目所給信息、離心率公式以及，，之間的關系，列出等式求出和的值，進而可得的方程；
（2）設出直線的方程，將直線的方程與雙曲線方程聯(lián)立，將和用坐標表示出來，利用韋達定理將表述出來，再進行化簡求解即可．
【解答】解：（1）不妨設雙曲線的半焦距為，
因為雙曲線的離心率，且點在上，
所以，解得，
則的方程為；
（2）為定值，理由如下：
由（1）知，
不妨設直線的方程為，，，，，
聯(lián)立，消去并整理得，
此時，
因為，
所以，
同理得，
因為直線過點且與的左、右兩支分別交于，兩點，
所以，兩點在軸同側，
此時，
即，
解得，
則
．
故，為定值．
【點評】本題考查雙曲線的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運算能力，屬于中檔題．
24．（2024?青島模擬）在平面內(nèi)，若直線將多邊形分為兩部分，多邊形在兩側的頂點到直線的距離之和相等，則稱為多邊形的一條“等線”，已知為坐標原點，雙曲線的左，右焦點分別為，，的離心率為2．點為右支上一動點，直線與曲線相切于點，且與的漸近線交于，兩點．當軸時，直線為△的等線．
（1）求的方程；
（2）若是四邊形的等線，求四邊形的面積；
（3）設，點的軌跡為曲線，證明：在點處的切線為△的等線．
【答案】（1）；
（2）12；
（3）證明見解答．
【考點】雙曲線相關動點軌跡
【專題】計算題；轉化思想；圓錐曲線的定義、性質與方程；綜合法；數(shù)學運算
【分析】（1）求出點，，的坐標，由直線為△的等線及雙曲線的性質可求出，的值，從而可得的方程；
（2）切線，代入的方程，可得關于的方程，由△，可得關于的方程，表示出，進一步可得的方程為，求出點，的橫縱坐標，結合面積公式求解即可；
（3）表示出切線的方程，易知與在的右側，在的左側，分別記，，到的距離為，，，利用點到直線的距離公式推出，即可得證．
【解答】解：（1）由題意知，，，顯然點在直線的上方，
因為直線為△的等線，所以，，，
解得，
所以的方程為；
（2）設，，切線，代入，
得，
所以△，
該式可以看作關于的一元二次方程，
所以，即方程為，
當斜率不存在時，也成立，
漸近線方程為，不妨設在上方，
聯(lián)立得，，
故，
所以是線段的中點，
因為，到過的直線距離相等，則過點的等線必滿足：，到該等線距離相等且分居兩側，
所以該等線必過點，即的方程為，
由，解得：，
所以，
所以，
所以，所以；
（3）證明：設，由，所以，，
故曲線的方程為，
由知切線為，即，即，
易知與在的右側，在的左側，分別記，，到的距離為，，，
由（2）知，，
所以，
由得，
，
因為，
所以直線為△的等線．
【點評】本題主要考查雙曲線的性質及標準方程，直線與雙曲線的綜合，考查運算求解能力，屬于難題．
25．（2024?青羊區(qū)校級模擬）已知雙曲線經(jīng)過點，且離心率為2．
（1）求的方程；
（2）過點作軸的垂線，交直線于點，交軸于點．設點，為雙曲線上的兩個動點，直線，的斜率分別為，，若，求．
【答案】（1）．
（2）．
【考點】直線與雙曲線的綜合；雙曲線的幾何特征
【專題】轉化思想；數(shù)學運算；設而不求法；圓錐曲線的定義、性質與方程
【分析】（1）根據(jù)離心率的定義得到，利用點在雙曲線上代入求解即可，
（2）設出直線方程，聯(lián)立方程，利用設而不求思想，利用斜率關系進行轉化求解即可．
【解答】解：（1）離心率為2，，即，則，
即，則雙曲線方程為
雙曲線經(jīng)過點，
，得，
的方程為．
（2）由題意，點坐標為，點坐標為，
設，，，．
法一：
①若直線斜率存在，設直線方程為，
，消去可得，
則且△，
且．
整理可得，
即，
化簡得，
即，
因為直線不過點，所以，所以，
所以直線的方程為，恒過定點．
②若直線斜率不存在，則，．
則，
解得，所以直線的方程為，過定點．
綜上，直線恒過定點．
法二：直線不過點，可設直線方程為．
由可得，
即，
即，
得，
等式左右兩邊同時除以得，
△，
，解得．
所以直線方程為，恒過定點
設點到直線的距離為，點到直線的距離為，
．
【點評】本題主要考查雙曲線的標準方程，以及直線和雙曲線位置關系的應用，聯(lián)立方程，利用韋達定理以及設而不求思想進行轉化求解是解決本題的關鍵，是中檔題．
考點卡片
1．雙曲線的定義
【知識點的認識】
雙曲線（Hyperbla）是指與平面上到兩個定點的距離之差的絕對值為定值的點的軌跡，也可以定義為到定點與定直線的距離之比是一個大于1的常數(shù)的點之軌跡．雙曲線是圓錐曲線的一種，即圓錐面與平面的交截線．雙曲線在一定的仿射變換下，也可以看成反比例函數(shù)．兩個定點F1，F(xiàn)2叫做雙曲線的焦點（fcus），定直線是雙曲線的準線，常數(shù)e是雙曲線的離心率．
標準方程
①（a，b＞0），表示焦點在x軸上的雙曲線；
②（a，b＞0），表示焦點在y軸上的雙曲線．
性質
這里的性質以（a，b＞0）為例講解：
①焦點為（±c，0），其中c2＝a2+b2；②準線方程為：x＝±；③離心率e＝＞1；④漸近線：y＝±x；⑤焦半徑公式：左焦半徑：r＝|ex+a|，右焦半徑：r＝|ex﹣a|．
【解題方法點撥】
例1：雙曲線﹣＝1的漸近線方程為
解：由﹣＝0可得y＝±2x，即雙曲線﹣＝1的漸近線方程是y＝±2x．
故答案為：y＝±2x．
這個小題主要考察了對漸近線的理解，如果實在記不住，可以把那個等號后面的1看成是0，然后因式分解得到的兩個式子就是它的漸近線．
例2：已知雙曲線的一條漸近線方程是x﹣2y＝0，且過點P（4，3），求雙曲線的標準方程
解：根據(jù)題意，雙曲線的一條漸近線方程為x﹣2y＝0，
設雙曲線方程為﹣y2＝λ（λ≠0），
∵雙曲線過點P（4，3），
∴﹣32＝λ，即λ＝﹣5．
∴所求雙曲線方程為﹣y2＝﹣5，
即：﹣＝1．
一般來說，這是解答題的第一問，常常是根據(jù)一些性質求出函數(shù)的表達式來，關鍵是找到a、b、c三者中的兩者，最后還要判斷它的焦點在x軸還是y軸，知道這些參數(shù)后用待定系數(shù)法就可以直接寫出函數(shù)的表達式了．
【命題方向】
這里面的兩個例題是最基本的，必須要掌握，由于雙曲線一般是在倒數(shù)第二個解答題出現(xiàn)，難度一般也是相當大的，在這里可以有所取舍，對于基礎一般的同學來說，盡量的把這些基礎的分拿到才是最重要的，對于還剩下的部分，盡量多寫．
2．求雙曲線的漸近線方程
【知識點的認識】
雙曲線的漸近線是雙曲線無限遠處的切線．對于雙曲線或，其漸近線方程為或．
【解題方法點撥】
1．計算斜率：利用計算漸近線的斜率．
2．代入方程：寫出漸近線方程．
【命題方向】
﹣給定雙曲線的參數(shù)，求漸近線方程．
﹣利用標準方程計算漸近線方程．
3．雙曲線的幾何特征
【知識點的認識】
雙曲線的標準方程及幾何性質
4．雙曲線的離心率
【知識點的認識】
雙曲線的標準方程及幾何性質
5．求雙曲線的離心率
【知識點的認識】
雙曲線的離心率e是，其中是焦距的一半．
【解題方法點撥】
1．計算離心率：利用公式計算離心率．
2．求解參數(shù)：從雙曲線方程中提取參數(shù)．
【命題方向】
﹣給定雙曲線的參數(shù)，求離心率．
﹣根據(jù)離心率計算雙曲線的標準方程．
6．由雙曲線的離心率求解方程或參數(shù)
【知識點的認識】
已知離心率e，可以求解c和a，從而得到雙曲線的標準方程．
【解題方法點撥】
1．計算a和b：由e和c計算參數(shù)．
2．代入方程：得到雙曲線的標準方程．
【命題方向】
﹣給定離心率，求解雙曲線的方程或參數(shù)．
﹣利用離心率計算標準方程．
7．雙曲線相關動點軌跡
【知識點的認識】
動點軌跡是指在雙曲線上的點的運動軌跡．可以通過方程描述動點的位置變化．
【解題方法點撥】
1．確定軌跡方程：根據(jù)動點的位置變化描述軌跡．
2．分析性質：分析動點軌跡的幾何性質．
【命題方向】
﹣給定動點的條件，描述雙曲線上的軌跡．
﹣分析軌跡方程及其性質．
8．直線與雙曲線的綜合
【知識點的認識】
直線與雙曲線的位置判斷：將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去x（或y）的一元二次方程，則：
直線與雙曲線相交?Δ＞0；
直線與雙曲線相切?Δ＝0；
直線與雙曲線相離?Δ＜0；
直線與雙曲線的位置關系只有三種，不可能出現(xiàn)有多個解，因為直線與雙曲線的交點個數(shù)最多有2個．值得注意的是，當直線方程和雙曲線方程聯(lián)立后，如果得到一元一次方程，說明此時直線與雙曲線的漸近線平行，那么直線與雙曲線相交，且只有一個交點．
【解題方法點撥】
（1）直線與雙曲線只有一個公共點有兩種情況：
①直線平行漸近線；②直線與雙曲線相切．
（2）弦長的求法
設直線與雙曲線的交點坐標為A（x1，y1），B（x2，y2），
則|AB|＝＝（k為直線斜率）
注意：利用公式計算直線被雙曲線截得的弦長是在方程有解的情況下進行的，不要忽略判別式．
【命題方向】
雙曲線知識通常與圓、橢圓、拋物線或數(shù)列、向量及不等式、三角函數(shù)相聯(lián)系，綜合考查數(shù)學知識及應用是高考的重點，應用中應注意對知識的綜合及分析能力，雙曲線的標準方程和幾何性質中涉及很多基本量，如“a，b，c，e“．樹立基本量思想對于確定雙曲線方程和認識其幾何性質有很大幫助．
9．直線與雙曲線的位置關系及公共點個數(shù)
【知識點的認識】
直線與雙曲線的交點數(shù)量取決于它們的方程．可以通過聯(lián)立方程求解交點數(shù)量．
【解題方法點撥】
1．聯(lián)立方程：將直線方程和雙曲線方程聯(lián)立．
2．求解交點：通過解方程得到交點的數(shù)量．
【命題方向】
﹣給定直線方程和雙曲線方程，求交點數(shù)量．
﹣分析直線與雙曲線的交點情況．
10．雙曲線的中點弦
【知識點的認識】
中點弦是指經(jīng)過某點P，與雙曲線相較于兩點，且P為兩點的中點，兩個交點為端點的線段稱為過P點的中點弦．
【解題方法點撥】
1．計算中點：找出雙曲線上的兩點的中點．
2．計算弦長：計算中點弦的長度．
【命題方向】
﹣給定雙曲線上的兩點，計算中點弦的長度．
﹣利用點的坐標計算中點弦．
11．雙曲線與平面向量
【知識點的認識】
雙曲線與平面向量的關系涉及到向量在雙曲線方程中的應用，如切線和法線的計算．
【解題方法點撥】
1．向量計算：利用向量計算雙曲線上的切線和法線．
2．應用方程：將向量應用到雙曲線的方程中．
【命題方向】
﹣給定向量，計算雙曲線上的相關向量性質．
﹣利用向量分析雙曲線的性質．
12．雙曲線的定點及定值問題
【知識點的認識】
定點問題指的是在雙曲線上或雙曲線的相關幾何位置上找定點，定值問題指的是求雙曲線上的定值．
【解題方法點撥】
1．找定點：確定雙曲線上的定點．
2．計算定值：通過雙曲線方程計算相關值．
【命題方向】
﹣給定雙曲線條件，求定點或定值問題．
﹣分析定點和定值的幾何意義及計算方法．
聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2024/11/4 19:39:39；用戶：組卷36；郵箱：zyb036@xyh.cm；學號：41418999
標準方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
圖形








性
質
焦點
F1（﹣c，0），F(xiàn)2（ c，0）
F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
|F1F2|＝2c
范圍
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
對稱
關于x軸，y軸和原點對稱
頂點
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
軸
實軸長2a，虛軸長2b
離心率
e＝（e＞1）
準線
x＝±
y＝±
漸近線
±＝0
±＝0
標準方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
圖形








性
質
焦點
F1（﹣c，0），F(xiàn)2（ c，0）
F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
|F1F2|＝2c
范圍
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
對稱
關于x軸，y軸和原點對稱
頂點
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
軸
實軸長2a，虛軸長2b
離心率
e＝（e＞1）
準線
x＝±
y＝±
漸近線
±＝0
±＝0

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