1．（2024?射洪市校級三模）某調(diào)查機(jī)構(gòu)對某地快遞行業(yè)從業(yè)者進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，得到快遞行業(yè)從業(yè)人員年齡分布餅狀圖（圖、“90后”從事快遞行業(yè)崗位分布條形圖（圖，則下列結(jié)論中錯誤的是
A．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，“90后”占一半以上
B．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的
C．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事運(yùn)營崗位的“90后”的人數(shù)比“80前”的多
D．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)比“80后”的多
2．（2024?四川模擬）甲、乙兩人進(jìn)行了10輪的投籃練習(xí)，每輪各投10個，現(xiàn)將兩人每輪投中的個數(shù)制成如圖所示折線圖．下列說法正確的是
A．甲投中個數(shù)的平均數(shù)比乙投中個數(shù)的平均數(shù)小
B．甲投中個數(shù)的中位數(shù)比乙投中個數(shù)的中位數(shù)小
C．甲投中個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差比乙投中個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差小
D．甲投中個數(shù)的極差比乙投中個數(shù)的極差大
3．（2024?福建一模）已知變量和的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：
根據(jù)上表可得回歸直線方程，據(jù)此可以預(yù)測當(dāng)時，
A．8.5B．9C．9.5D．10
4．（2024?臨汾模擬）人生因閱讀而氣象萬千，人生因閱讀而精彩紛呈．腹有詩書氣自華，讀書有益于開拓眼界、提升格局；最是書香能致遠(yuǎn)，書海中深蘊(yùn)著灼熱的理想信仰、熾熱的國家情懷．對某校高中學(xué)生的讀書情況進(jìn)行了調(diào)查，結(jié)果如下：
附：，其中．
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷是否喜歡閱讀與性別有關(guān)，則的值可以為
A．10B．20C．30D．40
5．（2024?成都模擬）如圖，由觀測數(shù)據(jù)，，2，3，4，5，的散點(diǎn)圖可知，與的關(guān)系可以用模型擬合，設(shè)，利用最小二乘法求得關(guān)于的回歸方程．已知，，則
A．B．C．1D．
6．（2024?錦江區(qū)校級模擬）第一組樣本點(diǎn)為，，，，
第二組樣本點(diǎn)為，，，，
第一組變量的線性相關(guān)系數(shù)為，第一組變量的線性相關(guān)系數(shù)為，則
A．B．C．D．
7．（2024?遂寧模擬）某公司研發(fā)新產(chǎn)品投入（單位：百萬）與該產(chǎn)品的收益（單位：百萬）的5組統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：由表中數(shù)據(jù)求得投入金額與收益滿足經(jīng)驗(yàn)回歸方程，則下列結(jié)論不正確的是
A．與有正相關(guān)關(guān)系B．回歸直線經(jīng)過點(diǎn)
C．D．時，殘差為0.2
8．（2024?重慶模擬）假設(shè)變量與變量的對觀測數(shù)據(jù)為，，，，，，，兩個變量滿足一元線性回歸模型．要利用成對樣本數(shù)據(jù)求參數(shù)的最小二乘估計，即求使取最小值時的的值，則
A．
B．
C．
D．
9．（2024?赤峰模擬）下列說法中，正確命題的個數(shù)為
①已知隨機(jī)變量服從二項分布，若，則．
②對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，，其線性回歸方程為，若樣本點(diǎn)的中心為，則實(shí)數(shù)的值是．
③以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)，求得線性回歸方程為，則，的值分別是和0.3．
④若樣本數(shù)據(jù)，，的方差為2，則數(shù)據(jù)，，，的方差為16．
A．0個B．1個C．2個D．3個
10．（2024?長沙模擬）設(shè)集合，2，3，，，現(xiàn)對的任意一非空子集，令表示中最大數(shù)與最小數(shù)之和，則所有這樣的的算術(shù)平均數(shù)為
A．501B．500C．1002D．1001
二．多選題（共5小題）
11．（2024?鼓樓區(qū)校級模擬）下列說法中，正確的是
A．一組數(shù)據(jù)5，8，8，9，12，13，15，16，20，22的第80百分位數(shù)為18
B．若隨機(jī)變量，且，則
C．袋中裝有除顏色外完全相同的4個紅球和2個白球，從袋中不放回地依次抽取2個球，記事件第一次抽到的是白球，事件第二次抽到的是白球，則
D．設(shè)隨機(jī)事件，，已知（A），，，則（B）
12．（2024?青秀區(qū)校級二模）某次數(shù)學(xué)考試后，為分析學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，某校從某年級中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．為進(jìn)一步分析高分學(xué)生的成績分布情況，計算得到這100名學(xué)生中，成績位于，內(nèi)的學(xué)生成績方差為12，成績位于，內(nèi)的同學(xué)成績方差為10．則
參考公式：樣本劃分為2層，各層的容量、平均數(shù)和方差分別為：．記樣本平均數(shù)為，樣本方差為，
A．
B．估計該年級學(xué)生成績的中位數(shù)為77.14
C．估計該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的平均數(shù)為87.50
D．估計該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的方差為30.25
13．（2024?山西模擬）某市舉辦了“愛國愛黨”知識競賽．把1000名參賽者的成績（滿分100分，成績?nèi)≌麛?shù)）按，，，，，，，分成四組，并整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法錯誤的為
A．的值為0.035
B．估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為90
C．估計這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為89
D．估計成績低于80分的有350人
14．（2024?海州區(qū)校級模擬）在某次學(xué)科期末檢測后，從全部考生中選取100名考生的成績（百分制，均為整數(shù)）分成，，，，，，，，，五組后，得到如圖的頻率分布直方圖，則
A．圖中的值為0.005
B．低于70分的考生人數(shù)約為40人
C．考生成績的平均分約為73分
D．估計考生成績第80百分位數(shù)為83分
15．（2024?歷城區(qū)校級模擬）某次數(shù)學(xué)考試后，為分析學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，某校從某年級中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．為進(jìn)一步分析高分學(xué)生的成績分布情況，計算得到這100名學(xué)生中，成績位于，內(nèi)的學(xué)生成績方差為12，成績位于，內(nèi)的同學(xué)成績方差為10．則
A．
B．估計該年級學(xué)生成績的中位數(shù)約為77.14
C．估計該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的平均數(shù)為87.50
D．估計該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的方差為30.25
三．填空題（共5小題）
16．（2024?岳麓區(qū)校級模擬）二戰(zhàn)期間盟軍的統(tǒng)計學(xué)家主要是將繳獲的德軍坦克序列號作為樣本，用樣本估計總體的方法得出德軍某月生產(chǎn)的坦克總數(shù)．假設(shè)德軍某月生產(chǎn)的坦克總數(shù)是，繳獲的該月生產(chǎn)的輛坦克編號從小到大為，，，，即最大編號為，且繳獲的坦克是從所生產(chǎn)的坦克中隨機(jī)獲取的，因?yàn)樯a(chǎn)坦克是連續(xù)編號的，所以繳獲坦克的編號，，，，相當(dāng)于從，中隨機(jī)抽取的個整數(shù)，這個數(shù)將區(qū)間，分成個小區(qū)間，
由于是未知的，除了最右邊的區(qū)間外，其他個區(qū)間都是已知的．由于這個數(shù)是隨機(jī)抽取的，所以可以用前個區(qū)間的平均長度估計所有個區(qū)間的平均長度，進(jìn)而得到的估計值．
例如，繳獲坦克的編號是3，5，12，18，20，則統(tǒng)計學(xué)家利用上述方法估計德軍每月生產(chǎn)的坦克數(shù)為 ．
17．（2024?大理州二模）已知某種商品的廣告費(fèi)支出（單位：萬元）與銷售額（單位：萬元）之間有如下表對應(yīng)數(shù)據(jù)：
根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則當(dāng)時，殘差為 ．（殘差觀測值預(yù)測值）
18．（2024?江蘇模擬）寰宇巨星知更鳥的新專輯《空氣蛹》發(fā)布在某平臺后，其一周內(nèi)的累計播放量如表所示，其中，，2，3，4，5，6，為該專輯發(fā)布后截至第天的累計播放量．若將表中數(shù)據(jù)用經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行擬合，則 ．（結(jié)果保留3位小數(shù)）
參考數(shù)據(jù)及公式，在回歸直線中，，，對于表中的數(shù)據(jù)已知，．
19．（2024?黃浦區(qū)校級三模）已知，是兩個具有線性相關(guān)的兩個變量，其取值如下表：
其回歸方程為，則 ．
20．（2024?呂梁一模）某市2018年至2022年新能源汽車年銷量（單位：百臺）與年份代號的數(shù)據(jù)如下表：
若根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求得關(guān)于的回歸直線方程為，據(jù)此計算相應(yīng)于樣本點(diǎn)的殘差為 ．
四．解答題（共5小題）
21．（2024?靜安區(qū)二模）某高中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，測得他們的身高（單位：，按照區(qū)間，，，，，，，，，分組，得到樣本身高的頻率分布直方圖（如圖所示）．
（1）求身高不低于的學(xué)生人數(shù)；
（2）將身高在，，，，，區(qū)間內(nèi)的學(xué)生依次記為，，三個組，用分層抽樣的方法從三個組中抽取6人．
①求從這三個組分別抽取的學(xué)生人數(shù)；
②若要從6名學(xué)生中抽取2人，求組中至少有1人被抽中的概率．
22．（2024?包頭模擬）環(huán)境監(jiān)測部門為調(diào)研汽車流量對空氣質(zhì)量的影響，在某監(jiān)測點(diǎn)統(tǒng)計每日過往的汽車流量（單位：輛）和空氣中的的平均濃度（單位：．調(diào)研人員采集了50天的數(shù)據(jù)，制作了關(guān)于，，2，3，，的散點(diǎn)圖，并用直線與將散點(diǎn)圖分成如圖所示的四個區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，落入對應(yīng)區(qū)域的樣本點(diǎn)的個數(shù)依次為6，20，16，8．
（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷至少有多大把握認(rèn)為“平均濃度不小于與“汽車日流量不小于1500輛”有關(guān)；
（2）經(jīng)計算得回歸方程為，且這50天的汽車日流量的標(biāo)準(zhǔn)差，的平均濃度的標(biāo)準(zhǔn)差．
①求相關(guān)系數(shù)，并判斷該回歸方程是否有價值；
②若這50天的汽車日流量滿足，試推算這50天的日均濃度的平均數(shù)．（精確到
參考公式：，其中．
回歸方程，其中．
相關(guān)系數(shù)．若，則認(rèn)為與有較強(qiáng)的線性相關(guān)性．
23．（2024?長春模擬）入冬以來，東北成為全國旅游話題的“頂流”．南方游客紛紛北上，體驗(yàn)東北最美的冬天．某景區(qū)為給顧客更好的體驗(yàn)，推出了和兩個套餐服務(wù)，并在購票平臺上推出了優(yōu)惠券活動，顧客可自由選擇和兩個套餐之一，下表是該景區(qū)在購票平臺10天銷售優(yōu)惠券情況．
經(jīng)計算可得：，，．
（1）由于同時在線人數(shù)過多，購票平臺在第10天出現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)擁堵，導(dǎo)致當(dāng)天顧客購買的優(yōu)惠券數(shù)量大幅減少，現(xiàn)剔除第10天數(shù)據(jù)，求關(guān)于的回歸方程（精確到，并估計第10天的正常銷量；
（2）假設(shè)每位顧客選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為，其中套餐包含一張優(yōu)惠券，套餐包含兩張優(yōu)惠券，截止某一時刻，該平臺恰好銷售了張優(yōu)惠券，設(shè)其概率為，求；
（3）記（2）中所得概率的值構(gòu)成數(shù)列．
①求數(shù)列的最值；
②數(shù)列收斂的定義：已知數(shù)列，若對于任意給定的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)時，，是一個確定的實(shí)數(shù)），則稱數(shù)列收斂于．根據(jù)數(shù)列收斂的定義證明數(shù)列收斂．回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：
，．
24．（2024?陽江模擬）某學(xué)校為了解本學(xué)期學(xué)生參加公益勞動的情況，從學(xué)校內(nèi)隨機(jī)抽取了500名高中學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查，收集了他們參加公益勞動時間（單位：小時）分配情況等數(shù)據(jù)，并將樣本數(shù)據(jù)分成，，，，，，，，，，，，，，，，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）為進(jìn)一步了解這500名學(xué)生參加公益勞動時間的分配情況，從參加公益勞動時間在，，，，，三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人．記參加公益勞動時間在，內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列和期望；
（2）以調(diào)查結(jié)果的頻率估計概率，從該學(xué)校所有高中學(xué)生中隨機(jī)抽取20名學(xué)生，用“”表示這20名學(xué)生中恰有名學(xué)生參加公益勞動時間在，（單位：小時）內(nèi)的概率，其中，1，2，，20．當(dāng)最大時，寫出的值．
25．（2024?高碑店市校級模擬）甲、乙兩人在相同條件下各射擊10次，每次命中的環(huán)數(shù)如表：
（1）分別計算以上兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；
（2）分別計算以上兩組數(shù)據(jù)的方差；
（3）根據(jù)計算的結(jié)果，對甲乙兩人的射擊成績作出評價．
2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練23
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
1．（2024?射洪市校級三模）某調(diào)查機(jī)構(gòu)對某地快遞行業(yè)從業(yè)者進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，得到快遞行業(yè)從業(yè)人員年齡分布餅狀圖（圖、“90后”從事快遞行業(yè)崗位分布條形圖（圖，則下列結(jié)論中錯誤的是
A．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，“90后”占一半以上
B．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的
C．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事運(yùn)營崗位的“90后”的人數(shù)比“80前”的多
D．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)比“80后”的多
【答案】
【考點(diǎn)】統(tǒng)計圖表獲取信息
【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】利用快遞行業(yè)從業(yè)人員年齡分布餅狀圖、“90后”從事快遞行業(yè)崗位分布條形圖，分析數(shù)據(jù)能求出結(jié)果．
【解答】解：由快遞行業(yè)從業(yè)人員年齡分布餅狀圖、“90后”從事快遞行業(yè)崗位分布條形圖得：
由題圖可知，快遞行業(yè)從業(yè)人員中，“90后”占總?cè)藬?shù)的，超過一半，故正確；
快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比為，超過，
快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90”后的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的，正確；
快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事運(yùn)營崗位的“90后”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比為，
超過“80前”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比，故正確；
快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比為，
小于“80后”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比，但“80后”從事技術(shù)崗位的人數(shù)占“80后”人數(shù)的比未知，故錯誤．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查餅狀圖、條形圖等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
2．（2024?四川模擬）甲、乙兩人進(jìn)行了10輪的投籃練習(xí)，每輪各投10個，現(xiàn)將兩人每輪投中的個數(shù)制成如圖所示折線圖．下列說法正確的是
A．甲投中個數(shù)的平均數(shù)比乙投中個數(shù)的平均數(shù)小
B．甲投中個數(shù)的中位數(shù)比乙投中個數(shù)的中位數(shù)小
C．甲投中個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差比乙投中個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差小
D．甲投中個數(shù)的極差比乙投中個數(shù)的極差大
【答案】
【考點(diǎn)】用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)；用樣本估計總體的離散程度參數(shù)；統(tǒng)計圖表獲取信息；頻率分布折線圖、密度曲線
【專題】概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；綜合法
【分析】．利用平均數(shù)公式求解判斷；．利用中位數(shù)定義求解判斷；．根據(jù)折線圖的波動判斷；．利用極差的定義求解判斷．
【解答】解：甲的數(shù)據(jù)：8，10，9，6，7，9，6，9，10，8，乙的數(shù)據(jù)：9，5，10，5，3，6，4，3，6，10，
．甲投中個數(shù)的平均數(shù)為，
乙投中個數(shù)的平均數(shù)為，故錯誤；
．甲的數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)椋?，6，7，8，8，9，9，9，10，10，則中位數(shù)為，
乙的數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)椋?，3，4，5，5，6，6，9，10，10，則中位數(shù)為，故錯誤；
．由折線圖知：甲的波動相對乙的波動較小，所以甲投中個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差比乙投中個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差小，故正確；
．甲投中個數(shù)的極差為，乙投中個數(shù)的極差為：，故錯誤．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查折線圖的應(yīng)用，平均數(shù)與中位數(shù)的概念，極差的定義，屬中檔題．
3．（2024?福建一模）已知變量和的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：
根據(jù)上表可得回歸直線方程，據(jù)此可以預(yù)測當(dāng)時，
A．8.5B．9C．9.5D．10
【答案】
【考點(diǎn)】經(jīng)驗(yàn)回歸方程與經(jīng)驗(yàn)回歸直線
【分析】由已知求得樣本點(diǎn)的中心的坐標(biāo)，代入線性回歸方程求解，再取得答案．
【解答】解：，，
則樣本點(diǎn)的中心為，代入，
得，，
，
取時，預(yù)測．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查線性回歸方程及其應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
4．（2024?臨汾模擬）人生因閱讀而氣象萬千，人生因閱讀而精彩紛呈．腹有詩書氣自華，讀書有益于開拓眼界、提升格局；最是書香能致遠(yuǎn)，書海中深蘊(yùn)著灼熱的理想信仰、熾熱的國家情懷．對某校高中學(xué)生的讀書情況進(jìn)行了調(diào)查，結(jié)果如下：
附：，其中．
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷是否喜歡閱讀與性別有關(guān)，則的值可以為
A．10B．20C．30D．40
【答案】
【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)
【專題】綜合法；計算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；概率與統(tǒng)計
【分析】代入公式計算相關(guān)指數(shù)的觀測值，可得，再代入選項一一判斷即可．
【解答】解：根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷是否喜歡閱讀與性別有關(guān)，可得，
根據(jù)列聯(lián)表中各數(shù)據(jù)之間的關(guān)系得：，
即，
將，20，30，40，分別代入驗(yàn)證，可得只有成立，
故的可能性為10．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法，是中檔題．
5．（2024?成都模擬）如圖，由觀測數(shù)據(jù)，，2，3，4，5，的散點(diǎn)圖可知，與的關(guān)系可以用模型擬合，設(shè)，利用最小二乘法求得關(guān)于的回歸方程．已知，，則
A．B．C．1D．
【答案】
【考點(diǎn)】經(jīng)驗(yàn)回歸方程與經(jīng)驗(yàn)回歸直線
【專題】轉(zhuǎn)化法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；概率與統(tǒng)計；轉(zhuǎn)化思想
【分析】結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以及線性回歸方程的性質(zhì)，即可求解．
【解答】解：，
則，
則，
，
則，
關(guān)于的回歸方程，
則，解得．
故選：．
【點(diǎn)評】本題?？疾榫€性回歸方程的應(yīng)用，屬于中檔題．
6．（2024?錦江區(qū)校級模擬）第一組樣本點(diǎn)為，，，，
第二組樣本點(diǎn)為，，，，
第一組變量的線性相關(guān)系數(shù)為，第一組變量的線性相關(guān)系數(shù)為，則
A．B．C．D．
【答案】
【考點(diǎn)】樣本相關(guān)系數(shù)
【專題】計算題；概率與統(tǒng)計
【分析】根據(jù)題意，由所給的樣本點(diǎn)坐標(biāo)分析可得以及，比較即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，第一組樣本點(diǎn)為，，，，
可得：兩個變量之間的正相關(guān)，因此；
第二組樣本點(diǎn)為，，，，
可得：兩個變量之間的負(fù)相關(guān)，因此；
則有；
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查變量之間的線性相關(guān)系數(shù)，注意與變量間相關(guān)性的關(guān)系．
7．（2024?遂寧模擬）某公司研發(fā)新產(chǎn)品投入（單位：百萬）與該產(chǎn)品的收益（單位：百萬）的5組統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：由表中數(shù)據(jù)求得投入金額與收益滿足經(jīng)驗(yàn)回歸方程，則下列結(jié)論不正確的是
A．與有正相關(guān)關(guān)系B．回歸直線經(jīng)過點(diǎn)
C．D．時，殘差為0.2
【答案】
【考點(diǎn)】經(jīng)驗(yàn)回歸方程與經(jīng)驗(yàn)回歸直線
【專題】整體思想；綜合題；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；概率與統(tǒng)計
【分析】根據(jù)和的變化規(guī)律，即可判斷；計算，即可判斷；將樣本點(diǎn)中心代入回歸直線方程，即可求，即可判斷；根據(jù)回歸直線方程計算時的，計算，即可判斷．
【解答】解：對于，由表格可知，越大，越大，所以與有正相關(guān)關(guān)系，故正確；
對于，，，
則樣本點(diǎn)中心為，所以經(jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過點(diǎn)，故正確；
對于，將樣本點(diǎn)中心代入直線方程，得，所以，故錯誤；
對于，，當(dāng)時，，
則殘差為，故正確．
故選：．
【點(diǎn)評】本題主要考查線性回歸，屬于中檔題．
8．（2024?重慶模擬）假設(shè)變量與變量的對觀測數(shù)據(jù)為，，，，，，，兩個變量滿足一元線性回歸模型．要利用成對樣本數(shù)據(jù)求參數(shù)的最小二乘估計，即求使取最小值時的的值，則
A．
B．
C．
D．
【答案】
【考點(diǎn)】經(jīng)驗(yàn)回歸方程與經(jīng)驗(yàn)回歸直線
【專題】綜合法；對應(yīng)思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；概率與統(tǒng)計
【分析】化簡為二次函數(shù)形式，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得到最值．
【解答】解：因?yàn)?br>，
上式是關(guān)于的二次函數(shù)，
因此要使取得最小值，
當(dāng)且僅當(dāng)?shù)娜≈禐椋?br>故選：．
【點(diǎn)評】本題考查最小二乘估計，屬于中檔題．
9．（2024?赤峰模擬）下列說法中，正確命題的個數(shù)為
①已知隨機(jī)變量服從二項分布，若，則．
②對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，，其線性回歸方程為，若樣本點(diǎn)的中心為，則實(shí)數(shù)的值是．
③以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)，求得線性回歸方程為，則，的值分別是和0.3．
④若樣本數(shù)據(jù)，，的方差為2，則數(shù)據(jù)，，，的方差為16．
A．0個B．1個C．2個D．3個
【答案】
【考點(diǎn)】重伯努利試驗(yàn)與二項分布；經(jīng)驗(yàn)回歸方程與經(jīng)驗(yàn)回歸直線
【專題】概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；整體思想
【分析】利用二項分布的期望公式可判斷①，利用線性回歸方程一定過樣本點(diǎn)中心可判斷②，對兩邊取對數(shù)可判斷③，利用方差的性質(zhì)可判斷④．
【解答】解：對于①，，
，
，解得，故①正確；
對于②，線性回歸方程一定過樣本點(diǎn)中心，
，
解得，故②正確；
對于③，設(shè)，求得線性回歸方程為，
，
又，
，，
，故③正確；
對于④，若樣本數(shù)據(jù)，，的方差為2，
則數(shù)據(jù)，，，的方差為，故④錯誤，
綜上所述，正確命題的個數(shù)為3個．
故選：．
【點(diǎn)評】本題主要考查了二項分布的期望公式，考查了線性回歸方程的性質(zhì)，以及方差的性質(zhì)，屬于中檔題．
10．（2024?長沙模擬）設(shè)集合，2，3，，，現(xiàn)對的任意一非空子集，令表示中最大數(shù)與最小數(shù)之和，則所有這樣的的算術(shù)平均數(shù)為
A．501B．500C．1002D．1001
【答案】
【考點(diǎn)】子集與真子集；用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；轉(zhuǎn)化思想；計算題；概率與統(tǒng)計；方程思想
【分析】根據(jù)題意，由集合子集的定義分2種情況討論：①滿足，②滿足，求出的算術(shù)平均數(shù)，綜合可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，集合，2，3，，，設(shè)的非空子集為，，， ，，，，，
對集合的子集分為兩類討論：
①滿足，這樣的子集；
②滿足，此時可把兩個非空集合，， 與，，，配對，
易知這是兩個不同的集合，且都是的非空子集，
它們的最大數(shù)與最小數(shù)之和是，所以此時非空子集的的平均數(shù)為1001．
綜上，的所有非空子集的特征數(shù)的平均數(shù)為1001．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查算術(shù)平均數(shù)的計算，涉及集合的子集，屬于中檔題．
二．多選題（共5小題）
11．（2024?鼓樓區(qū)校級模擬）下列說法中，正確的是
A．一組數(shù)據(jù)5，8，8，9，12，13，15，16，20，22的第80百分位數(shù)為18
B．若隨機(jī)變量，且，則
C．袋中裝有除顏色外完全相同的4個紅球和2個白球，從袋中不放回地依次抽取2個球，記事件第一次抽到的是白球，事件第二次抽到的是白球，則
D．設(shè)隨機(jī)事件，，已知（A），，，則（B）
【答案】
【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義；求解條件概率；百分位數(shù)
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；概率與統(tǒng)計；綜合法
【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義計算即可判斷選項；根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)計算即可判斷選項；根據(jù)條件概率的計算方法求解即可判斷選項；根據(jù)條件概率與對立事件的計算公式計算即可判斷選項．
【解答】解：對于，共有10個數(shù)，，
所以數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為16和20的平均數(shù)，即為18，故正確．
對于，因?yàn)椋遥?br>所以，
則，故正確．
對于，因?yàn)椋?br>所以，則，故錯誤．
對于，因?yàn)椋ˋ），，
所以（A），
又因?yàn)椋ˋ），所以，
則，
所以，故正確．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查百分位數(shù)的求解，正態(tài)分布的性質(zhì)，條件概率問題，屬中檔題．
12．（2024?青秀區(qū)校級二模）某次數(shù)學(xué)考試后，為分析學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，某校從某年級中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．為進(jìn)一步分析高分學(xué)生的成績分布情況，計算得到這100名學(xué)生中，成績位于，內(nèi)的學(xué)生成績方差為12，成績位于，內(nèi)的同學(xué)成績方差為10．則
參考公式：樣本劃分為2層，各層的容量、平均數(shù)和方差分別為：．記樣本平均數(shù)為，樣本方差為，
A．
B．估計該年級學(xué)生成績的中位數(shù)為77.14
C．估計該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的平均數(shù)為87.50
D．估計該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的方差為30.25
【答案】
【考點(diǎn)】頻率分布直方圖的應(yīng)用
【專題】綜合法；概率與統(tǒng)計；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】根據(jù)直方圖中的性質(zhì)逐項計算即可．
【解答】解：項，，，項錯誤；
項，，內(nèi)頻率為：，
，內(nèi)頻率為：，
則中位數(shù)在，內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為，則，
則，正確；
成績在80分及以上的同學(xué)的成績的平均數(shù)為分，
方差為，，正確．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查頻率分布直方圖，屬于中檔題．
13．（2024?山西模擬）某市舉辦了“愛國愛黨”知識競賽．把1000名參賽者的成績（滿分100分，成績?nèi)≌麛?shù)）按，，，，，，，分成四組，并整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法錯誤的為
A．的值為0.035
B．估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為90
C．估計這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為89
D．估計成績低于80分的有350人
【答案】
【考點(diǎn)】頻率分布直方圖的應(yīng)用
【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；計算題；轉(zhuǎn)化思想；概率與統(tǒng)計
【分析】根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)可判斷，根據(jù)眾數(shù)，百分位數(shù)的定義可以判斷，，根據(jù)頻率、頻數(shù)的關(guān)系判斷．
【解答】解：對于選項：根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)易知，解得，所以選項錯誤；
對于選項：由頻率分布直方圖可知眾數(shù)落在，區(qū)間，用區(qū)間中點(diǎn)表示眾數(shù)即85，所以選項錯誤；
對于選項：由頻率分布直方圖可知前兩組頻率之和為，
前三組頻率之和為．
故第70百分位數(shù)落在區(qū)間，，
設(shè)第70百分位數(shù)為，
則，解得，所以選項正確；
對于選項：成績低于80分的頻率為，
所以估計成績低于80分的有人．故選項錯誤．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查了頻率分布直方圖，眾數(shù)，百分位數(shù)的定義，頻率、頻數(shù)的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．
14．（2024?海州區(qū)校級模擬）在某次學(xué)科期末檢測后，從全部考生中選取100名考生的成績（百分制，均為整數(shù)）分成，，，，，，，，，五組后，得到如圖的頻率分布直方圖，則
A．圖中的值為0.005
B．低于70分的考生人數(shù)約為40人
C．考生成績的平均分約為73分
D．估計考生成績第80百分位數(shù)為83分
【答案】
【考點(diǎn)】頻率分布直方圖的應(yīng)用
【專題】數(shù)形結(jié)合法；數(shù)形結(jié)合；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】利用頻率分布直方圖逐項求解．
【解答】解：由頻率分布直方圖得：
，解得，故正確；
低于70分的考生人數(shù)約為，故錯誤；
考生成績的平均分約為：
，故正確；
成績落在，內(nèi)的頻率為，
落在，內(nèi)頻率為，
考生成績第80百分位數(shù)落在，，設(shè)為，
由，解得，
考生成績第80百分位數(shù)為82.5分，故錯誤．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查頻率分布直方圖的性質(zhì)、頻率、平均分、百分位數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
15．（2024?歷城區(qū)校級模擬）某次數(shù)學(xué)考試后，為分析學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，某校從某年級中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．為進(jìn)一步分析高分學(xué)生的成績分布情況，計算得到這100名學(xué)生中，成績位于，內(nèi)的學(xué)生成績方差為12，成績位于，內(nèi)的同學(xué)成績方差為10．則
A．
B．估計該年級學(xué)生成績的中位數(shù)約為77.14
C．估計該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的平均數(shù)為87.50
D．估計該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的方差為30.25
【答案】
【考點(diǎn)】頻率分布直方圖的應(yīng)用
【專題】概率與統(tǒng)計；數(shù)形結(jié)合；方程思想；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】對于，由各組頻率之和為1求參數(shù)；
對于，可由頻率分布直方圖面積與0.5比較，估計中位數(shù)所在區(qū)間，利用面積關(guān)系建立方程求解可得；
對于，兩組求加權(quán)平均數(shù)可得；
對于，由兩組成績的方差與兩組總方差的關(guān)系求解即可．
【解答】解：對于，在頻率分布直方圖中，所有直方圖的面積之和為1，
則，解得，故錯誤；
對于，前兩個矩形的面積之和為，
前三個矩形的面積之和為，
設(shè)該年級學(xué)生成績的中位數(shù)為，則，，
根據(jù)中位數(shù)的定義得，解得分，
所以估計該年級學(xué)生成績的中位數(shù)約為77.14分，故正確；
對于，估計成績在80分以上的同學(xué)的成績的平均數(shù)為：
分，故正確；
對于，估計該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的方差為：
，故正確．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于中檔題．
三．填空題（共5小題）
16．（2024?岳麓區(qū)校級模擬）二戰(zhàn)期間盟軍的統(tǒng)計學(xué)家主要是將繳獲的德軍坦克序列號作為樣本，用樣本估計總體的方法得出德軍某月生產(chǎn)的坦克總數(shù)．假設(shè)德軍某月生產(chǎn)的坦克總數(shù)是，繳獲的該月生產(chǎn)的輛坦克編號從小到大為，，，，即最大編號為，且繳獲的坦克是從所生產(chǎn)的坦克中隨機(jī)獲取的，因?yàn)樯a(chǎn)坦克是連續(xù)編號的，所以繳獲坦克的編號，，，，相當(dāng)于從，中隨機(jī)抽取的個整數(shù)，這個數(shù)將區(qū)間，分成個小區(qū)間，
由于是未知的，除了最右邊的區(qū)間外，其他個區(qū)間都是已知的．由于這個數(shù)是隨機(jī)抽取的，所以可以用前個區(qū)間的平均長度估計所有個區(qū)間的平均長度，進(jìn)而得到的估計值．
例如，繳獲坦克的編號是3，5，12，18，20，則統(tǒng)計學(xué)家利用上述方法估計德軍每月生產(chǎn)的坦克數(shù)為 24 ．
【答案】24．
【考點(diǎn)】系統(tǒng)抽樣方法
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；分析法；對應(yīng)思想；概率與統(tǒng)計
【分析】根據(jù)統(tǒng)計學(xué)家利用的方法列比例式計算，即可求得答案．
【解答】解：由于用前個區(qū)間的平均長度估計所有個區(qū)間的平均長度，
而繳獲坦克的編號是3，5，12，18，20，即，，
故，，
即則統(tǒng)計學(xué)家利用上述方法估計德軍每月生產(chǎn)的坦克數(shù)為24．
故答案為：24．
【點(diǎn)評】本題考查系統(tǒng)抽樣方法，屬于基礎(chǔ)題．
17．（2024?大理州二模）已知某種商品的廣告費(fèi)支出（單位：萬元）與銷售額（單位：萬元）之間有如下表對應(yīng)數(shù)據(jù)：
根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則當(dāng)時，殘差為 ．（殘差觀測值預(yù)測值）
【答案】．
【考點(diǎn)】經(jīng)驗(yàn)回歸方程與經(jīng)驗(yàn)回歸直線
【專題】對應(yīng)思想；定義法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；概率與統(tǒng)計
【分析】根據(jù)線性回歸方程相關(guān)知識結(jié)合殘差定義可解．
【解答】解：根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得，
則回歸直線方程過點(diǎn)，將其代入，可得，
當(dāng)時，，
根據(jù)殘差計算公式可得，殘差為．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查線性回歸方程相關(guān)知識，屬于中檔題．
18．（2024?江蘇模擬）寰宇巨星知更鳥的新專輯《空氣蛹》發(fā)布在某平臺后，其一周內(nèi)的累計播放量如表所示，其中，，2，3，4，5，6，為該專輯發(fā)布后截至第天的累計播放量．若將表中數(shù)據(jù)用經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行擬合，則 4.927 ．（結(jié)果保留3位小數(shù)）
參考數(shù)據(jù)及公式，在回歸直線中，，，對于表中的數(shù)據(jù)已知，．
【答案】4.927．
【考點(diǎn)】經(jīng)驗(yàn)回歸方程與經(jīng)驗(yàn)回歸直線
【專題】概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；綜合法
【分析】利用線性回歸方程即可求解．
【解答】解：，則，設(shè)，
，，
，
，
，
．
故答案為：4.927．
【點(diǎn)評】本題考查線性回歸方程，屬于中檔題．
19．（2024?黃浦區(qū)校級三模）已知，是兩個具有線性相關(guān)的兩個變量，其取值如下表：
其回歸方程為，則 11 ．
【答案】11．
【考點(diǎn)】經(jīng)驗(yàn)回歸方程與經(jīng)驗(yàn)回歸直線
【專題】綜合法；數(shù)據(jù)分析；整體思想；概率與統(tǒng)計
【分析】利用線性回歸方程經(jīng)過樣本中心即可求解．
【解答】解：由題設(shè)，，
又在回歸直線上，所以，必有，故．
【點(diǎn)評】本題考查線性回歸方程，屬于基礎(chǔ)題．
20．（2024?呂梁一模）某市2018年至2022年新能源汽車年銷量（單位：百臺）與年份代號的數(shù)據(jù)如下表：
若根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求得關(guān)于的回歸直線方程為，據(jù)此計算相應(yīng)于樣本點(diǎn)的殘差為 ．
【答案】．
【考點(diǎn)】經(jīng)驗(yàn)回歸方程與經(jīng)驗(yàn)回歸直線
【專題】邏輯推理；概率與統(tǒng)計；整體思想；綜合題；綜合法
【分析】首先計算和，并代入回歸直線方程求，并求的估計值，根據(jù)殘差的定義，即可求解．
【解答】解：依題意，，，
代入回歸直線，解得，
所以回歸直線為，
當(dāng)時，，因此殘差為．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題主要考查線性回歸方程的應(yīng)用，屬于中檔題．
四．解答題（共5小題）
21．（2024?靜安區(qū)二模）某高中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，測得他們的身高（單位：，按照區(qū)間，，，，，，，，，分組，得到樣本身高的頻率分布直方圖（如圖所示）．
（1）求身高不低于的學(xué)生人數(shù)；
（2）將身高在，，，，，區(qū)間內(nèi)的學(xué)生依次記為，，三個組，用分層抽樣的方法從三個組中抽取6人．
①求從這三個組分別抽取的學(xué)生人數(shù)；
②若要從6名學(xué)生中抽取2人，求組中至少有1人被抽中的概率．
【答案】（1）60．
（2）①3，2，1．②．
【考點(diǎn)】頻率分布直方圖的應(yīng)用
【專題】計算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；整體思想；概率與統(tǒng)計
【分析】（1）先求出，的頻率可得結(jié)果．
（2）由分層抽樣可得各組的人數(shù)，分別列舉各種情況可得概率．
【解答】解：（1）由頻率分布直方圖可知
，所以．
身高在以上的學(xué)生人數(shù)為（人．
（2），，三組的人數(shù)分別為30人，20人，10人．
因此應(yīng)該從，，三組中每組各抽取（人，（人，（人．
設(shè)組的3位同學(xué)為，，，組的2位同學(xué)為，，組的1位同學(xué)為，則從6名學(xué)生中抽取2人有15種可能：
，，，，，．，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，，．
其中組的2位學(xué)生至少有1人被抽中有9種可能：，，，，，，，，
，，，，，，，，，．
所以組中至少有1人被抽中的概率為．
【點(diǎn)評】本題主要考查頻率分布直方圖和分層抽樣，屬于中檔題．
22．（2024?包頭模擬）環(huán)境監(jiān)測部門為調(diào)研汽車流量對空氣質(zhì)量的影響，在某監(jiān)測點(diǎn)統(tǒng)計每日過往的汽車流量（單位：輛）和空氣中的的平均濃度（單位：．調(diào)研人員采集了50天的數(shù)據(jù)，制作了關(guān)于，，2，3，，的散點(diǎn)圖，并用直線與將散點(diǎn)圖分成如圖所示的四個區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，落入對應(yīng)區(qū)域的樣本點(diǎn)的個數(shù)依次為6，20，16，8．
（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷至少有多大把握認(rèn)為“平均濃度不小于與“汽車日流量不小于1500輛”有關(guān)；
（2）經(jīng)計算得回歸方程為，且這50天的汽車日流量的標(biāo)準(zhǔn)差，的平均濃度的標(biāo)準(zhǔn)差．
①求相關(guān)系數(shù)，并判斷該回歸方程是否有價值；
②若這50天的汽車日流量滿足，試推算這50天的日均濃度的平均數(shù)．（精確到
參考公式：，其中．
回歸方程，其中．
相關(guān)系數(shù)．若，則認(rèn)為與有較強(qiáng)的線性相關(guān)性．
【答案】（1）列聯(lián)表見解析，至少有的把握；
（2）①0.84，有價值；②．
【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)；經(jīng)驗(yàn)回歸方程與經(jīng)驗(yàn)回歸直線
【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計
【分析】（1）根據(jù)題意，完成列聯(lián)表，再計算，結(jié)合表格即可求得結(jié)果．
（2）代入公式計算可判斷與的相關(guān)性強(qiáng)弱，由可得，結(jié)合回歸直線必過樣本中心可求得的值．
【解答】解：（1）列聯(lián)表如下：
零假設(shè)：“平均濃度不小于”與“汽車日流量不小于1500輛”無關(guān)，
因?yàn)椋?br>所以至少有的把握（但還不能有的把握）認(rèn)為“平均濃度不小于”與“汽車日流量不小于1500輛有關(guān)”．
（2）①因?yàn)榛貧w方程為，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以．
，與有較強(qiáng)的相關(guān)性，
該回歸方程有價值．
②，解得
而樣本中心點(diǎn)位于回歸直線上，
因此可推算．
【點(diǎn)評】本題主要考查線性回歸方程的應(yīng)用，以及獨(dú)立性檢驗(yàn)公式，屬于中檔題．
23．（2024?長春模擬）入冬以來，東北成為全國旅游話題的“頂流”．南方游客紛紛北上，體驗(yàn)東北最美的冬天．某景區(qū)為給顧客更好的體驗(yàn)，推出了和兩個套餐服務(wù)，并在購票平臺上推出了優(yōu)惠券活動，顧客可自由選擇和兩個套餐之一，下表是該景區(qū)在購票平臺10天銷售優(yōu)惠券情況．
經(jīng)計算可得：，，．
（1）由于同時在線人數(shù)過多，購票平臺在第10天出現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)擁堵，導(dǎo)致當(dāng)天顧客購買的優(yōu)惠券數(shù)量大幅減少，現(xiàn)剔除第10天數(shù)據(jù)，求關(guān)于的回歸方程（精確到，并估計第10天的正常銷量；
（2）假設(shè)每位顧客選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為，其中套餐包含一張優(yōu)惠券，套餐包含兩張優(yōu)惠券，截止某一時刻，該平臺恰好銷售了張優(yōu)惠券，設(shè)其概率為，求；
（3）記（2）中所得概率的值構(gòu)成數(shù)列．
①求數(shù)列的最值；
②數(shù)列收斂的定義：已知數(shù)列，若對于任意給定的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)時，，是一個確定的實(shí)數(shù)），則稱數(shù)列收斂于．根據(jù)數(shù)列收斂的定義證明數(shù)列收斂．回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：
，．
【答案】（1），據(jù)此可估計第10天的正常銷量約為2.94千張；
（2）；
（3）①數(shù)列的最大值為，最小值為；
②證明過程見解析．
【考點(diǎn)】經(jīng)驗(yàn)回歸方程與經(jīng)驗(yàn)回歸直線
【專題】綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運(yùn)算；整體思想
【分析】（1）計算出新數(shù)據(jù)的相關(guān)數(shù)值，代入公式求出，的值，進(jìn)而得到關(guān)于的回歸方程，再令求出的值即可；
（2）由題意可知，其中，，構(gòu)造等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求解；
（3）①分為偶數(shù)和為奇數(shù)兩種情況討論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解；
②利用數(shù)列收斂的定義證明．
【解答】解：（1）剔除第10天數(shù)據(jù)后的，，，，
所以，
故，
所以，
當(dāng)時，，
即估計第10天的正常銷量約為2.94千張；
（2）由題意可知，其中，，
則，
所以是以首項為，公比為的等比數(shù)列，
故成立，
則有，
故，
又因?yàn)椋?br>所以；
（3）①當(dāng)為偶數(shù)時，單調(diào)遞減，最大值為，
當(dāng)為奇數(shù)時，單調(diào)遞增，最小值為，
綜上：數(shù)列的最大值為，最小值為；
②證明：對任意總存在正整數(shù)，（其中表示取整函數(shù)），
當(dāng)時，．
【點(diǎn)評】本題主要考查了線性回歸方程的求解，考查了數(shù)列的遞推式，屬于中檔題．
24．（2024?陽江模擬）某學(xué)校為了解本學(xué)期學(xué)生參加公益勞動的情況，從學(xué)校內(nèi)隨機(jī)抽取了500名高中學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查，收集了他們參加公益勞動時間（單位：小時）分配情況等數(shù)據(jù)，并將樣本數(shù)據(jù)分成，，，，，，，，，，，，，，，，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）為進(jìn)一步了解這500名學(xué)生參加公益勞動時間的分配情況，從參加公益勞動時間在，，，，，三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人．記參加公益勞動時間在，內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列和期望；
（2）以調(diào)查結(jié)果的頻率估計概率，從該學(xué)校所有高中學(xué)生中隨機(jī)抽取20名學(xué)生，用“”表示這20名學(xué)生中恰有名學(xué)生參加公益勞動時間在，（單位：小時）內(nèi)的概率，其中，1，2，，20．當(dāng)最大時，寫出的值．
【答案】（1）分布列見解析，；
（2）當(dāng)最大時，．
【考點(diǎn)】頻率分布直方圖的應(yīng)用
【專題】綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運(yùn)算；對應(yīng)思想
【分析】（1）利用統(tǒng)計知識可得抽取的10人中有4人參加公益勞動時間在，內(nèi)，則的可能取值為0，1，2，3，然后利用超幾何分布的知識求出對應(yīng)的概率即可得解；
（2）由題可得，要使最大，則應(yīng)滿足，然后解此不等式組即可得解．
【解答】解：（1）由頻率分布直方圖得：
，解得：，
這500名學(xué)生中參加公益勞動時間在，，，，，三組內(nèi)的學(xué)生人數(shù)分別為：
人，人，人，
若采用分層抽樣的方法抽取了10人，
則應(yīng)從參加公益勞動時間在，內(nèi)的學(xué)生中抽?。喝耍?br>現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，則的可能取值為0，1，2，3，
，
，
故的分布列為：
則其期望為；
（2）由（1）可知參加公益勞動時間在，的概率，
所以，
依題意，即，
即，解得，
因?yàn)闉榉秦?fù)整數(shù)，所以，
即當(dāng)最大時，．
【點(diǎn)評】本題考查了概率統(tǒng)計的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．
25．（2024?高碑店市校級模擬）甲、乙兩人在相同條件下各射擊10次，每次命中的環(huán)數(shù)如表：
（1）分別計算以上兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；
（2）分別計算以上兩組數(shù)據(jù)的方差；
（3）根據(jù)計算的結(jié)果，對甲乙兩人的射擊成績作出評價．
【考點(diǎn)】用樣本估計總體的離散程度參數(shù)；用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)
【專題】概率與統(tǒng)計；轉(zhuǎn)化法；對應(yīng)思想
【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的計算公式求出平均數(shù)即可；
（2）根據(jù)方差的計算公式求出方差即可；
（3）根據(jù)（1），（2）判斷即可．
【解答】解：（1）甲的平均分為：；
乙的平均分為：（4分）
（2）甲的方差為：；
乙的方差為：（8分）
（3）甲、乙的平均分相同，說明甲、乙兩人射擊的平均水平相當(dāng)，又，
說明乙的射擊水平要比甲的射擊水平更穩(wěn)定．（12分）
【點(diǎn)評】本題考查了求數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差問題，是一道基礎(chǔ)題．
考點(diǎn)卡片
1．子集與真子集
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
1、子集定義：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集（subset）．
記作：A?B（或B?A）．
2、真子集是對于子集來說的．
真子集定義：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且元素x不屬于集合A，我們稱集合A是集合B的真子集．
也就是說如果集合A的所有元素同時都是集合 B 的元素，則稱 A 是 B 的子集，
若 B 中有一個元素，而A 中沒有，且A 是 B 的子集，則稱 A 是 B 的真子集，
注：①空集是所有集合的子集；
②所有集合都是其本身的子集；
③空集是任何非空集合的真子集
例如：所有亞洲國家的集合是地球上所有國家的集合的真子集．
所有的自然數(shù)的集合是所有整數(shù)的集合的真子集．
{1，3}?{1，2，3，4}
{1，2，3，4}?{1，2，3，4}
3、真子集和子集的區(qū)別
子集就是一個集合中的全部元素是另一個集合中的元素，有可能與另一個集合相等；
真子集就是一個集合中的元素全部是另一個集合中的元素，但不存在相等；
注意集合的元素是要用大括號括起來的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；
另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般來說，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以對于含有n個（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n個；真子集就有2n﹣1．但空集屬特殊情況，它只有一個子集，沒有真子集．
【解題方法點(diǎn)撥】
注意真子集和子集的區(qū)別，不可混為一談，A?B，并且B?A時，有A＝B，但是A?B，并且B?A，是不能同時成立的；子集個數(shù)的求法，空集與自身是不可忽視的．
【命題方向】
本考點(diǎn)要求理解，高考會考中多以選擇題、填空題為主，曾經(jīng)考查子集個數(shù)問題，常常與集合的運(yùn)算，概率，函數(shù)的基本性質(zhì)結(jié)合命題．
2．求解條件概率
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
﹣條件概率：在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，記作P（A|B）．
﹣計算：其中P（B）＞0．
【解題方法點(diǎn)撥】
﹣計算條件概率時，確定事件B的發(fā)生對事件A的影響，通過交事件的概率和條件事件的概率進(jìn)行計算．
【命題方向】
﹣主要考察條件概率的計算及其應(yīng)用問題．
3．n重伯努利試驗(yàn)與二項分布
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
1、二項分布：
一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)的試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則
P（X＝k）＝pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此時稱隨機(jī)變量X服從二項分布，記作X～B（n，p），并記
pk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，p）．
2、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：
（1）獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的意義：做n次試驗(yàn)，如果它們是完全同樣的一個試驗(yàn)的重復(fù)，且它們相互獨(dú)立，那么這類試驗(yàn)叫做獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．
（2）一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每件試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P（X＝k）＝pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此時稱隨機(jī)變量X服從二項分布，記作X～B（n，p），并稱p為成功概率．
（3）獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：若n次重復(fù)試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)結(jié)果的概率都不依賴于其他各次試驗(yàn)的結(jié)果，則稱這n次試驗(yàn)是獨(dú)立的．
（4）獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式的特點(diǎn)：Pn（k）＝pk（1﹣p）n﹣k，是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某 事件A恰好發(fā)生k次的概率．其中，n是重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)，p是一次試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率，k是在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生的次數(shù)，需要弄清公式中n，p，k的意義，才能正確運(yùn)用公式．
【解題方法點(diǎn)撥】
獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是相互獨(dú)立事件的特例（概率公式也是如此），就像對立事件是互斥事件的特例一樣，只要有“恰好”字樣的用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式計算更簡單，就像有“至少”或“至多”字樣的題用對立事件的概率公式計算更簡單一樣．
【命題方向】
典例1：如果ζ～B（100，），當(dāng)P（ζ＝k）取得最大值時，k＝ 50 ．
解：∵ζ～B（100，），
當(dāng)，
由組合數(shù)知，當(dāng)k＝50時取到最大值．
故答案為：50．
典例2：一個盒子里有2個黑球和m個白球（m≥2，且m∈N*）．現(xiàn)舉行摸獎活動：從盒中取球，每次取2個，記錄顏色后放回．若取出2球的顏色相同則為中獎，否則不中．
（Ⅰ）求每次中獎的概率p（用m表示）；
（Ⅱ）若m＝3，求三次摸獎恰有一次中獎的概率；
（Ⅲ）記三次摸獎恰有一次中獎的概率為f（p），當(dāng)m為何值時，f（p）取得最大值？
解：（Ⅰ）∵取出2球的顏色相同則為中獎，
∴每次中獎的概率p＝＝；
（Ⅱ）若m＝3，每次中獎的概率p＝，
∴三次摸獎恰有一次中獎的概率為＝；
（Ⅲ）三次摸獎恰有一次中獎的概率為f（p）＝＝3p3﹣6p2+3p（0＜p＜1），
∴f′（p）＝3（p﹣1）（3p﹣1），
∴f（p）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，1）上單調(diào)遞減，
∴p＝時，f（p）取得最大值，即p＝＝
∴m＝2，即m＝2時，f（p）取得最大值．
4．正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
1．正態(tài)曲線及性質(zhì)
（1）正態(tài)曲線的定義
函數(shù)φμ， σ （x）＝，x∈（﹣∞，+∞），其中實(shí)數(shù)μ和σ（σ＞0）為參數(shù)，我們稱φμ，σ（x）的圖象（如圖）為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．
（2）正態(tài)曲線的解析式
①指數(shù)的自變量是x定義域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．
②解析式中含有兩個常數(shù)：π和e，這是兩個無理數(shù)．
③解析式中含有兩個參數(shù)：μ和σ，其中μ可取任意實(shí)數(shù)，σ＞0這是正態(tài)分布的兩個特征數(shù)．
④解析式前面有一個系數(shù)為，后面是一個以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的形式，冪指數(shù)為﹣．
2．正態(tài)分布
（1）正態(tài)分布的定義及表示
如果對于任何實(shí)數(shù)a，b（a＜b），隨機(jī)變量X滿足P（a＜X≤b）＝φμ，σ（x）dx，則稱X的分布為正態(tài)分布，記作N（μ，σ2）．
（2）正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值
①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；
②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；
③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．
3．正態(tài)曲線的性質(zhì)
正態(tài)曲線φμ， σ （x）＝，x∈R有以下性質(zhì)：
（1）曲線位于x軸上方，與x軸不相交；
（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱；
（3）曲線在x＝μ處達(dá)到峰值；
（4）曲線與x軸圍成的圖形的面積為1；
（5）當(dāng)σ一定時，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；
（6）當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．
4．三個鄰域
會用正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值結(jié)合正態(tài)曲線求隨機(jī)變量的概率．落在三個鄰域之外是小概率事件，這也是對產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測的理論依據(jù)．
【解題方法點(diǎn)撥】
正態(tài)分布是高中階段唯一連續(xù)型隨機(jī)變量的分布，這個考點(diǎn)雖然不是高考的重點(diǎn)，但在近幾年新課標(biāo)高考中多次出現(xiàn)，其中數(shù)值計算是考查的一個熱點(diǎn)，考生往往不注意對這些數(shù)值的記憶而導(dǎo)致解題無從下手或計算錯誤．對正態(tài)分布N（μ，σ2）中兩個參數(shù)對應(yīng)的數(shù)值及其意義應(yīng)該理解透徹并記住，且注意第二個數(shù)值應(yīng)該為σ2而不是σ，同時，記住正態(tài)密度曲線的六條性質(zhì)．
【命題方向】
題型一：概率密度曲線基礎(chǔ)考察
典例1：設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)f（x）的圖象，且f（x）＝，則這個正態(tài)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別是（ ）
A．10與8 B．10與2 C．8與10 D．2與10
解析：由＝，可知σ＝2，μ＝10．
答案：B．
典例2：已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，則P（0＜ξ＜2）等于（ ）
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，
故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故選C．
典例3：已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.682 6，則P（X＞4）等于（ ）
A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 5
解析 由正態(tài)曲線性質(zhì)知，其圖象關(guān)于直線x＝3對稱，∴P（X＞4）＝0.5﹣P（2≤X≤4）＝0.5﹣×0.682 6＝0.1587．故選B．
題型二：正態(tài)曲線的性質(zhì)
典例1：若一個正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為．
（1）求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式；
（2）求正態(tài)總體在（﹣4，4]的概率．
分析：要確定一個正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是求解析式中的兩個參數(shù)μ，σ的值，其中μ決定曲線的對稱軸的位置，σ則與曲線的形狀和最大值有關(guān)．
解 （1）由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于y軸對稱，即μ＝0．由＝，得σ＝4，故該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式是
φμ，σ（x）＝，x∈（﹣∞，+∞）．
（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）
＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．
點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是正確理解函數(shù)解析式與正態(tài)曲線的關(guān)系，掌握函數(shù)解析式中參數(shù)的取值變化對曲線的影響．
典例2：設(shè)兩個正態(tài)分布N（μ1，）（σ1＞0）和N（μ2，）（σ2＞0）的密度函數(shù)圖象如圖所示，則有（ ）
A．μ1＜μ2，σ1＜σ2
B．μ1＜μ2，σ1＞σ2
C．μ1＞μ2，σ1＜σ2
D．μ1＞μ2，σ1＞σ2
解析：根據(jù)正態(tài)分布N（μ，σ2）函數(shù)的性質(zhì)：正態(tài)分布曲線是一條關(guān)于直線x＝μ對稱，在x＝μ處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線；σ越大，曲線的最高點(diǎn)越低且較平緩；反過來，σ越小，曲線的最高點(diǎn)越高且較陡峭，故選A．
答案：A．
題型三：服從正態(tài)分布的概率計算
典例1：設(shè)X～N（1，22），試求
（1）P（﹣1＜X≤3）；
（2）P（3＜X≤5）；
（3）P（X≥5）．
分析：將所求概率轉(zhuǎn)化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用正態(tài)密度曲線的對稱性求解．
解析：∵X～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2．
（1）P（﹣1＜X≤3）＝P（1﹣2＜X≤1+2）
＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.682 6．
（2）∵P（3＜X≤5）＝P（﹣3＜X≤﹣1），
∴P（3＜X≤5）＝[P（﹣3＜X≤5）﹣P（﹣1＜X≤3）]
＝[P（1﹣4＜X≤1+4）﹣P（1﹣2＜X≤1+2）]
＝[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]
＝×（0.954 4﹣0.682 6）
＝0.1359．
（3）∵P（X≥5）＝P（X≤﹣3），
∴P（X≥5）＝[1﹣P（﹣3＜X≤5）]
＝[1﹣P（1﹣4＜X≤1+4）]
＝[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）]
＝×（1﹣0.954 4）＝0.0228．
求服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在某個區(qū)間取值的概率，只需借助正態(tài)曲線的性質(zhì)，把所求問題轉(zhuǎn)化為已知概率的三個區(qū)間上．
典例2：隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，則P（ξ＜2）＝ ．
解析：由題意可知，正態(tài)分布的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，所以P（ξ＞2）＝P（ξ＜0）＝0.3，P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7．
答案：0.7．
題型4：正態(tài)分布的應(yīng)用
典例1：2011年中國汽車銷售量達(dá)到1 700萬輛，汽車耗油量對汽車的銷售有著非常重要的影響，各個汽車制造企業(yè)積極采用新技術(shù)降低耗油量，某汽車制造公司為調(diào)查某種型號的汽車的耗油情況，共抽查了1 200名車主，據(jù)統(tǒng)計該種型號的汽車的平均耗油為百公里8.0升，并且汽車的耗油量ξ服從正態(tài)分布N（8，σ2），已知耗油量ξ∈[7，9]的概率為0.7，那么耗油量大于9升的汽車大約有 輛．
解析：由題意可知ξ～N（8，σ2），故正態(tài)分布曲線以μ＝8為對稱軸，又因?yàn)镻（7≤ξ≤9）＝0.7，故P（7≤ξ≤9）＝2P（8≤ξ≤9）＝0.7，所以P（8≤ξ≤9）＝0.35，而P（ξ≥8）＝0.5，所以P（ξ＞9）＝0.15，故耗油量大于9升的汽車大約有1 200×0.15＝180輛．
點(diǎn)評：服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在一個區(qū)間上的概率就是這個區(qū)間上，正態(tài)密度曲線和x軸之間的曲邊梯形的面積，根據(jù)正態(tài)密度曲線的對稱性，當(dāng)P（ξ＞x1）＝P（ξ＜x2）時必然有＝μ，這是解決正態(tài)分布類試題的一個重要結(jié)論．
典例2：工廠制造的某機(jī)械零件尺寸X服從正態(tài)分布N（4，），問在一次正常的試驗(yàn)中，取1 000個零件時，不屬于區(qū)間（3，5]這個尺寸范圍的零件大約有多少個？
解∵X～N（4，），∴μ＝4，σ＝．
∴不屬于區(qū)間（3，5]的概率為
P（X≤3）+P（X＞5）＝1﹣P（3＜X≤5）
＝1﹣P（4﹣1＜X≤4+1）
＝1﹣P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）
＝1﹣0.9974＝0.0026≈0.003，
∴1 000×0.003＝3（個），
即不屬于區(qū)間（3，5]這個尺寸范圍的零件大約有3個．
5．系統(tǒng)抽樣方法
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
1．定義：一般地，要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，可將總體分成均衡的若干部分，然后按照預(yù)先制定的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體，得到所需要的樣本，這種抽樣的方法叫做系統(tǒng)抽樣．
2．系統(tǒng)抽樣的特征：
（1）當(dāng)總體容量N較大時，適宜采用系統(tǒng)抽樣；
（2）將總體分成均衡的若干部分指的是將總體分段，分段的間隔要求相等，因此系統(tǒng)抽樣又稱等距抽樣，這里的間隔一般為k＝
（3）在第一部分的抽樣采用簡單隨機(jī)抽樣；
（4）每個個體被抽到的可能性相等
3．系統(tǒng)抽樣與簡單隨機(jī)抽樣的關(guān)系：
（1）系統(tǒng)抽樣是建立在簡單隨機(jī)抽樣的基礎(chǔ)之上的，當(dāng)將總體均分后對每一部分進(jìn)行抽樣時，采用的是簡單隨機(jī)抽樣；
（2）系統(tǒng)抽樣和簡單隨機(jī)抽樣都是等概率抽樣，它是公平的．
4．系統(tǒng)抽樣與簡單隨機(jī)抽樣的優(yōu)缺點(diǎn)：
（1）當(dāng)總體的個體數(shù)較大時，用系統(tǒng)抽樣比用簡單隨機(jī)抽樣更易實(shí)施，更節(jié)約成本；
（2）系統(tǒng)抽樣比簡單隨機(jī)抽樣應(yīng)用范圍更廣；
（3）系統(tǒng)抽樣所得到的樣本的代表性和個體的編號有關(guān)，而簡單隨機(jī)抽樣所得到的樣本的代表性與編號無關(guān)，如果編號的特征隨編號的變化呈一定的周期性，可能造成系統(tǒng)抽樣的代表性很差．
【解題方法點(diǎn)撥】
系統(tǒng)抽樣的一般步驟：
（1）編號：采用隨機(jī)的方式將總體中的個體編號；
（2）分段：確定分段間隔k，對編號進(jìn)行分段（N為總體個數(shù)，n為樣本容量）：
①當(dāng)時，k＝，
②當(dāng)時，通過從總體中剔除一些個體，使剩下的總體中的個體數(shù)N′能被n整除，這時k＝
（注意這時要重新編號1﹣N′后，才能再分段）
（3）確定起始編號：在第一段用簡單隨機(jī)抽樣確定起始的個體編號l（l∈N，l≤k）；
（4）抽樣：按事先確定的規(guī)則抽取樣本，即l，l+k，l+2k，…，l+（n﹣1）k．
【命題方向】
1．考查系統(tǒng)抽樣的定義
例：某小禮堂有25排座位，每排有20個座位．一次心理講座時禮堂中坐滿了學(xué)生，講座后為了了解有關(guān)情況，留下了座位號是15的25名學(xué)生進(jìn)行測試，這里運(yùn)用的抽樣方法是（ ）
A．抽簽法 B．隨機(jī)數(shù)表法 C．系統(tǒng)抽樣法 D．分層抽樣法
分析：由題意可得，從第一排起，每隔20人抽取一個，所抽取的樣本的間隔距相等，符合系統(tǒng)抽樣的定義．
解答：由題意可得，從第一排起，每隔20人抽取一個，所抽取的樣本的間隔距相等，故屬于系統(tǒng)抽樣，
故選C．
點(diǎn)評：本題考查系統(tǒng)抽樣的定義和方法，屬于容易題．
2．考查系統(tǒng)抽樣的應(yīng)用
例：將參加夏令營的100名學(xué)生編號為001，002，…，100．先采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為20的樣本，若隨機(jī)抽得的號碼為003，那么從048號到081號被抽中的人數(shù)是
分析：根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義，即可得到結(jié)論．
解答：∵樣本容量為20，首個號碼為003，
∴樣本組距為100÷20＝5
∴對應(yīng)的號碼數(shù)為3+5（x﹣1）＝5x﹣2，
由48≤5x﹣2≤81，
得10≤x≤16.6，
即x＝10，11，12，13，14，15，16，共7個，
故答案為：7．
點(diǎn)評：本題主要考查系統(tǒng)抽樣的應(yīng)用，利用系統(tǒng)抽樣的定義建立號碼關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．
6．頻率分布直方圖的應(yīng)用
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
﹣應(yīng)用：用于數(shù)據(jù)的分布可視化，幫助分析數(shù)據(jù)集中趨勢、離散程度等．
【解題方法點(diǎn)撥】
﹣分析：通過直方圖觀察數(shù)據(jù)的分布特征，識別數(shù)據(jù)的集中區(qū)域和離散程度．
【命題方向】
﹣重點(diǎn)考察如何解讀頻率分布直方圖及其對數(shù)據(jù)分析的貢獻(xiàn)．
7．頻率分布折線圖、密度曲線
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
1．頻率分布折線圖：
如果將頻率分布直方圖中各相鄰的矩形的上底邊的中點(diǎn)順次連結(jié)起來，就得到頻率分布折線圖，簡稱頻率折線圖．
2．總體分布的密度曲線：
如果將樣本容量取得足夠大，分組的組距取得足夠小，則相應(yīng)的頻率分布折線圖將趨于一條光滑曲線，我們稱這條光滑曲線為總體分布的密度曲線．
8．統(tǒng)計圖表獲取信息
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
統(tǒng)計圖表反映了被描述對象的重要內(nèi)容和數(shù)據(jù)情況，它簡單明了，有利于我們把握數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，統(tǒng)計圖還能直觀、生動地傳遞信息．
【解題方法點(diǎn)撥】
由統(tǒng)計圖表獲取信息的步驟：
一、看統(tǒng)計圖表特征；
二、讀統(tǒng)計圖表數(shù)據(jù)信息并進(jìn)行分析；
三、尋找出統(tǒng)計圖表中數(shù)據(jù)的變化趨勢或規(guī)律；
四、對統(tǒng)計圖表的數(shù)據(jù)與信息作分析、推測，為對解決問題作出合理的判斷提供依據(jù)．
注意：①要避免統(tǒng)計圖的誤導(dǎo)，首先要仔細(xì)觀察統(tǒng)計圖，其次要關(guān)注數(shù)據(jù)的來源、收集方式及描述形式，這樣才能獲得準(zhǔn)確的信息；
②對數(shù)據(jù)的收集、整理等一定要重視它的普遍性、代表性、公正性，不能以點(diǎn)帶面，以偏概全，夸大局部的作用．
【命題方向】
能正確解讀統(tǒng)計圖表，從中獲取必要、準(zhǔn)確的信息，并進(jìn)站簡單的決策；處理生活中常見的不規(guī)范統(tǒng)計圖帶來的錯誤信息，提高對統(tǒng)計圖表的認(rèn)識能力．
9．用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
1．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)
眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的特征數(shù)，只是描述的角度不同，其中以平均數(shù)的應(yīng)用最為廣泛．
（1）眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；
（2）中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；
（3）平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即．
2．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)
【解題方法點(diǎn)撥】
眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的選?。?br>（1）平均數(shù)能較好地反映一組數(shù)據(jù)的總體情況；
（2）中位數(shù)不受極端值影響，有時用它代表全體數(shù)據(jù)的中等水平（或一般水平）；
（3）眾數(shù)能反映一組數(shù)據(jù)的集中情況（即多數(shù)水平）．
根據(jù)頻率分布直方圖估算眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)：
（1）眾數(shù)：在頻率分布直方圖中，最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是眾數(shù)．
（2）中位數(shù)：在樣本中，有50%的個體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個體大于或等于中位數(shù)，因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可以估計中位數(shù)的值．
（3）平均數(shù)：是頻率分布直方圖的“重心”，是直方圖的平衡點(diǎn)．平均數(shù)等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積（即落在該組中的頻率）乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)（組中值）之和．
10．用樣本估計總體的離散程度參數(shù)
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
用一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)減去最小數(shù)據(jù)的差來反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍，這個數(shù)據(jù)就叫極差．一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與平均數(shù)差的平方和的平均數(shù)叫做方差．方差的算術(shù)平方根就為標(biāo)準(zhǔn)差．方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是反映這組數(shù)據(jù)波動的大小，方差越大，數(shù)據(jù)的波動越大．
【解題方法點(diǎn)撥】
例：求數(shù)據(jù)98，100，101，102，99的極差，方差，標(biāo)準(zhǔn)差．
解：極差是：102﹣98＝4；
平均數(shù)＝（98+100+101+102+99）＝100，
則方差是：S2＝[（98﹣100）2+（100﹣100）2+（101﹣100）2+（102﹣100）2+（99﹣100）2]＝2；
標(biāo)準(zhǔn)差S＝．
可以看出這類題考查的基本上是對概念的理解，根據(jù)概念去解題就可以了．
【命題方向】
這個考點(diǎn)很重要，也很容易，所以大家都應(yīng)該好好的看看概念，理解方差的含義和怎么求就可以了．
11．百分位數(shù)
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
百分位數(shù)的定義：一般地，當(dāng)總體是連續(xù)變量時，給定一個百分?jǐn)?shù)p∈（0，1），總體的p分位數(shù)有這樣的特點(diǎn)，總體數(shù)據(jù)中的任意一個數(shù)小于或等于它的可能性是p．
四分位數(shù)：25%，50%，75%分位數(shù)是三個常用的百分位數(shù)．把總體數(shù)據(jù)按照從小到大排列后，這三個百分位數(shù)把總體數(shù)據(jù)分成了4個部分，在這4個部分取值的可能性都是．因此這三個百分位數(shù)也稱為總體的四分位數(shù)．
【解題方法點(diǎn)撥】
一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有（100﹣p）%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值．計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)步驟如下：
①按從小到大排列原始數(shù)據(jù)；
②計算i＝n×p%；
③若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第（i+1）項數(shù)據(jù)的平均數(shù)．
【命題方向】
理解連續(xù)變量的百分位數(shù)的統(tǒng)計含義，考察百分位數(shù)的計算，學(xué)會用樣本估計總體的百分位數(shù)．
12．樣本相關(guān)系數(shù)
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
1、概念：
相關(guān)表和相關(guān)圖可反映兩個變量之間的相互關(guān)系及其相關(guān)方向，但無法確切地表明兩個變量之間相關(guān)的程度．于是，著名統(tǒng)計學(xué)家卡爾?皮爾遜設(shè)計了統(tǒng)計指標(biāo)﹣﹣相關(guān)系數(shù)．相關(guān)系數(shù)是用以反映變量之間相關(guān)關(guān)系密切程度的統(tǒng)計指標(biāo)．相關(guān)系數(shù)是按積差方法計算，同樣以兩變量與各自平均值的離差為基礎(chǔ)，通過兩個離差相乘來反映兩變量之間相關(guān)程度；著重研究線性的單相關(guān)系數(shù)．
2、相關(guān)系數(shù)用r表示，計算公式為
其中：當(dāng)r＞0時，表明兩個變量正相關(guān)；當(dāng)r＜0時，表明兩個變量負(fù)相關(guān)；|r|≤1，且|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；|r|越接近于0，相關(guān)程度越小．
3、殘差：
相關(guān)指數(shù)R2用來刻畫回歸的效果，其計算公式是
在含有一個解釋變量的線性模型中，R2恰好等于相關(guān)系數(shù)r的平方．顯然，R2取值越大，意味著殘差平方和越小，也就是模型的擬合效果越好．
【解題方法點(diǎn)撥】
建立回歸模型的基本步驟：
（1）確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個是預(yù)報變量；
（2）畫出解釋變量和預(yù)報變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系；
（3）由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型（如觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程：＝x+）；
（4）按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）；
（5）得出結(jié)果分析殘差圖是否有異常，若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否適當(dāng)．當(dāng)回歸方程不是形如：＝x+時，我們稱之為非線性回歸方程．
13．經(jīng)驗(yàn)回歸方程與經(jīng)驗(yàn)回歸直線
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
線性回歸是利用數(shù)理統(tǒng)計中的回歸分析，來確定兩種或兩種以上變數(shù)間相互依賴的定量關(guān)系的一種統(tǒng)計分析方法之一，運(yùn)用十分廣泛．分析按照自變量和因變量之間的關(guān)系類型，可分為線性回歸分析和非線性回歸分析．如果在回歸分析中，只包括一個自變量和一個因變量，且二者的關(guān)系可用一條直線近似表示，這種回歸分析稱為一元線性回歸分析．如果回歸分析中包括兩個或兩個以上的自變量，且因變量和自變量之間是線性關(guān)系，則稱為多元線性回歸分析．變量的相關(guān)關(guān)系中最為簡單的是線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)隨機(jī)變量與變量之間存在線性相關(guān)關(guān)系，則由試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到的點(diǎn)將散布在某一直線周圍．因此，可以認(rèn)為關(guān)于的回歸函數(shù)的類型為線性函數(shù)．
【解題方法點(diǎn)撥】
例：對于線性回歸方程，則＝
解：，因?yàn)榛貧w直線必過樣本中心（），
所以．
故答案為：58.5．
方法就是根據(jù)線性回歸直線必過樣本中心（），求出，代入即可求．這里面可以看出線性規(guī)劃這類題解題方法比較套路化，需要熟記公式．
【命題方向】
這類題記住公式就可以了，也是高考中一個比較重要的點(diǎn)．
14．獨(dú)立性檢驗(yàn)
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
1、分類變量：
如果某種變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量．
2、原理：假設(shè)性檢驗(yàn)（類似反證法原理）．
一般情況下：假設(shè)分類變量X和Y之間沒有關(guān)系，通過計算K2值，然后查表對照相應(yīng)的概率P，發(fā)現(xiàn)這種假設(shè)正確的概率P很小，從而推翻假設(shè)，最后得出X和Y之間有關(guān)系的可能性為（1﹣P），也就是“X和Y有關(guān)系”．（表中的k就是K2的觀測值，即k＝K2）．
其中n＝a+b+c+d（考試給出）
3、2×2列聯(lián)表：
4、范圍：K2∈（0，+∞）；性質(zhì)：K2越大，說明變量間越有關(guān)系．
5、解題步驟：
（1）認(rèn)真讀題，取出相關(guān)數(shù)據(jù)，作出2×2列聯(lián)表；
（2）根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計算K2的觀測值k；
（3）通過觀測值k與臨界值k0比較，得出事件有關(guān)的可能性大?。?br>聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/11/4 19:45:39；用戶：組卷36；郵箱：zyb036@xyh.cm；學(xué)號：41418999
1
2
3
4
5
6
6
7
8
8
喜歡讀書
不喜歡讀書
合計
男生
260
60
320
女生
200
合計
460
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
5
6
8
9
12
16
20
25
28
36
1
3
4
5
7
15
20
30
40
45
天
1
2
3
4
5
6
7
萬次
120
240
340
510
760
1200
1730
1
2
3
4
5
4
9
11
年份
2018
2019
2020
2021
2022
年份代號
0
1
2
3
4
年銷量
10
15
20
30
35
汽車日流量
汽車日流量
合計
的平均濃度
的平均濃度
合計
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
銷售量（千張）
1.9
1.98
2.2
2.36
2.43
2.59
2.68
2.76
2.7
0.4
甲
8
6
7
8
6
5
9
10
4
7
乙
6
7
7
8
6
7
8
7
9
5
1
2
3
4
5
6
6
7
8
8
喜歡讀書
不喜歡讀書
合計
男生
260
60
320
女生
200
合計
460
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
5
6
8
9
12
16
20
25
28
36
1
3
4
5
7
15
20
30
40
45
天
1
2
3
4
5
6
7
萬次
120
240
340
510
760
1200
1730
1
2
3
4
5
4
9
11
年份
2018
2019
2020
2021
2022
年份代號
0
1
2
3
4
年銷量
10
15
20
30
35
汽車日流量
汽車日流量
合計
的平均濃度
的平均濃度
合計
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
汽車日流量
汽車日流量
合計
的平均濃度
16
8
24
的平均濃度
6
20
26
合計
22
28
50
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
銷售量（千張）
1.9
1.98
2.2
2.36
2.43
2.59
2.68
2.76
2.7
0.4
0
1
2
3
甲
8
6
7
8
6
5
9
10
4
7
乙
6
7
7
8
6
7
8
7
9
5

相關(guān)試卷

2025年高考數(shù)學(xué)解密匯編訓(xùn)練之復(fù)數(shù)（Word版附解析）：

這是一份2025年高考數(shù)學(xué)解密匯編訓(xùn)練之復(fù)數(shù)（Word版附解析），共31頁。試卷主要包含了已知，都是復(fù)數(shù)，下列正確的是，已知滿足，則，已知復(fù)數(shù)，均不為0，則，已知、都是復(fù)數(shù)，下列正確的是等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2025年高考數(shù)學(xué)解密匯編訓(xùn)練之概率（Word版附解析）：

這是一份2025年高考數(shù)學(xué)解密匯編訓(xùn)練之概率（Word版附解析），共45頁。試卷主要包含了若隨機(jī)變量，，隨機(jī)變量，則，黨的二十大報告提出，下列說法中，正確的個數(shù)為等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2025年高考數(shù)學(xué)解密匯編訓(xùn)練之集合（Word版附解析）：

這是一份2025年高考數(shù)學(xué)解密匯編訓(xùn)練之集合（Word版附解析），共33頁。試卷主要包含了來表示有限集合中元素的個數(shù)，集合，，則，已知集合，，，，若定義集合運(yùn)算等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2025年高考數(shù)學(xué)解密匯編訓(xùn)練之?dāng)?shù)列（Word版附解析）

2025年高考數(shù)學(xué)解密匯編訓(xùn)練之?dāng)?shù)列（Word版附解析）
2025年高考數(shù)學(xué)解密匯編訓(xùn)練之統(tǒng)計（Word版附解析）

2025年高考數(shù)學(xué)解密匯編訓(xùn)練之統(tǒng)計（Word版附解析）
2025年高考數(shù)學(xué)解密匯編訓(xùn)練之橢圓（Word版附解析）

2025年高考數(shù)學(xué)解密匯編訓(xùn)練之橢圓（Word版附解析）
2025年高考數(shù)學(xué)解密匯編訓(xùn)練之圓與方程（Word版附解析）

2025年高考數(shù)學(xué)解密匯編訓(xùn)練之圓與方程（Word版附解析）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部