1．（2024?貴州模擬）設(shè)方程的兩根為，，則
A．，B．C．D．
2．（2024?包頭三模）冰箱、空調(diào)等家用電器使用了氟化物，氟化物的釋放破壞了大氣上層的臭氧層，使臭氧量呈指數(shù)函數(shù)型變化．當(dāng)氟化物排放量維持在某種水平時(shí)，臭氧量滿(mǎn)足關(guān)系式，其中是臭氧的初始量，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，是時(shí)間，以年為單位．若按照關(guān)系式推算，經(jīng)過(guò)年臭氧量還保留初始量的四分之一，則的值約為
A．584B．574年C．564年D．554年
3．（2024?太原模擬）已知函數(shù)，若方程恰有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．，，B．
C．D．
4．（2024?江西模擬）已知函數(shù)在區(qū)間，上都單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
5．（2024?浙江二模）已知正實(shí)數(shù)，，滿(mǎn)足，則，，的大小關(guān)系是
A．B．C．D．
6．（2024?中山市校級(jí)模擬）設(shè)函數(shù)若關(guān)于的方程有四個(gè)實(shí)根，，，，則的最小值為
A．B．23C．D．24
7．（2024?重慶模擬）荀子《勸學(xué)》中說(shuō)：“不積跬步，無(wú)以至千里；不積小流，無(wú)以成江海．”所以說(shuō)學(xué)習(xí)是日積月累的過(guò)程，每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，前進(jìn)不止一小點(diǎn)．我們可以把看作是每天的“進(jìn)步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；這樣，一年后的“進(jìn)步值”是“退步值”的倍．那么當(dāng)“進(jìn)步值”是“退步值”的5倍時(shí)，大約經(jīng)過(guò) 天．（參考數(shù)據(jù)：，，
A．70B．80C．90D．100
8．（2024?回憶版）設(shè)函數(shù)，為常數(shù)），當(dāng)時(shí)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，則
A．B．C．1D．2
9．（2024?撫順模擬）函數(shù)滿(mǎn)足：當(dāng)時(shí)，，是奇函數(shù)．記關(guān)于的方程的根為，，，，若，則的值可以為
A．B．C．D．1
10．（2024?灌云縣校級(jí)模擬）已知函數(shù)若存在唯一的整數(shù)，使得成立，則所有滿(mǎn)足條件的整數(shù)的取值集合為
A．，，0，B．，，C．，0，D．，
二．多選題（共5小題）
11．（2024?西湖區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)其中（a）（b）（c），且，則
A．
B．函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)
C．
D．，
12．（2024?袁州區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)，，則
A．若有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則
B．當(dāng)時(shí)，有5個(gè)不同的零點(diǎn)
C．若有4個(gè)不同的零點(diǎn)，，，，則的取值范圍是
D．若有4個(gè)不同的零點(diǎn)，，，，則的取值范圍是
13．（2024?吉安模擬）已知函數(shù)，則
A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
B．的值域?yàn)椋?br>C．若方程在上有6個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
D．若方程在上有6個(gè)不同的實(shí)根，2，，，則的取值范圍是
14．（2024?懷化二模）已知函數(shù)的零點(diǎn)為，的零點(diǎn)為，則
A．B．
C．D．
15．（2024?定西模擬）已知函數(shù)，，則
A．當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)
B．當(dāng)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)
C．當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)
D．當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)
三．填空題（共5小題）
16．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)四模）已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①若有最小值，則的取值范圍是；
②當(dāng)時(shí)，若無(wú)實(shí)根，則的取值范圍是，，；
③當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；
④當(dāng)時(shí)，若存在，滿(mǎn)足，則．
其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)為 ．
17．（2024?南開(kāi)區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
18．（2024?湖北模擬）關(guān)于的方程有實(shí)根，則的最小值為 ．
19．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)四模）如圖所示，甲工廠位于一直線河岸的岸邊處，乙工廠與甲工廠在河的同側(cè)，且位于離河岸的處，河岸邊處與處相距（其中，兩家工廠要在此岸邊建一個(gè)供水站，從供水站到甲工廠和乙工廠的水管費(fèi)用分別為每千米元和元，供水站建在岸邊距離處 才能使水管費(fèi)用最省．
20．（2024?天津模擬）設(shè)，函數(shù)若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
四．解答題（共5小題）
21．（2024?孝南區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)，其中．
（1）若函數(shù)的最大值是最小值的5倍，求的值；
（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的正零點(diǎn)由小到大的順序依次為，，，，若，求的值．
22．（2024?遼寧模擬）某地區(qū)未成年男性的身高（單位：與體重平均值（單位：的關(guān)系如下表
表1未成年男性的身高與體重平均值
直觀分析數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，可選擇指數(shù)函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、冪函數(shù)模型近似地描述未成年男性的身高與體重平均值之間的關(guān)系．為使函數(shù)擬合度更好，引入擬合函數(shù)和實(shí)際數(shù)據(jù)之間的誤差平方和、擬合優(yōu)度判斷系數(shù)（如表．誤差平方和越小、擬合優(yōu)度判斷系數(shù)越接近1，擬合度越高．
表2擬合函數(shù)對(duì)比
（1）問(wèn)哪種模型是最優(yōu)模型？并說(shuō)明理由；
（2）若根據(jù)生物學(xué)知識(shí)，人體細(xì)胞是人體結(jié)構(gòu)和生理功能的基本單位，是生長(zhǎng)發(fā)育的基礎(chǔ)．假設(shè)身高與骨細(xì)胞數(shù)量成正比，比例系數(shù)為；體重與肌肉細(xì)胞數(shù)量成正比，比例系數(shù)為．記時(shí)刻的未成年時(shí)期骨細(xì)胞數(shù)量，其中和分別表示人體出生時(shí)骨細(xì)胞數(shù)量和增長(zhǎng)率，記時(shí)刻的未成年時(shí)期肌肉細(xì)胞數(shù)量，其中和分別表示人體出生時(shí)肌肉細(xì)胞數(shù)量和增長(zhǎng)率．求體重關(guān)于身高的函數(shù)模型；
（3）在（2）的條件下，若，．當(dāng)剛出生的嬰兒身高為時(shí)，與（1）的模型相比較，哪種模型跟實(shí)際情況更符合，試說(shuō)明理由．
注：，；嬰兒體重，符合實(shí)際，嬰兒體重，較符合實(shí)際，嬰兒體重，不符合實(shí)際．
23．（2024?北京模擬）如圖，某大學(xué)將一矩形操場(chǎng)擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形操場(chǎng)，要求在上，在上，且在上．若米，米，設(shè)米．
（1）要使矩形的面積大于2700平方米，求的取值范圍；
（2）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度是多少時(shí)，矩形的面積最小？并求出最小面積．
24．（2024?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)三模）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)于區(qū)間，，若滿(mǎn)足以下兩個(gè)性質(zhì)之一，則稱(chēng)區(qū)間是的一個(gè)“好區(qū)間”．
性質(zhì)①：對(duì)于任意，都有；性質(zhì)②：對(duì)于任意，都有．
（1）已知函數(shù)，．分別判斷區(qū)間，，區(qū)間，是否為的“好區(qū)間”，并說(shuō)明理由；
（2）已知，若區(qū)間，是函數(shù)，的一個(gè)“好區(qū)間”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其圖像是一條連續(xù)的曲線，且對(duì)于任意，都有（a）（b），求證：存在“好區(qū)間”，且存在，為不屬于的任意一個(gè)“好區(qū)間”．
25．（2024?江西模擬）某公園有一個(gè)矩形地塊（如圖所示），邊長(zhǎng)千米，長(zhǎng)4千米．地塊的一角是水塘（陰影部分），已知邊緣曲線是以為頂點(diǎn)，以所在直線為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線的一部分，現(xiàn)要經(jīng)過(guò)曲線上某一點(diǎn)（異于，兩點(diǎn)）鋪設(shè)一條直線隔離帶，點(diǎn)，分別在邊，上，隔離帶占地面積忽略不計(jì)且不能穿過(guò)水塘．設(shè)點(diǎn)到邊的距離為（單位：千米），的面積為（單位：平方千米）．
（1）請(qǐng)以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出關(guān)于的函數(shù)解析式；
（2）是否存在點(diǎn)，使隔離出來(lái)的的面積超過(guò)2平方千米？并說(shuō)明理由．
2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練8
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
1．（2024?貴州模擬）設(shè)方程的兩根為，，則
A．，B．C．D．
【答案】
【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系
【專(zhuān)題】構(gòu)造法；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
【分析】問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，為的兩根，構(gòu)造函數(shù)，，結(jié)合零點(diǎn)存在定理及指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．
【解答】解：因?yàn)榈膬筛鶠椋礊榈膬筛?br>令，，
則（1），（3），，
因?yàn)椋?br>所以，錯(cuò)誤；
因?yàn)?，得?br>由可得，
故，正確；
所以，錯(cuò)誤；
，錯(cuò)誤．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)在函數(shù)零點(diǎn)范圍求解中的應(yīng)用，還考查了零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，屬于中檔題．
2．（2024?包頭三模）冰箱、空調(diào)等家用電器使用了氟化物，氟化物的釋放破壞了大氣上層的臭氧層，使臭氧量呈指數(shù)函數(shù)型變化．當(dāng)氟化物排放量維持在某種水平時(shí)，臭氧量滿(mǎn)足關(guān)系式，其中是臭氧的初始量，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，是時(shí)間，以年為單位．若按照關(guān)系式推算，經(jīng)過(guò)年臭氧量還保留初始量的四分之一，則的值約為
A．584B．574年C．564年D．554年
【答案】
【考點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類(lèi)型
【專(zhuān)題】綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；函數(shù)思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】由題意得，解不等式即可．
【解答】解：由題意可得，，，，，．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查指數(shù)型函數(shù)的的應(yīng)用，屬于中檔題．
3．（2024?太原模擬）已知函數(shù)，若方程恰有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．，，B．
C．D．
【答案】
【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系
【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】作出函數(shù)的圖象，方程恰有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，等價(jià)為與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)．討論，且時(shí)，與的位置關(guān)系，結(jié)合直線和曲線相切的條件，求得，以及直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，可得的取值范圍；當(dāng)時(shí)，與的圖象只有1個(gè)交點(diǎn)，可得結(jié)論．
【解答】解：作出函數(shù)的圖象，如右圖：
方程恰有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，等價(jià)為與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)．
，
的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，與相切，設(shè)切點(diǎn)為，，可得，且，
可化為，設(shè)，，可得，在遞增，且，
則，，此時(shí)與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，
又的圖象經(jīng)過(guò)，可得，即有，
則時(shí)，與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即有，解得，
由，可得，
由與相切，可得△，解得舍去），
由圖象可得，時(shí)，與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，與的圖象只有1個(gè)交點(diǎn)．
綜上，可得實(shí)數(shù)的取值范圍是，，．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)和方程的關(guān)系，以及直線和曲線相切的條件，考查數(shù)形結(jié)合思想、方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
4．（2024?江西模擬）已知函數(shù)在區(qū)間，上都單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】
【考點(diǎn)】由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù)；分段函數(shù)的應(yīng)用
【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；方程思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法
【分析】根據(jù)題意，設(shè)，分析可得必然有兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)其兩個(gè)零點(diǎn)為、，且，寫(xiě)出的解析式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得關(guān)于的不等式組，解可得的取值范圍，即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)，為開(kāi)口向上的二次函數(shù)，且，
則必然有2個(gè)零點(diǎn)，設(shè)的兩根零點(diǎn)為、，且，
，
若在區(qū)間，上都單調(diào)遞增，必有，
則有，故，
則在上一定遞增，
只需滿(mǎn)足在上遞增即可，必有，解可得，
綜合可得：．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查分段函數(shù)單調(diào)性的判斷，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．
5．（2024?浙江二模）已知正實(shí)數(shù)，，滿(mǎn)足，則，，的大小關(guān)系是
A．B．C．D．
【答案】
【考點(diǎn)】不等式比較大?。缓瘮?shù)與方程的綜合運(yùn)用
【專(zhuān)題】數(shù)形結(jié)合；計(jì)算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法
【分析】根據(jù)題意，將3個(gè)等式變形，由函數(shù)與方程的關(guān)系分析，，的幾何意義，作出函數(shù)和、、的圖象，結(jié)合圖象分析可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，若，變形可得，
則是函數(shù)與函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
同理：，變形可得，
則是函數(shù)與函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
，變形可得，
則是函數(shù)與函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
作出和、、的圖象，
結(jié)合圖像可得．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)與方程的關(guān)系，涉及指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．
6．（2024?中山市校級(jí)模擬）設(shè)函數(shù)若關(guān)于的方程有四個(gè)實(shí)根，，，，則的最小值為
A．B．23C．D．24
【答案】
【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系
【專(zhuān)題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)思想
【分析】根據(jù)題意，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象可得，，然后再由基本不等式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果．
【解答】解：作出函數(shù)的圖象如圖所示：
由圖可知，，由（2），可得或，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以，
故，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想及基本不等式的應(yīng)用，作出圖象是關(guān)鍵，屬于中檔題．
7．（2024?重慶模擬）荀子《勸學(xué)》中說(shuō)：“不積跬步，無(wú)以至千里；不積小流，無(wú)以成江海．”所以說(shuō)學(xué)習(xí)是日積月累的過(guò)程，每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，前進(jìn)不止一小點(diǎn)．我們可以把看作是每天的“進(jìn)步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；這樣，一年后的“進(jìn)步值”是“退步值”的倍．那么當(dāng)“進(jìn)步值”是“退步值”的5倍時(shí)，大約經(jīng)過(guò) 天．（參考數(shù)據(jù)：，，
A．70B．80C．90D．100
【答案】
【考點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類(lèi)型；對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)
【專(zhuān)題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；整體思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
【分析】根據(jù)題意列方程，然后取對(duì)數(shù)求解．
【解答】解：設(shè)天后當(dāng)“進(jìn)步”的值是“退步”的值的5倍，
則，
即，
即，
即，
所以，
即．
故當(dāng)“進(jìn)步值”是“退步值”的5倍時(shí)，大約經(jīng)過(guò)80天．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了閱讀理解能力，屬中檔題．
8．（2024?回憶版）設(shè)函數(shù)，為常數(shù)），當(dāng)時(shí)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，則
A．B．C．1D．2
【答案】
【考點(diǎn)】函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用
【專(zhuān)題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】設(shè)，所求問(wèn)題等價(jià)于在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，由即可求解．
【解答】解：函數(shù)，，
設(shè)，
則是偶函數(shù)，
由曲線與在上恰有一個(gè)交點(diǎn)，
得在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，
所以，
解得．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．
9．（2024?撫順模擬）函數(shù)滿(mǎn)足：當(dāng)時(shí)，，是奇函數(shù)．記關(guān)于的方程的根為，，，，若，則的值可以為
A．B．C．D．1
【答案】
【考點(diǎn)】函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用；函數(shù)的奇偶性
【專(zhuān)題】整體思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法
【分析】首先判斷函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，再畫(huà)出函數(shù)和的圖象，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，判斷交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合，即可求解．
【解答】解：若函數(shù)是奇函數(shù)，則，
即，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，
而也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，恒過(guò)點(diǎn)，
方程的根，即為函數(shù)與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且其中一個(gè)交點(diǎn)是，
如圖畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，
若，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，軸左側(cè)和右側(cè)各有3個(gè)交點(diǎn)，如圖，
當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，軸右側(cè)有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，
當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，軸右側(cè)有3個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，
所以滿(mǎn)足條件的的取值范圍是，選項(xiàng)中滿(mǎn)足條件的只有．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．
10．（2024?灌云縣校級(jí)模擬）已知函數(shù)若存在唯一的整數(shù)，使得成立，則所有滿(mǎn)足條件的整數(shù)的取值集合為
A．，，0，B．，，C．，0，D．，
【答案】
【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用
【專(zhuān)題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)形結(jié)合法；分類(lèi)討論；轉(zhuǎn)化思想
【分析】先作出的圖象，把轉(zhuǎn)化為點(diǎn)，與點(diǎn)所在直線的斜率，分類(lèi)討論，即可得出答案．
【解答】解：函數(shù)若存在唯一的整數(shù)，使得成立，
作出的函數(shù)圖象如圖所示：
表示點(diǎn)，與點(diǎn)所在直線的斜率，
可得曲線上只有一個(gè)點(diǎn)，為整數(shù)）和點(diǎn)所在直線的斜率小于0，
而點(diǎn)在動(dòng)直線上運(yùn)動(dòng)，
由，，，
可得當(dāng)時(shí)，只有點(diǎn)滿(mǎn)足；
當(dāng)時(shí)，只有點(diǎn)滿(mǎn)足．
又為整數(shù)，可得的取值集合為，，0，．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分段函數(shù)及其應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
二．多選題（共5小題）
11．（2024?西湖區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)其中（a）（b）（c），且，則
A．
B．函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)
C．
D．，
【答案】
【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系；分段函數(shù)的應(yīng)用
【專(zhuān)題】綜合法；直觀想象；數(shù)學(xué)運(yùn)算；函數(shù)思想；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
【分析】先作出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象逐一判定即可．
【解答】解：（8），故正確；
作出函數(shù)的圖象如圖所示，
觀察可知，，而，，
故，有3個(gè)交點(diǎn)，
即函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，故錯(cuò)誤；
由對(duì)稱(chēng)性，，而，
故，故正確；
，是方程的根，故，
令，則，
故，
而，均為正數(shù)且在上單調(diào)遞增，
故，，故正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．
12．（2024?袁州區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)，，則
A．若有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則
B．當(dāng)時(shí)，有5個(gè)不同的零點(diǎn)
C．若有4個(gè)不同的零點(diǎn)，，，，則的取值范圍是
D．若有4個(gè)不同的零點(diǎn)，，，，則的取值范圍是
【答案】
【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系
【專(zhuān)題】直觀想象；函數(shù)思想；數(shù)形結(jié)合法；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】作出的圖象，由有2個(gè)不同的零點(diǎn)，結(jié)合圖象，可判斷；
由，令，得到，求得，結(jié)合圖象，可判斷；
由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，求得，結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性得到，進(jìn)而判斷正確；
由，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，可判定正確．
【解答】解：由函數(shù)，可得，
作出的圖象，如圖所示：
對(duì)于中，由，可得，若有2個(gè)不同的零點(diǎn)，
結(jié)合圖象知或，所以錯(cuò)誤；
對(duì)于中，當(dāng)時(shí)，由，可得，
令，則有，
可得，
結(jié)合圖象知，有3個(gè)不等實(shí)根，有2個(gè)不等實(shí)根，沒(méi)有實(shí)根，
所以有5個(gè)不同的零點(diǎn)，所以正確；
對(duì)于中，若有4個(gè)不同的零點(diǎn)，，，，
則，且，則，
由二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性得，則，
結(jié)合知，
所以，，
所以的取值范圍為，所以正確；
對(duì)于中，由，其中，
由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，可得在上為單調(diào)遞減函數(shù)，
可得，
所以的取值范圍為，所以正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．
13．（2024?吉安模擬）已知函數(shù)，則
A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
B．的值域?yàn)椋?br>C．若方程在上有6個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
D．若方程在上有6個(gè)不同的實(shí)根，2，，，則的取值范圍是
【答案】
【考點(diǎn)】函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用
【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；分類(lèi)討論；數(shù)學(xué)運(yùn)算；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；直觀想象；綜合法
【分析】對(duì)于，判斷是否成立，即可判斷；
對(duì)于，分、去絕對(duì)值，即可判斷；
對(duì)于，分、求解即可；
對(duì)于，由題意可得或，有4個(gè)不同的實(shí)根，有2個(gè)不同的實(shí)根，列出不等式組，可得的范圍，再結(jié)合三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求解即可．
【解答】解：因?yàn)椋?br>所以，
所以的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
所以，
綜上得，正確；
當(dāng)時(shí)，由，得；
當(dāng)時(shí)，由，得，
所以方程在上的前7個(gè)實(shí)根分別為，
所以，正確；
由，
即，
或，
得或，
所以有4個(gè)不同的實(shí)根，
有2個(gè)不同的實(shí)根，
所以，
所以，
設(shè)，
則，，
所以，
所以 的取值范圍是，錯(cuò)誤．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，考查了分類(lèi)討論思想，屬于中檔題．
14．（2024?懷化二模）已知函數(shù)的零點(diǎn)為，的零點(diǎn)為，則
A．B．
C．D．
【答案】
【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理
【專(zhuān)題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作函數(shù)、函數(shù)、函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象特征依次判斷即可．
【解答】解：函數(shù)的零點(diǎn)為，的零點(diǎn)為，
函數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
函數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
作函數(shù)、函數(shù)、函數(shù)的圖象如下，
故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，
函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，
點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，
又點(diǎn)、在直線上，
點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
，
故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
易知，
故選項(xiàng)正確；
， ，，
，
即選項(xiàng)正確；
易知，，
，
即，
故選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)圖象交點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用，應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．
15．（2024?定西模擬）已知函數(shù)，，則
A．當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)
B．當(dāng)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)
C．當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)
D．當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)
【答案】
【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理
【專(zhuān)題】綜合題；數(shù)形結(jié)合；邏輯推理；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
【分析】做出函數(shù)的大致圖象，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與這兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題．
【解答】解：分別令函數(shù)，，
即，，它們的根為分別與和交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
作出和的大致圖象，如圖所示：
由圖可知，當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)或只有1個(gè)零點(diǎn)，錯(cuò)誤；
當(dāng)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)，正確；
當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)，錯(cuò)誤，正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，考查直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng)，屬于中檔題．
三．填空題（共5小題）
16．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)四模）已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①若有最小值，則的取值范圍是；
②當(dāng)時(shí)，若無(wú)實(shí)根，則的取值范圍是，，；
③當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；
④當(dāng)時(shí)，若存在，滿(mǎn)足，則．
其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)為 ②③④ ．
【答案】②③④．
【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用；命題的真假判斷與應(yīng)用
【專(zhuān)題】邏輯推理；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；綜合題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；分析法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
【分析】①若有最小值，則，當(dāng)時(shí)，求出函數(shù)的最小值，當(dāng)時(shí)，分析各段函數(shù)的單調(diào)性，求出各段上函數(shù)的值域，從而列出不等式組，解此不等式組，即可求得結(jié)果；
②當(dāng)時(shí)，分析各段函數(shù)的單調(diào)性，求出各段上函數(shù)的值域，根據(jù)無(wú)實(shí)根，求出的范圍；
③當(dāng)時(shí)，分析各段函數(shù)的單調(diào)性，求出各段上函數(shù)的值域，從而得出在單調(diào)遞減，利用單調(diào)性解不等式；
④當(dāng)時(shí)，分析各段函數(shù)的單調(diào)性，求出各段上函數(shù)的值域，若存在，滿(mǎn)足，則，，
利用分析法和函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性，即可證明結(jié)論．
【解答】解：①若有最小值，則，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞減，，
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，，
有最小值；
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，，
當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞減，，
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，，
，解得，
綜上，有最小值，則的取值范圍是，故①錯(cuò)誤；
②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，，
當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞減，，
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，，
若無(wú)實(shí)根，則的取值范圍是，，，故②正確；
③當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞減，，
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，，
在，單調(diào)遞減，
，，
，解得，故③正確；
④當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞減，
若存在，滿(mǎn)足，
則，，
要證，即證，
而在單調(diào)遞增，，
令，，
，
在，單調(diào)遞增，，
成立，
，故④正確．
故答案為：②③④．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查分段函數(shù)單調(diào)性及應(yīng)用，函數(shù)零點(diǎn)，極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，屬中檔題．
17．（2024?南開(kāi)區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 或 ．
【答案】或．
【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系
【專(zhuān)題】計(jì)算題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解
【分析】換元后轉(zhuǎn)化為，該方程存在唯一解，且，數(shù)形結(jié)合求解．
【解答】解：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，圖象為以和軸為漸近線的雙曲線的一支；
當(dāng)時(shí)，有，可得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增且，畫(huà)出圖象如下：
由題意，有唯一解，設(shè)，
則，（否則至少對(duì)應(yīng)2個(gè)，不滿(mǎn)足題意），
原方程化為，即，
該方程存在唯一解，且．
轉(zhuǎn)化為與有唯一公共點(diǎn)，且該點(diǎn)橫坐標(biāo)在，畫(huà)圖如下：
情形一：與相切，聯(lián)立得，由△解得，此時(shí)滿(mǎn)足題意：
情形二：與有唯一交點(diǎn)，其中一個(gè)邊界為（與漸近線平行），
此時(shí)交點(diǎn)坐標(biāo)為，滿(mǎn)足題意；
另一個(gè)邊界為與相切，即過(guò)點(diǎn)的切線方程，
設(shè)切點(diǎn)為，，則，解得，
所以求得，此時(shí)左側(cè)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為滿(mǎn)足條件，右側(cè)存在切點(diǎn)，故該邊界無(wú)法取到；
所以的范圍為．
綜上，的取值范圍為：或．
故答案為：或．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)和方程根的關(guān)系，屬于中檔題．
18．（2024?湖北模擬）關(guān)于的方程有實(shí)根，則的最小值為 ．
【答案】．
【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系；基本不等式及其應(yīng)用
【專(zhuān)題】直線與圓；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；方程思想；直觀想象；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；綜合法
【分析】將方程轉(zhuǎn)化為求直線上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)之間的距離的最小值，利用點(diǎn)到線的距離，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求得答案．
【解答】解：設(shè)方程的實(shí)根為，
則，
點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，
，
設(shè)，，
則，
令，得，
令，得
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
從而（1），的最小值為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了轉(zhuǎn)化思想、導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用及點(diǎn)到線的距離公式，屬于中檔題．
19．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)四模）如圖所示，甲工廠位于一直線河岸的岸邊處，乙工廠與甲工廠在河的同側(cè)，且位于離河岸的處，河岸邊處與處相距（其中，兩家工廠要在此岸邊建一個(gè)供水站，從供水站到甲工廠和乙工廠的水管費(fèi)用分別為每千米元和元，供水站建在岸邊距離處 20 才能使水管費(fèi)用最?。?br>【答案】20．
【考點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類(lèi)型
【專(zhuān)題】數(shù)形結(jié)合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；函數(shù)思想；直觀想象；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，通過(guò)適當(dāng)設(shè)定變?cè)?，?gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，通過(guò)求導(dǎo)，求出最值，可確定供水站的位置．
【解答】解：根據(jù)題意可知點(diǎn)在線段上某一適當(dāng)位置時(shí)，才能使總運(yùn)費(fèi)最省，
設(shè)點(diǎn)距點(diǎn)，則，，
，
又設(shè)總的水管費(fèi)用為元，
由題意得，
令，解得，
在上，只有一個(gè)極值點(diǎn)，
根據(jù)實(shí)際意義，函數(shù)在處取得最小值，
此時(shí)，
故供水站建在岸邊、之間距甲廠處，能使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最?。?br>故答案為：20．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)在生活中的實(shí)際運(yùn)用，導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．
20．（2024?天津模擬）設(shè)，函數(shù)若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ，， ．
【答案】，，．
【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系
【專(zhuān)題】綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合題；函數(shù)思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，分別畫(huà)出不同取值情況的的函數(shù)圖象，函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，說(shuō)明的圖象與的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，通過(guò)斜率的變化即可確定實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，
所以的圖象與的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，如圖所示，
的圖象與的圖象僅有兩個(gè)交點(diǎn)，與題意不符；
當(dāng)時(shí)，如圖所示，
在，上，當(dāng)與相切時(shí)，
聯(lián)立，得，
則△，得（舍去，
由圖可知，當(dāng)時(shí)，與在有一個(gè)交點(diǎn)，在有兩個(gè)交點(diǎn)，與題意不符，
所以當(dāng)時(shí)，與在無(wú)交點(diǎn)，在有兩個(gè)交點(diǎn)，與題意不符，
當(dāng)時(shí)，與在無(wú)交點(diǎn)，在有三個(gè)交點(diǎn)，與題意不符，
當(dāng)時(shí)，與在無(wú)交點(diǎn)，在有四個(gè)交點(diǎn)，符合題意；
當(dāng)時(shí)，如圖所示，
在，上，當(dāng)與相切時(shí)，
聯(lián)立，得，
則△，得（舍去，
由圖可知，當(dāng)時(shí)，與在有兩個(gè)交點(diǎn)，在有四個(gè)交點(diǎn)，與題意不符，
當(dāng)時(shí)，與在有兩個(gè)交點(diǎn)，在有三個(gè)交點(diǎn)，與題意不符，
當(dāng)時(shí)，與在有兩個(gè)交點(diǎn)，在有兩個(gè)交點(diǎn)，符合題意，
當(dāng)時(shí)，與在有一個(gè)交點(diǎn)，在有兩個(gè)交點(diǎn)，與題意不符．
綜上所述，，，．
故答案為：，，．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，屬于難題．
四．解答題（共5小題）
21．（2024?孝南區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)，其中．
（1）若函數(shù)的最大值是最小值的5倍，求的值；
（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的正零點(diǎn)由小到大的順序依次為，，，，若，求的值．
【答案】（1）；
（2）．
【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)；三角函數(shù)的最值
【專(zhuān)題】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法
【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求出的最值，即可得到方程，解得即可；
（2）依題意可得，令，求出，即可求出，，從而得解．
【解答】解：（1）因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
由，解得，故；
（2）當(dāng)時(shí)，，
令，有，有或，
可得或，
取，可得，，
又由，有，解得，故．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角恒等變換，三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．
22．（2024?遼寧模擬）某地區(qū)未成年男性的身高（單位：與體重平均值（單位：的關(guān)系如下表
表1未成年男性的身高與體重平均值
直觀分析數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，可選擇指數(shù)函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、冪函數(shù)模型近似地描述未成年男性的身高與體重平均值之間的關(guān)系．為使函數(shù)擬合度更好，引入擬合函數(shù)和實(shí)際數(shù)據(jù)之間的誤差平方和、擬合優(yōu)度判斷系數(shù)（如表．誤差平方和越小、擬合優(yōu)度判斷系數(shù)越接近1，擬合度越高．
表2擬合函數(shù)對(duì)比
（1）問(wèn)哪種模型是最優(yōu)模型？并說(shuō)明理由；
（2）若根據(jù)生物學(xué)知識(shí)，人體細(xì)胞是人體結(jié)構(gòu)和生理功能的基本單位，是生長(zhǎng)發(fā)育的基礎(chǔ)．假設(shè)身高與骨細(xì)胞數(shù)量成正比，比例系數(shù)為；體重與肌肉細(xì)胞數(shù)量成正比，比例系數(shù)為．記時(shí)刻的未成年時(shí)期骨細(xì)胞數(shù)量，其中和分別表示人體出生時(shí)骨細(xì)胞數(shù)量和增長(zhǎng)率，記時(shí)刻的未成年時(shí)期肌肉細(xì)胞數(shù)量，其中和分別表示人體出生時(shí)肌肉細(xì)胞數(shù)量和增長(zhǎng)率．求體重關(guān)于身高的函數(shù)模型；
（3）在（2）的條件下，若，．當(dāng)剛出生的嬰兒身高為時(shí)，與（1）的模型相比較，哪種模型跟實(shí)際情況更符合，試說(shuō)明理由．
注：，；嬰兒體重，符合實(shí)際，嬰兒體重，較符合實(shí)際，嬰兒體重，不符合實(shí)際．
【答案】（1）指數(shù)函數(shù)模型是最優(yōu)模型；理由見(jiàn)解析；
（2）；
（3）（2）中冪函數(shù)模型更適合，理由見(jiàn)解析．
【考點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類(lèi)型
【專(zhuān)題】計(jì)算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法；函數(shù)思想
【分析】（1）由表中數(shù)據(jù)比較指數(shù)函數(shù)模型誤差平方和以及的大小，即得結(jié)論；
（2）根據(jù)身高與骨細(xì)胞數(shù)量以及體重與肌肉細(xì)胞數(shù)量的關(guān)系，結(jié)合已知數(shù)據(jù)，即可求得答案；
（3）分別計(jì)算出兩種模型函數(shù)下的嬰兒體重，比較大小，即得結(jié)論．
【解答】解：（1）因?yàn)?，所以指?shù)函數(shù)模型誤差平方和最小，
因?yàn)?，所以指?shù)函數(shù)模型最大，
所以指數(shù)函數(shù)模型是最優(yōu)模型；
（2）因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?br>所以，所以，
所以體重關(guān)于身高的函數(shù)模型為；
（3）把代入，得，不符合實(shí)際，
把，代入得，
把代入，得，符合實(shí)際，
所以（2）中冪函數(shù)模型更適合．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類(lèi)型，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
23．（2024?北京模擬）如圖，某大學(xué)將一矩形操場(chǎng)擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形操場(chǎng)，要求在上，在上，且在上．若米，米，設(shè)米．
（1）要使矩形的面積大于2700平方米，求的取值范圍；
（2）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度是多少時(shí)，矩形的面積最?。坎⑶蟪鲎钚∶娣e．
【答案】（1）或；
（2）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為40米時(shí)，矩形的面積最小為2400平方米．
【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用；根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類(lèi)型
【專(zhuān)題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法；整體思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；不等式
【分析】（1）因?yàn)?，，所以，然后求解即可?br>（2）由（1）知，得解．
【解答】解：（1）因?yàn)?，?br>所以，
又，
所以，
即，
所以，
所以，
即，
又，
則或，
即的取值范圍是或；
（2）由（1）知，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
故當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為40米時(shí)，矩形的面積最小為2400平方米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，重點(diǎn)考查了閱讀理解能力，屬中檔題．
24．（2024?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)三模）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)于區(qū)間，，若滿(mǎn)足以下兩個(gè)性質(zhì)之一，則稱(chēng)區(qū)間是的一個(gè)“好區(qū)間”．
性質(zhì)①：對(duì)于任意，都有；性質(zhì)②：對(duì)于任意，都有．
（1）已知函數(shù)，．分別判斷區(qū)間，，區(qū)間，是否為的“好區(qū)間”，并說(shuō)明理由；
（2）已知，若區(qū)間，是函數(shù)，的一個(gè)“好區(qū)間”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其圖像是一條連續(xù)的曲線，且對(duì)于任意，都有（a）（b），求證：存在“好區(qū)間”，且存在，為不屬于的任意一個(gè)“好區(qū)間”．
【答案】（1），是，，不是；
（2）；
（3）證明見(jiàn)解析．
【考點(diǎn)】函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用
【專(zhuān)題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法；函數(shù)思想；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；分類(lèi)討論；邏輯推理；直觀想象；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】（1）由“好區(qū)間”的定義判斷即可；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，根據(jù)“好區(qū)間”的定義可判斷出上滿(mǎn)足性質(zhì)②，再由，，，求解即可；
（3）由題意可得在任意區(qū)間，上對(duì)應(yīng)的函數(shù)值區(qū)間長(zhǎng)度必大于，從而可得在任意區(qū)間，上都不滿(mǎn)足性質(zhì)①，且在上單調(diào)遞減，即有即存在，分，，證明即可．
【解答】解：（1），
當(dāng)，時(shí)，，，滿(mǎn)足性質(zhì)①，
所以，是的“好區(qū)間”；
當(dāng)，時(shí)，，，
既不滿(mǎn)足性質(zhì)①，也不滿(mǎn)足性質(zhì)②，
所以，不是的“好區(qū)間”；
（2），
若在區(qū)間，上滿(mǎn)足性質(zhì)①，則，，，
而，，，
所以在區(qū)間，上不滿(mǎn)足性質(zhì)①
若在區(qū)間上滿(mǎn)足性質(zhì)②，
當(dāng)時(shí)，（3），
所以，，，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?），所以不符合；
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是；
（3）證明：因?yàn)槿我?，都有（a）（b）．
所以在任意區(qū)間，上對(duì)應(yīng)的函數(shù)值區(qū)間長(zhǎng)度必大于，
即在任意區(qū)間，上都不滿(mǎn)足性質(zhì)①，
因?yàn)閷?duì)于任意，都有（a）（b），
所以在上單調(diào)遞減，
所以不恒成立，即存在，
若，
取，則（a）（b），
在區(qū)間，上對(duì)應(yīng)函數(shù)值的區(qū)間（b），（a），
（b），（a），，
所以，是一個(gè)“好區(qū)間”；
若，
取，
則（b）（a），
在區(qū)間，上對(duì)應(yīng)函數(shù)值的區(qū)間（b），（a），
（b），（a），，
，是一個(gè)“好區(qū)間”；
所以存在“好區(qū)間”；
記，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減；
又圖像是一條連續(xù)的曲線，
所以圖像也是一條連續(xù)的曲線，
先證明有零點(diǎn)，
設(shè)，
若，則有零點(diǎn)為，
若，則，，，在區(qū)間上有零點(diǎn)；
若，則，，，在區(qū)間上有零點(diǎn)；
所以必有零點(diǎn)，記為，
即的“好區(qū)間” 都滿(mǎn)足性質(zhì)②，
所以不屬于任意一個(gè)“好區(qū)間”．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于新概念題，考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用、分類(lèi)討論思想，理解定義是關(guān)鍵，屬于中檔題．
25．（2024?江西模擬）某公園有一個(gè)矩形地塊（如圖所示），邊長(zhǎng)千米，長(zhǎng)4千米．地塊的一角是水塘（陰影部分），已知邊緣曲線是以為頂點(diǎn)，以所在直線為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線的一部分，現(xiàn)要經(jīng)過(guò)曲線上某一點(diǎn)（異于，兩點(diǎn)）鋪設(shè)一條直線隔離帶，點(diǎn)，分別在邊，上，隔離帶占地面積忽略不計(jì)且不能穿過(guò)水塘．設(shè)點(diǎn)到邊的距離為（單位：千米），的面積為（單位：平方千米）．
（1）請(qǐng)以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出關(guān)于的函數(shù)解析式；
（2）是否存在點(diǎn)，使隔離出來(lái)的的面積超過(guò)2平方千米？并說(shuō)明理由．
【答案】（1）；
（2）不存在，理由見(jiàn)解析．
【考點(diǎn)】函數(shù)解析式的求解及常用方法；根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類(lèi)型
【專(zhuān)題】函數(shù)思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】（1）由題意設(shè)拋物線方程為，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入可求出，則可求得拋物線的方程，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的方程，從而可求出，兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可表示出的面積；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值與2比較即可．
【解答】解：（1）如圖建立平面直角坐標(biāo)系，
則，
由題意設(shè)拋物線方程為，代入點(diǎn)，得，解得，
所以拋物線方程為，
由題意知直線為拋物線的切線，
因?yàn)辄c(diǎn)到邊的距離為，所以切點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由，得，所以直線的斜率為，
所以直線的方程為，即，
令，得，所以，
令，得，所以，
所以，
即．
（2）因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)?，所以?br>所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以）在上遞增，在上遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，
所以不存在點(diǎn)，使隔離出來(lái)的的面積超過(guò)2平方千米．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇合適的函數(shù)模型，屬于中檔題．
考點(diǎn)卡片
1．命題的真假判斷與應(yīng)用
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
判斷含有“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題的真假，首先要明確p、q及非p的真假，然后由真值表判斷復(fù)合命題的真假．
注意：“非p”的正確寫(xiě)法，本題不應(yīng)將“非p”寫(xiě)成“方程x2﹣2x+1＝0的兩根都不是實(shí)根”，因?yàn)椤岸际恰钡姆疵媸恰安欢际恰?，而不是“都不是”，要認(rèn)真區(qū)分．
【解題方法點(diǎn)撥】
1．判斷復(fù)合命題的真假，常分三步：先確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式，再指出其中簡(jiǎn)單命題的真假，最后由真值表得出復(fù)合命題的真假．
2．判斷一個(gè)“若p則q”形式的復(fù)合命題的真假，不能用真值表時(shí)，可用下列方法：若“p q”，則“若p則q”為真；而要確定“若p則q”為假，只需舉出一個(gè)反例說(shuō)明即可．
3．判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時(shí)可利用原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假這一關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化判斷．
【命題方向】該部分內(nèi)容是《課程標(biāo)準(zhǔn)》新增加的內(nèi)容，幾乎年年都考，涉及知識(shí)點(diǎn)多而且全，多以小題形式出現(xiàn)．
2．不等式比較大小
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
不等式大小比較的常用方法
（1）作差：作差后通過(guò)分解因式、配方等手段判斷差的符號(hào)得出結(jié)果；
（2）作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）；
（3）分析法；
（4）平方法；
（5）分子（或分母）有理化；
（6）利用函數(shù)的單調(diào)性；
（7）尋找中間量或放縮法；
（8）圖象法．其中比較法（作差、作商）是最基本的方法．
【命題方向】
方法一：作差法
典例1：若a＜0，b＜0，則p＝與q＝a+b的大小關(guān)系為（ ）
A．p＜q B．p≤q C．p＞q D．p≥q
解：p﹣q＝﹣a﹣b＝＝（b2﹣a2）＝，
∵a＜0，b＜0，∴a+b＜0，ab＞0，
若a＝b，則p﹣q＝0，此時(shí)p＝q，
若a≠b，則p﹣q＜0，此時(shí)p＜q，
綜上p≤q，
故選：B
方法二：利用函數(shù)的單調(diào)性
典例2：三個(gè)數(shù)，，的大小順序是（ ）
A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜
解：由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，＞，
由冪函數(shù)的單調(diào)性可知，＞，
則＞＞，
故＜＜，
故選：B．
3．基本不等式及其應(yīng)用
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：≥（a≥0，b≥0），變形為ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
實(shí)例解析
例1：下列結(jié)論中，錯(cuò)用基本不等式做依據(jù)的是．
A：a，b均為負(fù)數(shù)，則．B：．C：．D：．
解：根據(jù)均值不等式解題必須滿(mǎn)足三個(gè)基本條件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均滿(mǎn)足條件．
對(duì)于C選項(xiàng)中sinx≠±2，
不滿(mǎn)足“相等”的條件，
再者sinx可以取到負(fù)值．
故選：C．
A選項(xiàng)告訴我們正數(shù)的要求是整個(gè)式子為正數(shù)，而不是式子當(dāng)中的某一個(gè)組成元素；B分子其實(shí)可以寫(xiě)成x2+1+1，然后除以分母就可換成基本不等式．這個(gè)例題告訴我們對(duì)于一個(gè)式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？當(dāng)0＜x＜1時(shí)，如何求的最大值．
解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，
當(dāng)x≠0時(shí)，＝，
用基本不等式
若x＞0時(shí)，0＜y≤，
若x＜0時(shí)，﹣≤y＜0，
綜上得，可以得出﹣≤y≤，
∴的最值是﹣與．
這是基本不等式在函數(shù)中的應(yīng)用，他的解題思路是首先判斷元素是否大于0，沒(méi)有明確表示的話就需要討論；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成兩個(gè)元素（函數(shù)）相加，而他們的特點(diǎn)是相乘后為常數(shù)；最后套用基本不等式定理直接求的結(jié)果．
【解題方法點(diǎn)撥】
基本不等式的應(yīng)用
1、求最值
例1：求下列函數(shù)的值域．
2、利用基本不等式證明不等式
3、基本不等式與恒成立問(wèn)題
4、均值定理在比較大小中的應(yīng)用
【命題方向】
技巧一：湊項(xiàng)
點(diǎn)評(píng)：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值．
技巧二：湊系數(shù)
例2：當(dāng)0＜x＜4時(shí)，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8為定值，故只需將y＝x（8﹣2x）湊上一個(gè)系數(shù)即可．
y＝x（8﹣2x）＝[2x?（8﹣2x）]≤（）2＝8
當(dāng)2x＝8﹣2x，即x＝2時(shí)取等號(hào)，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝x（8﹣x2）的最大值為8．
評(píng)注：本題無(wú)法直接運(yùn)用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分離
例3：求y＝的值域．
解：本題看似無(wú)法運(yùn)用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x+1）的項(xiàng)，再將其分離．
y＝＝＝（x+1）++5，
當(dāng)x＞﹣1，即x+1＞0時(shí)，y≥2+5＝9（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”號(hào)）
技巧四：換元
對(duì)于上面例3，可先換元，令t＝x+1，化簡(jiǎn)原式在分離求最值．
技巧五：結(jié)合函數(shù)f（x）＝x+的單調(diào)性．
技巧六：整體代換
點(diǎn)評(píng)：多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)．
技巧七：取平方
點(diǎn)評(píng)：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件．
總之，我們利用基本不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式．
4．函數(shù)解析式的求解及常用方法
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】通過(guò)求解函數(shù)的解析式中字母的值，得到函數(shù)的解析式的過(guò)程就是函數(shù)的解析式的求解．
求解函數(shù)解析式的幾種常用方法主要有
1、換元法；2、待定系數(shù)法；3、湊配法；4、消元法；5、賦值法等等．
【解題方法點(diǎn)撥】常常利用函數(shù)的基本性質(zhì)，函數(shù)的圖象特征，例如二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等；利用函數(shù)的解析式的求解方法求解函數(shù)的解析式，有時(shí)利用待定系數(shù)法．
【命題方向】求解函數(shù)解析式是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容之一，在三角函數(shù)的解析式中常考．是基礎(chǔ)題．
5．由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù)
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量x1，x2，
當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f（x1）＜f（x2），那么就說(shuō)函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)；當(dāng)x1＞x2時(shí)，都有f（x1）＜f（x2），那么就說(shuō)函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是減函數(shù)．
若函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱(chēng)函數(shù)f（x）在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f（x）的單調(diào)區(qū)間．
【解題方法點(diǎn)撥】
證明函數(shù)的單調(diào)性用定義法的步驟：①取值；②作差；③變形；④確定符號(hào)；⑤下結(jié)論．
利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：
第一步：求函數(shù)的定義域．若題設(shè)中有對(duì)數(shù)函數(shù)一定先求定義域，若題設(shè)中有三次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)可不考慮定義域．
第二步：求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0的根和不可導(dǎo)點(diǎn)的x的值從小到大順次將定義域分成若干個(gè)小開(kāi)區(qū)間，并列表．
第四步：由f′（x）在小開(kāi)區(qū)間內(nèi)的正、負(fù)值判斷f（x）在小開(kāi)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；求極值、最值．
第五步：將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求參數(shù)的取值范圍．
第六步：明確規(guī)范地表述結(jié)論
【命題方向】
從近三年的高考試題來(lái)看，函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用以及函數(shù)的最值問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中等偏高；客觀題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值的靈活確定與簡(jiǎn)單應(yīng)用，主觀題在考查基本概念、重要方法的基礎(chǔ)上，又注重考查函數(shù)方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論的思想方法．預(yù)測(cè)明年高考仍將以利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，研究單調(diào)性及利用單調(diào)性求最值或求參數(shù)的取值范圍為主要考點(diǎn)，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸思想及邏輯推理能力．
6．函數(shù)的奇偶性
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
①如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于（0，0）對(duì)稱(chēng)．②如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．
【解題方法點(diǎn)撥】
①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（0）＝0解相關(guān)的未知量；
②奇函數(shù)：若定義域不包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關(guān)參數(shù)；
③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）＝f（﹣x）這個(gè)去求解；
④對(duì)于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反．
例題：函數(shù)y＝x|x|+px，x∈R是（ ）
A．偶函數(shù) B．奇函數(shù) C．非奇非偶 D．與p有關(guān)
解：由題設(shè)知f（x）的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．
因?yàn)閒（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函數(shù)．
故選B．
【命題方向】
函數(shù)奇偶性的應(yīng)用．
本知識(shí)點(diǎn)是高考的高頻率考點(diǎn)，大家要熟悉就函數(shù)的性質(zhì)，最好是結(jié)合其圖象一起分析，確保答題的正確率．
7．對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
對(duì)數(shù)的性質(zhì)：①＝N；②lgaaN＝N（a＞0且a≠1）．
lga（MN）＝lgaM+lgaN； lga＝lgaM﹣lgaN；
lgaMn＝nlgaM； lga＝lgaM．
8．三角函數(shù)的最值
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
三角函數(shù)的最值其實(shí)就是指三角函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值和最小值，涉及到三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性和它們的圖象．在求三角函數(shù)最值中常用的手法是化簡(jiǎn)和換元．化簡(jiǎn)的原則通常是盡量的把復(fù)合三角函數(shù)化為只含有一個(gè)三角函數(shù)的一元函數(shù)．
【解題方法點(diǎn)撥】
例1：sin2x﹣sinxcsx+2cs2x＝ +cs（2x+） ．
解：sin2x﹣sinxcsx+2cs2x＝﹣+2?＝+（cs2x﹣sin2x）
＝+cs（2x+）．
故答案為：+cs（2x+）．
這個(gè)題所用到的方法就是化簡(jiǎn)成一個(gè)單一的三角函數(shù)，把一個(gè)復(fù)合的三角函數(shù)最后化成了只關(guān)于余弦函數(shù)的式子，然后單獨(dú)分析余弦函數(shù)的特點(diǎn)，最后把結(jié)果求出來(lái)．化簡(jiǎn)當(dāng)中要熟練的掌握三角函數(shù)的轉(zhuǎn)換，特別是二倍角的轉(zhuǎn)換．
例2：函數(shù)y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是 ．
解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]
∵二次函數(shù)y＝t2﹣t+3的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸是t＝
∴當(dāng)t＝時(shí)函數(shù)有最小值，
而函數(shù)的最大值為t＝﹣1時(shí)或t＝1時(shí)函數(shù)值中的較大的那個(gè)
∵t＝﹣1時(shí)，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，當(dāng)t＝1時(shí)，y＝12﹣1+3＝3
∴函數(shù)的最大值為t＝﹣1時(shí)y的值
即sinx＝﹣1時(shí)，函數(shù)的最大值為5．
這個(gè)題就是典型的換元，把sinx看成是自變量t，最后三角函數(shù)看成是一個(gè)一元二次函數(shù)，在換元的時(shí)候要注意到三角函數(shù)的定義域和相應(yīng)的值域．
【命題方向】
求三角函數(shù)的最值是高考的一個(gè)常考點(diǎn)，主要方法我上面已經(jīng)寫(xiě)了，大家要注意的是把一些基本的方法融會(huì)貫通，同時(shí)一定要注意函數(shù)的定義域和相對(duì)應(yīng)的值域．
9．函數(shù)的零點(diǎn)
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
一般地，對(duì)于函數(shù)y＝f（x）（x∈R），我們把方程f（x）＝0的實(shí)數(shù)根x叫作函數(shù)y＝f（x）（x∈D）的零點(diǎn)．即函數(shù)的零點(diǎn)就是使函數(shù)值為0的自變量的值．函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)實(shí)數(shù)．
【解題方法點(diǎn)撥】
解法﹣﹣二分法
①確定區(qū)間[a，b]，驗(yàn)證f（a）*f（b）＜0，給定精確度； ②求區(qū)間（a，b）的中點(diǎn)x1；③計(jì)算f（x1）；
④若f（x1）＝0，則x1就是函數(shù)的零點(diǎn)； ⑤若f（a）f（x1）＜0，則令b＝x1（此時(shí)零點(diǎn)x0∈（a，x1））；⑥若f（x1）f（b）＜0，則令a＝x1．（此時(shí)零點(diǎn)x0∈（x1，b） ⑦判斷是否滿(mǎn)足條件，否則重復(fù)（2）～（4）
【命題方向】
零點(diǎn)其實(shí)并沒(méi)有多高深，簡(jiǎn)單的說(shuō)，就是某個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)其實(shí)就是這個(gè)函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，另外如果在（a，b）連續(xù)的函數(shù)滿(mǎn)足f（a）?f（b）＜0，則（a，b）至少有一個(gè)零點(diǎn)．這個(gè)考點(diǎn)屬于了解性的，知道它的概念就行了．
10．函數(shù)零點(diǎn)的判定定理
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：
一般地，如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）?f（b）＜0，那么函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，這個(gè)c也就是f（x）＝0的根．
特別提醒：
（1）根據(jù)該定理，能確定f（x）在（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，但零點(diǎn)不一定唯一．
（2）并不是所有的零點(diǎn)都可以用該定理來(lái)確定，也可以說(shuō)不滿(mǎn)足該定理的條件，并不能說(shuō)明函數(shù)在（a，b）上沒(méi)有零點(diǎn)，例如，函數(shù)f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）?f（3）＞0，但函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，3）上有兩個(gè)零點(diǎn)．
（3）若f（x）在[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的，且是單調(diào)函數(shù)，f（a）．f（b）＜0，則f（x）在（a，b）上有唯一的零點(diǎn)．
【解題方法點(diǎn)撥】
函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法：
（1）幾何法：對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y＝f（x）的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)．
特別提醒：
①“方程的根”與“函數(shù)的零點(diǎn)”盡管有密切聯(lián)系，但不能混為一談，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有兩個(gè)等根，而函數(shù)f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一個(gè)零點(diǎn)；
②函數(shù)的零點(diǎn)是實(shí)數(shù)而不是數(shù)軸上的點(diǎn)．
（2）代數(shù)法：求方程f（x）＝0的實(shí)數(shù)根．
11．函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
函數(shù)的零點(diǎn)表示的是函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，方程的根表示的是方程的解，他們的含義是不一樣的．但是，他們的解法其實(shí)質(zhì)是一樣的．
【解題方法點(diǎn)撥】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出來(lái)，一般要求的是二次函數(shù)或者方程組，這里不多講了．我們重點(diǎn)來(lái)探討一下函數(shù)零點(diǎn)的求法（配方法）．
例題：求函數(shù)f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零點(diǎn)．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）?（x+7）?（x+2）?（x+1）
∴函數(shù)f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零點(diǎn)是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通過(guò)這個(gè)題，我們發(fā)現(xiàn)求函數(shù)的零點(diǎn)常用的方法就是配方法，把他配成若干個(gè)一次函數(shù)的乘積或者是二次函數(shù)的乘積，最后把它轉(zhuǎn)化為求基本函數(shù)的零點(diǎn)或者說(shuō)求基本函數(shù)等于0時(shí)的解即可．
【命題方向】
直接考的比較少，了解相關(guān)的概念和基本的求法即可．
12．函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用是指結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)和方程的解法解決復(fù)雜問(wèn)題．
【解題方法點(diǎn)撥】
﹣函數(shù)性質(zhì)：分析函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性等性質(zhì)．
﹣方程求解：利用函數(shù)性質(zhì)建立方程，求解方程根．
﹣綜合應(yīng)用：將函數(shù)性質(zhì)和方程求解結(jié)合，解決實(shí)際問(wèn)題．
【命題方向】
常見(jiàn)題型包括函數(shù)性質(zhì)和方程解法的綜合運(yùn)用，解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題．
13．分段函數(shù)的應(yīng)用
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
分段函數(shù)顧名思義指的是一個(gè)函數(shù)在不同的定義域內(nèi)的函數(shù)表達(dá)式不一樣，有些甚至不是連續(xù)的．這個(gè)在現(xiàn)實(shí)當(dāng)中是很常見(jiàn)的，比如說(shuō)水的階梯價(jià)，購(gòu)物的時(shí)候買(mǎi)的商品的量不同，商品的單價(jià)也不同等等，這里面都涉及到分段函數(shù)．
【解題方法點(diǎn)撥】
正如前面多言，分段函數(shù)與我們的實(shí)際聯(lián)系比較緊密，那么在高考題中也時(shí)常會(huì)以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)．下面我們通過(guò)例題來(lái)分析一下分段函數(shù)的解法．
例：市政府為招商引資，決定對(duì)外資企業(yè)第一年產(chǎn)品免稅．某外資廠該年A型產(chǎn)品出廠價(jià)為每件60元，年銷(xiāo)售量為11.8萬(wàn)件．第二年，當(dāng)?shù)卣_(kāi)始對(duì)該商品征收稅率為p%（0＜p＜100，即銷(xiāo)售100元要征收p元）的稅收，于是該產(chǎn)品的出廠價(jià)上升為每件元，預(yù)計(jì)年銷(xiāo)售量將減少p萬(wàn)件．
（Ⅰ）將第二年政府對(duì)該商品征收的稅收y（萬(wàn)元）表示成p的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）要使第二年該廠的稅收不少于16萬(wàn)元，則稅率p%的范圍是多少？
（Ⅲ）在第二年該廠的稅收不少于16萬(wàn)元的前提下，要讓廠家獲得最大銷(xiāo)售金額，則p應(yīng)為多少？
解：（Ⅰ）依題意，第二年該商品年銷(xiāo)售量為（11.8﹣p）萬(wàn)件，
年銷(xiāo)售收入為（11.8﹣p）萬(wàn)元，
政府對(duì)該商品征收的稅收y＝（11.8﹣p）p%（萬(wàn)元）
故所求函數(shù)為y＝（11.8﹣p）p
由11.8﹣p＞0及p＞0得定義域?yàn)?＜p＜11.8…（4分）
（II）由y≥16得（11.8﹣p）p≥16
化簡(jiǎn)得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．
故當(dāng)稅率在[0.02，0.1]內(nèi)時(shí)，稅收不少于16萬(wàn)元．…（9分）
（III）第二年，當(dāng)稅收不少于16萬(wàn)元時(shí)，
廠家的銷(xiāo)售收入為g（p）＝（11.8﹣p）（2≤p≤10）
∵在[2，10]是減函數(shù)
∴g（p）max＝g（2）＝800（萬(wàn)元）
故當(dāng)稅率為2%時(shí)，廠家銷(xiāo)售金額最大．
這個(gè)典型的例題當(dāng)中，我們發(fā)現(xiàn)分段函數(shù)首先還是要有函數(shù)的功底，要有一定的建模能力，這個(gè)與分不分段其實(shí)無(wú)關(guān)．我們重點(diǎn)看看分段函數(shù)要注意的地方．第一，要明確函數(shù)的定義域和其相對(duì)的函數(shù)表達(dá)式；第二注意求的是整個(gè)一大段的定義域內(nèi)的值域還是分段函數(shù)某段內(nèi)部的值；第三，注意累加的情況和僅僅某段函數(shù)的討論．
【命題方向】
修煉自己的內(nèi)功，其實(shí)分不分段影響不大，審清題就可以了，另外，最好畫(huà)個(gè)圖來(lái)解答．
14．根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類(lèi)型
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1．實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)刻畫(huà)
在現(xiàn)實(shí)世界里，事物之間存在著廣泛的聯(lián)系，許多聯(lián)系可以用函數(shù)刻畫(huà)．用函數(shù)的觀點(diǎn)看實(shí)際問(wèn)題，是學(xué)習(xí)函數(shù)的重要內(nèi)容．
2．用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題
（1）數(shù)據(jù)擬合：
通過(guò)一些數(shù)據(jù)尋求事物規(guī)律，往往是通過(guò)繪出這些數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，觀察這些點(diǎn)的整體特征，看它們接近我們熟悉的哪一種函數(shù)圖象，選定函數(shù)形式后，將一些數(shù)據(jù)代入這個(gè)函數(shù)的一般表達(dá)式，求出具體的函數(shù)表達(dá)式，再做必要的檢驗(yàn)，基本符合實(shí)際，就可以確定這個(gè)函數(shù)基本反映了事物規(guī)律，這種方法稱(chēng)為數(shù)據(jù)擬合．
（2）常用到的五種函數(shù)模型：
①直線模型：一次函數(shù)模型y＝kx+b（k≠0），圖象增長(zhǎng)特點(diǎn)是直線式上升（x的系數(shù)k＞0），通過(guò)圖象可以直觀地認(rèn)識(shí)它，特例是正比例函數(shù)模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函數(shù)模型：y＝（k＞0）型，增長(zhǎng)特點(diǎn)是y隨x的增大而減?。?br>③指數(shù)函數(shù)模型：y＝a?bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來(lái)越快（底數(shù)b＞1，a＞0），常形象地稱(chēng)為指數(shù)爆炸．
④對(duì)數(shù)函數(shù)模型，即y＝mlg ax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大越來(lái)越慢（底數(shù)a＞1，m＞0）．
⑤冪函數(shù)模型，即y＝a?xn+b（a≠0）型，其中最常見(jiàn)的是二次函數(shù)模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值先減小后增大（a＞0）．
在以上幾種函數(shù)模型的選擇與建立時(shí)，要注意函數(shù)圖象的直觀運(yùn)用，分析圖象特點(diǎn)，分析變量x的范圍，同時(shí)還要與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合，如取整等．
3．函數(shù)建模
（1）定義：用數(shù)學(xué)思想、方法、知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，叫作數(shù)學(xué)建模．
（2）過(guò)程：如下圖所示．
【解題方法點(diǎn)撥】
用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解法：
（1）解函數(shù)關(guān)系已知的應(yīng)用題
①確定函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f（x）中的參數(shù)，求出具體的函數(shù)解析式y(tǒng)＝f（x）；②討論x與y的對(duì)應(yīng)關(guān)系，針對(duì)具體的函數(shù)去討論與題目有關(guān)的問(wèn)題；③給出實(shí)際問(wèn)題的解，即根據(jù)在函數(shù)關(guān)系的討論中所獲得的理論參數(shù)值給出答案．
（2）解函數(shù)關(guān)系未知的應(yīng)用題
①閱讀理解題意
看一看可以用什么樣的函數(shù)模型，初步擬定函數(shù)類(lèi)型；
②抽象函數(shù)模型
在理解問(wèn)題的基礎(chǔ)上，把實(shí)際問(wèn)題抽象為函數(shù)模型；
③研究函數(shù)模型的性質(zhì)
根據(jù)函數(shù)模型，結(jié)合題目的要求，討論函數(shù)模型的有關(guān)性質(zhì)，獲得函數(shù)模型的解；
④得出問(wèn)題的結(jié)論
根據(jù)函數(shù)模型的解，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題的實(shí)際意義和題目的要求，給出實(shí)際問(wèn)題的解．
【命題方向】
典例1：某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬(wàn)元的利潤(rùn)目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷(xiāo)售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：銷(xiāo)售利潤(rùn)達(dá)到10萬(wàn)元時(shí)，按銷(xiāo)售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金數(shù)額y（單位：萬(wàn)元）隨銷(xiāo)售利潤(rùn)x（單位：萬(wàn)元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金數(shù)額不超過(guò)5萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金數(shù)額不超過(guò)利潤(rùn)的25%，其中模型能符合公司的要求的是（參考數(shù)據(jù)：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（ ）
A．y＝0.025x B．y＝1.003x C．y＝l+lg7x D．y＝x2
分析：由題意，符合公司要求的模型只需滿(mǎn)足：當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過(guò)5；③y≤x?25%，然后一一驗(yàn)證即可．
解答：解：由題意，符合公司要求的模型只需滿(mǎn)足：
當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，
①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過(guò)5；③y≤x?25%＝x，
A中，函數(shù)y＝0.025x，易知滿(mǎn)足①，但當(dāng)x＞200時(shí)，y＞5不滿(mǎn)足公司要求；
B中，函數(shù)y＝1.003x，易知滿(mǎn)足①，但當(dāng)x＞600時(shí)，y＞5不滿(mǎn)足公司要求；
C中，函數(shù)y＝l+lg7x，易知滿(mǎn)足①，當(dāng)x＝1000時(shí)，y取最大值l+lg71000＝4﹣lg7＜5，且l+lg7x≤x恒成立，故滿(mǎn)足公司要求；
D中，函數(shù)y＝x2，易知滿(mǎn)足①，當(dāng)x＝400時(shí)，y＞5不滿(mǎn)足公司要求；
故選C
點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問(wèn)題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查方案的優(yōu)化設(shè)計(jì)，解題的關(guān)鍵是一一驗(yàn)證．
典例2：某服裝生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場(chǎng)份額，擬在2015年度進(jìn)行一系列促銷(xiāo)活動(dòng)，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查和測(cè)算，服裝的年銷(xiāo)量x萬(wàn)件與年促銷(xiāo)t萬(wàn)元之間滿(mǎn)足關(guān)系式3﹣x＝（k為常數(shù)），如果不搞促銷(xiāo)活動(dòng)，服裝的年銷(xiāo)量只能是1萬(wàn)件．已知2015年生產(chǎn)服裝的設(shè)備折舊，維修等固定費(fèi)用需要3萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件服裝需再投入32萬(wàn)元的生產(chǎn)費(fèi)用，若將每件服裝的售價(jià)定為：“每件生產(chǎn)成本的150%”與“平均每件促銷(xiāo)費(fèi)的一半”之和，試求：
（1）2015年的利潤(rùn)y（萬(wàn)元）關(guān)于促銷(xiāo)費(fèi)t（萬(wàn)元）的函數(shù)；
（2）該企業(yè)2015年的促銷(xiāo)費(fèi)投入多少萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大？
（注：利潤(rùn)＝銷(xiāo)售收入﹣生產(chǎn)成本﹣促銷(xiāo)費(fèi)，生產(chǎn)成本＝固定費(fèi)用+生產(chǎn)費(fèi)用）
分析：（1）通過(guò)x表示出年利潤(rùn)y，并化簡(jiǎn)整理，代入整理即可求出y萬(wàn)元表示為促銷(xiāo)費(fèi)t萬(wàn)元的函數(shù)．
（2）根據(jù)已知代入（2）的函數(shù)，分別進(jìn)行化簡(jiǎn)即可用基本不等式求出最值，即促銷(xiāo)費(fèi)投入多少萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大．
解答：解：（1）由題意：3﹣x＝，
且當(dāng)t＝0時(shí)，x＝1．
所以k＝2，所以3﹣x＝，…（1分）
生產(chǎn)成本為32x+3，每件售價(jià)，…（2分）
所以，y＝…（3分）
＝16x﹣＝，（t≥50）；…（2分）
（2）因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，即t＝7時(shí)取等號(hào)，…（4分）
所以y≤50﹣8＝42，…（1分）
答：促銷(xiāo)費(fèi)投入7萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大．…（1分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，看出基本不等式在求最值中的應(yīng)用，考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，強(qiáng)調(diào)對(duì)知識(shí)的理解和熟練運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/11/4 19:21:50；用戶(hù)：組卷36；郵箱：zyb036@xyh.cm；學(xué)號(hào)：41418999
身高
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
體重平均值
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
函數(shù)模型
函數(shù)解析式
誤差平方和
指數(shù)函數(shù)
6.6764
0.9976
二次函數(shù)
8.2605
0.9971
冪函數(shù)
74.6846
0.9736
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函數(shù)模型
函數(shù)解析式
誤差平方和
指數(shù)函數(shù)
6.6764
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二次函數(shù)
8.2605
0.9971
冪函數(shù)
74.6846
0.9736
0
3
0
12
單調(diào)遞減
極小值3
單調(diào)遞增

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