難點(diǎn)：1、理解等差數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式的意義；2、能靈活運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)解決問(wèn)題.
一、等差數(shù)列的定義
1、文字語(yǔ)言：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母表示．
2、符號(hào)語(yǔ)言：若，則數(shù)列為等差數(shù)列（通?？煞Q為AP數(shù)列）
【注意】
（1）“從第2項(xiàng)起”是指第1項(xiàng)前面沒有項(xiàng)，無(wú)法與后續(xù)條件中“與前一項(xiàng)的差”相吻合．
（2）“每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差”這一運(yùn)算要求是指“相鄰且后項(xiàng)減去前項(xiàng)”，強(qiáng)調(diào)了：
①作差的順序；②這兩項(xiàng)必須相鄰．
（3）定義中的“同一常數(shù)”是指全部的后項(xiàng)減去前一項(xiàng)都等于同一個(gè)常數(shù)，否則這個(gè)數(shù)列不能稱為等差數(shù)列．
二、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與等差中項(xiàng)
1、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，則通項(xiàng)公式為：
2、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程
如果等差數(shù)列的首項(xiàng)是，公差是，根據(jù)等差數(shù)列的定義得到：
，，，…
所以，，，……
由此歸納出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
3、等差中項(xiàng)
如果三個(gè)數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)．
這三個(gè)數(shù)滿足的關(guān)系式是A＝eq \f(a＋b,2).
三、判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法
1、定義法：（常數(shù)）是等差數(shù)列；
2、中項(xiàng)法：是等差數(shù)列；
3、通項(xiàng)公式法：（，為常數(shù)）是等差數(shù)列。
四、等差數(shù)列的性質(zhì)
1、若是公差為d的等差數(shù)列，正整數(shù)m，n，p，q滿足m＋n＝p＋q，則.
特別地，當(dāng)m＋n＝2k（m，n，k∈N*）時(shí)，.
2、對(duì)有窮等差數(shù)列，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)的和，
即
3、若是公差為d的等差數(shù)列，則
①（c為任一常數(shù)）是公差為d的等差數(shù)列；
②（c為任一常數(shù)）是公差為cd的等差數(shù)列；
③（k為常數(shù)，k∈N*）是公差為2d的等差數(shù)列．
4、若，分別是公差為d1，d2的等差數(shù)列，
則數(shù)列 (p，q是常數(shù))是公差為的等差數(shù)列．
5、通項(xiàng)公式的推廣： (n，m∈N*)．
五、設(shè)元法巧解等差數(shù)列中常見的設(shè)元技巧
1、某兩個(gè)數(shù)是等差數(shù)列中的連續(xù)兩個(gè)數(shù)且知其和，可設(shè)這兩個(gè)數(shù)為：，，公差為；
2、三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設(shè)此三數(shù)為：，，，公差為；
3、四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設(shè)成，，，，公差為。
六、等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用
1、解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，首先要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)題意，根據(jù)題目條件，尋找有用的信息．
若一組數(shù)按次序“定量”增加或減少時(shí)，則這組數(shù)成等差數(shù)列。
2、合理地構(gòu)建等差數(shù)列模型是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵，在解題過(guò)程中，一定要分清首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)等關(guān)鍵的問(wèn)題
題型一 等差數(shù)列的概念
【例1】（2022·寧夏石嘴山·高一平羅中學(xué)?？计谥校┫铝袛?shù)列不是等差數(shù)列的是（ ）
A．0，0，0，…，0，… B．－2，－1，0，…，n－3，…
C．1，3，5，…，2n－1，… D．0，1，3，…，，…
【變式1-1】（2023·河北唐山·高二開灤第一中學(xué)校考期末）若不全相等的非零實(shí)數(shù)成等差數(shù)列且公差為，那么（ ）
A．可能是等差數(shù)列 B．一定不是等差數(shù)列
C．一定是等差數(shù)列，且公差為 D．一定是等差數(shù)列，且公差為
【變式1-2】（2023·湖北孝感·高二校聯(lián)考期末）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)積，則“”是“是等差數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式1-3】（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，下面的數(shù)列中必為等差數(shù)列的個(gè)數(shù)是（ ）
① ② ③ ④
A．1 B．2 C．3 D．4
題型二 等差數(shù)列的通項(xiàng)與基本量
【例2】（2022·山西朔州·高二懷仁市第一中學(xué)校?？计谀┮阎獢?shù)列，則是這個(gè)數(shù)列的（ ）
A．第11項(xiàng) B．第12項(xiàng) C．第13項(xiàng) D．第14項(xiàng)
【變式2-1】（2023·福建龍巖·高二?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列中，，，則首項(xiàng)與公差分別為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2023·遼寧大連·高二統(tǒng)考期末）在等差數(shù)列中，，，則的公差為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【變式2-3】（2023·河北·高二石家莊市第十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)列的通項(xiàng)公式分別為和，設(shè)這兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)構(gòu)成集合A，則集合中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A．167 B．168 C．169 D．170
題型三 等差中項(xiàng)及其應(yīng)用
【例3】（2023·山東日照·高二統(tǒng)考期中）已知，，則a，b的等差中項(xiàng)為（ ）
A． B． C．1 D．
【變式3-1】（2023·重慶·高三統(tǒng)考期中）記等差數(shù)列的公差為，若是與的等差中項(xiàng)，則d的值為（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【變式3-2】（2023·湖北孝感·高二統(tǒng)考期中）已知為等差數(shù)列，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2023·上海閔行·高二七寶中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足，且，，則 ．
題型四 等差數(shù)列的性質(zhì)
【例4】（2023·河北邢臺(tái)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，若，則（ ）
A．12 B．18 C．6 D．9
【變式4-1】（2023·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列中，，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
【變式4-2】（2023·重慶·高二西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列滿足，則（ ）
A．36 B．42 C．48 D．54
【變式4-3】（2023·廣東·高二校聯(lián)考期末）已知等差數(shù)列滿足，，則值為（ ）
A．1024 B． C．256 D．
題型五 設(shè)元法巧解等差數(shù)列
【例5】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和是15，它們的平方和等于83，求這三個(gè)數(shù)．
【變式5-1】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）已知四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為28，中間兩項(xiàng)的積為40，則這四個(gè)數(shù)依次為（ ）
A．-2，4，10，16 B．16，10，4，-2
C．2，5，8，11 D．11，8，5，2
【變式5-2】（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為5，平方和為，求這5個(gè)數(shù)．
【變式5-2】（2023·江西吉安·高三吉安一中校考期中）已知五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，這五個(gè)數(shù)之和為100，其中較大的三個(gè)數(shù)之和的是較小的兩個(gè)數(shù)之和，則這五個(gè)數(shù)中最大的數(shù)為（ ）
A． B．20 C． D．
題型六 由等差數(shù)列構(gòu)造新數(shù)列
【例6】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在等差數(shù)列-5，，-2，，…的每相鄰兩項(xiàng)中插入一個(gè)數(shù)，使之成為一個(gè)新的等差數(shù)列，則新的數(shù)列的通項(xiàng)公式為（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-1】（2023·遼寧錦州·高二渤海大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，在中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入4個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列，則（ ）
A．4043 B．4044 C．4045 D．4046
【變式6-2】（2023·湖北襄陽(yáng)·襄陽(yáng)四中?？寄M預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列中，，若在數(shù)列每相鄰兩項(xiàng)之間插入三個(gè)數(shù)，使得新數(shù)列也是一個(gè)等差數(shù)列，則新數(shù)列的第43項(xiàng)為 .
【變式6-3】（2023·浙江寧波·高二鎮(zhèn)海中學(xué)校考期中）已知等差數(shù)列，現(xiàn)在其每相鄰兩項(xiàng)之間插入一個(gè)數(shù)，使之成為一個(gè)新的等差數(shù)列．
（1）求新數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）16是新數(shù)列中的項(xiàng)嗎？若是，求出是第幾項(xiàng)，若不是，說(shuō)明理由．
題型七 等差數(shù)列的證明
【例7】（2022·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考二模）數(shù)列滿足，.
（1）求，；
（2）證明是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式.
【變式7-1】（2023·浙江紹興·高二?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足，（），令.
（1）求的值；
（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【變式7-2】（2023·湖北·高二?？计谥校┮阎獫M足，且.
（1）求；
（2）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式.
【變式7-3】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，．證明：為等差數(shù)列；
題型八 等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用
【例8】（2023·河北保定·高二統(tǒng)考期末）2022北京冬奧會(huì)開幕式將我國(guó)二十四節(jié)氣融入倒計(jì)時(shí)，盡顯中國(guó)人之浪漫．倒計(jì)時(shí)依次為：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、處暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒種、小滿、立夏、谷雨、清明、春分、驚蟄、雨水、立春，已知從冬至到夏至的日影長(zhǎng)等量減少，若冬至、立冬、秋分三個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)之和為31.5寸，問(wèn)大雪、寒露的日影長(zhǎng)之和為（ ）
A．21寸 B．20.5寸 C．20寸 D．19.5寸
【變式8-1】（2022·江蘇·高二鹽城市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）中國(guó)古代有一個(gè)問(wèn)題為“今有竹九節(jié)，下三節(jié)容量四升，上四節(jié)容量三升.問(wèn)中間二節(jié)欲均容各多少?”其中“欲均容”的意思是使容量變化均勻，即由下往上均勻變細(xì).該問(wèn)題中由上往下數(shù)的第2節(jié)，第3節(jié)，第8節(jié)竹子的容積之和為（ ）
A．升 B．升 C．升 D．升
【變式8-2】（2023·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考期中）哈雷彗星是唯一能用裸眼直接看見的短周期彗星，其繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)周期為76年，曾于1606年回到近日點(diǎn)，奧伯斯彗星的繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)周期為70年，也曾于1606年回到近日點(diǎn)，則哈雷彗星與奧伯斯彗星下次同年回到近日點(diǎn)的年份為（ ）
A．3916年 B．4190年 C．4266年 D．4570年
【變式8-3】（2023·江西宜春·高二上高中學(xué)?？计谀稄埱窠ㄋ憬?jīng)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問(wèn)題：“今有女不善織，日減功遲，初日織五尺，末日織一尺，今三十織迄……”其大意為：有一女子不善于織布，每天比前一天少織同樣多的布，第一天織5尺，最后一天織一尺，三十天織完…….則該女子第11天織布（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺

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