1、（2022·高二課時練習(xí)）下列數(shù)列中，不成等差數(shù)列的是（ ）．
A．2，5，8，11 B．1.1，1.01，1.001，1.0001
C．a(chǎn)，a，a，a D．，，，
【答案】B
【解析】對于A，因為第2項起，后一項與前一項的差是同一個常數(shù)3，
所以此數(shù)列是等差數(shù)列，所以A不合題意，
對于B，因為，，即，
所以此數(shù)列不是等差數(shù)，所以B符合題意，
對于C，因為第2項起，后一項與前一項的差是同一個常數(shù)0，
所以此數(shù)列是等差數(shù)列，所以C不合題意，
對于D，數(shù)列，，，可表示為，，，，
因為第2項起，后一項與前一項的差是同一個常數(shù)1，
所以此數(shù)列是等差數(shù)列，所以D不合題意，故選：B
2、（2023·重慶·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）下列數(shù)列中等差數(shù)列的是（ ）
A． B． C．
【答案】A
【解析】對于A，，相鄰兩項的差為常數(shù)，是等差數(shù)列；
對于B，，相鄰兩項的差不為常數(shù)，不是等差數(shù)列；
對于C，，相鄰兩項的差不為常數(shù)，不是等差數(shù)列；
故選：A
3、（2022·陜西咸陽·高二統(tǒng)考期中）若數(shù)列為等差數(shù)列，則下列說法中錯誤的是（ ）
A．?dāng)?shù)列，，，…，…為等差數(shù)列
B．?dāng)?shù)列，，，…，，…為等差數(shù)列
C．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列
D．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列
【答案】C
【解析】A選項：因為為等差數(shù)列，所以設(shè)（為常數(shù)），
又，所以數(shù)列也為等差數(shù)列，故A正確；
B選項：，所以數(shù)列為等差數(shù)列，故B正確；
C選項：，不是常數(shù)，故不是等差數(shù)列，故C錯；
D選項：，所以數(shù)列為等差數(shù)列，故D正確.故選：C.
4、（2022·全國·高二課時練習(xí)）（多選）下列數(shù)列中是等差數(shù)列的是（ ）
A．，a， B．2，4，6，8，…，，
C．，，， D．
【答案】ABD
【解析】對于A選項，由于，故是等差數(shù)列，正確；
對于B選項，2，4，6，8，…，，中，，是等差數(shù)列，正確；
對于C選項，因為，，
又，即第3項與第2項的差不等于第2項與第1項的差，故不是等差數(shù)列；
對于D選項，由得，滿足等差數(shù)列定義.
故選：ABD.
5、（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，，（，，均不為0）是等差數(shù)列，則下列說法正確的是（ ）
A．，，一定成等差數(shù)列 B．，，可能成等差數(shù)列
C．，，一定成等差數(shù)列 D．，，可能成等差數(shù)列
【答案】BCD
【解析】對于A，令，，，則，，，
不滿足，所以，，不成等差數(shù)列，故A錯誤；
對于B，令，則，滿足，故B正確；
對于C，∵，，成等差數(shù)列，∴，∴，
即，，，一定成等差數(shù)列，故C正確；
對于D，令，則，滿足，故D正確，故選：BCD.
【題型2 等差數(shù)列的通項與基本量】
1、（2022·天津河?xùn)|·高二?？茧A段練習(xí)）等差數(shù)列3，11，19，27，…的通項公式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為等差數(shù)列的首項，公差，
所以通項公式為.故選：B
2、（2023·黑龍江·高二鶴崗一中?？计谥校┑炔顢?shù)列中，，公差，則是數(shù)列的第（ ）
A．項 B．項 C．項 D．項
【答案】A
【解析】因為等差數(shù)列中，，公差，
所以，則，
所以，即，解得.故選：A.
3、（2023·浙江臺州·高二期末）已知數(shù)列中，，且是等差數(shù)列，則（ ）
A．36 B．37 C．38 D．39
【答案】A
【解析】因為，所以，
又是等差數(shù)列，故首項為3，公差為2，
所以，
所以．故選：A.
4、（2023·江西·高二泰和中學(xué)校聯(lián)考期中）在數(shù)列中，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得，
令，則，
所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，
所以，即，所以.故選：B
5、（2023·河北承德·高二實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，若，，求等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
依題意，解得，
于是，因此.故選：D
【題型3 等差中項及其應(yīng)用】
1、（2023·重慶·高二校聯(lián)考期末）在等差數(shù)列中，、是方程的兩根，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由韋達(dá)定理和等差中項的性質(zhì)可得，因此，.故選：A.
2、（2023·安徽合肥·高二合肥市第七中學(xué)校考期中）已知，若三個數(shù)成等差數(shù)列，則 .
【答案】5
【解析】由等差中項可得，所以.
3、（2023·廣東湛江·高二湛江市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在等差數(shù)列中，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在等差數(shù)列中，，則，
因此，.故選：D.
4、（2023·河南洛陽·高二?？茧A段練習(xí)）在等差數(shù)列中，若，，則等于 （ ）
A．20 B．18 C．16 D．
【答案】D
【解析】因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，所以；
又，，所以.故選：D
5\（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為數(shù)列是等差數(shù)列，
所以，即，
所以，故選：A
【題型4 等差數(shù)列的性質(zhì)】
1、（2023·甘肅武威·高二統(tǒng)考期中）在等差數(shù)列中，，則的值為（ ）
A． B．11 C．22 D．33
【答案】B
【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知：，而，
所以，即.故選：B.
2、（2023·高二課時練習(xí)）已知等差數(shù)列中，，則（ ）
A．30 B．15 C．5 D．10
【答案】B
【解析】∵數(shù)列為等差數(shù)列，，所以
∴.故選：B
3、（2023·全國·高二課時練習(xí)）如果等差數(shù)列中，，那么（ ）
A．14 B．12 C．28 D．36
【答案】C
【解析】∵，∴，則，
又，故.故選:C.
4、（2022·全國·高二課時練習(xí)）等差數(shù)列{an}中，a5＋a6＝4，則（ ）
A．10 B．20 C．40 D．2＋lg25
【答案】B
【解析】因為 ，所以原式＝lg2220＝20.故選：B.
5、（2023·全國·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，求．
【答案】
【解析】由等差數(shù)列性質(zhì)知：，
，.
【題型5 設(shè)元法巧解等差數(shù)列】
1、（2022·江蘇連云港·高二期末）已知四個數(shù)依次成等差數(shù)列，且四個數(shù)的平方和為94，首尾兩數(shù)之積比中間兩數(shù)之積少18，則此等差數(shù)列的和是（ ）
A．14 B．13 C．或14 D．或13
【答案】C
【解析】設(shè)這四個數(shù)分別為，
由題意得，
即，解得或或或，
當(dāng)時，等差數(shù)列為-1，2，5，8；
當(dāng)時，等差數(shù)列為8，5，2，-1；等差數(shù)列的和是14；
當(dāng)時，等差數(shù)列為-8，-5，-2，1；
當(dāng)時，等差數(shù)列為1，-2，-5，-8，等差數(shù)列的和是．故選：C．
2、（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知5個數(shù)組成一個單調(diào)遞減的等差數(shù)列，且它們的和為5，平方和為165，則這個等差數(shù)列的第1項為 .
【答案】9
【解析】設(shè)這個等差數(shù)列中的五個數(shù)分別為，，x，
，.由題意，得
解得或
因為這個數(shù)列單調(diào)遞減，所以，
即所以第1項為.
3、（2021·山西運城·高二?？奸_學(xué)考試）（1）三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為，前兩項之積為后一項的倍，求這三個數(shù).
（2）四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩數(shù)的和為，首末兩項的積為，求這四個數(shù).
【答案】（1），，；（2），，，.
【解析】（1）設(shè)這三個數(shù)依次為，，，
由題意可得：，解得：，
所以這三個數(shù)依次為，，.
（2）設(shè)這四個數(shù)依次為，，， (公差為)，
由題意可得，解得或(舍)，
故所求的四個數(shù)依次為，，，.
4、（2022·全國·高二課時練習(xí)）三個數(shù)成等差數(shù)列，這三個數(shù)的和為6，三個數(shù)之積為－24，求這三個數(shù).
【答案】三個數(shù)為－2，2，6或6，2，－2.
【解析】設(shè)這三個數(shù)分別為a－d，a，a＋d.
由題意可得
解得或
∴所求三個數(shù)為－2，2，6或6，2，－2.
5、（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知四個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，前三個數(shù)的和為15，第一個數(shù)與第四個數(shù)的乘積為27，求這四個數(shù)．
【答案】3，5，7，9 或 ，5，，6．
【解析】設(shè)此等差數(shù)列的前4項分別為a﹣d，a，a+d，a+2d,
由題意可得，解得或.
∴這四個數(shù)是：3，5，7，9 或，5，，6．
【題型6 由等差數(shù)列構(gòu)造新數(shù)列】
1、（2023·湖北武漢·高二校聯(lián)考期末）已知等差數(shù)列的首項，公差，在中每相鄰兩項之間都插入3個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列，則（ ）
A．4044 B．4046 C．4048 D．4050
【答案】B
【解析】設(shè)數(shù)列的公差為，
由題意可知，，，
故，故，
則，故選：B.
2、（2023·河北·高二秦皇島一中?？计谀┰诘炔顢?shù)列中每相鄰兩項之間都插入2個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列.則是數(shù)列的第（ ）項.
A．32 B．33 C．34 D．35
【答案】B
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等差數(shù)列的公差為，
等差數(shù)列各項為：，
等差數(shù)列各項為：，
顯然有，
，故選：B
3、（2022·全國·高二課時練習(xí)）在數(shù)列、、、、的每相鄰兩項中插入個數(shù)，使它們與原數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列，則新數(shù)列的第項（ ）
A．不是原數(shù)列的項 B．是原數(shù)列的第項
C．是原數(shù)列的第項 D．是原數(shù)列的第項
【答案】C
【解析】設(shè)數(shù)列為，則，，，，
設(shè)，則，，，，
由題意可知，數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，故，
令，解得，
因此，新數(shù)列的第項為原數(shù)列的第項，故選：C.
4、（2023·上海閔行·高三閔行中學(xué)校考開學(xué)考試）已知等差數(shù)列的首項為2，公差為8，在中每相鄰兩項之間插入三個數(shù)，使它們與原數(shù)列的項一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列，則數(shù)列 ．
【答案】4046
【解析】設(shè)數(shù)列的公差為，
由題意可得：，即，且，
故.
5、（2022·高二課時練習(xí)）已知為等差數(shù)列，且以，，若在每相鄰兩項之間插入三個數(shù)，使它和原數(shù)列的數(shù)構(gòu)成一個新的等差數(shù)列，求：
（1）原數(shù)列的第12項是新數(shù)列的第幾項？
（2）新數(shù)列的第29項是原數(shù)列的第幾項？
【答案】（1）第45項；（2）第8項．
【解析】（1）設(shè)新數(shù)列為，則，，
根據(jù)，有，即，
所以，所以．
又因為，所以．
即原數(shù)列的第n項為新數(shù)列的第項．
當(dāng)時，，故原數(shù)列的第12項為新數(shù)列的第45項．
（2）由（1） ，令，得，
即新數(shù)列的第29項是原數(shù)列的第8項．
【題型7 等差數(shù)列的證明】
1、（2023·全國·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列中，在時恒成立，求證：是等差數(shù)列．
【答案】證明見解析
【解析】證明 因為，
所以．
因此，從第2項起，每一項與它的前一項的差都相等，
所以是等差數(shù)列．
2、（2023上·云南昆明·高二云南民族大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校?shù)列滿足.
（1）求的值；
（2）設(shè)，證明是等差數(shù)列.
【答案】（1）；（2）證明見解析
【解析】（1）數(shù)列滿足
所以，
（2）∵
∴為等差數(shù)列.
3、（2023·全國·高二課時練習(xí)）已知，若，且（為正整數(shù)）.
（1）寫出數(shù)列的前5項；
（2）證明是等差數(shù)列，并求.
【答案】（1）1，，，，；（2）證明見解析，
【解析】（1）由已知條件得，
即，, ,,
故數(shù)列的前5項為1，，，，.
（2）證明：∵，∴,
∴，其中首項為，
∴是首項為，公差為的等差數(shù)列，
∴，
∴.
4、（2023·重慶榮昌·高二榮昌中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且.
（1）求；
（2）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求.
【答案】（1）；（2）證明見解析；
【解析】（1）因為，
所以.
（2）因為，
所以，
則，
故，
又，所以，
所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列.
所以，
則.
5、（2023·江蘇南京·高二江蘇省江浦高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）記為數(shù)列的前n項和．
（1）若數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，求的表達(dá)式；
（2）若數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列．
【答案】（1）；（2）證明見解析
【解析】（1）由已知得，
，
所以；
（2）∵，
∴，∴，
當(dāng)時，，
兩式相減得：
∴，
∴，
∴，
∴數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列.
【題型8 等差數(shù)列的實際應(yīng)用】
1、（2023·天津和平·高三天津二十中?？茧A段練習(xí)）《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為（ ）
A．升 B．升 C．升 D．升
【答案】C
【解析】設(shè)此等差數(shù)列為，公差為，
由題意可得：
則，聯(lián)立解得
故選：C．
2、（2023·廣東汕尾·高二華中師范大學(xué)海豐附屬學(xué)校校考階段練習(xí)）《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：冬至?小寒?大寒?立春?雨水?驚蟄?春分?清明?谷雨?立夏?小滿?芒種這十二個節(jié)氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數(shù)列，立春當(dāng)日日影長為9.5尺，立夏當(dāng)日日影長為2.5尺，則春分當(dāng)日日影長為（ ）
A．4.5尺 B．5尺 C．5.5尺 D．6尺
【答案】D
【解析】設(shè)十二節(jié)氣自冬至日起的日影長構(gòu)成的等差數(shù)列為，
則立春當(dāng)日日影長為，立夏當(dāng)日日影長為，
所以春分當(dāng)日日影長為.故選：D
3、（2022·江蘇連云港·高二海州高級中學(xué)?？计谥校爸袊Ｓ喽ɡ怼庇址Q“孫子定理”，最早可見于我國南北朝時期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》，1852年，英國傳教士偉烈亞力將該解法傳至歐洲，1874年，英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得到的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”，此定理講的是關(guān)于整除的問題，現(xiàn)將1到2022這2022個數(shù)中，能被2除余1且被7除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則該數(shù)列共有（ ）
A．145項 B．146項 C．144項 D．147項
【答案】A
【解析】由已知可得既能被整除，也能被7整除，故能被整除，
所以，，即，
故，即，解得，故共項，故選：A.
4、（2022·廣東·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）古代《九章算術(shù)》記載：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何”其意思為：“今有人分錢，各人所得錢數(shù)依次成等差數(shù)列，其中前人所得之和與后人所得之和相等，問各得多少錢”.由此可知第一人分得的錢數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)第分到錢，設(shè)數(shù)列的公差為，
由題意可得，所以，，解得.故選：A.
5、（2022·甘肅酒泉·高二統(tǒng)考期中）我國明代珠算家程大位的名著《直指算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“今有白米一百八十石，令三人從上及和減率分之，只云甲多丙米三十六石，問：各該若干？”其意思為：“今有白米一百八十石，甲?乙?丙三人來分，他們分得的白米數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”請問甲應(yīng)該分得白米為（ ）
A．石 B．石 C．石 D．石
【答案】B
【解析】依題意，設(shè)甲?乙?丙分得的米重量分別為，，，則，
且，解得，，
所以，故選：B.

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人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊4.2 等差數(shù)列課堂檢測

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊電子課本

4.2 等差數(shù)列

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第二冊

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