江蘇省宿遷市沭陽如東中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)階段測試數(shù)學(xué)試卷（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1. 過兩點(diǎn)的直線的傾斜角是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線的斜率，結(jié)合直線傾斜角的范圍即可得出結(jié)果.
【詳解】由已知直線的斜率為，
所以傾斜角．
故選：D.
2. 設(shè)a∈R，則“a＝－2”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】由“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”得到a＝－2或a＝1，即得解.
【詳解】解：若a＝－2，則直線l1：－2x＋2y－1＝0與直線l2：x－y＋4＝0平行；
若“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”，∴，解得a＝－2或a＝1，
∴“a＝－2”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的充分不必要條件．
故選：A
3. 點(diǎn)到直線的距離大于5，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式列不等式即可求得.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離大于5，
所以，解得：或，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：B
4. 古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，他指出，平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線.則方程表示的圓錐曲線的離心率等于（）
A. B. C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意得到點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離比為，即可得到.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
表示點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離比為，
所以.
故選：B
5. 已知點(diǎn)，且是橢圓的左焦點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，則的最小值是（）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】結(jié)合橢圓的定義求得的最小值
【詳解】，
設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，
，
當(dāng)在的正上方時(shí)，等號成立.
故選：D
6. 若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)直線與半圓的位置關(guān)系可求的取值范圍.
【詳解】曲線即為半圓：，其圖象如圖所示，
曲線與軸的交點(diǎn)為，
而直線為過的動(dòng)直線，
當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，有，解得，
當(dāng)直線過時(shí)，有，
因?yàn)橹本€與半圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故，
故選：D.
7. 已知直線與直線相交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出點(diǎn)的軌跡方程，確定點(diǎn)軌跡，然后通過幾何意義求得最大值．
【詳解】由，消去參數(shù)得，
所以在以為圓心，為半徑的圓上，
又點(diǎn)B是圓上的動(dòng)點(diǎn)，此圓圓心為，半徑為，
，
∴的最大值為．
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查交軌法求軌跡方程，考查兩點(diǎn)間的距離公式．由圓的性質(zhì)知某點(diǎn)到圓上的點(diǎn)間距離的最大值可以轉(zhuǎn)化為到圓心的距離與半徑的和．
8. 已知橢圓和雙曲線有相同的左、右焦點(diǎn)，，若，在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為P，且滿足，設(shè)，分別是，的離心率，則，的關(guān)系是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由結(jié)合外角定理可得，然后可得，
再結(jié)合橢圓和雙曲線定義、勾股定理列式整理可得.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，所以
所以，
記橢圓長半軸長為，雙曲線實(shí)半軸長為，
則由橢圓和雙曲線定義可得：…①
…②
①2+②2可得
由勾股定理知，，代入上式可得
整理得，即
所以
故選：D
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多頂符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選頂，每選對一個(gè)得3分;若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對一個(gè)得2分．
9. 下列說法正確的是（）
A. 直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是
B. 若三條直線不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)的取值集合為
C. 經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為或
D. 過兩點(diǎn)的直線方程為
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)直線的方程即位置關(guān)系分別判斷.
【詳解】A選項(xiàng)：直線與軸和軸的交點(diǎn)分別為和，三角形面積為，A選項(xiàng)正確；
B選項(xiàng)：三條直線不能構(gòu)成三角形，可得或或直線過點(diǎn)，解得或或，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)：當(dāng)直線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)直線不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，代入點(diǎn)，即，解得，故直線為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)：由兩點(diǎn)式方程可直接判斷D選項(xiàng)正確；
故選：AD
10. 法國著名數(shù)學(xué)家蒙日首先發(fā)現(xiàn)橢圓兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)軌跡是以橢圓的中心為圓心的圓，后來這個(gè)圓被稱為蒙日圓．已知橢圓，其蒙日圓為圓，過直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則下列選項(xiàng)正確的是（）
A. 圓的方程為B. 四邊形面積的最小值為4
C. 的最小值為D. 當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，直線的方程為
【答案】BD
【解析】
【分析】利用橢圓的性質(zhì)，找特殊位置容易求得圓的方程，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，可以推出.
【詳解】當(dāng)切線的切點(diǎn)分別為橢圓上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)時(shí)，可以得到兩切線的交點(diǎn)為，所以蒙日圓的方程為，故A不正確；
四邊形面積為：，只需求出的最小值，而的最小值為點(diǎn)到直線的距離，所以的最小值為，故B正確；
設(shè),則，故，
所以，
又，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，
而的最小值，故的最小值8，故等號取不到，故C不正確；
當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，點(diǎn)，，，四點(diǎn)共以為直徑圓上，
所以這個(gè)圓的方程為，與圓方程聯(lián)立，可得直的方程為，故D正確.
故選：BD.
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：C選項(xiàng)中等號取不到，容易出錯(cuò)，同時(shí)考查推理運(yùn)算能力.
11. 2022年4月16日9時(shí)56分，神舟十三號返回艙成功著陸，返回艙是宇航員返回地球的座艙，返回艙的軸截面可近似看作是由半圓和半粗圓組成的“曲圓”．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過橢圓的焦點(diǎn)，橢圓的短軸與半圓的直徑重合，下半圓與軸交于點(diǎn)．若過原點(diǎn)的直線與上半橢圓交于點(diǎn)，與下半圓交于點(diǎn)，則下列說法正確的有（）

A. 橢圓的長軸長為
B. 線段長度的取值范圍是
C. 面積的最小值是4
D. 的周長為
【答案】ABD
【解析】
【分析】結(jié)合圓的半徑長可求得，結(jié)合橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)可求得，由此可判斷A；根據(jù)，結(jié)合的范圍可判斷B；設(shè)，利用結(jié)合面積公式可求得，取可判斷C；結(jié)合橢圓定義可判斷D.
【詳解】對于A，∵半圓所在圓過點(diǎn)，∴半圓的半徑，
又橢圓短軸為半圓的直徑，∴，即，
又，∴，即，
∴橢圓長軸長為，故A正確；
對于B，∵，，
∴，故B正確；
對于C，設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；
對于D，由題意知：，則為橢圓的下焦點(diǎn)，
由橢圓定義知：，
又，∴的周長為，故D正確.
故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分．
12. 已知直線l的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，且l經(jīng)過點(diǎn)，則直線l的方程為______．
【答案】
【解析】
【分析】先設(shè)出所求直線和已知直線的傾斜角，利用直線的一般式方程得到已知直線的斜率，再利用二倍角的正切公式求出所求直線的斜率，進(jìn)而寫出直線的點(diǎn)斜式方程，化為一般式即可.
【詳解】設(shè)所求直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，
則，且，所以，
所以可得直線l的方程為，即．
故答案為：.
13. 已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，點(diǎn)滿足．則當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，面積的最大值為__________．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)，由可整理得到點(diǎn)軌跡為以為圓心，為半徑的圓，可知當(dāng)在圓心的正上方或正下方時(shí)，到的距離最大，由此可求得面積的最大值.
【詳解】設(shè)，則由得：，
即，整理可得：，即，
點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
如圖所示：當(dāng)在圓心的正上方或正下方時(shí)，到的距離最大，且為半徑，
.
故答案為：.
14. 設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P滿足，記的外接圓和內(nèi)切圓半徑分別是R，r，則的值為_______．
【答案】
【解析】
【分析】化標(biāo)準(zhǔn)，得到，，然后根據(jù)正弦定理求出.進(jìn)而根據(jù)余弦定理推出的面積.根據(jù)等面積法，可知，即可求出.
【詳解】
將橢圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，.
所以，，，.
所以，，，所以，.
根據(jù)正弦定理可得，，所以.
設(shè)，則.
由余弦定理可得，，
所以，，
整理可得，，顯然是方程的兩個(gè)解，
所以，
所以的面積.
又，
所以.
所以，.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共計(jì)77分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知平行四邊形的兩條邊所在直線的方程分別為，，且它的對角線的交點(diǎn)為，求這個(gè)平行四邊形其他兩邊所在直線的方程．
【答案】和
【解析】
【分析】依題意，由方程組可解得平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)，再結(jié)合對角線的交點(diǎn)是，可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式即可求得其他兩邊所在直線的方程.
【詳解】解：聯(lián)立方程組，解得.
所以平行四邊形的頂點(diǎn).
設(shè)，由題意知點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，
所以，
解得，所以.
由已知，得直線的斜率，因?yàn)榕c平行，
所以直線的方程為，即
由已知，得直線的斜率，因?yàn)榕c平行，
所以直線的方程為，即
故這個(gè)平行四邊其它兩邊所在直線的方程是和
16. 已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，且過點(diǎn).
（1）求雙曲線C的虛軸長；
（2）求與雙曲線C有相同漸近線，且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由雙曲線的定義可知，，又，求得即可．
（2）設(shè)與雙曲線有相同漸近線的雙曲線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述方程得即可．
【小問1詳解】
由題意，易知，，且.
在中，
由雙曲線的定義可知，，，即.
∵雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，∴.
又∵，∴
故雙曲線C的虛軸長為
【小問2詳解】
由（1）知雙曲線C的方程為.
設(shè)與雙曲線C有相同漸近線的雙曲線的方程為
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述方程，得
故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
17. 已知點(diǎn)M(3，1)，圓O1：(x﹣1)2+(y﹣2)2=4.
（1）若直線ax﹣y+4=0與圓O1相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的長為，求a的值；
（2）求過點(diǎn)M的圓O1的切線方程.
【答案】（1）；（2）x=3或3x﹣4y﹣5=0.
【解析】
【分析】（1）由直線與圓的位置關(guān)系可得圓心到直線ax﹣y+4=0的距離d，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得d=，解可得a的值，即可得答案；
（2）根據(jù)題意，分切線的斜率是否存在2種情況討論，分別求出切線的方程，綜合即可得答案.
【詳解】（1）根據(jù)題意，圓O1：(x﹣1)2+(y﹣2)2=4，圓心為(1，2)，半徑r=2，
若弦AB的長為，則圓心到直線ax﹣y+4=0的距離d=，
又由圓心為(1，2)，直線ax﹣y+4=0，
則有d=，解得；
（2）根據(jù)題意，分2種情況討論：
當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，其方程為x=3，與圓相切，符合條件，
當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y﹣1=k(x﹣3)，
圓心到它的距離，解得，切線方程為3x﹣4y﹣5=0，
所以過點(diǎn)M的圓的切線方程為x=3或3x﹣4y﹣5=0.
【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓相交的性質(zhì)，涉及弦長的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.
18. 如圖，已知橢圓的離心率為，與軸正半軸交于點(diǎn)，過原點(diǎn)不與軸垂直的動(dòng)直線與交于，兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線、的斜率分別為、，證明：為定值，并求出該定值；
（3）以點(diǎn)E0,2為圓心，為半徑的圓與直線、分別交于異于點(diǎn)的點(diǎn)和點(diǎn)，求與面積之比的取值范圍．
【答案】（1）
（2）證明見解析，定值為
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)離心率可得的關(guān)系，再根據(jù)可求，故可求標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）設(shè)Ax1,y1，則可得，根據(jù)在橢圓上可得定值.
（3）求出的方程，分別聯(lián)立直線方程和橢圓方程、直線方程和圓的方程后可得的橫坐標(biāo)，從而可得面積之比，結(jié)合換元法可得范圍.
【小問1詳解】
由題設(shè)有，且，故，
故橢圓方程為：.
【小問2詳解】
設(shè)Ax1,y1，則，故，
而，故.
故為定值且定值為.
【小問3詳解】
由題設(shè).
圓，直線，
由可得即，
故，
由可得即，
同理，
而，，
而，故
，
令，故，其中，
故
，
而，故，故.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中的范圍問題，往往需要用斜率或點(diǎn)的坐標(biāo)表示目標(biāo)函數(shù)，后者需要結(jié)合不等式、函數(shù)性質(zhì)或?qū)?shù)等工具來求范圍.
19. 歷史上第一個(gè)研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前375年——325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進(jìn)一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：如圖甲，從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，其中法線表示與橢圓的切線垂直且過相應(yīng)切點(diǎn)的直線.
已知圖乙中，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，由發(fā)出的光線經(jīng)橢圓兩次反射后回到經(jīng)過的路程為 .
（1）點(diǎn) 是橢圓上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，橢圓在點(diǎn) 處的切線為在上的射影滿足，利用橢圓的光學(xué)性質(zhì)求橢圓的方程；
（2）在: （1）的條件下，設(shè)橢圓上頂點(diǎn)為，點(diǎn) 為軸上不同于橢圓頂點(diǎn)的點(diǎn)，且，直線分別與橢圓交于點(diǎn) （異于點(diǎn) ），，垂足為，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，延長，交于點(diǎn)，利用，求出，進(jìn)而得到橢圓方程.
（2）設(shè)直線，聯(lián)立直線與，結(jié)合題干，得到點(diǎn)軌跡，求得最小值.
【小問1詳解】
由題知，
延長，交于點(diǎn)，
在中，，
則且為中點(diǎn)，
在中，，則，
，即橢圓方程為.
【小問2詳解】
由對稱性可知直線的斜率不為0，所以可設(shè)直線，
聯(lián)立直線與，
則，①
，②
所以，令，得點(diǎn)橫坐標(biāo) ，
同理可得點(diǎn) 橫坐標(biāo) ，
故，
將代入上式整理得：，
將②代入得，
若，則直線，恒過不合題意；
若，則，恒過，
因?yàn)橹本€ 恒過，且與始終有兩個(gè)交點(diǎn)，
又，垂足為，
所以點(diǎn) 軌跡是以為直徑的半圓（不含點(diǎn) ，在直線下方部分），
圓心，半徑為1，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn) 在線段上時(shí)，
所以最小值為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問，設(shè)直線，聯(lián)立直線與，結(jié)合題干，得到點(diǎn)軌跡，求得的最小值.

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