一、單選題（本大題共8小題）
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．R
2．已知命題p：，；命題q：，，則（ ）
A．p和q都是真命題B．和q都是真命題
C．p和都是真命題D．和都是真命題
3．已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
4．設函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
5．已知，則（ ）
A．B．C．D．
6．已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，，則不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函數(shù)，則，，的大小關系為（ ）
A．B．
C．D．
8．對于實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知函數(shù)的定義域為，，則（ ）
A．為的極小值點B．
C．是奇函數(shù)D．若，則
10．已知是函數(shù)的導函數(shù)，的圖象如圖，則下列關于函數(shù)的說法正確的是（ ）

A．在上單調(diào)遞減
B．在處取得極小值
C．
D．在處取得極小值
11．函數(shù)，關于x的方程，則下列正確的是（ ）
A．函數(shù)的值域為R
B．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為
C．當時，則方程有4個不相等的實數(shù)根
D．若方程有3個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知函數(shù)的值域為，其中，則的最小值為 .
13．已知函數(shù)，且，則的取值范圍是 .
14．已知，，分別是函數(shù)與的零點，則的最大值為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．設，已知集合，.
(1)當時，求實數(shù)的范圍；
(2)設，，若是的必要不充分條件，求實數(shù)的范圍.
16．二次函數(shù)最小值為，且關于對稱，又.
(1)求的解析式；
(2)在區(qū)間上，y=的圖象恒在圖象的下方，試確定實數(shù)的取值范圍；
(3)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.
17．已知，，，，求：
(1)的值；
(2)的值.
18．已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；
(2)證明：函數(shù)在上有兩個零點.
19．已知函數(shù).
(1)當時，討論的單調(diào)性；
(2)設，當時，若對任意，存在，使，求實數(shù)取值范圍.
參考答案
1．【答案】D
【分析】利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性化簡集合，再由并集、補集的運算即可.
【詳解】由題意可得，則，所以R.
故選D.
2．【答案】B
【分析】對于兩個命題而言，可分別取、，再結(jié)合命題及其否定的真假性相反即可得解.
【詳解】對于而言，取，則有，故是假命題，是真命題，
對于而言，取，則有，故是真命題，是假命題，
綜上，和都是真命題.
故選B.
3．【答案】A
【分析】求解不等式，由集合間的關系即可判斷.
【詳解】由，得，記為，
由且，解得，記為，
所以，則“”是“”的充分不必要條件.
故選A.
【思路導引】分別計算出不等式的解集為，，利用集合的關系即可得到答案.
4．【答案】B
【分析】由增函數(shù)結(jié)合函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，再由一元二次函數(shù)圖象性質(zhì)即可求解.
【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，解得.
故選B.
【思路導引】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，根據(jù)復合函數(shù)“同增異減”的性質(zhì)，可得在區(qū)間上單調(diào)遞增，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.
5．【答案】A
【分析】利用誘導公式及二倍角余弦公式即可求解.
【詳解】∵，∴，，
又，則，所以.
故選A.
6．【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的零點，解抽象不等式.
【詳解】因為函數(shù)是偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，，
時，，，
則或，
當時，，此時，
當時，，此時.
故選D.
7．【答案】B
【分析】構造，求導得到其單調(diào)性，得到，結(jié)合的奇偶性和單調(diào)性，，得到大小關系.
【詳解】是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，
令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
故，
即，而，
所以，
所以.
故選B.
【思路導引】構造函數(shù)，求導可得在上單調(diào)遞減，從而比較出代數(shù)式的大小.
8．【答案】C
【分析】構造同構函數(shù)，分析單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為恒成立，即，再求解的最小值即可.
【詳解】已知，由知，故排除BD；
由得，，
構造函數(shù)，是上的增函數(shù)，
則由得，即，
令，
，由得，，
當，則單調(diào)遞減，
當，則單調(diào)遞增，
，
則，又，則.
故選C.
9．【答案】BCD
【分析】設，驗證該函數(shù)滿足已知條件，結(jié)合函數(shù)的極小值點的定義判斷A；
由取，可求，由此判斷B；
由取，可得的關系，結(jié)合奇函數(shù)定義判斷C；
由，取，可得，結(jié)合賦值法及加法運算律可求，由此判斷D.
【詳解】令，其定義域為，且滿足題意，
因為函數(shù)為上的增函數(shù)，所以不是的極小值點，故A錯誤；
令，則，所以，故B正確；
令，則，所以是奇函數(shù)，故C正確；
令，則，即，
，故D正確.
故選BCD.
10．【答案】ACD
【分析】結(jié)合導函數(shù)圖象，根據(jù)導數(shù)正負得函數(shù)的單調(diào)性，從而得出極值，由此判斷各選項.
【詳解】由已知，時，（只有），因此在上單調(diào)遞減，AC正確；
，且兩側(cè)的導數(shù)都是負數(shù)，所以不是極值，B錯誤；
由，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，
所以是極小值，D正確.
故選ACD.
11．【答案】BD
【分析】先分析函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)值情況并作出函數(shù)的圖象，對于A和B，由分析以及圖象即可得解；對于C和D，由方程得解為與，再根據(jù)條件數(shù)形結(jié)合依次分析兩解對應的根的情況即可得解.
【詳解】①當時，，
則在單調(diào)遞減，且漸近線為軸和，恒有，
②當時，，，
當，在(0,1)單調(diào)遞增；當，在單調(diào)遞減，
故，且恒有，綜上①②可知，，
綜上，作出函數(shù)大致圖象，如下圖：
對于A，由上可知函數(shù)的值域為，故A錯誤；
對于B，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，故B正確；
對于C，當時，則方程，解得或，
由，得或，有兩個實數(shù)根；
由圖象可知，由得此時有不相等的實數(shù)根，且均不為，也不為，
所以當時，則方程有6個不相等的實數(shù)根，故C錯誤；
對于D，若關于x的方程有3個不相等的實數(shù)根，
即方程與方程共有3個不相等的實數(shù)根，
又因為已有兩個不等的實數(shù)根，
則方程有且僅有1個根，且不為，
所以與有且僅有1個公共點，
由圖象可知，滿足題意，即m的取值范圍是，故D正確.
故選BD.
12．【答案】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的值域確定，得，且可知，再結(jié)合基本的不等式即可得的最小值.
【詳解】函數(shù)的值域為，則有，即，且，
所以，
又由，所以，則
，當且僅當且時等號成立，
即的最小值為.
故答案為：.
13．【答案】
【分析】設，由此可得，比較可得，由條件可求其范圍.
【詳解】由題意，設，則是方程的個根，
又，則，
即，且，
所以，故，
由，得，即，
故的取值范圍是.
故答案為：.
14．【答案】
【分析】將兩個函數(shù)的零點代入函數(shù)式，得到等式，再同構函數(shù)，，利用導數(shù)分析單調(diào)性求出最值即可.
【詳解】由題意可知，則，
即，
又，，
所以，則，
設，則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，則，
所以，
所以，
設，則，
當時，，
當時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則，
所以的最大值為.
故答案為：.
【思路導引】利用等式，同構函數(shù)，化簡可得，同構函數(shù)，再利用導數(shù)分析單調(diào)性并求出最值.
15．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由題意知，5是集合B的元素，代入可得答案；
（2）由題可得是的真子集，分類討論為空集和不為空集合兩種情況，即可求得的取值范圍.
【詳解】（1）由題可得，則；
（2）由題可得是的真子集，
當，則；
當，，則（等號不同時成立），解得，
綜上，.
16．【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）設，代入，求出，得到解析式；
（2）轉(zhuǎn)化為對任意的恒成立，設，則只要即可，結(jié)合的單調(diào)性求出，從而得到答案；
（3）由函數(shù)對稱軸，分，和三種情況，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求出最小值，得到答案.
【詳解】（1）由題可設，又，得，
所以；
（2）由題有，即對任意的恒成立，
設，則只要即可，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，解得；
（3）圖象的對稱軸為直線，
當時，在上單調(diào)遞減，則；
當，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
此時，
當時，即當時，在上單調(diào)遞增，
此時.
綜上，.
17．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）先由已知條件判斷的范圍，再利用同角三角函數(shù)的關系求出，則有，利用兩角差的余弦公式可求得；
（2）由同角三角函數(shù)的關系求出，從而可求得的值，再利用正切的二倍角公式可求得的值.
【詳解】（1）因為，，
所以，，
所以，
，
所以
.
（2）因為，，
所以，
所以，
所以.
18．【答案】(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
(2)證明見解析.
【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，再判斷導函數(shù)值的正負即得；
（2）利用導數(shù)，結(jié)合零點存在性定理推理論證即可.
【詳解】（1）因為函數(shù)的定義域為R，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，
又，且當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又函數(shù)為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，
綜上，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）證明：由（1）得，在上單調(diào)遞增，又，，所以在內(nèi)有且只有一個零點，
當時，令，
則，當時，恒成立，即在上單調(diào)遞減，又，，則存在，使得，
且當時，，即，則在上單調(diào)遞增，
，故在沒有零點，
當時，有，即，則在上單調(diào)遞減，
又，，所以在上有且只有一個零點，
綜上，函數(shù)在上有2個零點.
19．【答案】（1）當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
.
【分析】（1）先求定義域，再對函數(shù)求導，，，
令，，分，，，，四種情況考慮零點情況及正負情況，得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）因為，由(1)知，在上的最小值為，
由題意可知“對任意，存在，使”等價于“在上的最小值不大于在上的最小值”，由一元二次函數(shù)的“三點一軸”分類討論求得的最小值，再求得范圍.
【詳解】(1)定義域，
因為，
所以，，
令，，
(i)當時，，，
所以當時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減；
當時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞增；
(ii)當時，由,
即，解得，
①當時，，恒成立，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
②當時，，
時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減；
時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞增；
時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減；
③當時，由于，
時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減；
時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞增；
綜上所述：
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
(2)因為，由(1)知，，當時，，
函數(shù)單調(diào)遞減：當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以在上的最小值為，
由于“對任意，存在，使”等價于“在上的最小值不大于在上的最小值”，
所以，，
又，，所以
①當時，，與矛盾，
②當時，，同樣與矛盾，
③當時，，解不等式，
可得.
綜上，的取值范圍是.

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