TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27194" 題型01 2021-2024年高考+春考真題1
\l "_Tc22731" 題型02 空間向量的運(yùn)算 3
\l "_Tc394" 題型03 求幾何體的表面積與體積3
\l "_Tc1766" 題型04 空間的位置關(guān)系4
\l "_Tc8506" 題型05 空間向量基本定理5
\l "_Tc6010" 題型06 立體幾何、導(dǎo)數(shù)結(jié)合的實(shí)際應(yīng)用5
\l "_Tc22452" 題型07 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用（含難點(diǎn)）8
\l "_Tc8506" 題型08 個(gè)數(shù)、種類等問題8
\l "_Tc6010" 題型09 軌跡、圍成面積等問題9
\l "_Tc22452" 題型10 空間向量與立體幾何選擇題綜合辨析9
\l "_Tc5641"
【解題規(guī)律·提分快招】
題型01 2021-2024年高考+春考真題
【典例1-1】．（2024?上海）定義一個(gè)集合Ω，集合元素是空間內(nèi)的點(diǎn)集，任取P1，P2，P3∈Ω，存在不全為0的實(shí)數(shù)λ1，λ2，λ3，使得．已知（1，0，0）∈Ω，則（0，0，1）?Ω的充分條件是（ ）
A．（0，0，0）∈ΩB．（﹣1，0，0）∈Ω
C．（0，1，0）∈ΩD．（0，0，﹣1）∈Ω
【典例1-2】．（2024?上海）已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1底面ABCD為平行四邊形，AA1＝3，BD＝4且，求異面直線AA1與BD的夾角 ．
【典例1-3】．（2023?上海）空間中有三個(gè)點(diǎn)A、B、C，且AB＝BC＝CA＝1，在空間中任取2個(gè)不同的點(diǎn)D，E（不考慮這兩個(gè)點(diǎn)的順序），使得它們與A、B、C恰好成為一個(gè)正四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)，則不同的取法有 種．
【典例1-4】．（2023?上海）如圖所示，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)P為邊A1C1上的動(dòng)點(diǎn)，則下列直線中，始終與直線BP異面的是（ ）
A．DD1B．ACC．AD1D．B1C
【典例1-5】．（2022?上海）如圖正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q、R、S分別為棱AB、BC、BB1、CD的中點(diǎn)，連接A1S，B1D．空間任意兩點(diǎn)M、N，若線段MN上不存在點(diǎn)在線段A1S、B1D上，則稱MN兩點(diǎn)可視，則下列選項(xiàng)中與點(diǎn)D1可視的為（ ）
A．點(diǎn)PB．點(diǎn)BC．點(diǎn)RD．點(diǎn)Q
【典例1-6】．（2022?上海）上海海關(guān)大樓的頂部為逐級(jí)收攏的四面鐘樓，如圖，四個(gè)大鐘分布在四棱柱的四個(gè)側(cè)面，則每天0點(diǎn)至12點(diǎn)（包含0點(diǎn)，不含12點(diǎn)）相鄰兩鐘面上的時(shí)針相互垂直的次數(shù)為（ ）
A．0B．2C．4D．12
【典例1-7】．（2021?上海）已知圓柱的底面圓半徑為1，高為2，AB為上底面圓的一條直徑，C是下底面圓周上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△ABC的面積的取值范圍為 ．
【典例1-8】．（2021?上海）已知圓柱的底面半徑為1，高為2，則圓柱的側(cè)面積為 ．
題型02 空間向量的運(yùn)算
【典例2-1】．（2024·上海徐匯·一模）已知向量，若，則實(shí)數(shù)的值為 .
【變式2-1】．（24-25高三上·上海寶山·期中）已知向量，，則在方向上的投影向量為 .
【變式2-2】．（2025·上海高考復(fù)習(xí)·專題練習(xí)）已知空間單位向量，，兩兩垂直，則（ ）
A．B．C．3D．6
題型03 求幾何體的表面積與體積
【典例3-1】．（2024·上海虹口·一模）若某圓錐的底面半徑為，高為，則該圓錐的側(cè)面積為 ．（結(jié)果保留）
【典例3-2】．（24-25高三上·上海松江·期末）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為3，其側(cè)面積為，則該圓錐的高為 ．
【變式3-1】．（24-25高三上·上?！て谥校┤粢粋€(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為且半徑為5的扇形，則它的體積為 ．
【變式3-2】．（2024·上海寶山·一模）將棱長為的正四面體繞著它的某一條棱旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積為 .
【變式3-3】．（2024·上海青浦·一模）已知圓柱的底面半徑為3，高為，圓錐的底面直徑和母線長相等. 若圓柱 和圓錐的體積相同，則圓錐的底面半徑為 .
【變式3-4】．（2024·上海徐匯·一模）徐匯濱江作為2024年上海國際鮮花展的三個(gè)主會(huì)場之一，吸引了廣大市民前往觀展并拍照留念.圖中的花盆是種植鮮花的常見容器，它可視作兩個(gè)圓臺(tái)的組合體，上面圓臺(tái)的上?下底面直徑分別為30cm和26cm，下面圓臺(tái)的上?下底面直徑分別為和，且兩個(gè)圓臺(tái)側(cè)面展開圖的圓弧所對(duì)的圓心角相等.若上面圓臺(tái)的高為8cm，則該花盆上?下兩部分母線長的總和為 .
【變式3-5】．（2024·上?！と＃┤鐖D，矩形中，為AD的中點(diǎn)，，，連接EB，EC，若繞直線AD旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積為 .
【變式3-6】．（24-25高三上·上海松江·開學(xué)考試）正方體的棱長為2，為棱的中點(diǎn)，以為軸旋轉(zhuǎn)一周，則得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積是 ．
【變式3-7】．（2024·上海奉賢·三模）如圖，已知三角形為直角三角形（為直角），分別連接點(diǎn)與線段的等分點(diǎn)，，…，得到個(gè)三角形依次為，，…，，將繞看所在直線旋轉(zhuǎn)一周，記，，…，旋轉(zhuǎn)得到的幾何體的體積依次為，，…，，若，則三角形旋轉(zhuǎn)得到的幾何體的體積 ．
題型04 空間的位置關(guān)系
【典例4-1】．（24-25高三上·上海楊浦·開學(xué)考試）已知，，是不同的平面，l，m，n是不同的直線，下列命題中：
（1）若，，，則；
（2）若，，，則；
（3）若，，，則且；
（4）若，，，則，
所有真命題的序號(hào)是 .
【典例4-2】．（24-25高三上·上海金山·期末）已知某圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為，半徑為2的扇形，則該圓錐的母線與底面所成角的大小為 ．
【變式4-1】．（2024·上海虹口·一模）如圖，已知正三角形ABC和正方形BCDE的邊長均為2，且二面角的大小為，則 ．

【變式4-2】．（15-16高三下·上?！るA段練習(xí)）設(shè)為隨機(jī)變量，從邊長為1的正方體12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時(shí)，；當(dāng)兩條棱異面時(shí)，；當(dāng)兩條棱平行時(shí)，的值為兩條棱之間的距離，則數(shù)學(xué)期望= .
題型05 空間向量基本定理
【典例5-1】．（24-25高二上·上?！て谥校┮阎臻g非零向量、、，則下列命題中正確的是（ ）
A．若、、共面，則、、，中至少存在一對(duì)向量平行；
B．若，那么與、共面；
C．若、、，不共面，那么、、所在直線中至少存在兩條直線異面；
D．若、、，不共面，那么、、所在直線中不可能存在兩條直線異面.
【變式5-1】．（24-25高二上·上海寶山·階段練習(xí)）在正四面體中，，點(diǎn)滿足，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
題型06 立體幾何、導(dǎo)數(shù)結(jié)合的實(shí)際應(yīng)用
【典例6-1】．（23-24高三上·上海寶山·期末）有一矩形硬紙板材料（厚度忽略不計(jì)），一邊長為6分米，另一邊足夠長.現(xiàn)從中截取矩形（如圖甲所示），其中是以為圓心，的扇形，且弧分別與邊相切于點(diǎn).剪去圖中的陰影部分，剩下的部分恰好能折卷成一個(gè)底面是弓形的柱體包裝盒（如圖乙所示，重疊部分忽略不計(jì)）.
(1)當(dāng)長為1分米時(shí)，求折卷成的包裝盒的容積；
(2)當(dāng)?shù)拈L是多少分米時(shí)，折卷成的包裝盒的容積最大？
【典例6-2】．（2025·上海高考復(fù)習(xí)·專題練習(xí)）某市一特色酒店由一些完全相同的帳篷構(gòu)成.每座帳篷的體積為，且分上?下兩層，其中上層是半徑為米的半球體，下層是底面半徑為r米，高為h米的圓柱體（如圖）.經(jīng)測(cè)算，上層半球體部分每平方米的建造費(fèi)用為2千元，下層圓柱體的側(cè)面?隔層和地面三個(gè)部分每平方米的建造費(fèi)用均為3千元，設(shè)每座賬篷的建造費(fèi)用為y千元.
(1)求y關(guān)于r的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域；
(2)當(dāng)半徑r為何值時(shí)，每座帳篷的建造費(fèi)用最小？并求出最小值.
【變式6-1】．（23-24高三上·上海浦東新·期中）圖①是高橋中學(xué)的校門，它由上部屋頂，和下部兩根立柱組成，如圖②，屋頂由四坡屋面構(gòu)成，其中前后兩坡屋面和是全等的等腰梯形，左右兩坡屋面和是全等的三角形.點(diǎn)在平面和上的射影分別為H、M，已知，，梯形的面積是面積的4倍，設(shè).

(1)求屋頂面積S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
(2)已知上部屋頂造價(jià)與屋頂面積成正比，比例系數(shù)為（為正的常數(shù)），下部兩根立柱的總造價(jià)與其單根的高度成正比，比例系數(shù)為，假設(shè)校門的總高度為3m，試問，當(dāng)為何值時(shí)，校門的總造價(jià)（上部屋頂和下部兩根立柱）最低?
【變式6-2】．（2025·上海高考復(fù)習(xí)·專題練習(xí)）如圖所示的某種容器的體積為，它是由圓錐和圓柱兩部分連結(jié)而成的，圓柱與圓錐的底面圓半徑都為.圓錐的高為，母線與底面所成的角為；圓柱的高為.已知圓柱底面造價(jià)為元，圓柱側(cè)面造價(jià)為元，圓錐側(cè)面造價(jià)為元.
（1）將圓柱的高表示為底面圓半徑的函數(shù)，并求出定義域；
（2）當(dāng)容器造價(jià)最低時(shí)，圓柱的底面圓半徑為多少？
【變式6-3】．（2025·上海高考復(fù)習(xí)·專題練習(xí)）設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷，它下部的形狀是正四棱柱，上部的形狀是正四棱錐，且該帳篷外接于球（如圖所示）．

(1)若正四棱柱是棱長為的正方體，求該帳篷的頂點(diǎn)到底面中心的距離；
(2)若該帳篷外接球的半徑，設(shè)，該帳篷的體積為，則當(dāng)為何值時(shí)，體積取得最大值．
【變式6-4】．（20-21高二上·上海寶山·期末）《九章算術(shù)》是古代中國乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，書本記載了一種名為“芻甍”的五面體（如圖1）．其中四邊形為矩形，，和是三角形，“芻甍”字面意思為茅草屋頂．圖是一棟農(nóng)村別墅，為全新的混凝土結(jié)構(gòu)．它由上部屋頂和下部主體兩部分組成．如圖，屋頂五面體為“芻甍”，其中前后兩坡屋面和是全等的等腰梯形，左右兩坡屋面和是全等的三角形，點(diǎn)F在平面和上射影分別為H，M，已知米，米，梯形的面積是面積的倍．設(shè)．
（1）求屋頂面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
（2）已知上部屋頂造價(jià)由屋頂面積確定，造價(jià)為元/平方米，下部主體造價(jià)由高度確定，造價(jià)為元/米．現(xiàn)欲造一棟上、下總高度為米的別墅，試問：當(dāng)為何值時(shí)，總造價(jià)最低？
題型07 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用（含難點(diǎn)）
【典例7-1】．（24-25高三上·上海楊浦·期中）已知空間單位向量，，，，，則的最大值是 ．
【變式7-1】．（2024·上海嘉定·一模）已知空間向量兩兩垂直，若空間點(diǎn)滿足，記，且，則的取值范圍為 .
【變式7-2】．（23-24高三上·上海寶山·期中）已知、、為空間中三個(gè)單位向量，且、、與夾角為，點(diǎn)P為空間一點(diǎn)，滿足且，則最大值為 ．
題型08 個(gè)數(shù)、種類等問題
【典例8-1】．（2024·上海閔行·二模）已知空間中有2個(gè)相異的點(diǎn)，現(xiàn)每增加一個(gè)點(diǎn)使得其與原有的點(diǎn)連接成盡可能多的等邊三角形.例如，空間中3個(gè)點(diǎn)最多可連接成1個(gè)等邊三角形，空間中4個(gè)點(diǎn)最多可連接成4個(gè)等邊三角形.當(dāng)增加到8個(gè)點(diǎn)時(shí)，空間中這8個(gè)點(diǎn)最多可連接成 個(gè)等邊三角形.
【典例8-2】．（24-25高三上·上海浦東新·期末）已知空間中三個(gè)單位向量、、，，為空間中一點(diǎn)，且滿足，，，則點(diǎn)個(gè)數(shù)的最大值為 ．
【變式8-1】．（2025·上海高考復(fù)習(xí)·專題練習(xí)）如圖，設(shè)點(diǎn)為正四面體表面（含棱）上與頂點(diǎn)不重合的一點(diǎn)，由點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離組成的集合記為，如果集合中有且只有個(gè)元素，那么符合條件的點(diǎn)有 個(gè).

【變式8-2】．（2021·上海楊浦·三模）設(shè)正四面體在空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)為，集合{y|存在，使得}，則集合A的元素個(gè)數(shù)可能為 種.（寫出所有可能的值）
【變式8-3】．（23-24高三上·上海浦東新·期末）已知棱長均為1的正棱柱有個(gè)頂點(diǎn)，從中任取兩個(gè)頂點(diǎn)作為向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)，設(shè)底面的一條棱為．若集合，則當(dāng)中的元素個(gè)數(shù)最少時(shí)，的值為（ ）
A．3B．4C．6D．8
【變式8-4】．（23-24高二上·上?！るA段練習(xí)）設(shè)是空間中給定的2023個(gè)不同的點(diǎn)，則使得成立的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2023個(gè)D．4046個(gè)
題型09 軌跡、圍成面積等問題
【典例9-1】．（2025·上海高考復(fù)習(xí)·專題練習(xí)）在正四棱柱中，，E 為中點(diǎn)，為正四棱柱表面上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)的軌跡的長為 .
【變式9-1】．（2023·上?！つM預(yù)測(cè)）正方體的邊長為1，點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)，是側(cè)面上動(dòng)點(diǎn)，若直線與面的交點(diǎn)位于內(nèi)（包括邊界），則所有滿足要求的點(diǎn)構(gòu)成的圖形面積為 .
【變式9-2】．（2024·上海虹口·一模）已知邊長為2的正四面體的內(nèi)切球（球面與四面體四個(gè)面都相切的球）的球心為O，若空間中的動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡所形成的幾何體的體積為（ ）．
A．B．C．．D．
題型10 空間向量與立體幾何選擇題綜合辨析
【典例10-1】．（24-25高二上·上?！るA段練習(xí)）如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)M、N分別在線段和上，給出下列命題：①有且僅有一條直線與垂直；②存在點(diǎn)M、N，使為等邊三角形，則（ ）

A．①、②均為真命題B．①、②均為假命題
C．①為真命題，②為假命題D．①為假命題，②為真命題
【典例10-2】．（24-25高三上·上海·期中）在正方體中，點(diǎn)P，Q分別是線段上的點(diǎn)（不為端點(diǎn)），給出如下兩個(gè)命題：
①對(duì)任意點(diǎn)P，均存在點(diǎn)Q，使得；
②存在點(diǎn)P，對(duì)任意的Q，均有，則（ ）
A．①②均正確B．①②均不正確
C．①正確，②不正確D．①不正確，②正確
【變式10-1】．（23-24高二下·上海楊浦·期末）如圖，已知正方體的棱長為1，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方形內(nèi)部（不含邊界）運(yùn)動(dòng)，給出以下三個(gè)結(jié)論：
①存在點(diǎn)滿足；
②存在點(diǎn)滿足與平面所成角的大小為；
③存在點(diǎn)滿足；
其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）．
A．0B．1C．2D．3
【變式10-2】．（23-24高二上·上海·期末）在直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，且滿足．點(diǎn)P滿足，其中，則下列說法不正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，的面積S的最大值為
B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值
C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得
D．當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)P，使得平面
【變式10-3】．（23-24高二上·上海·期末）如圖，在正方體中，E為棱的中點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)P沿著棱從點(diǎn)D向點(diǎn)C移動(dòng)，對(duì)于下列四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
（1）存在點(diǎn)P，使得；
（2）存在點(diǎn)P，使得平面；
（3）的面積越來越??；
（4）四面體的體積不變.
A．0B．1C．2D．3
一、填空題
1．（2024·上海崇明·一模）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是 ．
2．（2024·上?！と＃┑酌姘霃介L為，母線長為的圓柱，體積為
3．（2024·上海徐匯·一模）已知為空間中兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，若，則是的 條件.（填：“充分非必要”?“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一個(gè)）
4．（2024·上海奉賢·一模）上海市奉賢區(qū)奉城鎮(zhèn)的古建筑萬佛閣（圖1）的屋檐下常系掛風(fēng)鈴（圖2），風(fēng)吹鈴動(dòng)，悅耳清脆，亦稱驚鳥鈴，一般一個(gè)驚鳥鈴由銅鑄造而成，由鈴身和鈴舌組成，為了知道一個(gè)驚鳥鈴的質(zhì)量，可以通過計(jì)算該驚鳥鈴的體積，然后由物理學(xué)知識(shí)計(jì)算出該驚鳥鈴的質(zhì)量，因此我們需要作出一些合理的假設(shè)：
假設(shè)1：鈴身且可近似看作由一個(gè)較大的圓錐挖去一個(gè)較小的圓錐；
假設(shè)2：兩圓錐的軸在同一條直線上；
假設(shè)3：鈴身內(nèi)部有一個(gè)掛鈴舌的部位的體積忽略不計(jì)．
截面圖如下（圖3），其中，，，則制作個(gè)這樣的驚鳥鈴的鈴身至少需要 千克銅．（銅的密度為）（結(jié)果精確到個(gè)位）
5．（2024·上海奉賢·三模）已知正方體的棱長為，，，…，為正方形邊上的個(gè)兩兩不同的點(diǎn)．若對(duì)任意的點(diǎn)，存在點(diǎn).使得直線與平面以及平面所成角大小均為，則正整數(shù)的最大值為 ．
二、單選題
6．（2024·上海長寧·二模）已知直線和平面，則下列判斷中正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
7．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）已知正方體和點(diǎn)，有兩個(gè)命題：
命題甲：存在條過點(diǎn)的直線，滿足與正方體的每條棱所成角都相等；
命題乙：存在個(gè)過點(diǎn)的平面，滿足與正方體的每個(gè)面所成銳二面角都相等；
則下列判斷正確的是（ ）
A．B．
C．D．的大小關(guān)系與點(diǎn)的位置有關(guān)
由向量數(shù)量積的定義知，要求a與b的數(shù)量積，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a與b的夾角與方向有關(guān)，一定要根據(jù)方向正確判定夾角的大小，才能使a·b計(jì)算準(zhǔn)確．
利用向量法證明平行、垂直關(guān)系，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(盡可能利用垂直條件，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而用向量表示涉及到直線、平面的要素)．
向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量，但向量證明仍然離不開立體幾何的有關(guān)定理．
多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和．
旋轉(zhuǎn)體的表面積是將其展開后，展開圖的面積與底面面積之和．
組合體的表面積求解時(shí)注意對(duì)銜接部分的處理．
7、題源注明：立體幾何與導(dǎo)數(shù)結(jié)合的實(shí)際應(yīng)用中，選用適量解答題來練習(xí)填選題

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