TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27194" 題型01 集合的概念 PAGEREF _Tc27194 \h 1
\l "_Tc22731" 題型02 集合的關(guān)系2
\l "_Tc394" 題型03 集合的運算3
\l "_Tc1766" 題型04 集合與函數(shù)、不等式5
\l "_Tc8506" 題型05 集合的運算（字母運算，含文氏圖）6
\l "_Tc6010" 題型06 充分必要條件8
\l "_Tc22452" 題型07 命題的否定、反證法10
\l "_Tc5641" 題型08 集合難點11
【解題規(guī)律·提分快招】
題型01 集合的概念
【典例1-1】．中國國旗上所有顏色組成的集合為 ．
【答案】{紅,黃}；
【分析】根據(jù)集合的定義即可求解.
【解析】中國國旗上所有顏色組成的集合為紅,黃．
故答案為：紅，黃．
【典例1-2】．已知集合，若，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合元素與集合之間的關(guān)系結(jié)合集合的互異性分析求解.
【解析】因為，且，
則或，解得.
故答案為：.
【變式1-1】．已知，則實數(shù) ．
【答案】
【分析】直接根據(jù)求解即可.
【解析】，
，
解得.
故答案為：.
【變式1-2】．若集合，，則用列舉法表示集合=
【答案】
【分析】根據(jù)題意，分析集合A可得A中的元素，將其元素代入y＝x2+1中，計算可得y的值，即可得B的元素，用列舉法表示即可得答案．
【解析】根據(jù)題意，A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
對于集合B＝{y|y＝x2+1，x∈A}，
當(dāng)x＝±2時，y＝5，
當(dāng)x＝±1時，y＝2，
當(dāng)x＝0時，y＝1；
故答案為
【點睛】本題考查集合的表示方法，注意集合B中x所取的值為A中的元素且必須用列舉法表示．
【變式1-3】．已知集合，若，則實數(shù) ．
【答案】
【分析】利用元素與集合的關(guān)系可得出關(guān)于的等式，解之即可.
【解析】因為集合，若，則，解得.
故答案為：.
題型02 集合的關(guān)系
【典例2-1】．已知集合，且，則實數(shù)的值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，利用元素與集合的關(guān)系，結(jié)合集合元素的性質(zhì)求解即得.
【解析】由集合，且，得或，解得或，
當(dāng)時，，符合題意，
當(dāng)時，且，與集合元素的互異性矛盾，
所以實數(shù)的值為0.
故答案為：
【典例2-2】．已知集合，，且，則 ．
【答案】
【分析】利用集合間的基本關(guān)系及元素與集合的關(guān)系計算即可.
【解析】由題意，，且，可知，所以.
故答案為：
【變式2-1】．若集合，，且，則 ．
【答案】0
【分析】利用兩個集合相等結(jié)合集合元素的互異性求解即可.
【解析】因為集合，所以解得或，
當(dāng)時不滿足集合元素互異性的要求舍去，
當(dāng)時，，
故答案為：0
【變式2-2】．已知集合，，若，則的取值范圍是 .
【答案】[2,+∞)
【分析】由列不等式求的取值范圍，
【解析】∵集合，，，
∴.
∴的取值范圍是[2,+∞).
故答案為：[2,+∞).
【變式2-3】．若集合，則集合的子集最多有 個.
【答案】128
【分析】先求出集合，再求集合的子集個數(shù).
【解析】集合，
所以，
則集合的子集個數(shù)有個.
故答案為:128.
【點睛】本題考查集合子集的個數(shù)，掌握當(dāng)集合中有個元素時，子集的個數(shù)為，屬于基礎(chǔ)題.
題型03 集合的運算
【典例3-1】．已知集合，，則 ．
【答案】
【分析】找出集合A與集合B的公共元素，即可確定出交集．
【解析】因為集合，，
所以.
故答案為：.
【典例3-2】．已知集合，，且，則實數(shù) ．
【答案】
【分析】根據(jù)集合中元素的互異性求的值.
【解析】，或，由互異性，.
故答案為：．
【變式3-1】．已知全集，集合，，則 .
【答案】
【分析】將集合化簡，即可得到，再由交集的運算，即可得到結(jié)果.
【解析】因為，則或x>1，
且，所以.
故答案為：
【變式3-2】．若集合，則 .
【答案】
【分析】
根據(jù)集合的交運算進行運算即可.
【解析】,
故答案為：.
【變式3-3】．已知集合，集合，若，則實數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】由題意分集合是否為空集進行討論，結(jié)合，列出相應(yīng)的不等式（組），從而即可得解.
【解析】集合，集合，且，
若，則，即，此時滿足，即滿足題意；
若，則，即，此時若要使得，
則還需或，解得或，
注意到此時，從而此時滿足題意的的范圍為或；
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.
故答案為： .
題型04 集合與函數(shù)、不等式
【典例4-1】．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】驗證集合中的元素，是否是集合中元素，即可求.
【解析】因為，所以，，所以，，所以，
所以.
故選：C
【典例4-2】．設(shè)集合，，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】變形表達式為相同的形式，利用集合間的關(guān)系，比較可得.
【解析】由題意得，
即是的奇數(shù)倍構(gòu)成的集合，
，
即是的整數(shù)倍構(gòu)成的集合，
所以.
故選：.
【變式4-1】．已知集合中有兩個元素，則實數(shù)m的取值范圍是 .
【答案】
【分析】由題意可知：有2個不同的實數(shù)根，利用判別式列式求解即可.
【解析】由題意可知：有2個不同的實數(shù)根，
則，解得且，
所以實數(shù)m的取值范圍是.
故答案為：.
【變式4-2】．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先求集合，再求.
【解析】，即，得，
即，且,
所以.
故選：D
【變式4-3】．設(shè)集合，，則 ．
【答案】{1}
【分析】分別求解出集合和集合，根據(jù)交集定義求得結(jié)果.
【解析】，
故答案為：
【點睛】本題考查集合運算中的交集運算，涉及到一元二次方程和對數(shù)不等式的求解，屬于基礎(chǔ)題.
題型05 集合的運算（字母運算，含文氏圖）
【典例5-1】．設(shè)集合A、B、C均為非空集合，下列命題中為真命題的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】C
【分析】關(guān)于這幾個命題真假的判斷，真命題可以根據(jù)集合的運算和運算法則證明，如果命題是假命題，則可以舉反例．
【解析】對于A， ，當(dāng)時，結(jié)論不成立，則A錯誤；
對于B, ，當(dāng)時，結(jié)論不成立，則B錯誤；
對于C，因為，，所以，
又，所以，則，則C正確；
對于D，，當(dāng)時，結(jié)論不成立，則D錯誤；
故選：C
【典例5-2】．如圖表示圖形陰影部分的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由韋恩圖可以看出，陰影部分中的元素滿足“是B的元素且C的元素，或是A的元素”，由韋恩圖與集合之間的關(guān)系可得答案．
【解析】圖中陰影部分表示元素滿足：是A中的元素，或者是B與C的公共元素
故可以表示為，也可以表示為：.
故選：B．
【變式5-1】．已知全集為，非空集合滿足.下列各式中，錯誤的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)非空集合、子集的知識求得正確答案.
【解析】依題意，全集為，非空集合滿足，
所以、、、，
所以ABD選項正確， C選項錯誤
故選： C
【變式5-2】．設(shè)是全集的兩個子集，，則下列式子成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)子集、補集、并集、交集的知識來求得正確答案.
【解析】依題意，是全集的兩個子集，，
A選項，，所以A選項錯誤.
B選項，，所以B選項錯誤.
C選項，，所以C選項正確.
D選項，，所以D選項錯誤.
故選：C
【變式5-3】．已知全集和集合M、N、P如圖所示，則圖中陰影部分所表示的集合是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)圖可得陰影部分在集合M中，不在集合N、P中，進而可得答案.
【解析】解：根據(jù)圖可得，陰影部分在集合M中，不在集合N、P中，
則陰影部分所表示的集合是.
故選：B.
題型06 充分必要條件
【典例6-1】．已知x，，則“”是“”的 條件．
【答案】必要不充分
【分析】由已知中，，根據(jù)絕對值的性質(zhì)，分別討論“”“”，與“”“”，的真假，然后根據(jù)充要條件的定義，即可得到答案．
【解析】若，則異號或至少有一個為0，故充分性不成立，
若“”，則，異號，則“”成立，
即“”是“”的必要條件；
即“”是“”的必要不充分條件；
故答案為：必要不充分．
【典例6-2】．設(shè)：，：，是的充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】由是的充分條件，根據(jù)對應(yīng)集合的包含關(guān)系，可得實數(shù)m的取值范圍．
【解析】∵：，：，是的充分條件，
則，則，
∴實數(shù)m的取值范圍是.
故答案為：．
【變式6-1】．“”是“”的（ ）
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充要條件D．既非充分也非必要條件
【答案】A
【分析】應(yīng)用作差法，結(jié)合充分、必要性定義判斷條件間的推出關(guān)系即可.
【解析】由，又，
所以，即，充分性成立；
當(dāng)時，即，顯然時成立，必要性不成立.
故“”是“”的充分非必要條件.
故選：A
【變式6-2】．已知，且是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)不等式所表示的集合的關(guān)系列出不等式，解出即可.
【解析】，解得，設(shè)，，
若是的充分不必要條件，則?，
則有，且等號不會同時取到，解得，
則實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
【變式6-3】．已知集合，集合，若“ ”是“”的充分條件，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】分別求出關(guān)于、的不等式，通過”，求出的范圍即可．
【解析】解：，
或，
由“”，得，
故答案為：．
【點睛】本題考查了充分必要條件，考查對數(shù)函數(shù)以及解不等式問題，考查集合的關(guān)系，是一道基礎(chǔ)題．
題型07 命題的否定、反證法
【典例7-1】．已知命題p：任意正數(shù)x，恒有，則命題p的否定為 ．
【答案】存在正數(shù)，使
【分析】含有全稱量詞的否定，改成特稱量詞即可.
【解析】由全稱命題的否定為特稱命題知：
存在正數(shù)，使.
故答案為：存在正數(shù)，使
【典例7-2】．已知陳述句：所有的滿足性質(zhì)p，則的否定形式為 ．
【答案】存在不滿足性質(zhì)p.
【分析】用全稱量詞命題的否定形式即得結(jié)果.
【解析】陳述句是全稱量詞命題，故其否定形式是：
存在不滿足性質(zhì)p.
故答案為：存在不滿足性質(zhì)p.
【變式7-1】．若要用反證法證明“若，則且”，應(yīng)假設(shè)為
【答案】或
【分析】根據(jù)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的方法，應(yīng)先假設(shè)要證命題的否定成立，求得要證命題的否定，可得結(jié)果.
【解析】要證命題的結(jié)論為且，它的否定為或.
故答案為：或.
【變式7-2】．用反證法證明“若,則或”時,應(yīng)假設(shè) .
【答案】且
【分析】根據(jù)反證法，假設(shè)原命題的結(jié)論的否定即可.
【解析】“或”的否定為“且”.
故答案為：且
【變式7-3】．存在，使得的否定形式是（ ）
A．存在，使得B．不存在，使得
C．對任意的D．對任意的
【答案】C
【分析】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題判斷即可.
【解析】“存在，使得”的否定形式是“對任意的”.
故選：C
題型08 集合難點
【典例8-1】．若規(guī)定集合的子集為的第個子集，其中，則的第211個子集是 ．
【答案】
【分析】正確理解的含義，時，即要先求出滿足的，即的第211個子集應(yīng)含有的元素，計算出，再要求滿足的，即的第211個子集應(yīng)含有的元素，如此類推即得.
【解析】因，則的第211個子集必包含7，此時；
又因則的第211個子集必包含6，此時；
又則的第211個子集必包含4，此時；
又則的第211個子集必包含1；而.
綜上所述，的第211個子集是.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵在于仔細(xì)閱讀題目所提供的信息，正確理解集合的新定義的含義，將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言.
【典例8-2】．設(shè)集合為正整數(shù)，記為同時滿足下列條件的集合的個數(shù)：①，②若，則，③若，則，則
【答案】
【分析】任取偶數(shù)，將除以2，若商仍為偶數(shù)，再除以，，經(jīng)過次后，商必為奇數(shù)，此時商為，從而，的是否屬于，由是否屬于確定，求得的表達式，即可求解.
【解析】任取偶數(shù)，將除以2，
若商仍為偶數(shù)，再除以，，經(jīng)過次后，商必為奇數(shù)，此時商為，
從而，其中為奇數(shù)，，
由題意知，若，則等價于為偶數(shù)；
若，則等價于為奇數(shù)，
所以是否屬于，由是否屬于確定，
設(shè)是中所有奇數(shù)的集合，所以是的子集個數(shù)，
當(dāng)為偶數(shù)（或奇數(shù)）時，中奇數(shù)的個數(shù)為（或），
所以，所以.
故答案為：.
【變式8-1】．設(shè)、、、、是均含有個元素的集合，且，，記，則中元素個數(shù)的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)、、、是集合互不相同的元素，分析可知，然后對的取值由小到大進行分析，驗證題中的條件是否滿足，即可得解.
【解析】解：設(shè)、、、是集合互不相同的元素，若，則，不合乎題意.
①假設(shè)集合中含有個元素，可設(shè)，則，
，這與矛盾；
②假設(shè)集合中含有個元素，可設(shè)，，
，，，滿足題意.
綜上所述，集合中元素個數(shù)最少為.
故選：A.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查集合元素個數(shù)的最值的求解，解題的關(guān)鍵在于對集合元素的個數(shù)由小到大進行分類，對集合中的元素進行分析，驗證題中條件是否成立即可.
【變式8-2】．是正整數(shù)集的子集，滿足：，并有如下性質(zhì)：若、，則，其中表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，則的非空子集個數(shù)為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，先判斷中相鄰兩數(shù)不可能大于等于2，可得2，3，，，從而求出，再根據(jù)子集的個數(shù)與集合元素個數(shù)之間的關(guān)系即可得答案．
【解析】由題意可知：若，，則，，，均屬于，
而事實上，若，中，
所以，
故，中有正整數(shù)，
從而中相鄰兩數(shù)不可能大于等于2，
故2，3，，，
若，，則有，與矛盾，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，則，
所以，，
所以，2，，，
所以非空子集有個．
故答案為：．
【點睛】新定義題型的特點是：通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達到靈活解題的目的.遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決.
【變式8-3】．已知集合是由某些正整數(shù)組成的集合，且滿足：若，則當(dāng)且僅當(dāng)其中且，或其中且.現(xiàn)有如下兩個命題: ①；②集合.則下列選項中正確的是（ ）
A．①是真命題， ②是真命題；B．①是真命題， ②是假命題
C．①是假命題， ②是真命題；D．①是假命題， ②是假命題.
【答案】C
【分析】根據(jù)集合的定義即可判斷①是假命題，根據(jù)集合的定義先判斷，，再由，有，，且，所以，可判斷 ②是真命題.
【解析】因為若，則當(dāng)且僅當(dāng)其中且，或其中且，
且集合是由某些正整數(shù)組成的集合，
所以，，
因為，滿足其中且，所以，
因為，且，，所以，故①是假命題；
記，
當(dāng)時，，因為，，，所以；
下面討論元素與集合的關(guān)系，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，，，所以，
當(dāng)時，，，，所以，
當(dāng)時，，，，所以，依次類推，
當(dāng)時，，，，所以，
下面討論時，集合中元素與集合的關(guān)系，
因為，有，，且，所以，
綜上所述，，有，
即，故②是真命題.
故選：C.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解題的關(guān)鍵在于判斷，，，，再根據(jù)集合的定義求解.
一、填空題
1．（2024·上海奉賢·一模）設(shè)全集，集合，則 ．
【答案】
【分析】利用補集的定義可得出結(jié)合.
【解析】因為全集，集合，則.
故答案為：.
2．（2024·上海·三模）已知集合，，則
【答案】
【分析】把集合中的元素代入不等式檢驗可求得.
【解析】當(dāng)時，，所以，
當(dāng)時，，所以，
當(dāng)時，，所以，
所以.
故答案為：.
3．（2024高三·上?！ｎ}練習(xí)）已知集合，，則 ．
【答案】
【分析】求出集合、，再根據(jù)交集的定義可得．
【解析】由題意，，，
．
故答案為：
4．（2023·上海長寧·二模）若“”是“”的充分條件，則實數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】由充分條件定義直接求解即可.
【解析】“”是“”的充分條件，，，
即實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
5．（2024·上海普陀·二模）已知，設(shè)集合，集合，若，則 .
【答案】2
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合交集的定義，討論或4即可求解．
【解析】集合，集合，，則是的子集，
當(dāng)時，等式不成立，舍去，
當(dāng)時，解得，此時，，滿足題意，
故．
故答案為：2．
6．（15-16高一上·上?！て谥校┘?，集合，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，求出方程組的解即可.
【解析】依題意，由，解得或，
所以.
故答案為：
1、元素與集合的關(guān)系：屬于（ ），不屬于（ ）；
2、對于元素與集合的關(guān)系，牢牢抓住元素是否在集合內(nèi)；
3、集合中元素的特性：確定性，互異性，無序性；
4、解決集合中元素的問題特別注意互異性，有時需要分類討論，或檢驗；
5、集合的表示方法主要有列舉法，描述法，圖法等；
6、充分條件、必要條件的兩種判定方法：
(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進行判斷，適用于定義、定理判斷性問題；
(2)集合法：根據(jù)p，q對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進行判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍的推斷問題．
7、求參數(shù)問題的解題策略：
(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解；
(2)要注意區(qū)間端點值的檢驗．

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