TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27194" 題型01 直接求線面角2
\l "_Tc22731" 題型02 根據(jù)條件求線面角8
\l "_Tc394" 題型03 根據(jù)條件求線線角14
\l "_Tc1766" 題型04 直接求二面角16
\l "_Tc8506" 題型05 根據(jù)條件求面面角20
\l "_Tc6010" 題型06 空間中的距離問題32
\l "_Tc22452" 題型07 存在性問題34
\l "_Tc5641" 題型08 其他問題39
【解題規(guī)律·提分快招】
題型01 直接求線面角
【典例1-1】．（2024·上海·三模）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．

(1)求證：；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)可得平面，即得；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用題設(shè)建系，依次寫出各相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的一個(gè)法向量，利用空間向量夾角的坐標(biāo)公式計(jì)算即得.
【解析】（1）因，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則,
因平面平面，且平面平面, 平面，故平面，
又平面,故.
（2）

如圖，取中點(diǎn),連接，由（1）知平面，，可得,
因，故,則可分別以為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.
又，，，，則,
于是，,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，故可取，
設(shè)直線與平面所成角為，則，
即直線與平面所成角的正弦值為.
【典例1-2】．（2022·上?！つM預(yù)測(cè)）如圖所示三棱錐P-ABC，底面為等邊三角形ABC，O為AC邊中點(diǎn)，且底面ABC，

(1)求三棱錐P-ABC的體積；
(2)若M為BC中點(diǎn)，求PM與平面PAC所成角大小（結(jié)果用反三角數(shù)值表示）.
【答案】(1)1；
(2)．
【分析】（1）由棱錐體積公式計(jì)算；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法二面角．
【解析】（1）底面ABC，底面ABC，則，連接，同理，
又，，∴，
而，
所以；
（2）由已知，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
由已知，
則，，，∴，
，易知平面的一個(gè)法向量是，
，
設(shè)PM與平面PAC所成角大小為，則，，∴．

【變式1-1】．（2024·上海徐匯·二模）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面圓的圓心，為圓的直徑，且，是底面圓的內(nèi)接正三角形，為線段上一點(diǎn)，且.
(1)證明：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由勾股定理可得，，由此即可證明；
（2）方法一：建立空間直角坐標(biāo)系，求解以及平面的法向量為，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得線面夾角即可；方法二：利用體積相等求解點(diǎn)到平面的距離，即可得與平面所成角．
【解析】（1）證明：由題意得，，
，，
，
在中，由，得，
同理可得，又平面，故平面.
（2）（方法一）如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則點(diǎn)，故，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，可得，
設(shè)直線與平面所成角為，
故，
因此直線與平面所成角的正弦值.
（方法二），，
則，．
記點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)椋?br>所以，則，
設(shè)直線與平面所成角為，，
因此，直線與平面所成角的正弦值為．
【變式1-2】．（2023·上海普陀·三模）如圖，在四棱錐中，正方形的邊長(zhǎng)為2，平面平面，且，，點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn).

(1)求證：直線平面；
(2)求直線與平面所成角的大小.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）連接可得為的中位線，再利用線面平行的判定定理即可得出證明；
（2）利用四棱錐的結(jié)構(gòu)特征以及線面垂直的判定定理，建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量和線面角的位置關(guān)系，即可求得直線與平面所成角的大小為.
【解析】（1）根據(jù)題意可知，連接，則交與；如下圖所示：

在中，為的中點(diǎn)，又點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，
所以，
又平面，平面，
所以直線平面；
（2）由平面平面，且平面平面，
又四邊形是正方形，所以，又平面，
所以平面；
過點(diǎn)作直線平行于，又，
所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線，直線，直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系；如下圖所示：

由正方形的邊長(zhǎng)為2，，可得，；
所以；
；
又點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn)，所以；
即；
設(shè)平面的一個(gè)法向量為；
所以，可得，令，解得；
即
設(shè)直線與平面所成的角為，則
，解得；
所以直線與平面所成角的大小為.
【變式1-3】．（2023·上海虹口·三模）已知圓錐的頂點(diǎn)為S，底面圓心為O，半徑為2，母線SA?SB的長(zhǎng)為，且M為線段AB的中點(diǎn)．

(1)證明：平面SOM平面SAB；
(2)求直線SM與平面SOA所成角的大?。?br>【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)線面垂直判定定理證明線面垂直再由面面垂直判定定理證明即可；
（2）由線面角定義求線面角求正切再求角即可.
【解析】（1）因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，且，平面，平面，
所以平面，
又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?br>（2）
設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)榈酌?，所?平面，平面，,
所以平面，
所以即是直線與平面所成角．
因?yàn)閳A錐的底面半徑為2，母線長(zhǎng)為，所以高，
得．
因?yàn)椋?br>所以，
所以．
題型02 根據(jù)條件求線面角
【典例2-1】．（2024·上海虹口·二模）如圖，在三棱柱中，，為的中點(diǎn)，，.
(1)求證：平面；
(2)若平面，點(diǎn)在棱上，且平面，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，即可得到，從而得證；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由平面，則即可求出，從而確定點(diǎn)坐標(biāo)，再由空間向量法計(jì)算可得.
【解析】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，
為的中點(diǎn)，在平行四邊形中為的中點(diǎn)，
是的中位線，可得，
平面，平面，
平面；
（2）因?yàn)槠矫?，平面，所以，，又?br>故以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.
所以 ，則，
又，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即，取得，
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
故直線與平面所成角的正弦值為.
【典例2-2】．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）如圖為正四棱錐為底面的中心．
(1)若，求繞旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積；
(2)若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)正四棱錐的數(shù)據(jù)，先算出直角三角形的邊長(zhǎng)，然后求圓錐的體積；
（2）連接，可先證平面，根據(jù)線面角的定義得出所求角為，然后結(jié)合題目數(shù)量關(guān)系求解.
【解析】（1）正四棱錐滿足且平面，由平面，則，
又正四棱錐底面是正方形，由可得，，
故，
根據(jù)圓錐的定義，繞旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是以為軸，為底面半徑的圓錐，
即圓錐的高為，底面半徑為，
根據(jù)圓錐的體積公式，所得圓錐的體積是
（2）連接，由題意結(jié)合正四棱錐的性質(zhì)可知，每個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，
由是中點(diǎn)，則，又平面，
故平面，即平面，又平面，
于是直線與平面所成角的大小即為，
不妨設(shè)，則，，
又線面角的范圍是，
故.即為所求.
【變式2-1】．（2024·上海奉賢·三模）如圖，四棱錐的底面是梯形，，，，平面，．
(1)求證：平面
(2)若二面角的大小為，求與平面所成的角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)、判定推理即得.
（2）由已知及（1）確定二面角的平面角及線面角，再結(jié)合數(shù)量關(guān)系求出線面角的正切.
【解析】（1）在四棱錐中，連接，由平面，平面，
得，而，平面，
所以平面.
（2）在梯形中，由，，得，又，
則，由（1）知，平面，平面，得，
則，是與平面所成的角，是二面角的平面角，
即，在中，，于是，
因此，所以與平面所成角的大小為.
【變式2-2】．（2024高三下·上海·專題練習(xí)）如圖，在圓柱中，底面直徑等于母線，點(diǎn)在底面的圓周上，且，是垂足．
(1)求證：；
(2)若圓柱與三棱錐的體積的比等于，求直線與平面所成角的大小．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，證得平面，得到，結(jié)合，證得平面，進(jìn)而證得；
（2）過點(diǎn)作，證得平面，得到是與平面所成的角，設(shè)圓柱的底面半徑為，求得，進(jìn)而求得的值．
【解析】（1）證明：根據(jù)圓柱性質(zhì)，平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br>又因?yàn)槭菆A柱底面的直徑，點(diǎn)在圓周上，所以，
因?yàn)榍移矫?，所以平面?br>又因?yàn)槠矫?，所以?br>因?yàn)椋遥移矫?，所以平面?br>又因?yàn)槠矫?，所以?br>（2）解：過點(diǎn)作，是垂足，連接，
根據(jù)圓柱性質(zhì)，平面平面，且平面平面,
且平面，所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以是在平面上的射影?br>從而是與平面所成的角，
設(shè)圓柱的底面半徑為，則，
所以圓柱的體積為，且，
由，可得，可知是圓柱底面的圓心，且，
且，
在直角中，可得，所以．
【變式2-3】．（2024·上海·模擬預(yù)測(cè)）如圖，多面體是由一個(gè)正四棱錐與一個(gè)三棱錐拼接而成，正四棱錐的所有棱長(zhǎng)均為，且．
(1)在棱上找一點(diǎn)，使得平面平面，并給出證明；
(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)點(diǎn)為的中點(diǎn)，證明見解析
(2)
【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，平面平面，依題意可得，從而得到，再由，即可證明平面，從而得證；
（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的空間向量求法即可.
【解析】（1）當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，平面平面，
證明如下：因?yàn)樗睦忮F是正四棱錐，所以，所以.
在正方形中，，所以，
在正方形中，，因?yàn)?，所以?br>因?yàn)槊妫?br>所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以平面平?
（2）因?yàn)樗睦忮F是正四棱錐且所有棱長(zhǎng)均為，設(shè)，
則，，兩兩垂直，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，則，
設(shè)，則，因?yàn)?，?br>所以，則，解得，所以，
所以，
設(shè)平面的法向量為，則有，
取，則，故，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
題型03 根據(jù)條件求線線角
【典例3-1】．（2024高三·上?！ｎ}練習(xí)）如圖，在四棱錐中，已知底面為矩形，側(cè)面是正三角形，側(cè)面底面是棱的中點(diǎn)，.
(1)證明：平面；
(2)若二面角為，求異面直線與所成角的正切值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì) 判定推理即得.
（2）作出二面角的平面角，由此求出，再利用異面直線所成角的定義求出其正切值.
【解析】（1）在四棱錐中，由底面為矩形，得，
由側(cè)面底面，側(cè)面底面平面，
得平面，又平面，則，
又側(cè)面是正三角形，是的中點(diǎn)，則，
又平面，所以平面.
（2）如圖，
在平面內(nèi)，過點(diǎn)作，垂足為，顯然，
由側(cè)面底面，交線為，得底面，底面，
則，過作，垂足為，連接，顯然，
平面，則平面，而平面，因此，
則即為二面角的平面角，其大小為，
在中，，則，
由，得四邊形為平行四邊形，則，
由，得（或其補(bǔ)角）為異面直線與所成角，
由（1）知平面，則為直角三角形，，
所以異面直線與所成角的正切值為.
【變式3-1】．（2024·上海寶山·二模）如圖，已知點(diǎn)在圓柱的底面圓的圓周上，AB為圓的直徑.
(1)求證：；
(2)若，，圓柱的體積為，求異面直線與所成角的大小.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）通過證明平面，即可求解；
（2）延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，連接、、，易知(或其補(bǔ)角即為所求的角，即可求解.
【解析】（1）證明：易知，
又由平面，平面，得，
而平面，
則平面，而平面，故.
（2）延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，連接、、，
易知(或其補(bǔ)角即為所求的角，
由題知，解得，
中，
由余弦定理得，
所以，所以異面直線與所成角的大小為.
題型04 直接求二面角
【典例4-1】．（2024·上?！ひ荒＃┤庵?，平面，且，為中點(diǎn)．

(1)求四面體的體積：
(2)求平面與所成銳二面角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等體積法，再根據(jù)條件，即可求出結(jié)果；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與的法向量，再利用面面角的向量法，即可求出結(jié)果.
【解析】（1）因?yàn)槠矫?，又面，所以?br>又，，面，所以面，
因?yàn)槊妫缘矫娴木嚯x即,
又，，
所以.
（2）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，?br>則，
所以
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
由，得到，取，得到，所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則由，得到，取，則，所以，
設(shè)平面與所成銳二面角為，
則.

【變式4-1】．（2024·上海金山·二模）如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形（及其內(nèi)部）以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，異面直線與所成的角是．

(1)求證：；
(2)若，，求二面角的大小．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由題意易得，結(jié)合，可證平面，進(jìn)而可證結(jié)論；
（2）法一：取的中點(diǎn)，連接，，，取中點(diǎn)，連接，，，可得為所求二面角的平面角，進(jìn)而求解可得二面角E?AG?C的大?。?br>法二：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、的方向?yàn)椤?、軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量和平面的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式可求得二面角E?AG?C的大?。?br>【解析】（1）因?yàn)?，所以是直線與所成角，為，
所以，得，
又因?yàn)椋?，平面，平面?br>所以平面，
由平面，得．
（2）解法一：取的中點(diǎn)，連接，，．
因?yàn)椋?br>所以四邊形為菱形，
所以．
取中點(diǎn)，連接，，．

則，，
所以為所求二面角的平面角．
又，所以．
在中，由于，
由余弦定理得，
所以，因此為等邊三角形，
因此二面角E?AG?C的大小為．
解法二：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、的方向?yàn)?、、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
由題意得，，，，

故，，，
設(shè)是平面的一個(gè)法向量．
由，可得，
取，可得平面的一個(gè)法向量．
設(shè)是平面的一個(gè)法向量．
由，可得，
取，可得平面的一個(gè)法向量．
所以．
因此二面角E?AG?C的大小為．
題型05 根據(jù)條件求二面角
【典例5-1】．（2024·上海·模擬預(yù)測(cè)）如圖，、、為圓錐三條母線，.
(1)證明:；
(2)若圓錐側(cè)面積為為底面直徑，，求二面角的大小
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取中點(diǎn)，連接、，則，故可得面，從而得到.
（2）利用向量法可求面、面的法向量，計(jì)算出它們的夾角的余弦值后可得二面角的余弦值.
【解析】（1）取中點(diǎn)，連接、，
因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)槊婷?，所以面?br>因?yàn)槊?，所?
（2）因?yàn)闉橹睆?，故為底面圓的圓心，故平面，而
故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)閳A錐側(cè)面積為為底面直徑，，所以底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，
所以，
則可得，
故，
設(shè)為平面的法向量，則，
令，則，所以.
設(shè)為平面的法向量，
則，
令，則，所以.
則，
設(shè)二面角為，則為鈍角，
所以二面角的大小為.
【典例5-2】．（2024·上?！と＃┤鐖D，在三棱錐中，，，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)．
(1)證明：平面ABC；
(2)點(diǎn)M在棱BC上，且，求二面角的大?。?br>【答案】(1)證明見解析
(2)．
【分析】（1）根據(jù)等腰和等邊三角形的性質(zhì)證明以及，然后利用線面垂直的判斷證明平面ABC
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求角公式求解即可
【解析】（1）連結(jié)OB，，，所以，
所以是等腰直角三角形，又點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，所以，
由已知可得，是等邊三角形，所以，
又，所以，所以，
中，，O是AC的中點(diǎn)，所以，
，，，且平面ABC，平面ABC，
所以平面ABC．
（2）OB，OC，OP兩兩垂直，以、、為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系
則，，，，
由，即
所以點(diǎn)
則，，
設(shè)平面APM的—個(gè)法向量為，
則，令，
平面PAC的一個(gè)法向量，
，
所求二面角的平面角是銳角，所以二面角為的大小為．
【變式5-1】．（2024高三·上海·專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，平面平面，，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形.
(1)證明：平面；
(2)若直線與平面所成的角為30°，求二面角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）先證明平面，從而得到，進(jìn)而即可證明平面；
（2）結(jié)合（1）及題意可得為直線與平面所成的角，即，從而得到，，．（方法一）過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，連結(jié)，先證明，平面，再平面，從而證明，從而可得是二面角的平面角，進(jìn)而即可求出二面角的余弦值；（方法二）取的中點(diǎn)，連結(jié)，先證明平面，再取的中點(diǎn)，以為基底，建立空間直角坐標(biāo)系，再根據(jù)向量夾角公式即可求解．
【解析】（1）因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以?br>又平面平面，平面，平面平面，所以平面，
因?yàn)槠矫妫裕?br>又因?yàn)?，，平面，?br>所以平面．
（2）由（1）知，為直線與平面所成的角，即，
又正方形的邊長(zhǎng)為2，所以，，所以，
（方法一）過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，連結(jié)，
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>又，平面，，所以平面，
又平面，則，
又，平面，，所以平面，
又平面，所以，
所以是二面角的平面角，
在直角中，，，
所以，所以，
即二面角的余弦值為．
（方法二）取的中點(diǎn)，連結(jié)，
因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面?br>取的中點(diǎn)，則，
以為基底，建立空間直角坐標(biāo)系，
所以B1,0,0，，，
所以，，
設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，
則，即，取，則，
取平面的法向量，
設(shè)二面角的大小為，
則，
因?yàn)槎娼菫殇J角，所以，
即二面角的余弦值為．
【變式5-2】．（2024高三·上?！ｎ}練習(xí)）小紅同學(xué)利用計(jì)算機(jī)動(dòng)畫演示圓柱的形成過程，將正方形繞直線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)弧度時(shí)，到達(dá)的位置，得到如圖所示的幾何體.
(1)求證：平面平面；
(2)若是的中點(diǎn)，求二面角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由已知可證平面，可證，根據(jù)，可證平面，可證結(jié)論；
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角系，求得平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，利用向量法可求二面角的余弦值，進(jìn)而可求結(jié)論.
【解析】（1）平面，
平面，平面，，
是正方形，.
又平面，
平面，
又平面平面平面.
（2）由（1）知：兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.
，不妨設(shè)，
則，
，
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，
則，取得.
同理可得平面的一個(gè)法向量為n=1,-1,1.
，
即二面角的余弦值的絕對(duì)值為
二面角的正弦值為.
【變式5-3】．（2023·上海浦東新·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直三棱柱內(nèi)接于圓柱，，平面平面
(1)證明：是圓柱下底面的直徑；
(2)若為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，求平面與平面所成二面角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）連接，利用平面平面可得到平面，繼而得到，結(jié)合可得到平面，所以，即可求證；
（2）以為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出平面和平面的法向量，然后用夾角公式進(jìn)行求解即可
【解析】（1）連接，在直三棱柱中，，
四邊形為正方形，，
又平面平面，平面平面平面，
平面，又平面
又平面平面，
又平面，
平面，又平面，
為圓柱底面的直徑.
（2）由已知平面，
以為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，
，
為中點(diǎn)，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，又，
，取，得，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，又，
，取，得，
，
所以平面與平面所成二面角的余弦值為，對(duì)應(yīng)的正弦值為
【變式5-4】．（2023·上海奉賢·一模）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，已知四面體中，平面，．
(1)若，求證：四面體是鱉臑，并求該四面體的體積；
(2)若四面體是鱉臑，當(dāng)時(shí)，求二面角的平面角的大?。?br>【答案】(1)證明見解析，
(2)或
【分析】（1）借助線面垂直證明面面垂直，結(jié)合題目所給長(zhǎng)度，運(yùn)用勾股定理證明四面全為直角三角形即可，體積借助體積公式計(jì)算即可得；
（2）根據(jù)題意，會(huì)出現(xiàn)兩種情況，即或，分類討論計(jì)算即可得.
【解析】（1）平面，、平面，
、，
、為直角三角形，
在直角中，，
在直角中，，
在中，有，
，故為直角三角形，
在中，有，
故，故為直角三角形，
故四面體四個(gè)面都是直角三角形，即四面體是鱉臑，
；
（2）平面，平面，
，
由，
故不可能是直角，
若，則有，
又，、平面，，
故平面，又平面，
故，
是二面角的平面角，
，，，，
所以二面角的平面角的大小為．
若，
同理可得是二面角的平面角，
所以，
所以二面角的平面角的大小為，
綜上所述，二面角的平面角的大小為或.
【變式5-5】．（2024·上海黃浦·二模）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，點(diǎn)E是棱PD上的一點(diǎn)，平面.

(1)求證：點(diǎn)E是棱PD的中點(diǎn)；
(2)若平面，，，與平面ABCD所成角的正切值為，求二面角的大小.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）作出輔助線，由線面平行得到線線平行，結(jié)合點(diǎn)是BD的中點(diǎn)，得到證明；
（2）方法一：作出輔助線，得到就是PC與平面ABCD所成角，從而根據(jù)正切值得到，證明出線面垂直，得到是二面角的平面角，求出各邊長(zhǎng)，從而得到；
方法二：作出輔助線，得到就是PC與平面ABCD所成角，建立空間直角坐標(biāo)系，得到平面的法向量，利用法向量夾角余弦值得到二面角的大小.
【解析】（1）連接BD，它與AC交于點(diǎn)，連接EF，
四邊形ABCD為矩形，
為BD的中點(diǎn)，
平面AEC，平面PBD經(jīng)過PB且與平面AEC交于，
，
又點(diǎn)是BD的中點(diǎn)，
點(diǎn)是棱的中點(diǎn).
（2）方法一：∵PA⊥平面，平面，
且就是PC與平面ABCD所成的角，
故，解得.
四邊形ABCD為矩形，
，又，PA與AD是平面PAD內(nèi)的兩相交直線，
平面PAD.
在平面PAD內(nèi)作，垂足為，連接GF，則，
是二面角的平面角.
在直角三角形PAD中，，點(diǎn)是PD的中點(diǎn)，
，且，
平面平面，
，故，所以，
故二面角的大小為.
方法二：∵PA⊥平面，平面，
且就是PC與平面ABCD所成的角，
又四邊形ABCD為矩形，，
分別以AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)是平面AEC的一個(gè)法向量，二面角的大小為，
由，可得，
則，
故，
解得且，所以，
又是平面AED的一個(gè)法向量，且為銳角，
故，可得.
所以二面角的大小為.
題型06 空間中的距離問題
【典例6-1】．（2023·上海崇明·一模）如圖，四棱錐中，平面，，，，，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)求點(diǎn)B到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）設(shè)是的中點(diǎn)，連接，，證明四邊形是平行四邊形，可得，再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；
（2）先證明，再利用等體積法求解即可.
【解析】（1）證明：取中點(diǎn)，連接、，
由于是的中點(diǎn)，則，，
由于，，所以，，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
由于上，平面，
所以平面.
（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
因?yàn)槠矫妫矫?，所以?br>由于，，所以四邊形是平行四邊形，
由于，所以，
由于平面，
所以平面，
又平面，所以，
在中，，所以，又.
由得，
即，
所以，即點(diǎn)B到平面的距離為.
【變式6-1】．（2023·上海楊浦·一模）如圖所示，在四棱錐中，平面，底面是正方形.

(1)求證：平面平面；
(2)設(shè)，若四棱錐的體積為，求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）先證明線面垂直，再由面面垂直的判定定理得證；
（2）利用等體積法求解即可.
【解析】（1）因?yàn)槠矫妫矫妫?br>所以，
因?yàn)榈酌媸钦叫危裕?br>又平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面.
（2）因?yàn)樗睦忮F的體積為，
所以，解得，
又平面，所以，
所以，,
所以正三角形面積為，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
則由可得：，
即，解得.
即點(diǎn)到平面的距離為.
題型07 存在性問題
【典例7-1】．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在多面體中，已知四邊形是菱形，，平面，平面，.
(1)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)存在，為的中點(diǎn)
(2)
【分析】（1）設(shè)為的中點(diǎn)，連接，利用線面垂直可得，從而根據(jù)平行關(guān)系可證得平面，平面，再結(jié)合面面平行的判定定理即可證得結(jié)論；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求解平面與平面的法向量，再根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算確定法向量夾角的余弦值，根據(jù)二面角的性質(zhì)即可得結(jié)論.
【解析】（1）線段上存在一點(diǎn)，使得平面平面，且為的中點(diǎn).理由如下：
如圖，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，即?br>又，所以，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?br>又，，所以四邊形是平行四邊形，
所以，，
又，，所以，，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?br>又，平面，
所以平面平面.
（2）連接，設(shè)與相交于點(diǎn)，
因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所?
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，過點(diǎn)且與平行的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，故，，，.
設(shè)是平面的法向量，
則，即，
取，則，故.
設(shè)是平面的法向量，
則，即，
故，取，則，故.
所以，
由圖易知二面角是鈍二面角，
所以二面角的余弦值為.
【典例7-2】．（2023·上海長(zhǎng)寧·三模）已知和所在的平面互相垂直，，，，，是線段的中點(diǎn)，.
(1)求證：；
(2)設(shè)，在線段上是否存在點(diǎn)（異于點(diǎn)），使得二面角的大小為.
【答案】(1)證明見解析
(2)不存在，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)余弦定理計(jì)算，根據(jù)勾股定理得到，確定平面，得到證明.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算各點(diǎn)坐標(biāo)，平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算得到答案.
【解析】（1），故，
，則，故，
又，平面，，故平面，
平面，故，

（2）△和△所在的平面互相垂直，則平面平面，
且平面，故平面，
如圖所示：以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，設(shè)，，
平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
取得到，
則，解得，不滿足題意.
綜上所述：不存在點(diǎn)，使二面角的大小為.
【變式7-1】．（2024高三·上海·專題練習(xí)）如圖，在四面體中，平面，點(diǎn)為中點(diǎn)，且，，.
(1)證明：；
(2)求平面與平面夾角的余弦值；
(3)在直線上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在；求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)證明見詳解
(2)
(3)存在，
【分析】（1）由勾股定理得，由平面得，從而平面，進(jìn)而得出結(jié)論；
（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，利用向量夾角公式求解；
（3）設(shè)，則，求得，設(shè)直線與平面所成角為，由題意，列式求解即可.
【解析】（1）因?yàn)?，則，即，
又因?yàn)槠矫?，平面，則，
且，平面，
可得平面，
由平面，可得.
（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
可得,
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，可得，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，可得，
則，
所以平面和平面夾角的余弦值為.
（3）設(shè)，則，
設(shè)，則，得，
即，可得，
平面的法向量為，
設(shè)直線與平面所成角為，
由題意，，
整理可得，解得或（舍去），
所以存在，使得直線與平面所成角的正弦值為，此時(shí).
題型08 其他問題
【典例8-1】．（2023·上海普陀·二模）如圖，在直三棱柱中，，，．
(1)求證：；
(2)設(shè)與底面ABC所成角的大小為，求三棱錐的體積．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由證出，再由線面垂直的性質(zhì)得出，
然后根據(jù)線面垂直的判定定理即可得證；
（2）由為與底面ABC所成角求出棱柱的高，再由等體積法求體積即可.
【解析】（1），，，
，
，
又直三棱柱中，平面，
平面，，
又，平面，
平面，
平面，.
（2）平面，
在平面上的射影為，即為與底面ABC所成角，
，，
.
【典例8-2】．（2023·上海閔行·二模）已知正方體，點(diǎn)為中點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn).

(1)證明：點(diǎn)為的中點(diǎn)；
(2)若點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值.
【答案】(1)證明見解析.
(2).
【解析】（1）在正方體中，，又平面，且平面，
則平面，而交平面于點(diǎn)，即平面，
又平面，有平面，因此平面平面，
于是，而為中點(diǎn)，
所以為的中點(diǎn).
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為3，設(shè)，
則,
從而，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則
,即,不妨取,則,即，
設(shè)直線與平面所成角為，
又直線與平面所成角的正弦值為，
因此，解得，
所以.
【變式8-1】．（2023·上海普陀·一模）圖1所示的是等腰梯形，，，，于點(diǎn)，現(xiàn)將沿直線DE折起到的位置，形成一個(gè)四棱錐，如圖2所示.
(1)若，求證：平面；
(2)若直線與平面所成的角為，求二面角的大小.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）連接，由，證得,再由，利用線面垂直的判定定理，即可證得平面；
（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意證得平面平面，過點(diǎn)作，證得平面，得到，分別求得平面和平面的法向量和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.
【解析】（1）證明：如圖所示，連接，
因?yàn)榈妊菪?，，，，?br>可得，且,即，
因?yàn)椋瑒t，所以,
又因?yàn)椋?，平面?br>所以平面.

（2）解：以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，以過點(diǎn)垂直于平面為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
因?yàn)?，且，平面?br>所以平面，
又因?yàn)槠矫?，所以平面平面?br>過點(diǎn)作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以平面，所以為與平面所成的角，所以，
可得，則，
設(shè)平面的法向量為，則，
取，可得，所以，
又由軸垂直平面，可得平面的一個(gè)法向量為，
則，
所以二面角的大小.

【變式8-2】．（2023·上海嘉定·一模）中國(guó)歷史悠久，積累了許多房屋建筑的經(jīng)驗(yàn)．房梁為柱體，或取整根樹干而制為圓柱形狀，或作適當(dāng)裁減而制為長(zhǎng)方體形狀，例如下圖所示．
材質(zhì)確定的梁的承重能力取決于截面形狀，現(xiàn)代工程科學(xué)常用抗彎截面系數(shù)W來刻畫梁的承重能力．對(duì)于兩個(gè)截面積相同的梁，稱W較大的梁的截面形狀更好．三種不同截面形狀的梁的抗彎截面系數(shù)公式，如下表所列，
(1)假設(shè)上表中的三種梁的截面面積相等，請(qǐng)問哪一種梁的截面形狀最好？并具體說明；
(2)宋朝學(xué)者李誡在《營(yíng)造法式》中提出了矩形截面的梁的截面長(zhǎng)寬之比應(yīng)定為的觀點(diǎn)．考慮梁取材于圓柱形的樹木，設(shè)矩形截面的外接圓的直徑為常數(shù)D，如下圖所示，請(qǐng)問為何值時(shí)，其抗彎截面系數(shù)取得最大值，并據(jù)此分析李誡的觀點(diǎn)是否合理．
【答案】(1)矩形截面的梁的截面形狀最好.
(2)答案見解析
【分析】（1）根據(jù)題意，得到，，，結(jié)合題意，得到，得到結(jié)論；
（2）根據(jù)題意，得到，得到，求得函數(shù)的單調(diào)性，求得時(shí)，取得最大值，進(jìn)而得到結(jié)論.
【解析】（1）解：假設(shè)截面面積均為正常數(shù)，
可得，，，
所以，
又因?yàn)?，所以，所?
綜上，，于是矩形截面的梁的截面形狀最好.
（2）解：由，
可得，
可得
所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，
此時(shí)，當(dāng)，于是，
因?yàn)榈慕Y(jié)論與抗彎系數(shù)理論的結(jié)論不同，但比較接近，是合理的，應(yīng)肯定李誡從實(shí)踐總總結(jié)的經(jīng)驗(yàn)的實(shí)用價(jià)值，
考慮到所處的時(shí)代，從歷史辯證的角度，其觀點(diǎn)代表了我國(guó)古代在工程技術(shù)方面已經(jīng)達(dá)到了較高的水平.
一、解答題
1．（2023·上?！つM預(yù)測(cè)）在直四棱柱中，，，，，
(1)求證：平面；
(2)若四棱柱體積為36，求二面角大小.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用直四棱柱的性質(zhì)及線面平行的判定定理，可證平面平面，再由面面平行的性質(zhì)定理，即可得證；
（2）先根據(jù)棱柱的體積公式求得，再利用二面角的定義，求解即可．
【解析】（1）由題意知，，
因?yàn)槠矫妫矫妫?br>所以平面，
因?yàn)椋移矫?，平面?br>所以平面，
又，、平面，
所以平面平面，
因?yàn)槠矫妫?br>所以平面．
（2）由題意知，底面為直角梯形，
所以梯形的面積，
因?yàn)樗睦庵捏w積為36，
所以，
過作于，連接，
因?yàn)槠矫妫移矫妫?br>所以，
又，、平面，
所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br>所以即為二面角的平面角，
在△中，，
所以，
所以，即，
故二面角的大小為．
2．（2024·上海楊浦·二模）如圖，為圓錐頂點(diǎn)，為底面中心，，，均在底面圓周上，且為等邊三角形.

(1)求證：平面平面；
(2)若圓錐底面半徑為2，高為，求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）連接，根據(jù)給定條件，利用線面垂直的性質(zhì)判定、面面垂直的判定推理即得.
（2）連接，作于，證明平面，再計(jì)算即得.
【解析】（1）連接，交于點(diǎn)，由為等邊三角形，得是的中心，則，
而平面，平面，則，又平面，
因此平面，又平面，
所以平面平面.

（2）連接，作于，由（1）知平面，平面，則，
而平面，則平面，
顯然，，則，
而，于是≌，因此，
所以點(diǎn)到平面的距離為.
3．（2024·上海閔行·二模）如圖，已知為等腰梯形， ，，平面，.
(1)求證：；
(2)求二面角的大小.
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）連接，利用等腰梯形的性質(zhì)證得，再利用線面垂直的性質(zhì)判定推理即得.
（2）取的中點(diǎn)，作出二面角的平面角，在中求解即得.
【解析】（1）連接，在等腰梯形中，，，，
則，于是，即，
由平面，平面，得，
而平面，因此平面，又平面，
所以.
（2）取的中點(diǎn)，連接，由，得，
在中，，
由平面，平面，得，
則，于是，
因此為二面角的平面角，
因?yàn)?，平面?br>則平面，又平面，則，
在中，，，則，
所以二面角的大小為.
4．（2024·上海松江·二模）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面，為的中點(diǎn).
(1)設(shè)平面與直線相交于點(diǎn)，求證：；
(2)若，，，求直線與平面所成角的大小.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理，證出平面，然后根據(jù)平面平面，利用線面平行的性質(zhì)定理證出；
（2）連接，取中點(diǎn)，連接、，根據(jù)線面垂直的判定定理，證出平面，可得是直線與平面的所成角，然后在中利用銳角三角函數(shù)的定義算出答案．
【解析】（1）證明：平面與直線相交于點(diǎn)，平面平面，
四邊形是菱形，，
平面，平面，平面，
平面，平面平面，
；
（2）連接，取中點(diǎn)，連接、，
菱形中，，，是等邊三角形，
是中點(diǎn)，，
平面，平面，，
、平面，，平面．
是直線與平面的所成角，
是中點(diǎn)，，．
平面，平面，，
為中點(diǎn)，，中，，
等邊中，高，
中，，
可得，即直線與平面的所成角等于．
5．（2024·上海嘉定·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正四棱錐中，，E、F分別為PB、PD的中點(diǎn)，平面與棱PC的交點(diǎn)為G.
(1)求平面與平面所成銳二面角的大小；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）連接AC，BD，相交于點(diǎn)O，連接EF，與OP相交于點(diǎn)Q，依題意可得，從而得到平面，設(shè)平面與平面相交于直線l，根據(jù)線面平行的性質(zhì)得到，連接QA，即可得到，又，則即為平面與平面所成銳二面角，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義計(jì)算可得；
（2）延長(zhǎng)AQ，則由兩平面相交的性質(zhì)可得AQ一定過點(diǎn)G，過點(diǎn)G作交AC于點(diǎn)M，依題意可得底面ABCD，設(shè)，則，根據(jù)，即可求出，最后根據(jù)計(jì)算可得.
【解析】（1）連接AC，BD，相交于點(diǎn)O，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，
所以O(shè)是正方形的中心，連接PO，因?yàn)樗睦忮F是正四棱錐，則底面ABCD，
連接EF，與OP相交于點(diǎn)Q，因?yàn)镋、F分別為PB、PD的中點(diǎn)，
則Q為OP，EF的中點(diǎn)，EF是三角形PBD的中位線，所以，
因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以平面ABCD，平面，
設(shè)平面AEGF與平面ABCD相交于直線l，故，連接QA，
則因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?br>因?yàn)?，所以，?br>故即為平面AEGF與平面ABCD所成銳二面角，其中，，所以，
即平面AEGF與平面ABCD所成銳二面角的大小為；
（2）延長(zhǎng)AQ，因?yàn)槠矫嫫矫妫瑒t由兩平面相交的性質(zhì)可得AQ一定過點(diǎn)G，
過點(diǎn)G作交AC于點(diǎn)M，因?yàn)榈酌鍭BCD，所以底面ABCD，
設(shè)，則，由（1）知，
所以，即，解得，故，所以，
所以.
6．（2023·上海寶山·一模）如圖，在直三棱柱中，，，且分別是的中點(diǎn).
(1)證明：；
(2)求三棱錐的體積；
(3)求直線與平面所成角的大小.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）結(jié)合題意先通過線線垂直得到面,進(jìn)而得到；
（2）利用等體積法，轉(zhuǎn)化為求的體積即可;
（3）利用上問求出點(diǎn)到面的距離為，借助線面角的定義即可求出線面角.
【解析】（1）證明：在直三棱柱中中，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn),所以,
由直三棱柱中面,
所以面，因?yàn)樵诿鎯?nèi)，所以,
因?yàn)樵谥?，，且是的中點(diǎn),所以,
因?yàn)?且在面內(nèi)，
所以面,因?yàn)樵诿鎯?nèi),所以.
（2）等腰中，，從而，
所以，
由面，且
所以，
又因?yàn)椋?br>所以三棱錐的體積為.
（3）由（2），
令點(diǎn)到面的距離為，
則有，
中，，,
從而.
所以，
設(shè)直線與平面所成角為，則,
所以直線與平面所成角的大小為.
7．（2024·上海靜安·二模）如圖1所示，是水平放置的矩形，，．如圖2所示，將沿矩形的對(duì)角線向上翻折，使得平面平面．
(1)求四面體的體積；
(2)試判斷與證明以下兩個(gè)問題：
① 在平面上是否存在經(jīng)過點(diǎn)的直線，使得？
② 在平面上是否存在經(jīng)過點(diǎn)的直線，使得？
【答案】(1)2；
(2)①證明見解析；②證明見解析.
【分析】（1）過點(diǎn)作，垂足為．可知為三棱錐的高，利用等面積法求得，再由棱錐體積公式求解；
（2）①過點(diǎn)作，垂足為，由直線與平面垂直的判定與性質(zhì)證明；
②利用反證法證明在平面上不存在經(jīng)過點(diǎn)的直線，使得．
【解析】（1）過點(diǎn)作，垂足為．
平面平面，兩平面交線為， 平面，
平面，
由以及可得．
；
（2）①在平面上存在經(jīng)過點(diǎn)的直線，使得．
證明：過點(diǎn)作，垂足為．
平面，平面，
，
又，平面，
平面，
平面，故可得，
即存在；
②在平面上不存在經(jīng)過點(diǎn)的直線，使得，
證明：假設(shè)存在，
不在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，則平面，
與平面矛盾．
不存在．
8．（2024·上海奉賢·一模）如圖為正四棱錐為底面的中心．
(1)求證：平面，平面平面；
(2)設(shè)為上的一點(diǎn)，．
在下面兩問中選一個(gè)，
①若，求直線與平面所成角的大?。?br>②已知平面與平面所成銳二面角的大小為，若，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)證明見解析
(2)選①，直線與平面所成角為；選②，
【分析】（1）利用線面平行的判定定理可得平面；線面垂直的判定定理可得平面；
（2）選①，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)求出點(diǎn)坐標(biāo)，再求出、平面的一個(gè)法向量，根據(jù)線面角的向量求法可得答案；選②，設(shè)，根據(jù)求出點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面、平面的一個(gè)法向量，由二面角的向量求法可得答案.
【解析】（1）因?yàn)榈酌媸钦叫危裕?br>平面，平面，
所以平面；
，由四棱錐是正四棱錐，
可得平面，平面，所以，
由，平面，
所以平面，
又因?yàn)槠矫?，所以平面平面?br>（2）選①，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸的
正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由，得
，
，，
由得，
所以，
因?yàn)槠矫?，即平面?br>所以是平面的一個(gè)法向量，
設(shè)直線與平面所成角為，
，
由，得，
所以直線與平面所成角為；
選②，同①以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸的
正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，得
，
，
由得，
所以，，
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，
則得，令得，
所以，因?yàn)槠矫妫?br>所以是平面的一個(gè)法向量，
設(shè)平面與平面所成銳二面角的大小為，得，
由，
解得，即.
1、求空間幾何體的體積的常用方法
公式法
規(guī)則幾何體的體積，直接利用公式
割補(bǔ)法
把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體
等體積法
通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積
求空間幾何體的表面積方法歸納：
(1)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和．
(2)旋轉(zhuǎn)體的表面積是將其展開后，展開圖的面積與底面面積之和．
(3)組合體的表面積求解時(shí)注意對(duì)銜接部分的處理．
3、證明平行關(guān)系的常用方法
熟練掌握線線、線面、面面平行關(guān)系間的相互轉(zhuǎn)化是解決線線、線面、面面平行的綜合問題的關(guān)鍵．面面平行判定定理的推論也是證明面面平行的一種常用方法．
4、(1)三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化．
(2)對(duì)于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證．
5、(1)利用向量法證明平行、垂直關(guān)系，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(盡可能利用垂直條件，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而用向量表示涉及到直線、平面的要素)．
(2)向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量，但向量證明仍然離不開立體幾何的有關(guān)定理．
圓形截面
正方形截面
矩形截面
條件
r為圓半徑
a為正方形邊長(zhǎng)
h為矩形的長(zhǎng)，b為矩形的寬，
抗彎截面系數(shù)




極大值

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