專題01 新增統(tǒng)計(jì)概率（根據(jù)教材精編）(十大題型)-高考數(shù)學(xué)二輪熱點(diǎn)題型歸納與變式演練（上海專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27194" 題型01 伯努利分布、分布的表示 PAGEREF _Tc27194 \h 1
\l "_Tc22731" 題型02 等可能分布或均勻分布3
\l "_Tc394" 題型03 隨機(jī)變量及其分布4
\l "_Tc1766" 題型04 隨機(jī)變量的期望與方差5
\l "_Tc8506" 題型05 二項(xiàng)分布8
\l "_Tc6010" 題型06 超幾何分布11
\l "_Tc22452" 題型07 正態(tài)分布14
\l "_Tc5641" 題型08 成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析1 PAGEREF _Tc5641 \h 6
\l "_Tc26157" 題型09 條件概率與全概率公式+獨(dú)立事件、互斥事件19
\l "_Tc31686" 題型10 判斷事件的類(lèi)型概率公式綜合辨析21
【解題規(guī)律·提分快招】
題型01 伯努利分布、分布的表示
【典例1-1】．拋擲1枚硬幣，正面朝上的次數(shù)為X，則X的期望是．
【答案】/0.5
【分析】得到隨機(jī)變量X的分布，求出期望值.
【解析】隨機(jī)變量X的分布是，則．
故答案為：
【典例1-2】．以下分布中是伯努利分布的是（）．
A．?dāng)S一枚硬幣正面次數(shù)的分布
B．?dāng)S兩枚硬幣正面次數(shù)的分布
C．拋一顆骰子點(diǎn)數(shù)的分布
D．從一個(gè)放有2個(gè)白球，和2個(gè)黑球的袋子中摸出兩個(gè)球，用表示白球個(gè)數(shù)的分布
【答案】A
【分析】根據(jù)伯努利分布的概念即可判斷.
【解析】只取兩個(gè)值的隨機(jī)變量稱為伯努利型，其分布稱為伯努利分布．
則選項(xiàng)A符合，選項(xiàng)BCD不符合.
故選：A.
【變式1-1】．已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，，那么．
【答案】/0.5
【分析】根據(jù)概率之和為1即可求解.
【解析】由題意可知或，
由于，所以，
故答案為：
【變式1-2】．已知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，，則， .
【答案】 0.66 0.34
【分析】由兩點(diǎn)分布的性質(zhì)及期望公式即可得出結(jié)論.
【解析】由兩點(diǎn)分布可知，
.
故答案為：0.66;0.34.
【變式1-3】．已知X服從參數(shù)為0.3的兩點(diǎn)分布，則；若，則 .
【答案】 0.7/ 0.3/
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分布的基本性質(zhì)即可求解.
【解析】因?yàn)榉膮?shù)為0.3的兩點(diǎn)分布，
所以， .
當(dāng)時(shí)，，所以.
故答案為：0.7，0.3
【變式1-4】．以下各項(xiàng)中是分布的為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分布列中各項(xiàng)概率大于，且概率之和為，從而得到正確答案.
【解析】由題意得，分布列中各項(xiàng)概率非負(fù)，且概率之和為，
顯然AC選項(xiàng)不滿足概率之和為，
D選項(xiàng)不滿足各項(xiàng)概率大于，B選項(xiàng)滿足要求.
故選：B.
題型02 等可能分布或均勻分布
【典例2-1】．已知隨機(jī)變量X分布如下：，它是均勻分布，則為．
【答案】
【分析】由均勻分布可知，，求解即可.
【解析】隨機(jī)變量X分布是均勻分布，所以，
，．
故答案為：
【變式2-1】．已知某個(gè)隨機(jī)變量的分布，該分布是等可能分布，則的值為．
【答案】
【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)及等可能性即可求解.
【解析】由分布列的性質(zhì)得，且，
即可解出．
故答案為：.
題型03 隨機(jī)變量及其分布
【典例3-1】．已知隨機(jī)變量的分布，則．
【答案】/.
【分析】利用分布列的概率和為1求解即可.
【解析】由題意得隨機(jī)變量X的所有可能值得概率的和為1，
所以，解得.
故答案為：
【典例3-2】．分別拋擲3枚硬幣，正面次數(shù)的分布如下，其中c的值為．
【答案】/0.375
【分析】利用分布列的概率和為1求解參數(shù)即可.
【解析】由題意得隨機(jī)變量X的所有可能值的概率的和為1，
故有，解得.
故答案為：
【變式3-1】．設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布為，則實(shí)數(shù) ．
【答案】
【分析】由概率大于等于0小于等于1，可以得到的范圍；根據(jù)概率之和為1，可以計(jì)算出的值.
【解析】依題意：，解得.
故答案為：.
【變式3-2】．一袋中裝5個(gè)大小與質(zhì)地相同的球，編號(hào)為1、2、3、4、5，從袋中同時(shí)取出3個(gè)，以表示取出的三個(gè)球中的最大號(hào)碼，則隨機(jī)變量的分布為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由題意可知可取的值為，分別利用古典概型概率公式求相應(yīng)事件的概率，可得的分布.
【解析】由題意可知隨機(jī)變量表示摸出的3個(gè)球中的最大號(hào)碼數(shù)，可取的值為3、4、5，
當(dāng)時(shí)，3個(gè)小球編號(hào)為1、2、3，；
當(dāng)時(shí)，3個(gè)小球一個(gè)編號(hào)為4，另外兩個(gè)為1、2、3中的兩個(gè)，；
當(dāng)時(shí)，3個(gè)小球一個(gè)編號(hào)為5，另外兩個(gè)為1、2、3、4中的兩個(gè)，.
故選：C.
【變式3-3】．若隨機(jī)變量的分布為，則，．
【答案】 0.1/ 0.55/
【分析】直接由分布列第二行概率之和為1即可求出，再利用概率的可加性可得.
【解析】由題意，.
故答案為：0.1；0.55.
題型04 隨機(jī)變量的期望與方差
【典例4-1】．已知隨機(jī)變量的分布為，則的方差為 .
【答案】3.56
【分析】先根據(jù)分布列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)期望公式求出期望值，再利用方差公式求解即可.
【解析】根據(jù)分布列的性質(zhì)得，解得，
所以，
所以的方差為.
故答案為：3.56
【典例4-2】．已知一個(gè)隨機(jī)變量X的分布為，且，則．
【答案】
【分析】利用隨機(jī)變量均值的性質(zhì)求解參數(shù)，再進(jìn)行乘法運(yùn)算即可.
【解析】，則，由，得，則．
故答案為：
【變式4-1】．已知隨機(jī)變量的分布是，則等于（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用分布列求出，求出期望即可．
【解析】由題意可得，解得，
．
．
故選：C．
【變式4-2】．已知隨機(jī)變量的分布列為：，若，且，則 .
【答案】5
【分析】先由概率之和為，求出，根據(jù)離散型隨機(jī)變量的期望公式求出，再由方差的公式求出，最后根據(jù)方差的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.
【解析】由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，得，解得，
，，
，
，.
故答案為：5
【變式4-3】．隨機(jī)變量的分布為，若，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)可求得，并結(jié)合概率和為構(gòu)造方程組求得，利用方差計(jì)算公式可求得結(jié)果.
【解析】，，
即，又，，，
.
故答案為：.
【變式4-4】．已知一個(gè)隨機(jī)變量的分布為，且，則 .
【答案】0.4/
【分析】根據(jù)和分布列的性質(zhì)求得的值,再利用方差的公式即可求解.
【解析】由題意得 ,解得,
故答案為:0.4
【變式4-5】．隨機(jī)變量X的分布是，其中a，b，c成等差數(shù)列．若，則的值為．
【答案】
【分析】因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，所以．結(jié)合分布列性質(zhì)，及，求解，，，然后利用方差的計(jì)算公式計(jì)算即可.
【解析】因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，所以．
又由分布列性質(zhì)知，所以．
又因?yàn)?，所以，，?br>所以．
故答案為：．
【變式4-6】．已知，隨機(jī)變量的分布為，當(dāng)增大時(shí)（）．
A．增大，增大B．減小，增大
C．增大，減小D．減小，減小
【答案】B
【分析】利用數(shù)學(xué)期望和方差公式得出關(guān)于的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判斷和的變化情況．
【解析】由題意得，，
所以當(dāng)增大時(shí)，減小，
，
所以在上隨的增大而增大.
故選：B．
題型05 二項(xiàng)分布
【典例5-1】．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公直接求解即可
【解析】表示做了4次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，每次試驗(yàn)成功概率為，
，
故答案為：
【典例5-2】．若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，當(dāng)且取得最大值時(shí)，則．
【答案】10
【分析】根據(jù)變量符合二項(xiàng)分布，寫(xiě)出試驗(yàn)發(fā)生次的概率的表示式，在表示式中，只有是一個(gè)變量，根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，概率取到最大值．
【解析】
，
當(dāng)時(shí)，．
顯然當(dāng)時(shí)，取得最大值．
故答案為：10
【變式5-1】．下列說(shuō)法中正確的是
①設(shè)隨機(jī)變量服X從二項(xiàng)分布，則；
②已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布且，則；
③小趙、小錢(qián)、小孫、小李到4個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，設(shè)事件A=“4個(gè)人去的景點(diǎn)互不相同”，事件B=“小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，則；
④．
【答案】①②③
【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式判斷①；
根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)判斷②；
根據(jù)條件概率判斷③；
根據(jù)期望與方差的性質(zhì)判斷④.
【解析】隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則，故①正確；
隨機(jī)變量服從正態(tài)分布且，則，故②正確；
事件“4個(gè)人去的景點(diǎn)互不相同”，事件“小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，則，所以，故③正確；
，故④錯(cuò)誤.
故答案為：①②③.
【變式5-2】．如果隨機(jī)變量，，那么當(dāng)X、Y變化時(shí)，使成立的的個(gè)數(shù)為 .
【答案】2025
【分析】由二項(xiàng)分布的概率公式和組合數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.
【解析】由題意可得，
，
因?yàn)椋?br>所以，
所以使成立的的分別為，共2025個(gè)，
故答案為：2025.
【變式5-3】．設(shè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若，則．
【答案】
【分析】由隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，及，求出，再由隨機(jī)變量Y服從二項(xiàng)分布，則，計(jì)算可得.
【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，
所以，
解得或（舍去），
又因?yàn)殡S機(jī)變量Y服從二項(xiàng)分布，
所以
．
故答案為: .
【變式5-4】．已知隨機(jī)變量，若，則的值等于．
【答案】
【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的概率性質(zhì)計(jì)算求解．
【解析】，解得（舍去），．
故答案為：．
【變式5-5】．在一次新兵射擊能力檢測(cè)中，每人都可打5槍，只要擊中靶標(biāo)就停止射擊，合格通過(guò)；5次全不中，則不合格．新兵A參加射擊能力檢測(cè)，假設(shè)他每次射擊相互獨(dú)立，且擊中靶標(biāo)的概率均為，若當(dāng)時(shí)，他至少射擊4次合格通過(guò)的概率最大，則．
【答案】/
【分析】由題設(shè)至少射擊4次合格通過(guò)，即第4或5槍擊中靶標(biāo)，可得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在上的最值，根據(jù)最值成立的條件即得.
【解析】至少射擊4次合格通過(guò)的概率為，
所以，令，解得，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)得最大值，故．
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：用表示至少射擊4次合格通過(guò)的概率，并利用導(dǎo)數(shù)研究在上的最值即可.
題型06 超幾何分布
【典例6-1】．某醫(yī)院派出16名護(hù)士、4名內(nèi)科醫(yī)生組成支援隊(duì)伍，現(xiàn)在需要從這20人中任意選取3人去城市支援，設(shè)表示其中內(nèi)科醫(yī)生的人數(shù)，則
【答案】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合超幾何分布的概率公式求解.
【解析】由題意得.
故答案為：
【典例6-2】．某袋中裝有大小相同質(zhì)地均勻的黑球和白球共5個(gè)．從袋中隨機(jī)取出3個(gè)球，已知恰全為黑球的概率為，若記取出3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)為，則．
【答案】/0.36
【分析】黑球的個(gè)數(shù)為，通過(guò)從袋中隨機(jī)取出3個(gè)球，恰全為黑球的概率為，求出，然后求解記取出3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)為，的概率得到分布列，然后求解期望與方差即可．
【解析】解：設(shè)黑球的個(gè)數(shù)為，由得，
記取出3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)為，的取值可以為1，2，3；
，，，
則分布列如下：
所以，
則．
故答案為：.
【變式6-1】．在箱子中有個(gè)小球，其中有個(gè)紅球，個(gè)白球.從這個(gè)球中任取個(gè)，記表示白球的個(gè)數(shù)，則 .
【答案】/0.5
【分析】根據(jù)超幾何分布的概率公式直接計(jì)算.
【解析】由已知得，表示個(gè)白球，個(gè)紅球，
故，
故答案為：12.
【變式6-2】．學(xué)校要從5名男教師和2名女教師中隨機(jī)選出3人去支教，設(shè)抽取的人中女教師的人數(shù)為X，求．
【答案】
【分析】本題主要考查了超幾何分步的概率計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)題意，X的取值為0或1，代入超幾何分布公式求出對(duì)應(yīng)概率，再相加即可．
【解析】解：由題意可得
，
，
所以．
故答案為：．
【變式6-3】．盒中有2個(gè)白球，3個(gè)黑球，從中任取3個(gè)球，以表示取到白球的個(gè)數(shù)，表示取到黑球的個(gè)數(shù)．給出下列各項(xiàng)：
①，；②；③；④.
其中正確的是．(填上所有正確項(xiàng)的序號(hào))
【答案】①②④
【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)期望、方差和超幾何分布的概念運(yùn)算即可求解.
【解析】由題意可知X服從超幾何分布，η也服從超幾何分布．
∴E(X)＝＝，E(η)＝＝.
又X的分布列
∴E(X2)＝02×＋12×＋22×＝，
D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝－2＝.
η的分布列為
∴E(η2)＝12×＋22×＋32×＝，
D(η)＝E(η2)－[E(η)]2＝－2＝.
∴E(X2)＝E(η)，D(X)＝D(η)，∴①②④正確．
故答案為：①②④.
題型07 正態(tài)分布
【典例7-1】．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．
【答案】
【分析】根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性求解即可.
【解析】由正態(tài)分布的對(duì)稱性知，，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
【典例7-2】．隨機(jī)變量的概率分布密度函數(shù)，其圖象如圖所示，設(shè)，則圖中陰影部分的面積為．
【答案】0.35/
【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性即可求解.
【解析】由題意可知，則，
故圖中陰影部分的面積為．
故答案為：0.35.
【變式7-1】．如圖所示，該分布的0.25分位數(shù)為．
【答案】
【分析】根據(jù)分位數(shù)的定義和正態(tài)分布的性質(zhì)，即可求解．
【解析】且對(duì)稱軸為軸，
，
該分布的0.25分位數(shù)為．
故答案為：．
【變式7-2】．某地區(qū)高三年級(jí)2000名學(xué)生參加了地區(qū)教學(xué)質(zhì)量調(diào)研測(cè)試，已知數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)服從正態(tài)分布（試卷滿分150分），統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，有320名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)低于80分，則數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)屬于閉區(qū)間的學(xué)生人數(shù)約為．
【答案】
【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，求出，即可求得結(jié)果.
【解析】根據(jù)已知條件有數(shù)學(xué)成績(jī)低于分的概率為，
又，所以數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)屬于閉區(qū)間的概率為，
所以數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)屬于閉區(qū)間的學(xué)生人數(shù)約為人.
故答案為：
【變式7-3】．若隨機(jī)變量，且，，則等于（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性，即可求解.
【解析】隨機(jī)變量，且，，
由正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性可知，，
所以.
故選：B
題型08 成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析
【典例8-1】．在研究線性回歸模型時(shí)，樣本數(shù)據(jù)（，，，，）所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)均在直線上，用表示解釋變量對(duì)于反應(yīng)變量變化的線性相關(guān)度，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)線性相關(guān)系數(shù)的定義直接得解.
【解析】由已知樣本數(shù)據(jù)（，，，，）所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)均在直線上，
則，
又，
所以滿足負(fù)相關(guān)，
即，
故答案為：.
【典例8-2】．從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高（單位：cm）與體重（單位：kg）的數(shù)據(jù)如下表：
若已知與的線性回歸方程為，那么選取的女大學(xué)生身高為175cm時(shí)，相應(yīng)的殘差為 .
【答案】0.96
【分析】由線性回歸方程先求時(shí)的值，再根據(jù)殘差的計(jì)算公式即可求解.
【解析】令得，所以殘差為
故答案為：
【變式8-1】．已知一組成對(duì)數(shù)據(jù)的回歸方程為，則該組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù) （精確到0.001）．
【答案】
【分析】一組成對(duì)數(shù)據(jù)的平均值一定在回歸方程上，可求得，再利用相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式算出即可.
【解析】由條件可得，
，
，
一定在回歸方程上，代入解得，
，
，
，
，
故答案為：
【變式8-2】．下列說(shuō)法中，正確的有（填序號(hào)）.
①回歸直線恒過(guò)點(diǎn)，且至少過(guò)一個(gè)樣本點(diǎn)；
②根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得出，而，則有99%的把握認(rèn)為兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系，即有1%的可能性使得“兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系”的推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤；
③是用來(lái)判斷兩個(gè)分類(lèi)變量是否相關(guān)的隨機(jī)變量，當(dāng)?shù)闹岛苄r(shí)可以推斷兩類(lèi)變量不相關(guān)；
④某項(xiàng)測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，則，則.
【答案】②④
【分析】根據(jù)回歸直線的特征即可判斷①，理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想即可判斷②，正確把握卡方值的含義即可判斷③，利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性可判斷④.
【解析】對(duì)于①，回歸直線恒過(guò)點(diǎn)，但不一定過(guò)樣本點(diǎn)，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，因獨(dú)立性檢驗(yàn)是選取一個(gè)零假設(shè)條件下的小概率事件，故②正確；
對(duì)于③，當(dāng)?shù)闹岛苄r(shí)推斷兩類(lèi)變量相關(guān)的把握小，但不能說(shuō)無(wú)關(guān)，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，因?yàn)榉恼龖B(tài)分布，且，所以與關(guān)于直線對(duì)稱，
由可得，，則，故④正確.
故答案為：②④.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查回歸分析，獨(dú)立性檢驗(yàn)，正態(tài)分布等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.
解決此類(lèi)題的關(guān)鍵即是正確理解和把握以上概念和本質(zhì)特征，如回歸直線的圖象體征，獨(dú)立性檢驗(yàn)中“零假設(shè)”的含義，正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性特征.
【變式8-3】．近五年來(lái)某草原羊只數(shù)量與草地植被指數(shù)兩變量間的關(guān)系如表所示，繪制相應(yīng)的散點(diǎn)圖，如圖所示：

若利用這五組數(shù)據(jù)得到的兩變量間的相關(guān)系數(shù)為，去掉第一年數(shù)據(jù)后得到的相關(guān)系數(shù)為，則（填，，，）
【答案】
【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖可知兩個(gè)量呈負(fù)相關(guān)，且去掉數(shù)據(jù)后相關(guān)性變強(qiáng)，結(jié)合相關(guān)系數(shù)的概念判斷即可.
【解析】根據(jù)散點(diǎn)圖可知，羊只數(shù)量與草地植被指數(shù)呈負(fù)相關(guān)，則相關(guān)系數(shù)，，
當(dāng)去掉第一年數(shù)據(jù)后，數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性變強(qiáng)，所以，所以．
故答案為：
【變式8-4】．為了考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，得到如下圖所示列聯(lián)表：
取顯著性水平，若本次考察結(jié)果支持“藥物對(duì)疾病預(yù)防有顯著效果”，則()的最小值為．
(參考公式：；參考值：）
【答案】
【分析】由題意列出不等式，結(jié)合近似計(jì)算求出m的取值范圍，即可得答案.
【解析】由題意可知，
則，
解得或，而，
故m的最小值為44.
故答案為：44.
題型09 條件概率與全概率公式
【典例9-1】．甲?乙兩氣象站同時(shí)作天氣預(yù)報(bào)，如果甲站?乙站各自預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率分別為0.8和0.7，且假定甲?乙兩氣象站預(yù)報(bào)是否準(zhǔn)確相互之間沒(méi)有影響，那么在一次預(yù)報(bào)中，甲站?乙站預(yù)報(bào)都錯(cuò)誤的概率為 .
【答案】/0.06
【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法概率公式即可求解.
【解析】解：記“甲預(yù)報(bào)準(zhǔn)確”，“乙預(yù)報(bào)準(zhǔn)確”，
則
所以甲?乙都預(yù)報(bào)錯(cuò)誤的概率為
故答案為：0.06
【變式9-1】．某科研型農(nóng)場(chǎng)試驗(yàn)了生態(tài)柳丁的種植，在種植基地從收獲的果實(shí)中隨機(jī)抽取100個(gè)，得到其質(zhì)量（單位：g）的頻率分布直方圖及商品果率的頻率分布表如圖．已知基地所有采摘的柳丁都混放在一起，用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取1個(gè)柳丁，則該柳丁為商品果的概率為．
【答案】/
【分析】
結(jié)合頻率分布直方圖及商品果率的頻率分布表，利用全概率公式可直接求得答案.
【解析】
記事件 “從柳丁中任取1個(gè)為商品果”，由全概率公式可得
，
故答案為：.
【變式9-2】．長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約的人近視，而該校大約有的學(xué)生每天玩手機(jī)超過(guò)，這些人的近視率約為，現(xiàn)從該校近視的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他每天玩手機(jī)超過(guò)的概率為 .
【答案】45/0.8
【分析】根據(jù)題意結(jié)合條件概率公式分析運(yùn)算.
【解析】用頻率估計(jì)概率，記“學(xué)生近視”為事件A，“學(xué)生每天玩手機(jī)超過(guò)”為事件B，
由題意可得：，
因?yàn)椋瑒t，
所以.
故答案為：.
【變式9-3】．研究人員開(kāi)展甲、乙兩種藥物的臨床抗藥性研究實(shí)驗(yàn)，事件為“對(duì)藥物甲產(chǎn)生抗藥性”，事件為“對(duì)藥物乙產(chǎn)生抗藥性”，事件為“對(duì)甲、乙兩種藥物均不產(chǎn)生抗藥性”．若，，，則．
【答案】/0.375
【分析】求出，結(jié)合求出，進(jìn)而利用求條件概率公式求出答案.
【解析】由題意可知，則．
又，
所以，
題型10 判斷事件的類(lèi)型概率公式綜合辨析
【典例10-1】．事件A與B獨(dú)立，、分別是A、B的對(duì)立事件，則下列命題中成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用獨(dú)立事件的乘法公式和概率的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.
【解析】事件A與B獨(dú)立，、分別是A、B的對(duì)立事件，
故，故AB錯(cuò)誤；
，故C正確；
,故D錯(cuò)誤.
故選：C
【典例10-2】．已知事件與相互獨(dú)立，且，則下列選項(xiàng)不一定成立的是（）
A．；B．；
C．；D．.
【答案】B
【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法公式和條件概率公式，結(jié)合對(duì)立事件的定義逐一判斷即可.
【解析】因?yàn)榕c相互獨(dú)立，所以與、與、與也相互獨(dú)立，
A選項(xiàng)，，故A一定成立；
B選項(xiàng)，，
而，所以，故B不成立；
C選項(xiàng)，，
故C一定成立；
D選項(xiàng)，，
故D一定成立.
故選：B.
【變式10-1】．已知、分別為隨機(jī)事件A、的對(duì)立事件，，，則下列等式錯(cuò)誤的是（）
A．B．
C．若A、獨(dú)立，則D．若A、互斥，則
【答案】A
【分析】結(jié)合互斥事件、對(duì)立事件的定義，根據(jù)條件概率性質(zhì)，逐個(gè)判斷.
【解析】由，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；
若A、獨(dú)立，則，，故選項(xiàng)C正確；
若A、互斥，則，，故選項(xiàng)D正確.
故選：A.
【變式10-2】．拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地均勻的骰子，記錄骰子朝上面的點(diǎn)數(shù)，若用表示紅色骰子的點(diǎn)數(shù)，用表示綠色骰子的點(diǎn)數(shù)，用表示一次試驗(yàn)結(jié)果，設(shè)事件；事件：至少有一顆點(diǎn)數(shù)為6；事件；事件.則下列說(shuō)法正確的是（）
A．事件與事件為互斥事件B．事件與事件為互斥事件
C．事件與事件相互獨(dú)立D．事件與事件相互獨(dú)立
【答案】D
【分析】A選項(xiàng)，寫(xiě)出事件包含的情況，得到，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，寫(xiě)出事件包含的情況，結(jié)合A選項(xiàng)，得到，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，寫(xiě)出事件包含的情況，故，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，寫(xiě)出事件和包含的情況，得到，D正確.
【解析】A選項(xiàng)，事件包含的情況有，
事件：至少有一顆點(diǎn)數(shù)為6包含的情況有
，
故，事件與事件不為互斥事件，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，事件包含的情況有
，
故，事件與事件不為互斥事件，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地均勻的骰子，共有種情況，
故，
事件包含的情況為，故，
故，故事件與事件不相互獨(dú)立，C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，事件包含的情況有
，
，共18種情況，
故，
事件包含的情況有：，
故，
因?yàn)椋允录c事件相互獨(dú)立，D正確.
故選：D
【變式10-3】．現(xiàn)有4個(gè)禮品盒，前三個(gè)禮品盒中分別裝了一支鋼筆，一本書(shū)以及一個(gè)筆袋，第4個(gè)禮品盒中三樣均有.現(xiàn)隨機(jī)抽取一個(gè)禮盒，事件A為抽中的盒子里面有鋼筆，事件B為抽中的盒子里面有書(shū)，事件C為抽中的盒子里面有筆袋，則下面選項(xiàng)正確的是（）
A．A與B互斥B．A與B相互獨(dú)立
C．A與互斥D．A與相互獨(dú)立
【答案】B
【分析】根據(jù)互斥事件判斷AC，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式判斷BD.
【解析】由題意可知：事件A為取到第1或4個(gè)禮品盒，事件B為取到第2或4個(gè)禮品盒，事件C為取到第3或4個(gè)禮品盒，
對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)槭录槿〉降?個(gè)禮品盒，所以A與B不互斥，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋?br>可知，所以A與B相互獨(dú)立，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)槭录槿〉降?或3或4個(gè)禮品盒，
則事件為取到第4個(gè)禮品盒，所以A與不互斥，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)槭录槿〉降?個(gè)禮品盒，則，
且事件為取到第4個(gè)禮品盒，則，
可知，所以A與不相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤；
故選：B.
【變式10-4】．設(shè)，為兩個(gè)隨機(jī)事件，以下命題正確的為（）
A．若，是對(duì)立事件，則
B．若，是互斥事件，，則
C．若，且，則，是獨(dú)立事件
D．若，是獨(dú)立事件，，則
【答案】C
【分析】根據(jù)對(duì)立事件的概念判斷A，根據(jù)互斥事件的概率加法公式判斷B，根據(jù)獨(dú)立事件的定義及概率公式判斷C、D.
【解析】對(duì)于A，若是對(duì)立事件，則，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若是互斥事件，，則，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，則，，
又，則是獨(dú)立事件，C正確；
對(duì)于D，若是獨(dú)立事件，則是獨(dú)立事件，而，
則，D錯(cuò)誤.
故選：C
【變式10-5】．設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，
①若A，B是互斥事件，，則；
②若A，B是對(duì)立事件，則；
③若A，B是獨(dú)立事件，，，則；
④若，，且，則A，B是獨(dú)立事件.
以上4個(gè)命題，正確的序號(hào)選項(xiàng)為（）.
A．①③B．②③C．②④D．②③④
【答案】D
【分析】根據(jù)互斥事件的概率加法公式，對(duì)立事件的性質(zhì)以及獨(dú)立事件的概率乘法公式，可得答案.
【解析】①：由是互斥事件，則，故①錯(cuò)誤；
②：由是對(duì)立事件，則為必然事件，即，故②正確；
③：由是獨(dú)立事件，則也是互相獨(dú)立的，
即，故③正確；
④：由，，
則相互獨(dú)立，即相互獨(dú)立，故④正確.
故選：D.
【變式10-6】．甲箱中有個(gè)紅球，個(gè)白球和個(gè)黑球；乙箱中有個(gè)紅球，個(gè)白球和個(gè)黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，分別以、、表示由甲箱中取出的是紅球、白球和黑球的事件；再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球，以表示由乙箱中取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）
A．B．
C．事件與事件不相互獨(dú)立D．、、兩兩互斥
【答案】A
【分析】利用全概率公式可判斷A選項(xiàng)；直接寫(xiě)出的值，可判斷B選項(xiàng)；利用獨(dú)立事件的定義可判斷C選項(xiàng)；利用互斥事件的定義可判斷D選項(xiàng).
【解析】依題意，，，，
，，B對(duì)，
，A錯(cuò)；
，，
所以，，所以，事件與事件不相互獨(dú)立，C對(duì)，
由題意可知，事件、、中的任意兩個(gè)事件都不可能同時(shí)發(fā)生，
因此，事件、、兩兩互斥，D對(duì).
故選：A.
【變式10-7】．假定生男生女是等可能的，設(shè)事件：一個(gè)家庭中既有男孩又有女孩；事件家庭中最多有一個(gè)女孩.針對(duì)下列兩種情形：①家庭中有2個(gè)小孩；②家庭中有3個(gè)小孩，下面說(shuō)法正確是（）.
A．①中事件與事件相互獨(dú)立?②中的事件與事件相互獨(dú)立
B．①中事件與事件不相互獨(dú)立?②中的事件與事件相互獨(dú)立
C．①中事件與事件相互獨(dú)立?②中的事件與事件不相互獨(dú)立
D．①中事件與事件不相互獨(dú)立?②中的事件與事件不相互獨(dú)立
【答案】B
【分析】分別寫(xiě)出①②對(duì)應(yīng)的樣本空間，再利用相互獨(dú)立事件計(jì)算判斷.
【解析】若家庭中有兩個(gè)小孩，樣本空間為(男,男)，(男,女)，(女,男)，(女,女)，共4種情況，
(男,女)，(女,男)(男,男)，(男,女)，(女,男)(男,女)，(女,男)，
則，，，事件與事件不相互獨(dú)立，AC錯(cuò)誤；
若家庭中有三個(gè)小孩，樣本空間為(男,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)，
(男,女,女)，(女,男,女)，(女,女,男)，(女,女,女)，共8種情況，
(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)，(男,女,女)，(女,男,女)，(女,女,男)，
(男,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)，
，，，事件與事件相互獨(dú)立，B正確，D錯(cuò)誤.
故選：B
一、填空題
1．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）某校舉辦科學(xué)競(jìng)技比賽，有3種題庫(kù)，題庫(kù)有5000道題，題庫(kù)有4000道題，題庫(kù)有3000道題．小申已完成所有題，已知小申完成題庫(kù)的正確率是0.92，題庫(kù)的正確率是0.86，題庫(kù)的正確率是0.72．現(xiàn)他從所有的題中隨機(jī)選一題，正確率是．
【答案】0.85
【分析】求出各題庫(kù)所占比，根據(jù)全概率公式即可得到答案.
【解析】由題意知，題庫(kù)的比例為：，
各占比分別為，
則根據(jù)全概率公式知所求正確率．
故答案為：0.85．
2．（2024·上?！と＃┰O(shè)隨機(jī)變量X服從成功概率為的二項(xiàng)分布，若，，則．
【答案】
【分析】根據(jù)期望和方差可得關(guān)于的方程組，從而可求其值.
【解析】設(shè),則,
所以，故，
故答案為：.
3．（2024·上海浦東新·三模）一袋中裝有大小與質(zhì)地相同的2個(gè)白球和3個(gè)黑球，從中不放回地摸出2個(gè)球，記2球中白球的個(gè)數(shù)為X，則 .
【答案】/
【分析】分析可知隨機(jī)變量的可能取值有、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，即可計(jì)算出和的值.
【解析】由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、，
則，，，
所以，，
.
故答案為：.
二、單選題
4．（2023·上海奉賢·一模）下列結(jié)論不正確的是（）
A．若事件與互斥，則
B．若事件與相互獨(dú)立，則
C．如果分別是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，那么
D．若隨機(jī)變量的方差，則
【答案】A
【分析】由已知，選項(xiàng)A，根據(jù)事件與互斥，可知；選項(xiàng)B，根據(jù)事件與相互獨(dú)立，可知；選項(xiàng)C，根據(jù)分別是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，可得；選項(xiàng)D，由，可得，即可作出判斷.
【解析】由已知，
選項(xiàng)A，若事件與互斥，則，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B，若事件與相互獨(dú)立，則，故該選項(xiàng)正確；
選項(xiàng)C，若分別是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，那么，故該選項(xiàng)正確；
選項(xiàng)D，若隨機(jī)變量的方差，則，故該選項(xiàng)正確；
故選：A.
5．（2024·上海浦東新·三模）有一袋子中裝有大小、質(zhì)地相同的白球k個(gè)，黑球.甲、乙兩人約定一種游戲規(guī)則如下：第一局中兩人輪流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局獲勝但從第二局起，上一局的負(fù)者先摸球.若第一局中甲先摸球，記第局甲獲勝的概率為，則關(guān)于以下兩個(gè)命題判斷正確的是（）
①，且；
②若第七局甲獲勝的概率不小于0.9，則不小于1992.
A．①②都是真命題B．①是真命題，②是假命題
C．①是假命題，②是真命題D．①②都是假命題
【答案】A
【分析】分別計(jì)算在第一局中：摸1次，摸3次，，摸次甲獲勝概率，可得，從而求得，由于第局甲獲勝包括兩種情況：第局甲贏且第局甲后摸球和第局甲輸且第局甲先摸球，可得，利用數(shù)列求通項(xiàng)公式的構(gòu)造法，可得是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，求出，解不等式即可求解.
【解析】第一局：摸1次甲獲勝概率為：，摸3次甲獲勝概率為：，
摸5次甲獲勝概率：，摸7次甲獲勝概率：，，
摸次甲獲勝概率：，
所以，
所以，
第局甲獲勝包括兩種情況：第局甲贏且第局甲后摸球和第局甲輸且第局甲先摸球，
則，故①正確；
由，設(shè)，解得，
所以，
所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
則，即，
所以，即，
即，即，即，
則，即，解得，
所以不小于1992，所以②正確.
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是在第一局中求出摸1次，摸3次，，摸次甲獲勝概率，可得其概率是等比數(shù)列，從而得到，利用數(shù)列求和和極限的知識(shí)進(jìn)行求解.
1、離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)的應(yīng)用
(1)利用“概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的值．
(2)利用“在某個(gè)范圍內(nèi)的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和”求某些特定事件的概率．
(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確．
2、求離散型隨機(jī)變量ξ的期望與方差的步驟
(1)理解ξ的意義，寫(xiě)出ξ可能的全部值．
(2)求ξ取每個(gè)值的概率．
(3)寫(xiě)出ξ的分布列．
(4)由期望、方差的定義求E(ξ)，D(ξ)．
3、判斷某隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布的關(guān)鍵點(diǎn)
(1)在每一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同．
(2)各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的．
(3)在每一次試驗(yàn)中，試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè)，即發(fā)生與不發(fā)生．
4、(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問(wèn)題，隨機(jī)變量為抽到的某類(lèi)個(gè)體的個(gè)數(shù)．超幾何分布的特征是：①考察對(duì)象分兩類(lèi)；②已知各類(lèi)對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類(lèi)個(gè)體數(shù)X的概率分布．
(2)超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類(lèi)別的小球等概率模型，其本質(zhì)是古典概型．
5、解決正態(tài)分布問(wèn)題有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1)對(duì)稱軸x＝μ；(2)標(biāo)準(zhǔn)差σ；(3)分布區(qū)間．利用對(duì)稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ，σ，分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率．注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對(duì)稱軸才為x＝0.
1
2
3
X
0
1
2
P
η
1
2
3
P
165
165
157
170
175
165
155
170
48
57
50
54
64
61
43
59
年份
1
2
3
4
5
羊只數(shù)量/萬(wàn)只
1.4
0.9
0.75
0.6
0.3
草地植被指數(shù)
1.1
4.3
15.6
31.3
49.7
藥物
疾病
合計(jì)
未患病
患病
服用
50
未服用
50
合計(jì)
80
20
100
質(zhì)量/g
商品果率
0.7
0.8
0.8
0.9
0.7

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